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一道联考向量题的解法探究


· 辅教导学 ·               数学通讯 — — —2 上半月 ) 0 1 5 年第 3 期 (

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一道联考向量题的解法探究
李 宁
) ( 海南省海南中学 , 7 1 1 5 8 5

浙江省五 校 2 0 1 4届高三第二次联考文科第 6 题为 : 1 已知 O 为 △A A A B C 的外心 , B = 4, C = 2, ? ? → → → ? 则2 A C =1 2 0 ° .若A O =λ B +λ C, ∠B λ 1A 2A 1+ . λ 2 = 本题结 合 三 角 形 外 心 考 查 向 量 分 解 , 具有一 定难度 .下面对其解法作一探究 . 思路 1: 从代数角度思考建系处理 向量兼 具 数 与 形 的 特 点 , 我们从代数角度思 考建立平 面 直 角 坐 标 系 , 算 出 各 个 点 的 坐 标, 由 → → ? ? ? → A O =λ B +λ C 获取两个关于λ 1A 2A 1 和λ 2 的方 程, 解之则问题可求 . 解 法 1  如 图 1, 以A 点为坐标原点建 立平面 直 角 坐 标 系 , 则 ) ) , , A( B( C(- 0, 0 4, 0 3) . 1, 槡 线段 A B 的垂直平 分线 的 方 程 为 x = 2, 线段 A C 的垂直平分线
2 ) ( 的 方 程 为: x -0 +

( 2. A) 1. B)      ( 槡 ( C) 3. 槡 ( D) 2. 解   如图 1, 以 A 点为坐标原点建立平面 直 1 槡 3 ) ) , , 角坐标系 , 则 A( B( a, C( 0, 0 2 0 . - , ) a a 线段 线段 A B 的垂直平分线的方程为x = a,
2 2 ) ) A x-0 C 的垂直平分线的方程为 ( +( = y-0

1 2 ( 槡 2 32 即 ( x+ ) x- 槡 3 + y - ), = 0. y+ a a a 3 a 槡 联立 以 上 两 条 直 线 的 方 程 ,解 得 O( a, 3 2 3)   槡 . + 3 a 3 a 2 3)   → ?B → ?O ?→ 槡 槡 得( 由A a, C, =αA +βA + = 3 a 3 1 槡 3 , 3 a 槡 ) 所以 a = 2 a, a 2 0 α- β , + α( +β( - , ) a a a 3
2 2 3 槡 3 解得 2 1 a 2   槡 = β, α= + 2, = + . β 3 a a 3 3 3 3 a 2 a 从而由均值不等式 , 有α+β = 4 + 1 2+ 3 3 3 a 2 4 1 ·a 当a = 1 时等号成立 , 从 = 2, +2 2 3 a 3 3 而α+β 的最小值为 2, 选( D) .

图1

2 2 2 , ) ) ( 即 x- 槡 x +1 3) 3 =( +( y -0 y- 槡 y+2





= 0. 4槡 3) 联立以上两条直线的方程 , 解得 O( 2,  . 3 4槡 3) → ?O ?B → ?→ 由A 得( 2,  4, C, =λ +λ =λ 1A 2A 1( 3 4 3   槡 ) , 所以 2 = 4 0 3) 3 +λ -1, λ λ =槡 λ 2( 1- 2, 2, 槡 3 5, 4, 从而 2 解得λ . λ λ λ 1 = 2 = 1+ 2 =3 6 3 变式1  ( 重庆南开中学 2 已 0 1 4届高三月考 ) 2 知 O 为 △A A a, A a> B C 的 外 心, B =2 C= ( a ?B → → ?O ?→ ) , 0 A C =1 2 0 ° .若A C( =αA +βA α, ∠B β∈ , 则α+β 的最小值为 R) (    )

思路 2: 考虑向量 分解系数和几何意义 ?A →, 如图 2, 向量O → 不共线 , ?B 非零向 量 O ?B →, → ? ? → O O C  A +yO = x  直线 O C 与A B 交于 → ?D →, ? 点 D .设O O C =λ

图2

x ?→ y ?→ 由于 , , 三点共线 , → ?D 则O ADB A+ O B. = O λ λ
即x+y =λ.从而向量分解系数和 则 x + y =1, λ λ x +y 的几何意义是有向线段 O C 与O D 的比值 . 獉獉獉獉

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— —2 数学通讯 — 上半月 ) 0 1 5 年第 3 期 (              · 辅教导学 ·

下面用这个几何意义来解这个联考向量题 . 解 法 2  如 图 3,取 连结 C A B 的中点 D , D 交 A O 于 E, 延 长 A O 交

1 B 重合时 , O D 取得最大值 1.从而 x+y = ∈ O D [ ] 1, 2 . 思路 3: 向量问题向量解 前面我们从代数和 几 何 两 个 角 度 给 出 了 这 道 联考题的解答 , 下面再给出一种基于向量运算的 解法 . 解 法 3  如 图 5,取

B C 的外接圆于 F . △A → 2 A ?D → ?O 由A = λ +λ 1 2 A O ?→ A . C 知2 λ λ 1+ 2 = A E 由余弦定理 , 有 B C=
图3

7. 1 6+4-2·4·2·(   - )= 2 槡 2 槡



A B 的 中 点 D ,则 O D ⊥ ?B → → ?O ?D → ·A 从而A A A B, =( ?B ?→ A ?B →) → A → ?O · A +D = D· =
1 ?→ 2 ,于 是 由 ?→ · A B| O |A 2 → → ?B ?B →·A ?B ?→ A C =λ +λ 1A 2A 图5 → ? ·A B 得2=4 λ λ 1- 2. ?B →·A ?O ?→ ?→ ?→ ?→ →·A 同理 , 由A C =λ C +λ C·A C 1A 2A 得 1 =-2 λ λ 1 +2 2. 5, 4, 联立以上 两 式 , 从而 解 得λ λ 1 = 2 = 6 3 . 2 λ λ 1+ 2 =3 变式 3  ( 0 1 3 年安徽 省 高 中 数 学 联 赛 预 赛 ) 2 2 ?→ ?→ ) ?P → 则 设 △A A B C 的外心 P 满足A B +A C , = ( 5 o s A C= c ∠B . 2 ?→·?→ ?→·?→) ?B →·A → ?P 解   由A A B A B +A C A B = ( 5 2 ?→2 →2 →2 → →) ?B ?B ?→ ?B ?B   , 得 1A 即1A A B  +A C·A = ( =A 2 5 4 ?→ ·A C. 2 ?→ · ? → ? → · ?P ?→ → ·A 类似地 , 由A A C= ( B A C  C +A 5 1 ?→2 1 ?→2 , ?B ?B →·A → ?→ ?→ A C)得 A C  = A C= A B 则|A |= 4 4 ?→ C|. |A → ·A ?B ?→ A C 于 是 c o s A C  = = ∠B ? → ?→ · B| C| |A |A → ·A ?B ?→ A 1 C . ? → 2 = 4 B| |A ( ) 收稿日期 : 0 1 4-1 1-2 3 2

B C 于是 △A R= B C 的外接圆的直径2 s i n∠B A C
=4



7, 7 则A . O = R =2 3 3 由于 A F 是 直 径 ,从 而 ∠A B F =9 0 ° .记



则c AD =α, o s α= ∠E

A B = A F

, 进而 s i n α= 7 槡





4 . 7 , 由A 得 ∠E C =A D 和 ∠B A C =1 2 0 ° DA =

3 0 ° .从而 ( ) i n E D =s i n 0 ° s α+3 ∠A = =



4 ·槡 3 + 7 2 . 7 槡 3



3 ·1 7 2

3· 2

由正弦定理 , 有

A E=

A 2 D ·s i n D E ∠A = s 3 i n∠A E D

, 3 槡



A O 从而 2 λ λ = 3. 1+ 2 = A E 变式 2  ( 0 0 9 年安徽高考题改编 )给定两个 2 → ,它 们 的 夹 角 为 ?B ?A → 和O 长度 为 1 的 平 面 向 量O
︵ , 如图4所示 , 点C 在以O 为圆心的圆弧A 2 0 ° B上 1 ? ? ? → → → 变 动. 其中x, 则x+ 若O O C  A +y B, =xO y ∈ R, . y 的取值范围是 解   设O C 交A B 于 , D 则由向量分解系数和几

C 何 意 义 得 x +y = O = O D
1 当 . O O D ⊥A B 时, D O D 当 D 与A 或 取得最小值 1 ; 2
图4


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