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一元二次不等式及其解法专题讲解及练习(含答案)



一元二次不等式及其解法 . 一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)或 ax2+bx+c<0 (a>0). (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表: 判别式 Δ=b2- 4ac 二次函数 y=ax2 +bx+c (a>0)的 图象 一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a>0) 的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 x1 =x2=- b 2a 没有实数根 Δ>0 Δ=0 Δ<0 {x|x<x1 或 x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R} {x|x1< x<x2} ? ? 题型一 一元二次不等式的解法 例1 已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 解 (1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, 所以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax2 -3x+2=0 的两个实数根,b>1 且 a>0.由根与系数的关系, ?1+b=a, 得? 2 ?1×b=a. 3 ? ?a=1, 解得? ?b=2. ? (2)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0,即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 所以,当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?. (1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},则不等式 ax2-bx+c>0 的解集 为________. (2)解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax (a∈R). (1)答案 {x|-3<x<-2} 解析 令 f(x)=ax2+bx+c,则 f(-x)=ax2-bx+c,结合图象,可得 ax2-bx+c>0 的解 集为{x|-3<x<-2}. (2)解 原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0?(ax-2)(x+1)≥0. ①当 a=0 时,原不等式化为 x+1≤0?x≤-1. 2? 2 ②当 a>0 时,原不等式化为? ?x-a?(x+1)≥0?x≥a或 x≤-1. 2? ③当 a<0 时,原不等式化为? ?x-a?(x+1)≤0. 2 2 当 >-1,即 a<-2 时,原不等式等价于-1≤x≤ ; a a 2 当 =-1,即 a=-2 时,原不等式等价于 x=-1; a 2 2 当 <-1,即 a>-2,原不等式等价于 ≤x≤-1. a a 2? 综上所述,当 a<-2 时,原不等式的解集为? ?-1,a?; 当 a=-2 时,原不等式的解集为{-1}; 2 ? 当-2<a<0 时,原不等式的解集为? ?a,-1?; 当 a=0 时,原不等式的解集为(-∞,-1]; 2

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