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指数函数与对数函数的关系


问题1、

1 x 函数y ? 2 与y ? ( ) 的图像有何关系? 2
x

问题2、

函数y ? log2 x与y ? log1 x的图像有何关系 ?
2

问题3、

还记得对数函数是怎么定义的吗?

探究问题:

函数 y ? 2 与y ? log2 x的图像的关系?
x

反函数的定义: 一一映射 ,可以把这 当一个函数是一一映射时 新的函数 个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量,而把这个函数的自变量作为 新的函数 新的函数的因变量 .我们称这两个函 数互为反函数

反函数的符号表示:
函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x) 表示

练习1 求下列函数的反函数: (1)y=3x (2)y= log6 x 解:

(1)因为y=3x ,所以x=㏒3y 则 f-1(x)=㏒3x
(2) 因为y=㏒6x,所以x=6y 1(x)=6x 则 f-

注解:同底的指数函数与对数函数互为反函数

练习2 已知函数y=f(x)图像过点(-2,1), 则y=f-1(x)图像必过哪个点?
(1,-2)

注解:互为反函数的函数图象关于直线y=x对称

练习3 求下列函数的反函数。

x y

1 3

2 5

3 7

4 9

变式:已知f-1(x)为函数f(x)=2x-3的反函数,
3 则f -1(0)= 2 , f -1(-2)=
1 2



注解:互为反函数的两个函数定义域、值域互换

练习4 求下列函数的反函数。

x y

0 0

1 1

2 4

3 9

变式:函数

x
y

-3
9

-2
4

-1
1

0
0

1
1

2
4

3
9

存在反函数吗? 注解:只有一一映射的函数才有反函数。

? 函数y=2x与y= log2 x 在同一坐标系内的图
像及函数在(0,+∞)的增长速度比较 .

小结:同底指数函数与对数函数性质
性质
图像

a>1

0<a<1

性质关系
1.关于y=x 对称

定义域 指数

x?R
X>0

对数 值域 指数 对数 特殊点 指数 对数 单调性 指数 对数

2.定义域、值域互换

y?R
(0,1) (1,0) 增函数 减函数 3.横纵坐标互换 4.单调性不变

y>0

互为反函数的两函数间性质关系
? y=f(x)与y=f -1(x)图像关于y=x对称。

? y=f(x)与y=f -1(x)有相同的单调性。

思考题: (1)为什么同底的指数函数和对 数函数单调性一致? (2)为什么同底的指数函数和对 数函数增减速度一快一慢?

作业: 课时作业P71-72


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