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文科高考概率大题各省历年真题及答案


概率与统计
1.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一个 球 (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。

2.为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组 成研究小组、有关数据见下表(单位:人)

(Ⅰ)求 x,y ; (Ⅱ)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这二人都来自高校 C 的概率。

1

3.为了解学生身高情况,某校以 10 %的比例对全校 700 名学生按性别进行出样检查,测得身 高情况的统计图如下:

(Ⅰ)估计该校男生的人数; (Ⅱ)估计该校学生身高在 170~185cm 之间的概率; (Ⅲ)从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人,求至少有 1 人身高在 185~190cm 之间的概率。

4.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球 的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的编号为 n,求 n ? m ? 2 的概率.

2

5.有编号为 A 1 , A 2 ,? A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm) ,得到下面数据: 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品

编号 直径

A1
1.51

A2
1.49

A3
1.49

A4
1.51

A5
1.49

A6
1.51

A7
1.47

A8
1.46

A9
1.53

A10
1.47

(Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率。

6.以下茎叶图记录了甲、 乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊, 无法确 认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率.
2 (注:方差 s ?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ], 其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的平均数) n

3

7. 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (I)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名 教师性别相同的概率; (II)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来 自同一学校的概

8.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1.2.3.4.5.现从一批该 日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b C (I)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 4 件,等级系数为 5 的恰有 2 件, 求 a、b、c 的值; (11)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品 被取出的可能性相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好 相等的概率。

4

9.(2009 广东).随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高 数据的茎叶图如图 7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学 被抽中的概率.

5

10.(2010 广东)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如下表所示:
w_w*w.k_s_5 u.c* o* m

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名, 大于 40 岁的观众应该抽取几 名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.
w. k#s5_u.c o* m w_w*w

11.(2011 广东)在某次测验中, 有 6 位同学的平均成绩为 75 分。 用 xn 表示编号为 n (n=1,2,…,6) 的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 1 2 3 4 5 编号 n 成绩 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中 的概率。

6

12.(2012 广东)某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成 绩分组区间是:

?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? .
(1) 求图中 a 的值 (2) 根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 ? x ? 与数学成绩相应分数段的人数 ? y ? 之比如下表所示,求数学成绩在 ?50,90? 之外的人数. 分数段 x :y

?50,60? ?60,70? ?70,80? ?80,90?
1:1 2:1 3:4 4:5

13.(2013 广东)从一批苹果中,随机抽取 50 只,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

?80,85?
5

?85,90?
10

?90,95?
20

?95,100?
15

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 ?90,95? 的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在

?80,85? 的有几个?
7

(3)在(2)中抽出的 4 苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有一个的概 率.

8

概率与统计答案
1.解: (I)一共有 8 种不同的结果,列举如下: (红、红、红、 ) 、 (红、红、黑) 、 (红、黑、红) 、 (红、黑、黑) 、 (黑、红、红) 、 (黑、红、黑) 、 (黑、黑、红) 、 (黑、黑、黑) (Ⅱ)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A 事件 A 包含的基本事件为: (红、红、黑) 、 (红、黑、红) 、 (黑、红、红)事件 A 包含的基本事件数为 3 由(I)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P( A) ?
22

3 8

w

3.解 (Ⅰ)样本中男生人数为 40 ,由分层出样比例为 10%估计全校男生人数为 400。 (Ⅱ)有统计图知,样本中身高在 170~185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人,样本容量 为 70 ,所以样本中学生身高在 170~185cm 之间的频率 f ? 身高在 170~180cm 之间的概率 p ? 0.5 (Ⅲ)样本中身高在 180~185cm 之间的男生有 4 人,设其编号为①②③④ 样本中身高在 185~190cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤⑥ 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为:

35 ? 0.5 故有 f 估计该校学生 70

故从样本中身高在 180~190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15,求至少有 1
9

人身高在 185~190cm 之间的可能结果数为 9,因此,所求概率 p 2 ? 4.

9 3 ? 15 5

5.(Ⅰ)解:由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取一个为 一等品”为事件 A,则 P(A)=

6 3 = . 10 5

(Ⅱ) (i)解:一等品零件的编号为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 .从这 6 个一等品零件中随 机抽取 2 个,所有可能的结果有: ? A 1, A 5? ,? A 1, A 6? , ? A 2, A 3? , 1, A 2?,? A 1, A 3? , ? A 1, A 4? , ?A

? A2 , A4?,? A2 , A5? , ?A2 , A6?,?A3 , A4?,?A3 , A5? , ?A3 , A6?,?A4 , A5?,?A4 , A6? , ? A5 , A6? 共有
15 种. (ii)解: “从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等” (记为事件 B)的所有可能 结果有: ? A 1, A 4? ,? A 1, A 6?,? A 4, A 6? , ? A 2, A 3? , ? A 2, A 5? ,? A 3, A 5 ? ,共有 6 种.

6 2 ? 所以 P(B)= 15 5 .
6.解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

x?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

方差为

1 35 35 35 11 s 2 ? [(8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 16
(Ⅱ)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11; 乙组四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、
10

乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A1,B4) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (A2,B4) , (A3,B1) , (A2,B2) , (A3,B3) , (A1,B4) , (A4,B1) , (A4,B2) , (A4,B3) , (A4,B4) , 用 C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它 们是: (A1,B4) , (A2,B4) , (A3,B2) , (A4,B2) ,故所求概率为 P (C ) ?

4 1 ? . 16 4

7.解: (I)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示; 乙校男教师用 D 表示,两女教师分别用 E、F 表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为: (A,D) (A,E) , (A,F) , (B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F)共 9 种。 从中选出两名教师性别相同的结果有: (A,D) , (B,D) , (C,E) , (C,F)共 4 种, 选出的两名教师性别相同的概率为 P ?

4 . 9

(II)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (A,F) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F) , (D,E) , (D,F) , (E,F)共 15 种, 从中选出两名教师来自同一学校的结果有: (A,B) , (A,C) , (B,C) , (D,E) , (D,F) , (E,F)共 6 种, 选出的两名教师来自同一学校的概率为 P ?

6 2 ? . 15 5

8. 解: (I)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1,即a+b+c=0.35 , 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件, 所以 b ?

3 ? 0.15, 20 2 ? 0.1 , 20

等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c ? 从而 a ? 0.35 ? b ? c ? 0.1 所以 a ? 0.1, b ? 0.15, c ? 0.1.

(II)从日用品 x1 , x2 , y1 , y2 中任取两件, 所有可能的结果为:

{x1, x2},{x1, x3},{x1, y1},{x1, y2},{x2 , x3},{x2 , y1},{x2 , y2},{x3 , y1},{x3 , y2},{y1, y2} ,
设事件 A 表示“从日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,其等级系数相等” ,则 A 包含的 基本事件为:

{x1 , x2},{x1 , x3},{x2 , x3},{ y1, y2} 共 4 个,
又基本事件的总数为 10,
11

故所求的概率 P( A) ?

4 ? 0.4. 10

9. 【解析】 (1) 由茎叶图可知: 甲班身高集中于 160 : 179 之间, 而乙班身高集中于 170 : 180 之间。因此乙班平均身高高于甲班;

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? 10
(2) x ?

? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57
2 2 2 2 2

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件; ;

? P ? A? ?

4 2 ? 10 5

10.解: (1)画出二维条形图,通过分析数据的图形,或者联列表的对角线的乘积的差的绝 对值来分析,得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关; (2)在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众有 18 人,大于 40 岁的观众共有 27 人。 故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中抽取

5 ? 27 ? 3 人. 45

(3)法一:由(2)可知,抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3; 20 岁至 40 岁的观众有 2 人,分别高为 a , b ,若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ,则包含 的总的基本事件有: (1,2), (1,3), (1, a), (1, b), (2,3), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (a, b) 共 10 个。 其 中 恰 有 1 名 观 众 的 年 龄 为 20 岁 至 40 岁 包 含 的 基 本 事 件 有 :

(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) 共 6 个.
故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)= 11.解: (1)

6 3 ? 10 5

x?

1 6 ? xn ? 75 6 n?1
5

? x6 ? 6 x ? ? xn ? 6 ? 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? 90,
n ?1

12

s2 ?

1 6 1 ( xn ? x)2 ? (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 , ? 6 n?1 6

? s ? 7.
(2)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}, 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下 4 种取法: {1,2},{2,3},{2,4},{2,5}, 故所求概率为 .

2 5

12.解(1):

10 ? (a ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? a) ? 1?????????????2分 a ? 0.005?????????????????????????3分

(2):50-60 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005? 100% ? 100 ? 5人????? 3.5 分 60-70 段语文成绩的人数为: 10? 0.04?100% ?100 ? 40人?????? 4 分 70-80 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.03? 100% ? 100 ? 30人 80-90 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.02 ? 100% ? 100 ? 20人??????5分 90-100 段语文成绩的人数为: 10 ? 0.005? 100% ? 100 ? 5人??????5.5

55? 5 ? 65? 40 ? 75? 30 ? 85? 20 ? 95? 5 ??????????? 7.5 100 ? 73????????????????????????????8分 x?
(3):依题意: 50-60 段数学成绩的人数=50-60 段语文成绩的人数为=5 人????????????9 分 60-70 段数学成绩的的人数为= 50-60 段语文成绩的人数的一半= 70-80 段数学成绩的的人数为=

1 ? 40 ? 20人 ??10 分 2

4 ? 30 ? 40人 ???????????????11 分 3 5 ? 20 ? 25人 ???????????????12 分 80-90 段数学成绩的的人数为= 4
90-100 段数学成绩的的人数为= 100? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10人 ????????13 分

13. 解: (1) 抽取的苹果总数为 50 个, 重量在[ 90,95) 的苹果有 20 个, 所以苹果重量在[ 90,95) 的频率= 错误!未找到引用源。 = 错误!未找到引用源。 =0.4 (2)重量在[ 80,85)的苹果数= 错误!未找到引用源。 ×4=1(个) (3)重量在[ 95,100)的苹果数=错误!未找到引用源。 ×4=3(个) 记重量在[ 80,85)的 1 个苹果为 A,重量在[ 95,100)的三个苹果分别是 B1,
13

B2,B3。 在这四个苹果中任取两个,包括 6 个基本事件,分别是: A 和 B1、 A 和 B2、 A 和 B3、 B1 和 B2、 B1 和 B3、 B2 和 B3 符合要求的基本事件有:A 和 B1、 A 和 B2、 A 和 B3 ,共 3 个, 所以重量在[ 80,85)和[ 95,100)中各有一个的概率 P=错误!未找到引用源。 =错误!未 找到引用源。

14


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