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2012年浙江省高等数学竞赛试题与答案(共4套题)


(试题共 4 套 数学类、工科类、经管类、文专类 前面是试题 后面是答案)

2012 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题 工科类
一计算题: (每小题 14分,满分70 分)
1.求极限 lim log x ( x ? x ) 。
a b

姓名

x ???

2.设函数 f : R ? R 可导,且 ?x, y ? R ,满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? y ? xy ,求 f ( x ) 的表 线 达式。 。 ? x sin x dx ( n 为正整数) 4.计算 ?? x ? y min ?x, 2 y?dxdy , D 为 y 3.计算
0 n?

2

? x 与 y ? x2 围成的平面有界闭区域。

D

准考证号

? x ? a cos3 ? ? 5.求曲线 ? , (0 ? ? ? ? ) 的形心,其中 a ? 0 为常数。 3 ? y ? a sin ? ?


二、 (满分 20 分)
证明:
n 1 1 ? ln n ? ? ? 1 ? ln n , n ? ? ? 。 n i ?1 i

三、 (满分 20 分)
设 u : R ? R 所有二阶偏导连续,证明 u 可表示为 u( x, y) ? f ( x) g ( y) 的充分必要条件为
2

u


? 2u ?u ?u 。 ? ?x?y ?x ?y

专业

四、 (满分 20)
在草地中间有一个底面半径为 3 米的圆柱形的房子。 外墙脚拴一只山羊, 已知拴山羊的 绳子长为 ? 米,外墙底面半径为 3 米,求山羊能吃到草的草地面积。

五、 (满分 20 分)
学校

1

证明

? (?1)k ?1Cnk
k ?1

n

1 n 1 ?? 。 k k ?1 k

2012 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题 经管类
一、计算题(每小题 14 分,满分 70 分)
1 求极限 lim log x ( x ? x ) 。
a b x ???

姓名

2.设 f ( x) ? eax sin bx ( a, b ? R 为常数) ,求 f ( n ) (0) 。 线 3.计算

?

n? 0

。 x sin x dx ( n 为正整数)

4.求积分

1 ? x2 ? 1 ? x2 ? x4 dx
1 2 a x ? , x ? 0 ,常数 a ? 0 ,试求最小的常数 a ,使得 f ( x) ? 6 。 2 x

5.设函数 f ( x ) ? 准考证号

二、 (满分 20 分)
证明:
n 1 1 ? ln n ? ? ? 1 ? ln n , n ? ? ? n i ?1 i



三、 (满分 20 分)


? (2n ? 1)2
n ?1

?

1

2n

n C2 n 的值。

专业

四、 (满分 20 分)
在草地中间有一个半径为 R 的圆形池塘,池塘边拴着一只山羊,拴山羊的绳子长为 装

kR, (0 ? k ? 2),求山羊能吃到草的草地面积。

五、 (满分 20 分)
(1)求极限 lim cos
n ??

?

cos ? cos n 4 8 2

?

?

学校

(2)证明

2

?

?

2 2

2? 2 2

2? 2? 2 ? 2

2

2012 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题 数学类
一、计算题(每小题 14 分,满分 70 分)
1.求极限 lim log x ( x ? x ) 。
a b x ???

姓名

2.设函数 f : R ? R 可导,且 ?x, y ? R ,满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? y ? xy ,求 f ( x ) 的表 线 达式。 3.计算

?

?
0

4

x dx 。 (cos x ? sin x) cos x
2

4.计算
?

?? x ? y min ?x, 2 y?dxdy , D 为 y
D

? x 与 y ? x2 围成的平面有界闭区域。

准考证号

5.求

? (2n ? 1)2
n ?1

1

2n

n C2 n 的值。



二、 (满分 20)
证明: ?x, y ? [0,1] ?? ? [0,1] 使

xe y ? ye x ? 1?? 2 。 x? y

三、 (满分 20 分)
设 u : R ? R 所有二阶偏导连续,证明 u 可表示为 u( x, y) ? f ( x) g ( y) 的充分必要条件为
2

专业

u


? 2u ?u ?u 。 ? ?x?y ?y ?y

四、 (满分 20 分)
在草地中间有一个底面半径为 3 米的圆柱形的房子。 外墙脚拴一只山羊, 已知拴山羊的绳子 长为 ? 米,外墙底面半径为 3 米,求山羊能吃到草的草地面积

五、 (满分 20 分)
学校 设 an ? 0 ,

?a
n ?1

?

n

收敛,证明:

1 N ? ? ? lim ? N ? an ? ? 0 ? lim ? n2 an ? 0 ? N ? ? ? ? 。 N ?? N ?? N n ?1 ? n? N ?

3

2012 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题 文专类
一计算题: (每小题 14 分,满分 70 分)
姓名 1.求极限 lim log x ( x ? x ) 。
a b x ???

2.设 f ( x) ? eax sin bx ( a, b ? R 为常数) ,求 f ( n ) (0) 。 线 3.计算

?

2? 0

x sin x dx 。

dx 。 ? x4 1 2 a 5.极值设函数 f ( x) ? x ? , x ? 0 ,常数 a ? 0 ,试求最小的常数 a ,使得 f ( x) ? 6 。 2 x
4.求不定积分
2

? 1? x

x

准考证号

二、 (满分 20 分)
ap ? bp ? a ? b ? 设 p ? R ,且 p ? 1 ,证明 ?a ? 0, b ? 0 有 ?? ? 。 2 ? 2 ?
p



三、 (满分 20 分)验证 ? 0 4
算积分 专业

?

?x x 4 ?? 4 dx ,并计 0 (cos x ? sin x ) cos x (cos x ? sin x) cos x
?

?

?

?
0

4

x dx (cos x ? sin x) cos x

四、 (满分 20)
装 在草地中间有一个半径为 R 的圆形池塘,池塘边拴着一只山羊,拴山羊的绳子长为

kR, (0 ? k ? 2),求山羊能吃到草的草地面积。

五、 (满分 20 分)
设函数 f ( x ) 在 (0, ??) 内可导,且极限 lim f ( x) 与 lim f ?( x ) 都存
x ??? x ???

学校

在,证明 lim f ?( x ) ? 0 。
x ???

2012 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题答案
4

工科类答案
一、计算题 1、若 a ? b
x ???

l i m l o g a (? x b ? ) i m l o ga ?(x b? l 1 x x x x
x ??? x ???

a

? a)?

x ??? a

l i m ?o g b (a? a l x? 1 x
b

)

a b 同理,当 a<b 时, lim log x ( x ? x ) =b ,

所以 lim log x ( x ? x ) =max( a, b)
x ???

2、解:由假设, ?y ? 0 ,有

f ( x ? y ) ? f ( x) ? 1 ? x ? f 可导 ? f ??( x) ? 1 ? x y

同理 f ??( x) ? 1 ? x ? f ?( x) ? 1 ? x 3、解:

f ( x)? x? 2x / 2? c
n

?

n? 0

x sin x dx ? ? ?
j ?1

n

j? j? ??

x sin x dx ? ? ?
j ?1 n

?

0

? x ? j? ? ? ? sin xdx

? n? x sin xdx ? 2? ? ? j ? 1? ? n? ? 2n ? ? n ? n ? 1? ? n2? ? 2n
0 j ?1

?

4、解: D1 ?

?? x, y ? x ? y ?
?? x, y ? x
2
D2

x ,0 ? x ? 1 , D2 ? ?? x, y ? x / 2 ? y ? x,0 ? x ? 1/ 2?

?

D3 ?
原积分 ?

? y ? x,1/ 2 ? x ? 1 , D4 ?

?

?? x, y ? x
x

2

? y ? x / 2, 0 ? x ? 1/ 2

?

?? ( y ? x) xdxdy ? ?? ( x ? y) xdxdy ? ?? ( x ? y) xdxdy ? ?? ( x ? y) ydxdy
D1 D3 D4

? ? dx ? ( y ? x) xdy ? ?1 dx ? 2 ( x ? y ) xdy ? ? dx ?1 ( y ? x) xdy ? ? dx ? ( x ? y )2 ydy
0 x 2 x

1

x

1

x

1 2 0

2

x

1 2 0

1 x 2 x2

?
?

1 3 2 1 1 4 1 1 4 1 5 1 6 1 1 4 x ? x2 ? x ? ( x ? x ? x ) 1 ? x 6 7 8 8 5 12 32 0 2

1 2 0

?(

1 4 1 6 2 7 x ? x ? x ) 24 6 21

1 2 0

1 1 11 1 1 253 ? ? ? ? ? 24 ? 7 24 ? 5 32 ? 24 ? 5 32 ?16 64 ? 21 17920

5、解: xc ?

?

L

xds / ? ds ? 0 , yc ? ? yds / ? ds
L L L

而 ds ?

? ? ( x? )2 ? ( y? ) 2 d? ? 3a sin ? cos ? d?
? ?2
0

?
?

L

ds ? ? 3a sin ? cos ? d? ? ?
0

?

ba sin ? cos ? d? ? 3a
? /2
0

L

yds ? ? a sin 3 ? x3a sin ? cos ? d? ? 6a 2 ?
0

?

sin 4 ? cos ? d? ?

6 2 a 5

? xc ? 0

yc ?

2 a 5

5

二、证明:显然

?

j ?1 j

j 1 1 1 dx ? ? ? dx j ?1 x x j

j?2

n n n j 1 n1 1 1 ?? ? 1? ? ? 1? ? ? dx ? 1 ? ? dx ? 1 ? ln n j ?1 x 1 x j ?1 j j ?2 j j ?2

另一方面

1 n?1 1 1 n?1 j ?1 1 1 1 ? j ? ? j ? n ? ? ? j x dx ? n ? n ? ln n j ?1 j ?1 j ?1
n

三、证明: u ? f ( x) g ( y ) 时,显然有 uuxy ? uxu y 反之,若 uuxy ? uxu y 成立,即有 (uu xy ? u x u y ) / u ? (
2

ux )y ? 0 u

? ux / u ? f1 ( x) 也即 ln u ? ? f1 ( x)dx ? g1 ( y ) ? f 2 ( x) ? g1 ( y )

? u ? f ( x) g ( y )

四、解:(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点,拴羊点在 x 轴上 x ? 3 点,则羊跑最远的曲 线在 x ? 3 的区域内是渐开线 即 x ? 3(cos t ? (? / 3 ? t )sin t ) y ? 3(sin t ? (? / 3 ? t ) cos t ) 记在 x ? 3 山羊能吃到草的草地面积为 S1

S1 ? 2?

3

3/ 2

ydx ? 2?
? /3

? /3

0

9sin 2 tdt ? 2? (3sin t ? (? ? 3t ) cos t )(3t ? ? ) cos tdt ?2?
? /3
? /3
0

0

? /3

0

9sin 2 tdt

? 2?

0

3 ?(? ? 3t )sin t cos t ? (? ? 3t ) 2 cos 2 t ?dt ?2? ? ?
? /3

9sin 2 tdt

? /3 ? 1 1 ? ? ? ? ?3(? ? 3t ) sin 2 t ? (? ? 3t ) 2 (t ? sin 2t ) ? ? ? ?6(? ? 3t )(t ? sin 2t ) ? 9sin 2 t ? dt 0 2 2 ? ?0 ? ?
? /3? 1 9? 1 1 ? ? ? ? ? 3 ?? ? 3t ? ? t 2 ? cos 2t ? ? ? t ? sin 2t ? ? 9 ? ? t 2 ? cos 2t ?dt 0 2 2? 2 2 ? ?0 ?0 ? ? ? /3 ? /3

?

? t3 1 ? 9 3 ? 9 ? ? sin 2t ? 8 ?3 4 ?

? /3
0

?

?3
9

所以山羊能吃到草的草地面积 S ?

?3
9

?

?3
2

?

11? 3 18

(方法二) 山羊能吃到草的草地面积 S 可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积 S1 和 绳子绕向房子时转过 ? ? 其扫过的面积可近似为扇形

?? 2 r 2

6

S1 ? ?

? /3

0

?? ? 3? ? d? ? ? 3 / 9
n

2

所以 S ? 11? /18
3

五、证明:

? (?1)k ?1Cnk
k ?1
1

1 n 1 ?1 n 1 k ? ? ? (?1)k ?1 Cn t k ?1dt ? ? ? (?1)k Cnk t k dt 0 0 t k k ?1 k ?1

??
n

n n 1 1 ? (1 ? t ) 11? x (1 ? t ) n ? 1 dt ? ? dt ? ? dx 0 0 0 1? x t t



n 1 n 11? t ? ? ? ? t k ?1dt ? ? dt ? k 0 k ?1 0 1? t k ?1

? 等式成立

经管类答案
一、计算题 1、若 a ? b
x ???

l i m l o g a (? x b ? ) i m l o ga ?(x b? l 1 x x x x
x ??? x ???

a

? a)?

x ??? a

l i m ?o g b (a? a l x? 1 x
b

)

a b 同理,当 a<b 时, lim log x ( x ? x ) =b ,

所以 lim log x ( x ? x ) =max( a, b)
x ???

2、 f ?( x) ? aeax sin bx ? beax cos bx ? e ax a 2 ? b 2 ? 解:

?

a

2 2 ? a ?b

sin bx ?

? cos bx ? a 2 ? b2 ? b

? eax a 2 ? b2 ? cos ? sin bx ? sin ? cos bx ? ? a 2 ? b 2 e ax sin ? bx ? ? ?

? ? b a ? ? ? arcsin 2 2 ? arccos 2 2 ? a ?b a ?b ? ?
同理 f ??( x) ? e
ax

a 2 ? b 2 ? a sin(bx ? ? ) ? b cos(bx ? ? ) ?

? (a2 ? b2 )eax sin(bx ? 2? )
可得 f
? n?

? x ? ? ? a 2 ? b2 ?
n? 0

n/2

eax ? sin(bx ? n? ) ? ? f ( n ) ? 0 ? ? ? a 2 ? b 2 ?
j? j? ??

n/2

sin(n? )

3、解:

?

x sin x dx ? ? ?
j ?1

n

x sin x dx ? ? ?
j ?1 n

n

?

0

? x ? j? ? ? ? sin xdx

? n? x sin xdx ? 2? ? ? j ? 1? ? n? ? 2n ? ? n ? n ? 1? ? n2? ? 2n
0 j ?1

?

4、解: 1 ? x ? x ? x ? 2x ? 1 ? x ? ( x ? 1 ? x)( x ? 1 ? x)
2 4 4 2 2 2 2

7

??
?

? 1 ? x2 1 ? 1 1 1 ? 1 1 ? dx ? ? ? 2 ? 2 dx ? ? ? ? ? dx ? x4 ? x2 ? 1 2 ? x ? x ?1 x ? x ?1 ? 2 ? ? x ? 1/ 2 ?2 ? 3 / 4 ? x ? 1/ 2 ?2 ? 3 / 4 ? ? ?
1 2x ? 1 arctan ? 3 3 1 3 x2? 1 a r c t a n ?C 3

5、解: f ?( x) ? x ?

a ?0 x2

x0 ? 3 a

f ??( x0 )? 1 ?
3

2a ? 0 3 x0
33 2 a 2
所以 amin ? 8

? f ( x) 在 3 a 处取到最小值, f


? a? ? 1 2
3

a2 ? 3 a2 ?

33 2 a ?6 2

即a ? 8时

f ( x) ? 6 ,且在 x0 ? 2 时, f (2) ? 6

二、证明:显然

?

j ?1 j

j 1 1 1 dx ? ? ? dx j ?1 x x j

j?2

n n n j 1 n1 1 1 ?? ? 1? ? ? 1? ? ? dx ? 1 ? ? dx ? 1 ? ln n j ?1 x 1 x j ?1 j j ?2 j j ?2

另一方面

1 n?1 1 1 n?1 j ?1 1 1 1 ? j ? ? j ? n ? ? ? j x dx ? n ? n ? ln n j ?1 j ?1 j ?1
n

三、解:

1 (2n)! (2n ? 2)! (2n ? 2)! 1 n C2n ? ? 2n?1 ? 2 n?2 2 2n 2n 2 (2n ? 1)2 (2n ? 1)2 (n!) 2 n!(n ?1)! 2 ?(n ? 1)!? 2n
? 1 1 n n1 C2 n ? 2 n? 2 C2?n? 2n ( 2 ? 1) 2 n 2 ? 1 n C 2n 2 n 2



1 2n(2n ? 1) ? 1? 2n 22 n 2


2

1 n C2 n ? 0 22 n

? 原级数 ? 1

四、 以过拴羊点与池塘圆心为 x 轴, 解: 拴山羊点为原点, 则池塘边界圆为 ( x ? R) ? y ? R
2 2

2

而羊能跑的最大圆周为 x ? y ? k R ,易知在 x ?
2 2 2 2
R 2 k 1 2 2 ? S ? ? k R ? 2? 2 0 2

R 2 k 时,两圆有两个交点 2

?

k 2 R 2 ? x 2 ? 2 xR ? x 2 dx

?

?

?

x x?R? R 2 ? k 2 R 2 ? ? x k 2 R 2 ? x 2 ? k 2 R 2 arcsin ? ( x ? R) 2Rx ? x 2 ? R 2 arcsin ? k 2 kR R ?2 ?

8

?

?
2

k 2 R2 ?

? k 2 ? ? R2 R2k 3 k ? k2 1 ? 4 ? k 2 ? k 2 R 2 arcsin ? ? ? ? R 2 k 4 ? k 2 ? R 2 arcsin ? ? 1? ? 4 2 ? 4 2? 2 ? 2 ? ? k2 ? R2k ? k 4 ? k 2 ? R 2 ? k 2 R 2 arcsin ? R 2 arcsin ? ? 1? 2 2 2 ? 2 ?

?

?
2

k 2 R2 ?

? ? ? ? ? n ? cos ? cos n ? cos cos ? cos n ? sin n / sin n 4 8 2 4 8 2 2 2 1 ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? cos cos ?cos n?1 sin n?1 ? cos sin ? ? ? 4 8 2 2 4 4 2n?1 sin n 2sin n 2n?2 sin n 2 2 2n 2 2 ? 原极限 ? lim ? n ?? n ? 2 sin n ? 2
五(1)解: cos (2) cos

?

?
4

?

2 2

cos ? 8

?

1 ? c o ?s ? 2

/? 4 2 ? ?

2 4

?

2 ? 2

2

2 ? 2 c o sn ?1 1 ? c o s n ?1 ? 2 2 ? cos n ? 2 2 2

?

?

2 2

2? 2 2

? ? ? 2 2? 2?2 ? ? cos cos ? cos n ? ? 4 8 2 ? 2

数学类答案
一、计算题 1、若 a ? b
x ???

l i m l o g a (? x b ? ) i m l o ga ?(x b? l 1 x x x x
x ??? x ???

a

? a)?

x ??? a

l i m ?o g b (a? a l x? 1 x
b

)

a b 同理,当 a<b 时, lim log x ( x ? x ) =b ,

所以 lim log x ( x ? x ) =max( a, b)
x ???

2、解:由假设, ?y ? 0 ,有

f ( x ? y ) ? f ( x) ? 1 ? x ? f 可导 ? f ??( x) ? 1 ? x y

同理 f ??( x) ? 1 ? x ? f ?( x) ? 1 ? x 3、解:

f ( x)? x? 2x / 2? c

?

?

4 0

? x x dx ? ? 4 dx ? ? 令x ? t ? ? / 4 ? 0 (cos x ? sin x) cos x 2 cos ? x ? ? / 4 ? cos x

9

? ??
??
?
?
4

0

? / 4?t
2 cos t cos(t ? ? / 4)

4

(?dt ) ? ?

?

4

? / 4?t
(cot ? sin t ) cos t

0

dt

0

x ? ? x ? ? 1 dt ? ? 4 dx ? ? 4 d tan x 0 (cos x ? sin x) cos x 0 1 ? tan x (cos t ? sin t ) cos t 8 8
? /4
0

?
8

ln ?1 ? tan x ?

?

?
8

ln 2

4、解: D1 ?

?? x, y ? x ? y ?
?? x, y ? x
2
D2

x ,0 ? x ? 1 , D2 ? ?? x, y ? x / 2 ? y ? x,0 ? x ? 1/ 2?

?

D3 ?
原积分 ?

? y ? x,1/ 2 ? x ? 1 , D4 ?

?

?? x, y ? x
x

2

? y ? x / 2, 0 ? x ? 1/ 2

?

?? ( y ? x) xdxdy ? ?? ( x ? y) xdxdy ? ?? ( x ? y) xdxdy ? ?? ( x ? y) ydxdy
D1 D3 D4

? ? dx ? ( y ? x) xdy ? ?1 dx ? 2 ( x ? y ) xdy ? ? dx ?1 ( y ? x) xdy ? ? dx ? ( x ? y )2 ydy
0 x 2 x

1

x

1

x

1 2 0

2

x

1 2 0

1 x 2 2 x

?
?

1 3 2 1 1 4 1 1 4 1 5 1 6 1 1 4 x ? x2 ? x ? ( x ? x ? x ) 1 ? x 6 7 8 8 5 12 32 0 2

1 2 0

?(

1 4 1 6 2 7 x ? x ? x ) 24 6 21

1 2 0

1 1 11 1 1 253 ? ? ? ? ? 24 ? 7 24 ? 5 32 ? 24 ? 5 32 ?16 64 ? 21 17920

5、解:

1 (2n)! (2n ? 2)! (2n ? 2)! 1 n C2n ? ? 2n?1 ? 2 n?2 2 2n 2n 2 (2n ? 1)2 (2n ? 1)2 (n!) 2 n!(n ?1)! 2 ?(n ? 1)!? 2n
? 1 1 n n1 C2 n ? 2 n? 2 C2?n? 2n ( 2 ? 1) 2 n 2 ? 1 n C 2n 2 n 2



1 2n(2n ? 1) ? 1? 2n 22 n 2


2

1 n C2 n ? 0 22 n

? 原级数 ? 1
xe y ? ye x e y / y ? e x / x ? x? y 1/ y ? 1/ x xe y ? ye x ? e? ? e? 1 ? / (? 2 ) ? e? (1 ? ? ) ? 1 ? ? 2 x? y ? ?

二、证明:对于 x ? y 不妨设 y ? x ,

由柯西中值定理 ?? ? ? x, y ? ? ? 0,1?

取? ?

? ? (0,1)

xe y ? ye x 即有 ? 1?? 2 x? y

三、证明: u ? f ( x) g ( y ) 时,显然有 uuxy ? uxu y 反之,若 uuxy ? uxu y 成立,即有 (uu xy ? u x u y ) / u ? (
2

ux )y ? 0 u

? ux / u ? f1 ( x) 也即 ln u ? ? f1 ( x)dx ? g1 ( y ) ? f 2 ( x) ? g1 ( y )

? u ? f ( x) g ( y )
10

四、解:(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点,拴羊点在 x 轴上 x ? 3 点,则羊跑最远的曲 线在 x ? 3 的区域内是渐开线 即 x ? 3(cos t ? (? / 3 ? t )sin t ) y ? 3(sin t ? (? / 3 ? t ) cos t ) 记在 x ? 3 山羊能吃到草的草地面积为 S1

S1 ? 2?

3

3/ 2

ydx ? 2?
? /3

? /3

0

9sin 2 tdt ? 2? (3sin t ? (? ? 3t ) cos t )(3t ? ? ) cos tdt ?2?
? /3
? /3
0

0

? /3

0

9sin 2 tdt

? 2?

0

3 ?(? ? 3t )sin t cos t ? (? ? 3t ) 2 cos 2 t ?dt ?2? ? ?
? /3

9sin 2 tdt

? /3 ? 1 1 ? ? ? ? ?3(? ? 3t ) sin 2 t ? (? ? 3t ) 2 (t ? sin 2t ) ? ? ? ?6(? ? 3t )(t ? sin 2t ) ? 9sin 2 t ? dt 0 2 2 ? ?0 ? ?
? /3? 1 9? 1 1 ? ? ? ? ? 3 ?? ? 3t ? ? t 2 ? cos 2t ? ? ? t ? sin 2t ? ? 9 ? ? t 2 ? cos 2t ?dt 0 2 2? 2 2 ? ?0 ?0 ? ? ? /3 ? /3

? t3 1 ? 9 3 ? ? 9 ? ? sin 2t ? 8 ?3 4 ?

? /3
0

?

?3
9

11? 3 ? ? 所以山羊能吃到草的草地面积 S ? 9 2 18
(方法二) 山羊能吃到草的草地面积 S 可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积 S1 之和, 绳子绕向房子时转过 ? ? 其扫过的面积可近似为扇形

?3

?3

?? 2 r 2

S1 ? ?

? /3

0

?? ? 3? ? d? ? ? 3 / 9

n? N

2

所以 S ? 11? /18
3

五、证明: ? ” “

?a

?

n

??N
N N ?1 n?2 N



? n2an ? ? n2 ?? n ? ? n?1 ? ? ? n2? n ? ? ? n ? 1? ? n ? ?1 ? N 2? N ?1 ? ? ? 2n ? 1?? n
2 n ?1 n ?1 n ?1 n?2

N

N

? ? ? ? lim ? N ? an ? ? 0 N ?? ? n? N ?
? lim

? ?? 1 ? N 2? N ?1 ? / N ? 0

n? ? ?? 2n ? 1? n ? ? ??? 0 ?

1 N ? ? 2n ? 1?? n ? 0 N ?? N n?2

? N ?? lim

1 N 2 ? n an ? 0 N n?1

文专类答案
一、计算题
11

1、若 a ? b

x ???

l i m l o g a (? x b ? ) i m l o ga ?(x b? l 1 x x x x
x ??? x ???

a

? a)?

x ??? a

l i m ?o g b (a? a l x? 1 x
b

)

a b 同理,当 a<b 时, lim log x ( x ? x ) =b ,

所以 lim log x ( x ? x ) =max( a, b)
x ???

2、 f ?( x) ? aeax sin bx ? beax cos bx ? e ax a 2 ? b 2 ? 解:

?

a
2 2

? a ?b

sin bx ?

? cos bx ? a ?b ? b
2 2

? eax a 2 ? b2 ? cos ? sin bx ? sin ? cos bx ? ? a 2 ? b 2 e ax sin ? bx ? ? ?

? ? b a ? ? ? arcsin 2 2 ? arccos 2 2 ? a ?b a ?b ? ?
同理 f ??( x) ? e
ax

a 2 ? b 2 ? a sin(bx ? ? ) ? b cos(bx ? ? ) ?

? (a2 ? b2 )eax sin(bx ? 2? )
3、

?

2?

0

x sin x dx ? ? x sin xdx ? ? x sin xdx
0

?

2?

?

? ? x cos x 0 ? ? sin xdx ? x cos x ? ? ? sin xdx ? ? ? 2 ? 2? ? ? ? 2 ? 4? ? 4
0

?

?

2?

2?

?

4、

? 1? x
?

x
2

?x

4

dx t ? x2

1 1 1 1 1 2t ? 1 ? 1 ? t ? t 2 dt ? 2 ? 1 2 3 dt ? 3 tan 3 ? C 2 (t ? ) ? 2 4

1 2 x2 ? 1 arctan ?C 3 3
2
p

? a?b? ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? ?? 二、证明:记 f ( x) ? x 由台劳公式 f (a) ? f ? ? f (? ) ? ? f ?? ? 8 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? a?b? ? a ? b ? b ? a ? b ? a ? ?? f (b) ? f ? ? f (? ) ? ? f ?? ? 8 ? 2 ? ? 2 ? 2
2

? p ?1

f ??( x)? p( p 1 ) x2 ? ? p?

? a?b ? ( ) 0? f (a )? f b ? f2? ? ? 2 ?

三、解:

?
0 4

?

4 0

? x x dx ? ? 4 dx ? ? 令x ? t ? ? / 4 ? 0 (cos x ? sin x) cos x 2 cos ? x ? ? / 4 ? cos x

? ??

? / 4?t
2 cos t cos(t ? ? / 4)

(?dt ) ? ?

?

4

? / 4?t
(cot ? sin t ) cos t

0

dt
?

所以

?

?

4

0

x ? dt ? (cos t ? sin t ) cos t 8

?

?

4

0

x ? dx ? (cos x ? sin x) cos x 8

?

4

0

1 d tan x 1 ? tan x

12

?

?
8

ln ?1 ? tan x ?

? /4
0

?

?
8

ln 2

四、 以过拴羊点与池塘圆心为 x 轴, 解: 拴山羊点为原点, 则池塘边界圆为 ( x ? R)2 ? y 2 ? R2 而羊能跑的最大圆周为 x2 ? y 2 ? k 2 R2 ,易知在 x ?
R 2 k 1 ? S ? ? k 2 R 2 ? 2? 2 0 2

R 2 k 时,两圆有两个交点 2

?

k 2 R 2 ? x 2 ? 2 xR ? x 2 dx

?

?

?

x x?R? R 2 ? k 2 R 2 ? ? x k 2 R 2 ? x 2 ? k 2 R 2 arcsin ? ( x ? R) 2Rx ? x 2 ? R 2 arcsin ? k 2 kR R ?2 ?

?

?
2

k 2 R2 ?

? k 2 ? ? R2 R2k 3 k ? k2 1 ? 4 ? k 2 ? k 2 R 2 arcsin ? ? ? ? R 2 k 4 ? k 2 ? R 2 arcsin ? ? 1? ? 4 2 ? 4 2? 2 ? 2 ?

? k2 ? R2k ? 2 2 2 k 2 2 ? k R ? 4 ? k ? R ? k R arcsin ? R arcsin ? ? 1? 2 2 2 2 ? 2 ?
2 2

?

五、证明:由中值定理: f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ?(? ), ? ? ( x, x ? 1)

? lim f ?( x ) 存在
x ???

? lim f ?( x) ? lim f ?(? ) ? lim ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? ? 0
x ??? x ??? x ???

13


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