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例说等比数列题型


例说等比数列题型 【例 1】 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么 数列{an}. [ A.是等比数列 B.当 p≠0 时是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 D.不是等比数列 分析 由 Sn=pn(n∈N*),有 a1=S1=p,并且当 n≥2 时, ]

an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)

pn-1

? ? ?p≠ 0 ? 故a 2 = (p-1)p,因此数列{a n }成等比数列 ? ?p-1≠ 0 ? n ?1 p( p ? 1) ? (p ? 1)p n?2 ? ? ( p ? 2) p p ?
但满足此条件的实数 p 是不存在的,故本题应选 D. 说明 数列{an}成等比数列的必要条件是 an≠0(n∈N*),还要注

意对任n∈N * ,n≥ 2 ,

an 都为同一常数是其定义规定的准确含义. a n?1

【例 2】 已知等比数列 1,x1,x2,…,x2n,2, x1·x2· 3· 求 x …·x2n. 解 ∵1,x1,x2,…,x2n,2 成等比数列,公比 q

∴2=1·q2n+1 x1x2x3…x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

=q

2n(1+2n) 2

? q n ( 2 n ?1) ? 2 n

1 【例3】 等比数列{a n }中,(1) 已知a 2 = 4 ,a 5 =- ,求通项公 2

式;(2)已知 a3·a4·a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

解 (1)a 5 = a 2 q 5?2 ∴q = -

1 2

1 1 ∴a n =a 2 q n ? 2 = 4( - ) n ? 2 = ( ? ) n ? 4 2 2 2 (2) ∵a 3 ·a 5 =a 4 a 3 ·a 4 ·a 5 =a 3 = 8 4
∴a4=2

又a 2 a 6 =a 3 a 5 = a 2 4 ∴a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 = a 5 = 32 4
【例 4】 已知 a>0, b>0 且 a≠b, a, 之间插入 n 个正数 x1, 2, 在 b x …, xn,使得 a,x1,x2,…,xn,b 成等比数列,求

证 n x1 x 2 …x n <
证明

a?b . 2

设这 n+2 个数所成数列的公比为 q,则 b=aqn+1

∴q n ?1 ?
n

b a
n 2 n n ?1 2

∴ x 1 x 2 …x n ? aqaq …aq ? aq ? ab <
【例 5】 =(a-d)2. 证法一 ∵a、b、c、d 成等比数列

a?b 2

设 a、b、c、d 成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2



a b c ? ? b c d

∴b2=ac,c2=bd,ad=bc ∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2

=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2) =a2-2ad+d2 =(a-d)2=右边 证毕. 证法二 ∵a、b、c、d 成等比数列,设其公比为 q,则:

b=aq,c=aq2,d=aq3 ∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2 =a2-2a2q3+a2q6 =(a-aq3)2 =(a-d)2=右边 证毕. 说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目. 证法一是抓 住了求证式中右边没有 b、 的特点, c 走的是利用等比的条件消去左边式中的 b、 c 的路子.证法二则是把 a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素 a、q 去解 决的.证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的 方法具有普遍性. 【例 6】 求数列的通项公式: (1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0 思路:转化为等比数列.

解 (1)a n+1 = 3a n +2 ? a n+1 +1 = 3(a n +1)
∴{an+1}是等比数列 ∴an+1=3·3n-1 ∴an=3n-1

(2)a n+2 -3a n+1 +2a n = 0 ? a n+2 -a n+1 = 2(a n+1 -a n )
∴{an+1-an}是等比数列,即 an+1-an=(a2-a1)·2n-1=3·2n-1

再注意到 a2-a1=3, 3-a2=3· 1, 4-a3=3· 2, a 2 a 2 …, n-an-1=3· n-2, a 2 这些等式相加,即可以得到

a n = 3[1+ 2 +2 2 +…+2 n-2 ] = 3·
说明

2 n?1 ? 1 = 3(2 n ?1 -1) 2 ?1

解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知.(1)中发现{an

+1}是等比数列,(2)中发现{an+1-an}是等比数列,这也是通常说的化归思想 的一种体现.
2 【例7】 若实数a 1 、a 2 、a 3 、a 4 都不为零,且满足 (a 1 +a 2 )a 2 - 2a 2 2 4

(a 1 +a 3 )a 4 +a 2 +a 2 = 0求证:a 1 、a 2 、a 3 成等比数列,且公比为a 4 . 2 3
证 ∵a1、a2、a3、a4 均为不为零的实数

2 ∴ (a 1 +a 2 )x 2 - 2a 2 (a 1 +a 3 )x+a 2 +a 2 = 0为实系数一元二次方程 2 2 3 2 等式 (a 1 +a 2 )a 2 - 2a 2 (a 1 +a 3 )a 4 +a 2 +a 2 = 0说明上述方程有实数根a 4 . 2 4 2 3

∴上述方程的判别式Δ ≥0,即
2 [ -2a 2 (a 1 +a 3 )]2 -4(a 1 +a 2 )(a 2 +a 2 ) 2 2 3

= -4(a 2 -a 1a 3 ) 2 ≥0 2 ∴(a 2 -a 1a 3 ) 2 ≤0 2
又∵a1、a2、a3 为实数

∴ (a 2 -a 1a 3 ) 2 ≥ 0 2 必有a 2 -a 1a 3 = 0即a 2 = a 1a 3 2 2
因而 a1、a2、a3 成等比数列

又∵a 4 =

2a 2 (a 1 ? a 3 ) a 2 (a 1 ? a 3 ) a 2 ? 2 ? 2 a1 2( a 1 ? a 2 ) a 1 ? a 1a 3 2

∴a4 即为等比数列 a1、a2、a3 的公比. 【例 8】 若 a、b、c 成等差数列,且 a+1、b、c 与 a、b、c+2 都成等 比数列,求 b 的值. 解 设 a、b、c 分别为 b-d、b、b+d,由已知 b-d+1、b、b+d 与 b- d、b、b+d+2 都成等比数列,有

?b 2 = (b-d+1)(b+d) ? ? 2 ?b = (b-d)(b+d+ 2) ?
整理,得

① ②

? b 2 = b 2 - d 2 + b+ d ? ? 2 ?b = b 2 -d 2 + 2b- 2d ?
∴b+d=2b-2d 即 b=3d 代入①,得 9d2=(3d-d+1)(3d+d) 9d2=(2d+1)·4d 解之,得 d=4 或 d=0(舍) ∴b=12 【例 9】 已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是 d, 又知 d ≠1,且 a4=b4,a10=b10: (1)求 a1 与 d 的值; (2)b16 是不是{an}中的项? 思路:运用通项公式列方程
3 ? ?a 4 = b 4 ?a 1 + 3d = a 1d 解 (1) 由 ? ?? ?a 1 + 9d = a 1d 9 ?a 10 = b 10 ?

?a 1 (1-d 3 ) = - 3d ? ?? ?a 1 (1-d 9 ) = - 9d ?

? d 6 +d 3 - 2 = 0 ? d 1 ? 1( 舍 ) 或d 2 ? 3 ? 2 ∴a 1 ? ?d ? 3 2 d ? ?3 2

(2)∵b16=b1·d15=-32b1

且a 4 = a 1 +3d = ?23 2 = b 4 b 4 = b1 ·d 3 = -2b1 = -23 2 ∴b1 = a 1 = 3 2

∴b16=-32b1=-32a1,如果 b16 是{an}中的第 k 项,则 -32a1=a1+(k-1)d ∴(k-1)d=-33a1=33d ∴k=34 即 b16 是{an}中的第 34 项.

1 21 【例10】 设{a n }是等差数列,b n = ( ) a n ,已知b 1 +b 2 +b 3 = , 2 8 1 b 1 b 2 b 3 = ,求等差数列的通项. 8
解 设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d

1 a ? ( n ?1) d ∴b n = ( ) 1 2 1 1 1 b 1 b 3 = ( ) a1 · ( ) a1 +2d = ( ) 2(a1 +d) b 2 2 2 2 2
1 1 1 ,解得b 3 = ,解得b 2 = ,代入已知条件 2 8 8 2 1 1 ? ? ?b 1 b 2 b 3 = 8 ?b 1 b 3 = 4 ? ? 整理得 ? ? ?b ? b ? b ? 21 ?b +b = 17 2 3 3 ? 1 ? 1 8 8 ? ? 由b 1 b 2 b 3 =
解这个方程组,得

b1 = 2 ,b 3 =

1 1 或b1 = ,b 3 = 2 8 8

∴a1=-1,d=2 或 a1=3,d=-2 ∴当 a1=-1,d=2 时,an=a1+(n-1)d=2n-3 当 a1=3,d=2 时,an=a1+(n-1)d=5-2n 【例 11】 三个数成等比数列,若第二个数加 4 就成等差数列,再把这 个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列,求这三个数. 解法一 按等比数列设三个数,设原数列为 a,aq,aq2

由已知:a,aq+4,aq2 成等差数列 即:2(aq+4)=a+aq2 ① a,aq+4,aq2+32 成等比数列 即:(aq+4)2=a(aq2+32)

? aq+2 = 4a



2 ? ?a = 2 ?a = 9 ①,②两式联立解得: ? 或? ?q = 3 ?q = -5 ? 2 10 50 ∴这三数为: 2 , 6,18或 , ? , . 9 9 9
解法二 按等差数列设三个数,设原数列为 b-d,b-4,b+d 由已知:三个数成等比数列 即:(b-4)2=(b-d)(b+d)

? 8b-d 2 = 16
b-d,b,b+d+32 成等比数列 即 b2=(b-d)(b+d+32)



? 32b-d 2 -32d = 0



26 ? ?b = 9 ?b = 10 ? ①、②两式联立,解得: ? 或? ?d = 8 ?d = 8 ? 3 ? 2 10 50 ∴三数为 , ? , 或 2 , 6,18. 9 9 9
解法三 任意设三个未知数,设原数列为 a1,a2,a3

由已知:a1,a2,a3 成等比数列

得:a 2 = a 1a 3 2



a1,a2+4,a3 成等差数列 得:2(a2+4)=a1+a3 ② a1,a2+4,a3+32 成等比数列 得:(a2+4)2=a1(a3+32) ③

2 ? a1 = ? 9 ? 10 ? ①、②、③式联立,解得: ?a 2 = ? 9 ? 50 ? ?a 3 = 9 ?
说明

?a 1 = 2 ? 或 ?a 2 = 6 ?a = 18 ? 3

将三个成等差数列的数设为 a-d,a,a+d;将三个成

a 等比数列的数设为a,aq,aq 2 ( 或 ,a,aq) 是一种常用技巧,可起到 q
简化计算过程的作用. 【例 12】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四 个数. 分析 本题有三种设未知数的方法 方法一 设前三个数为 a-d,a,a+d,则第四个数由已知条

件可推得:
方法二 bq.

(a ? d ) 2 a

设后三个数为 b,bq,bq2,则第一个数由已知条件推得为 2b-

方法三 设第一个数与第二个数分别为 x,y,则第三、第四个数依次为 12-y,16-x. 由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数, 从而解出所 求的四个数,

(a ? d ) 2 解法一 设前三个数为a-d,a,a+d,则第四个数为 . a

? (a ? d ) 2 = 16 ?a-d+ 依题意,有 ? a ?a+ (a+d) = 12 ?

?a 2 = 9 ?a 1 = 4 解方程组得: ? 或 ? ?d 1 = 4 ?d 2 = - 6
所求四个数为:0,4,8,16 或 15,9,3,1. 解法二 设后三个数为:b,bq,bq2,则第一个数为:2b-bq

?2b-bq+bq 2 = 16 依题意有: ? ?b+bq = 12

?b 2 = 9 ?b 1 = 4 ? 解方程组得: ? 或? 1 ?q 1 = 2 ?q 2 = 3 ?
所求四个数为:0,4,8,16 或 15,9,3,1. 解法三 设四个数依次为 x,y,12-y,16-x.

?x+ (12 -y) = 2y 依题意有 ? 2 ?y· (16-x) = (12 -y)

?x 1 = 0 ?x 2 = 15 解方程组得: ? 或 ? ?y 1 = 4 ?y 2 = 9
这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 【例 13】 已知三个数成等差数列, 其和为 126; 另外三个数成等比数列, 把两个数列的对应项依次相加,分别得到 85,76,84.求这两个数列. 解 设成等差数列的三个数为 b-d, b+d, b, 由已知, b-d+b+b+d=126 ∴b=42 这三个数可写成 42-d,42,42+d. 再设另三个数为 a,aq,aq2.由题设,得

?a+42 -d = 85 ? ?ap+42 = 76 ? 2 ?aq +42 +d = 84

?a-d = 43 ? 整理,得 ?aq = 34 ? 2 ?aq +d = 42
解这个方程组,得 a1=17 或 a2=68 当 a=17 时,q=2,d=-26

① ② ③

当a = 68时,q =

1 ,d = 25 2

从而得到:成等比数列的三个数为 17,34,68,此时成等差的三个数为 68,42,16;或者成等比的三个数为 68,34,17,此时成等差的三个数为 17, 42,67. 【例 14】 已知在数列{an}中,a1、a2、a3 成等差数列,a2、a3、a4 成

等比数列,a3、a4、a5 的倒数成等差数列,证明:a1、a3、a5 成等比数列. 证明 由已知,有

2a2=a1+a3 ①

a 2 = a 2 ·a 4 3 2 1 1 ? ? a4 a3 a5

② ③

由③,得a 4 = 由①,得a 2 =

2a 3 ·a 5 a3 + a5

a1 + a 3 代入②,得 2 a1 + a 3 2 a 3 ·a 5 a2 = · 3 2 a3 ? a5
a 5 (a 1 + a 2 ) a3 + a5

整理,得a 3 =


a3(a3+a5)=a5(a1+a3)

a 2 +a 3 a 5 = a 1 a 5 +a 3 a 5 3 ∴a 2 = a 1 ·a 5 3
所以 a1、a3、a5 成等比数列. 【例 15】 已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0. (1)设 a,b,c 依次成等差数列,且公差不为零,求证:x,y,z 成等比数 列. (2)设正数 x,y,z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证:a,b,c 成等 差数列. 证明 (1)∵a,b,c 成等差数列,且公差 d≠0 ∴b-c=a-b=-d,c-a=2d 代入已知条件,得:-d(logmx-2logmy+logmz)=0 ∴logmx+logmz=2logmy ∴y2=xz ∵x,y,z 均为正数 ∴x,y,z 成等比数列 (2)∵x,y,z 成等比数列且公比 q≠1 ∴y=xq,z=xq2 代入已知条件得: (b-c)logmx+(c-a)logmxq+(a-b)logmxq2=0 变形、整理得:(c+a-2b)logmq=0 ∵q≠1 ∴logmq≠0 ∴c+a-2b=0 即 2b=a+c 即 a,b,c 成等差数列


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