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数学:人教版A 必修5 等差数列复习课件


等差数列复习课

鹿邑三高 史琳

一、知识要点
[等差数列的定义]

如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差 等 于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。
[等差数列的判定方法] 1、定义法:对于数列 ?a n ?,若 an?1 ? an ? d (常数),则 数列 ?a n ? 是等差数列。 2.等差中项:对于数列 ?a n ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 则 数列 ?a n ? 是等差数列。

一、知识要点
[等差数列的通项公式]

如果等差数列的首项是 a1 ,公差是d,则 等差数列的通项为:a n ? a1 ? (n ? 1)d [说明]该公式整理后是关于n的一次函数
[等差数列的前n项和]
n(n ? 1) S 2、 n ? na1 ? 2 d

1、 S n [说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数 项的二次函数。

n(a1 ? a n ) ? 2

一、知识要点

[等差中项] 如果 a, A ,b 成等差数列,那么A叫做a与b的等 差中项。即: A ? a ? b 或 2 A ? a ? b
2

一、知识要点
[等差数列的性质] 1.等差数列任意两项间的关系:如果 a n 是等差数列 的第n项, a m 是等差数列的第m项,公差为d,则有

an ? am ? (n ? m)d

2 .对于等差数列

?a n ? ,若 n ? m ? p ? q

则:

an ? am ? a p ? aq
3.若数列 ?a n ? 是等差数列, S n 是其前n项的和, k ? N * 那么 S k ,

S 2k ? S k



S 3k ? S 2 k 成公差为

k d

2

的等差数列.。



思维点拔

1.等差数列的判定方法
(1)定义法: a n?1 ? a n ? d (常数) (n ? N ? ) (2)中项法: 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 (3)通项法: a n ? a1 ? (n ? 1)d (4)前n项和法: S n ? An 2 ? Bn 2.知三求二( a1 , d , n, a n , S n ),要求选用公式要恰当 3.设元技巧: 三数: a ? d , a, a ? d 四数: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d

二、【题型剖析】
例题:等差数列{an}中,若a2 = 10,a6 = 26 ,求

【题型1】等差数列的基本运算

a14
解:法一

由已知可得,a1 + d = 10 … ①
②-①得:4d = 16 ∴d = 4 ∴

a1 + 5d = 26 …②

把d = 4 代入①得:a1 = 6

a14 = a1 + 13d = 6 + 13×4 = 58

二、【题型剖析】
例题:等差数列{an}中,若a2 = 10,a6 = 26 ,求

【题型1】等差数列的基本运算

a14
解:法二、 由性质,

an ? am ? (n ? m)d 得: a6 = a2 + 4d
∴d = 4 = 26 + 8×4 = 58

∴ 26 = 10 + 4d ∴a14 =

a6 + 8d

【题型1】等差数列的基本运算
1 练习:等差数列{an}中,已知a 1= ,a 2 + a 5 =4 3

a n = 33,则n是( C ) A.48 解: ?a 把
2

B.49

C.50

D.51

?a 5 ? 4

? 2a1 ?5d ? 4
2 d? 3

1 a1 ? 代入上式得 3

?a n ?a1 ?(n ? 1)d
解得:

n ? 50

1 2 ? ? (n ? 1) ? 33 3 3

练习
若数列的前n项和为

s n ? 5n ? 2n
2

则数列

(1)是公差为2的等差数列 (2)是公差为5的等差数列 (3)是公差为10的等差数列 (4)是公差为-10的等差数列

练习
在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13,
B 则 a4 ? a5 ? a6 等于__________.

(A)40

(B)42

(C)43

(D)45

练习
已知等差数列 ?an ? 中,a7 +a9 =16,
15 a 4 ? 1,则a12的值是_______

【题型2】等差数列的前n项和
例题:在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍 数?求它们的和。

解:在三位正整数的集合里,5的倍数中最小是 100,然后是105、110、115…即它们组成一个以 100为首项,5为公差的等差数列,最大的是995 设共有n项,即,a1 =100 ,d = 5 , an =995
由 a n ? a1 ? (n ? 1)d 得 995 =100 + 5(n-1) 即 n =180

180 (100 ? 995) S 180? ? 98550 2
所以在三位正整数的集合中5的倍数有180个,它 们的和是98550

【题型2】等差数列的前n项和
练习:等差数列{an}中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 则此数列前20项的和等于( B ) A.160 B.180 C.200 ① D.220

解: 1 ? a 2 ? a 3 ? a

?24

a18 ? a19 ? a 20 ? 78



( ① + ② 得: a1 ? a 20 ) ? (a 2 ? a19 ) ? (a 3 ? a18 ) ? 54

?a1? a 20 ?a 2 ?a19 ?a3 ? a18

? 3(a1 ? a 20 ) ? 54

20(a1 ? a 20 ) 20 *18 ? ? 180 ? (a1 ?a 20 ) ? 18 ?s 20 ? 2 2

已知?a n ?为等差数列,前 10 项的和为 S10 ? 100, 前 100 项的和 S100 ? 10 , 求前 110 项的和 S110 .
解 法 一 : 设

?a n ?









a1

,





d

,



11 1 ? ? a1 ? ? 10 a1 ? ? 10 ? 9d ? 100 ? ? 50 2 解得 : ? ? 1 1099 ?100 a1 ? ? 100 ? 99 d ? 10 ?d ? 2 100 ? ? 1

? S110 ? 110 a1 ?

2

? 110 ? 109 d ? ?110

解法二: ?a n ?为等差数列,故可设 S n ? An 2 ? Bn ,
? 100 A ? 10 B ? 100 则? ?10000 A ? 100 B ? 10 解得 110 A ? B ? ?1

练 习

? S110 ? 110 2 A ? 110 B ? 110 (110 A ? B) ? ?110

(a11 ? a100 ) ? 90 解法三:? S100 ? S10 ? ? ?90 ? a11 ? a100 ? ?2 2
? S110 110 (a1 ? a110 ) (a11 ? a100 ) ? 110 ? ? ? ?110 2 2

练习
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn ,若a4=18-a5 ,则S8 等 于( D ) A.18 B.36 C.54 D.72

2.{an}是等差数列,且a1-a4-a8-a12+a15=2,

求a3+a13的值. ( -4 )

3.在等差数列{an}中,a2+a4=p,a3+a5=q.则其前 6项的和S6为( B )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)

【解题回顾】本题若用通项公式将各项转化成a1、d关系

后再求,也是可行的,但运算量较大.

二、【题型剖析】
例题:已知数列{an}的前n项和

【题型3】求等差数列的通项公式
s n ?n ?3
2



an

n?2 时 2 2 a n ? s n ? s n?1 ? (n ?3) ? (n ? 1) ?3 ? 2n ? 1
解:当

?

?



n ?1 时

a1 ? 1



s1 ? 4


所以上面的通式不适合 n ? 1
所以:
?4 ( n ? 1) an? ? ? 2 n ? 1 ( n ? 2)

【题型3】求等差数列的通项公式
练习:设等差数列{an}的前n项和公式是 Sn ? 5n2 ? 3n
a n ? 10 n ? 求它的通项公式__________2

解:当

n?2
2



a n ?s n ?s n?1 ? (5n ?3n) ? 5(n ? 1) ?3(n ? 1) ? 10n ? 2
2

?

?

当 所以

n ?1 时

a1 ? 8

,s 1 ? 8

a n ? 10 n ? 2

二、【题型剖析】
例题:已知等差数列{an} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ,求a 5+ a 8 解:由等差数列性质易知:

【题型4】等差数列性质的灵活应用

a2 + a11 = a3 + a10 = a5+ a8
∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2(a5+ a8)=36 ∴ a5+ a8 =18

【题型4】等差数列性质的灵活应用
练习:已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9
项和S9等于 ( C ) A.18 B.27 C.36 D.4 5

解: ?a 1 ? a 9 ?a 2 ? a 8 ? 8

9(a1 ? a 9 ) 9 * 8 ?s 9 ? ? ? 36 2 2

二、【题型剖析】
例题:已知数列 { an } 是等差数列,bn= 3an + 4,证明 数列 { bn } 是等差数列。

【题型5】等差数列的判定与证明

证明: 因为数列 {an} 是等差数列数列 设数列{an} 的公差为d(d为常数)即an+1 - an=d 又因为bn= 3an + 4 ,

bn+1= 3an+1 + 4

所以bn+1 – bn = (3an+1 + 4)-(3an + 4) = 3(an+1- an)=3d 所以数列 { bn }是等差数列

二、【题型剖析】
练习:已知数列{an}的通项公式 a n ? pn ?3n ( p ? R)
2

【题型5】等差数列的判定与证明



p 满足什么条件时,数列{an}是等差数列。
2 2

a n?1?a n ? ? p(n ? 1) ?3(n ? 1) ? ? ( pn ?3n) ? 2 pn ? p ? 3
2 pn ? p ? 3 应该是一个与n无关的常数,所以

解:设{an}是等差数列即,

p?0

所以

p?0

时数列{an}是等差数列。

三、实战训练
1、(2006年广东卷)已知等差数列共有10项,其中奇数项 之和15,偶数项之和为30,则其公差是( C ) A.5 B.4 C. 3 D.2

2、在等差数列{an}中,前15项的和
为( A ) A.6 B.3 C.12

S15 ? 90 则 a8
D.4

三、实战训练
3、在等差数列中,已知前10项和为5,前20项和为 15,则前30项和为( C ) A、20 B、25 C、30 D、35

4.在数列 {a }中,若 a1 ? 1 ,an ?1 ? an ? 2(n ? 1) ,则
n

2n ?1 该数列的通项 an ? __________
5、已知等差数列{an}。若a10 = 30,a20 = 50

Sn=242, 求 n

n ? 11

1.(1)在等差数列 ?a n ?中,已知 a4 ? 9, a9 ? ?6, S n ? 63, 求n.

解:设首项为 a1 ,公差为 d ,
? 9 ? a1 ? 3d ?a1 ? 18 得? 则? ?? 6 ? a1 ? 8d ? d ? ?3

3 ? 63 ? Sn ? 18 n ? n (n ? 1) 得 n ? 6或n ? 7 2

典 型 练 习

(2)若一个等差数列前 3 项和为 34,后 3 项和为 146,且所有项的和为 390, 求这个数列项数.

解: ? a1 ? a2 ? a3 ? 34, 又an ? an?1 ? an?2 ? 146,
而a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2
两式相加得 : 3(a1 ? an ) ? 180 , a1 ? an ? 60

n( a 1 ? a n ) 由S n ? ? 390 , 得n ? 13 2

2.已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 3 ,通项 a n 与前 n 项和 S n 之间满足 2a n ? S n S n ?1 (n ? 2)
?1 ? (1)求证: ? ? 是等差数列,并求公差; ? Sn ? (2)求数列 ?a n ?的通项公式;

解:(1)
?a n ? S n ? S n ?1 1 1 1 1 1 ? 2 S n ? 2 S n ?1? S n S n ?1 ? ? ? ? ,而 ? , 当 n ? 2时, ? S n S n ?1 2 S1 3 ? 2a n ? S n S n ?1 ?1? 1 1 ? ? ?是首项为 , d ? ? 的等差数列. 3 2 ? Sn ?

2.已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 3 ,通项 a n 与前 n 项和 S n 之间满足 2a n ? S n S n ?1 (n ? 2)
?1 ? (1)求证: ? ? 是等差数列,并求公差; ? Sn ? (2)求数列 ?a n ?的通项公式;

2) 1 1 1 5 ? 3n 6 1 18 ? ? (n ? 1) ? (? ) ? ,? S n ? ?当n ? 2时, a n ? S n S n ?1 ? S n S1 2 6 5 ? 3n 2 (3n ? 5)(3n ?
? 3 (n ? 1), ? 18 ? an ? ? (n ? 2) ? (3n ? 5)(3n ? 18) ?

相关拓展 3 1 已知数列{a n }中,a1 ? ,a n ? 2 ? (n ? 2,n ? N ? ), 5 a n ?1 1 数列{bn }满足bn ? (n ? N ? ) an ?1 (1)求证数列{bn }是等差数列; (2)求数列{an )中的最大项与最小项,并说明理由

解:b n ? b n ?1 ? 2? 1 1 a n ?1 ? 1

1 1 ?2? ?(2 ? ) an ?1 a n ?1 ? 1 a n ?1 1 ? ? ? ?1 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1 ?1 1

5 ?{bn }是以1为公差, 为首相的等差数列。 ? 2

相关拓展:(2004年春招北京卷)下表给出一个等差数列

4 7 …



16 13 (10 ) ( ) ( )

… … …

a1j a2j a3j …

… … … …

22 12 (17 ) ( ) (27 )

(10 ) (17 (24 ) (31 ) (38 ) ) … … … …

ai1

ai2

ai3







aij



其中每行每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数 写出a45的值;

a45=49

【解题回顾】在等差数列{an}中:

(1)n为偶数时,则S偶-S奇=nd/2,S奇 / S偶=an/2 / an/2+1;
(2)n为奇数时,则S奇-S偶=an+1/2,S奇/ S偶=(n+1)/(n-1), Sn=nan/2+1.

一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项 和与奇数项和之比为32∶27,求公差d.


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