当前位置:首页 >> 高三数学 >>

2014年全国高中数学联赛广东预赛试题


2014 年广东省高中数学竞赛试题
题 号 (考试时间:2014 年 6 月 21 日上午 10:00-11:20) 二 一 9 10 11 合 计

得 分 评卷人 复核人 注意事项:
1.本试卷共二大题,全卷满分 120 分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。 3.解题书写不要超过装订线。 4.不能使用计算器。

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.
1.设集合 A ? x ax ? 2 ? 0 , B ? ?? 1,2?,满足 A ? B ,则实数 a 的所有取值为

?

?



2.袋中装有大小、形状相同的 5 个红球,6 个黑球,7 个白球,现在从中任意摸出 14 个球, 刚好摸到 3 个红球的概率是 .

?1 3 ? ? 3.复数 ? ? ? 2 2 i? ? ?
4.已知 ?

6n

?n ? N ? ? 的值是



?1 ? x ? y ? 3, 则 2 x 2 ? 3 y 的最大值是 ?? 1 ? x ? y ? 1.



5.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 14, a1a2 a3 ? 343,则数列 ?an ? 的通项公式为 .

6.已知 ? 为锐角,向量 a ? ?cos? , sin ? ?, b ? ?1,?1? 满足 a ? b ?

2 2 ,则 3

5? ? ? sin?? ? ?? 12 ? ?
2 2



7.若方程 x ? xy ? 2 y ? x ? a ? 0 表示两条直线,则 a 的值是 8. 已知

. .

?

2 ?1

?

21

? a?b 2, 其中 a 和 b 为正整数, 则 b 与 27 的最大公约数是

1

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
9. (本题满分 16 分) 得分 评卷人 矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 4 , E , F 分别在 AD, BC 上, 且 AE ? 1, BF ? 3 , 将四边形 AEFB 沿 EF 折起, 使点 B 在 平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上.求二面角 A ? DE ? F 的大小.

2

10. (本题满分 20 分) 得分 评卷人 过椭圆 C :

x2 y2 ? ?1 的右焦点 F 作直线交椭圆 C 于 25 16

A、B 两点,已知 AB ? 8 ,试求直线 AB 的方程.

3

11. (本题满分 20 分) 得分 评卷人 数 a 的取值范围. 已知不等式 ?1 ?

? ?

1? ? n?

n?a

? e 对任意正整数 n 都成立,试求实

4

2014 年广东省高中数学竞赛试题参考答案
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.
1.解:当 A ? ? 时, a ? 0 ;当 A ? ? 时, A ? ?? ? , ? 故应填 ?1, 0, 2 . 2.解: P ?
3 11 13 C5 C13 13 ? ,故应填 . 14 51 C18 51

? 2? ? a?

2 ? ?1 或 2 ,即 a ? 2 或 ?1 a

6n ?1 3 ? ? ?? ? 3. 解: ? ? i ? cos ? i sin ? ? ? cos 2n? ? i sin 2n? ? 1 ,故应填1 . ?2 2 ? ? 3 3 ? ? ? ? y 2 2 2 4.解:令 2 x ? 3 y ? ?3b ,则 y ? x ? b 3

6n

当 x ? 2, y ? 1 时, 2 x ? 3 y
2

?

?

max

? 5 ,故应填 5 .

O

x

7 ? ? ? a2 ? a3 ? 14, ? a1q ? a1q ? 14, ?a1 ? , 5.解: ? ,即 ? ,解之 ? 3 3 3 a q ? 343. ? a1a2 a3 ? 343. ? ? ? 1 ?q ? 3.
2

b

7 an ? a1q n ?1 ? ? 3n ?1 ? 7 ? 3n ? 2 ,故应填 an ? 7 ? 3n?2 . 3
6.解: 0 ?

? 2 2 ?? 2 ? ? a ? b ? cos ? ? sin ? ,即 cos ? ? ? ? ? ,且 0 ? ? ? 4 3 4? 3 ?

?? ?? 4 5 ? ? . sin ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? 4? 4? 9 3 ? ?
5? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin 12 ? 4? 6? 4? 6 4? 6 ? ? ? ??
? 5 3 2 1 15 1 15 1 ? ? ? ? ? ,故应填 ? . 3 2 3 2 6 3 6 3
2 2

7.解:令 x ? xy ? 2 y ? x ? a ? ? x ? y ? m?? x ? 2 y ? n ? ,则

5

1 ? ?m ? 3 ?m ? n ? 1 ? 2 2 ? ? ? n ? 2m ? 0 ,解之 ? n ? ,故应填 . 3 9 ? ? mn ? a ? 2 ? ?a ? 9 ?
8.解:令 an

?1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? ?
n

n

2 2

,则 an?1 ? 2an ? an?1 , a1 ? 1, a2 ? 2 ,

2 2 ? 3? ? 23 ? mod 27 ? , a3n ? an 8an ? 3 ? ?1? , b ? a21 ? a7 ? 8a7

?

n

?

?b,27? ? ? a21,27? ? ? 23,27? ? 1 ,故应填1 .
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
9.

B
A E D

A

B

F

C

H E D F C 解:如图 1 ,延长 FE、 BA 相交于点 O , 连结 OH ,过 A 作 AG ? OH , 垂足为 G , 则

AG ? 平面CDEF ,过 G 作 GQ ? EH ,垂足为 Q ,连结 AQ ,则由三垂线定理可得 AQ ? EH , ?AQG 为二面角 A ? DE ? G 的平面角. ?AGE 与 ?BHF 关于点 O 位似,
位似比为

1 , GH ? 2OG , BH ? 3 AG . 3

B

O G

A

A Q

E H P

D

O E

G

Q P

H

6
F C

D

B

F

C

图1

图2

如图 2, BP ?

OF 3 9 1 , PH ? PE ? BE 2 ? BP 2 ? 5 ? ? ; ? 2 2 2 2

如图 1, BH ?

BP 2 ? PH 2 ?

2 2 9 1 ? ? 2 , AG ? ,又图 2 知 GQ ? , 3 3 2 2


即 AG ? GQ ,于是 ?AQG ?

?
4

故二面角 A ? DE ? F 的大小为
10. (本题满分 20 分)

3? . 4

? x12 y12 ? ?1 ? ? 25 16 解:令 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 AB 的斜率为 k ,则 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? 25 16
两式相减并整理得 k

y1 ? y2 16 ?? x1 ? x2 25
10 3 ? 25 ? 3 ? 25 ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? 得 x1 ? x2 ? 3 5? 3 ? 5? 3 ?

由 8 ? AB ? AF ? BF ?

32 y1 ? y2 ? 2 5 2 又k ? ? 15k 解得 k ? ? x1 ? x2 10 5 ?6 ?3 3 2 32 ? 8 不合题意, 若 k 不存在,则 AB ? 5
故所求直线 AB 的方程为 y ? ? 11. (本题满分 20 分)

2 5 ? x ? 3? . 5

? 1? 解:由 ?1 ? ? ? n?

n?a

? e得a ? n?

1 ? 1? ln ?1 ? ? ? n?

,令 f ? x ? ? x ?

1 ? 1? ln ?1 ? ? ? x?

? x ? 0 ? ,则

7

1 1?

1 1 x , f '? x? ? 1? ? 1? 1? 1? 2? 2 2? ln ?1 ? ? 1? ? ? x ? x ? ln ? ? x? ? x?
利用不等式 0 ? ln ?1 ? 从而 f ? x ? ? x ?

?

1 x2

? ?

1? ?? x?

1 x ?x
2

? x ? 0? 得 f ' ? x? ? 0 ,
1 1 ,则 x ? , x t ?1

1 ? 1? ln ?1 ? ? ? x?

? x ? 0 ? 是减函数,令 t ? 1 ?

1 ? ln t ? t ? 1 1? t ? 1 lim f ? x ? ? lim ? ? ? lim ? lim ? lim ? x ??? t ?1 t ? 1 ln t ? t ?1 t ln t ? ln t t ?1 ln t ? 1 ? 1 t ?1 t ln t ? t ? 1 ? t ?1 1 ? lim ?? . t ?1 ln t ? 1 ? 1 2 1 故实数 a 的取值范围为 a ? ? . 2
(珠海市第一中学 傅乐新提供及解答)

1 ?1 t

8


相关文章:
2016年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详解
2016年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详解_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详解 2016 年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷...
2016全国高中数学联赛广东省预选赛试题
2016全国高中数学联赛广东省预选赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年全国高中数学联赛广东省预选赛试题 文档贡献者 hmc1128 贡献于2016-06-16 ...
2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案
2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。对集训很有帮助!年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案 2011 年全国高中数学联赛广...
2014年全国高中数学联赛湖南省预赛试题及答案
2014年全国高中数学联赛湖南省预赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014年全国高中数学联赛湖南省预赛试题及答案_学科...
2014广东省高中数学联赛预赛
2014广东省高中数学联赛预赛_高三数学_数学_高中教育...“总结一下,填空题偏简单,立体几何偏向计算,解析...2010年全国高中数学联赛... 5页 1下载券©...
2014年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题_图文
2014年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2014年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题_高三数学_...
2010年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详细答案_免...
2010 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及详细答案 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.方程 log ? x ? sin...
2013高中数学联赛广东预赛试题(含答案)
2013高中数学联赛广东预赛试题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 高中数学...全国计算机等级考试三级笔试网络技术试题160份文档 2014年度细分行业报告汇集 ...
2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及详细解答
2010 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题(考试时间:2010 年 9 月 4 日上午 10:00—11:20) 二 题号 得分 评卷人 复核人 一 1 2 3 合计 注意事项: ...
2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题_学科竞赛_高中...
更多相关标签: