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四种命题及其关系教学设计


“四种命题及其关系”教学设计
鄞州高级中学 一、内容和内容解析
内容解析:本节课是高中数学(选修 2-1)第一章《常用逻辑用语》的第一节“命题及其关系”的 第二课时,第一课时主要是完成什么是命题的教学。集合与简易逻辑是高中数学的基础,而正确使 用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质,无论进行思考、交流,还是从事各项工作,都需 要正确地运用逻辑用语表达自己的思维。逻辑是研究思维规律的学科,学习数学需要准确全面地理 解概念,正确地进行表述、判断和推理,这些都离不开对逻辑知识的掌握和应用,日常生活中,为 了使我们的语言表达和信息的传递更加准确、清楚,常常要用一些逻辑用语、基本的逻辑知识。常 用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具。 教学重点:四种命题间的相互关系以及四种命题真假性之间的关系。

叶琪飞

二、目标和目标解析
目标:了解命题的逆命题、否命题、逆否命题,会分析四种命题的相互关系,会利用互为逆否命题 的两个命题之间的关系判断命题的真假。 目标解析: 1、创设典型丰富的命题,通过变化命题间的条件与结论,从而知道命题间的关系,这里要放手学 生归纳总结出四种命题间的关系, 2、在不断对命题间的关系认识的基础上,让学生自己发现对互为逆否命题的两个命题的真假进行判 断; 3、《数学课程标准》指出:学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课 程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。而根据建构主义核心观 点,知识的生成要通过顺应和同化,将呈现的经验内化为自己的知识。这也是用探究式作为本节课 教学方式的理论基础。

三、教学问题诊断分析
命题---这个内容对高中生而言,是初次接触的,故理解起来较为困难,尤其是复杂的命题就 更加难以理解,课本中所涉及到的命题是指明确地给出条件和结论的命题,对命题的逆命题、否命 题、逆否命题只要求作一般性的了解。常用逻辑用语,与基于数学意义上的简易数理逻辑是不全相 同的。学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关知识,而是让学生通过学习逻辑用语的基本知 识,体会逻辑用语在表述和论证内中的作用。四种命题的相互关系有赖于学生对给出的命题的观察 归纳和猜想,这里其实蕴含了合情推理,因为结论的证明依靠真值表,这是数理逻辑的内容,是教 材回避的。 命题“ 若p, 则q ”反映了条件 p 对于 q 因果关系,为了更深入地掌握 p 与 q 之间的关系,往往 不仅研究原命题“ 若p, 则q ”,而且还要研究它的各种形式。 1、把“ 若p, 则q ”的条件和结论换位,即“ 若q, 则p ”,考虑 q 对于 p 的因果关系,称这个命题 为原命题的逆命题。 2、把“ 若p, 则q ”的条件和结论分别否定,即“ 若 p, 则 q ”,考察 p 对于 q 的因果关系,称 这个有命题的条件、结论同时换质得到的命题为原命题的否命题。 3、把“ 若p, 则q ”的条件和结论换位后再分别否定,或分别换质后再换位,得到“ 若 q, 则 p ”, 考察 q 对于 p 的因果关系,称命题“ 若 q, 则 p ” 为原命题的逆否命题。 教学难点:四种命题的转化,利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假。
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四、教学支持条件分析
1

为了有效实现教学目标,准备实物投影、投影设备、多媒体课件等。

五、教学过程设计

㈠提出问题、投石问路
问题 1:同学们,通过上节数学课的学习,能否讲出一个命题? 面对陌生的学生,首要的任务先要掌握学情,这个问题可以说是投石问路,因为它是一个开放性 的问题,对学生的回答基于两种预设,其一:若学生怯场,这个问题抛出后陷于冷场,那调动课堂 气氛的绝佳机会就来临了,可以举疑问句,祈使句、感叹句让学生来否定,进而引出命题,这样一 来能复习回顾,而来能拉近学生的距离,让学生尽快进入学习者的角色;其二:如果学生反响积极 踊跃,面对着大好形势,经过对命题的简单分析后可以把焦点集中在一个具有“ 若p, 则q ”的命题 上,进而对其展开分析。 ①若 f ? x ? 是正弦函数,则 f ? x ? 是周期函数; 设计意图:美国心理学家奥苏贝尔说过:“如果要把我把所有的心理学与教育学归结为一条原理的 话,那就是影响学习的唯一重要的因素就是学生已经知道什么,要探明这一点,并应就此进行教学”

㈡合作交流、寻求规律
问题 2:能否改变命題①的条件与结论,得到新的结论? 学生展开讨论:还可以产生以下三个命题: ②若 f ? x ? 是周期函数,则 f ? x ? 是正弦函数; ③若 f ? x ? 不是正弦函数,则 f ? x ? 不是周期函数; ④若 f ? x ? 不是周期函数,则 f ? x ? 不是正弦函数; 寻求规律 1:对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件,那 么我们把这样的两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题。 原命题: 若p, 则q 逆命题: 若q, 则p 追问一:命题①与命题③的关系呢?能判断其真假吗? 发现规律 2:对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结 论的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命题,其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命 题的否命题。 原命题: 若p, 则q 否命题: 若 p, 则 q 追问二:命题①与命题④的关系呢?能判断其真假吗? 发现规律 3:对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论的否定与条 件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命题,其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命 题的否命题。 原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若 q, 则 p 追问三:能否将这四种命题的关系用一张表格----框图呈现出来? 学生试着完成表一;否命题与逆命题的互为逆否关系,逆命题与逆否命题的互为否命题关系, 否命题与逆否命题的互逆关系需提示。
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2

原命题
互 否

互逆 互为 互为 逆否 逆否

逆命题
互 否

否命题 互逆

逆否命题

(表一) 设计意图:问题能揭示事物的本质,动摇原有认知,能激发学习主体解决问题的欲望,新知识的产 生不要让学生觉得是强加的,而应该是自然而然的。

㈢螺旋上升、归纳总结
以“同位角相等,两直线平行”为原命题,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并判断这些 命题的真假。 学生完成表二的第三行。 以“若 x ? 3x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 ”为原命题,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并判断这 些命题的真假。 学生完成表二的第四行。 以“如果学好了数学,那么就会使用电脑”为原命题,写出它的逆命题、否命题与逆否命题, 并判断这些命题的真假。 学生完成表二的第五行。 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 假 假 真 真 真 真 真 假 真 真 假 假 假 假 假 (表二) 设计意图:有了以上几个命题真值呈现以后,待学生思维酝酿充分以后,得出规律就不难了。 观察表二,产生结论: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆或互否命题,它们的真假性没有关系。
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㈣应用新知、解决问题
证明有直接证明合间接证明,学习了原命题和它的逆否命题有相同真假性,在遇到问题直接证 明有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接证明原命题为真命题。
2 2 例 1、证明:若 x ? y ? 0, 则 x ? y ? 0.

练习:若 a ? b ? 2a ? 4b ? 3 ? 0, ,则 a ? b ? 0.
2 2

㈤小结评价、问题创新
对于命题“ 若p, 则q ”有真假之分,那么条件 p 与结论 q 之间有什么关系呢?
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学生总结:大家说说看,这节课有什么收获? 设计意图:学生应带着问题走出教室,一节课 40 分钟并不能解决所有的问题,从问题带出问题,产 生“欲知此事,请听下节课”的愿望。

六、目标检测设计
1、若 m ? 0 或 n ? 0 ,则 m ? n ? 0, 写出逆命题、否命题、逆否命题,同时指出它们的真假。 2、已知下列四个命题:① a 是正数;② b 是负数;③ a ? b 是负数;④ ab 是非正数。 选择其中两个作为题设,一个作为结论,写一个逆否命题是真命题的命题是 3、写出下列命题的等价命题: (1)圆内接四边形的的对角互补; (2)若 x ? 1 或 x ? ?3 ,则 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0; (3)奇数不能被 2 整除。 .

4、判断命题“已知 a, x 为实数,如果关于 x 的不等式 x 2 ? ?2a ? 1?x ? a 2 ? 2 ? 0 的解集非空,则 a ? 1 ”的逆否命题的真假。

七、教学反思
《课程标准》指出:应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学 课程要讲逻辑推理,更要讲道理,通过典型例子的分析和学生自主探索活动,使学生理解数学概念、 结论逐步形成的过程,体会蕴涵在其中的思想方法,追寻数学发展的历史足迹,把数学的学术形态 转化为学生易于接受的教育形态。 实施本节课教学的预设基于以下三方面的准备;一是对命题教学目标的掌握;二使学生认知起点 的测定,包括了解学生对新学习的数学命题所含的内涵与外延的探测,三是对学习命题间关系模式 的选择。一个数学命题是由条件和结论两个部分构成的,揭示了条件与结论之间的蕴涵关系可以认 为这是对命题本身的研究,是下一个研究的关注点, 命题教学“学问之到道,问而得,不如求而得 之深固也”,数学高度抽象的特点,更需要实际问题的支撑,更需要学习者学习过程中的亲自体验、 独立思考、主动参与,用内心的体验与创造的方法来学习数学。只有当学生通过自己的思考建立起 自己的数学理解力时,才能真正懂得数学,学好数学。让学生经历“再创造”的活动过程,就是为 学生的感受、体验和思考提供有效途径。学生在这样的学习活动中,从自己的经验和认知基础出发, 在教师的指导下,通过自己的“再创造”的活动过程获得的数学知识,与被动接受、强化储存获得 数学知识相比,效果是截然不同的。在这样的“再创造”过程中,学生不仅学到了数学知识,还学 到了研究问题的方法,学会学数学。这种再创造过程可以培养创新意识和创新能力,同时也训练了 坚忍不拔、百折不挠的科研精神和价值取向。 参考文献:

?1? 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验) ? M ? 北京:人民教育出版社,2003。

? 2? 章建跃等课题组成员,中学数学教与学 “中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计研 究与实践”中期研究报告 ? J ? 。北京:中国人民大学书报资料中心,2008(10) :4-7。 ?3? 王光明、戴永,再谈数学命题的教学策略 ? J ? 。陕西:中学数学教学参考,2008(5)6-7.

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