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人教A选修2-211-12学年高二数学:2.1.2 演绎推理 课件(人教A版选修2-2)


2.1.2 演绎推理 .

理解演绎推理的概念,掌握演绎推理的形式, 并能用它们进行一些简单的推理,了解合情 推理与演绎推理的联系与区别.

本节重点:演绎推理的结构特点. 本节难点:三段论推理规则.

1.用集合论的观点来分析,三段论推理 的依据是:如果集合M中的每一个元素都 具有属性P,且S是M的子集,那么集合S 中的每一个元素都具有属性P. 2.为了方便,在运用三段论推理时,常 常采用省略大前提或小前提的表述方 式.对于复杂的论证,总是采用一连串的 三段论,把前一个三段论的结论作为下一 个三段论的前提.

3.合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理,从推理形 式上看,归纳是由部分到整体、个别到一 般的推理;类比是由特殊到特殊的推理; 而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推 理所得的结论来看,合情推理的结论不一 定正确,有待进一步证明;演绎推理在大 前提、小前提和推理形式都正确的前提下, 得到的结论一定正确.

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系 的重要思维过程,但数学结论、证明思路 等的发现,主要靠合情推理.因此,我们 不仅要学会证明,也要学会猜想. 三段论的公式中包含三个判断:第一个判 断称为大前提,它提供了一个一般的原理; 第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊 情况;这两个判断联合起来,揭示了一般 原理和特殊情况的内在联系,从而产生了 第三个判断——结论.

演绎推理是一种必然性推理.演绎推理的前 提与结论之间有蕴涵关系,因而,只要前提 是真实的,推理的形式是正确的,那么结论 必定是真实的.但错误的前提可能导致错误 的结论.

1.演绎推理 从一般性 的原理出发,推出 某个特殊 情 况 下 的结论的推理形式. 它的特点是:由一般到特殊的推理. 它的特征是:当 前提和推理形式 都 正 确 时 , 结论 必然正确.

2.三段论推理 在推理中:“若b?c,而a?b,则a?c”, 这种推理规则叫三段论推理.它包括: (1) 大前提——已知的一般性原理. (2) 小前提——所研究的特殊情况. (3) 结论 ——根据一般原理,对特殊情况做 三段论 推理是演绎推理的一般模 出的判断. 式.

3.“三段论”的常用格式 M是P 大前提: S是M 小前提: S是P 结论: .

[例1] 下列说法正确的个数是 ( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大前提、 小前提和推理形式有关

A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] C [解析] 由演绎推理的概念可知说法①③ ④正确,②不正确,故应选C.

下列几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两 条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此 得高三所有班人数超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
1 ? 1? ? D.在数列{an}中,a1=1,an=2?an-1+a ?(n≥2), ? n-1? ? 由此归纳出{an}的通项公式

[答案] A [解析] C是类比推理,B与D均为归纳推理, 而合情推理包括类比推理和归纳推理,故B、 C、D都不是演绎推理.而A是由一般到特 殊的推理形式,故A是演绎推理.

[例 2]

用三段论的形式写出下列演绎推理.

(1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方 形的对角线相互垂直. (2)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相 等,则此两角不是对顶角. (3)0.332是有理数. (4)y=sinx(x∈R)是周期函数.
·

[分析] 即写出推理的大前提、小前提、结 论.大前提可能在题目中给出,也可能是已经 学过的知识. [解析] (1)每个菱形的对角线相互垂直 大前提 正方形是菱形 小前提 正方形的对角线相互垂直 结论 (2)两个角是对顶角则两角相等 大前提 ∠1和∠2不相等 小前提 ∠1和∠2不是对顶角 结论

(3)所有的循环小数都是有理数 0.332是循环小数 0.332是有理数 (4)三角函数是周期函数 y=sinx(x∈R)是三角函数 y=sinx 是周期函数
· ·

大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

[点评] 在三段论中,“大前提”提供了 一般的原理、原则,“小前提”指出了一 个特殊场合的情况,“结论”在大前提和 小前提的基础上,说明一般原则和特殊情 况间的联系,平时大家早已能自发地使用 三段论来进行推理,学习三段论后我们要 主动地理解和掌握这一推理方法.

把下列演绎推理写成三段论的形式. (1) 在 一 个 标 准 大 气 压 下 , 水 的 沸 点 是 100℃,所以在一个标准大气压下把水加 热到100℃时,水会沸腾; (2)一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇 数,所以(2100+1)不能被2整除;

(3)∵三角函数都是周期函数,∴y=tanα 是周期函 数; (4)如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,那 么∠A+∠B=180°.

[解析] (1)大前提:在一个标准大气压下, 水的沸点是100℃, 小前提:在一个标准大气压下把水加热到 100℃, 结论:水会沸腾.

(2)大前提:一切奇数都不能被2整除, 小前提:2100+1是奇数, 结论:2100+1不能被2整除. (3)大前提:三角函数都是周期函数, 小前提:y=tanα是三角函数, 结论:y=tanα是周期函数. (4)大前提:两条直线平行,同旁内角互补, 小前提:∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角, 结论:∠A+∠B=180°.

[例3] 指出下面推理中的错误. (1)因为自然数是整数, 大前提 而-6是整数, 小前提 所以-6是自然数. 结论 (2)因为中国的大学分布于中国各地, 大前提 而北京大学是中国的大学, 小前提 所以北京大学分布于中国各地. 结论

[分析] 要判定推理是否正确,主要从三个方面:(1)大 前提是否正确;(2)小前提是否正确;(3)推理形式是否正 确,只有当上面3条都正确时,结论才正确. [解析] (1)推理形式错误,M是“自然数”,P是“整 数”,S是“-6”,故按规则“-6”应是自然数(M)(此 时它是错误的小前提),推理形式不对,所得结论是错误 的. (2)这个推理错误的原因是大、小前提中的“中国的大学” 未保持同一,它在大前提中表示中国的各所大学,而在 小前提中表示中国的一所大学.

[点评] 三段论的论断基础是这样一个原理: “凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯 定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”,简 言之,“全体概括个体”.M,P,S三个概念之 间的包含关系表现为:如果概念P包含了概念M, 则必包含了M中的任一概念S(如图甲);如果概 念P排斥概念M,则必排斥M中的任一概念S(如 图乙).

下列推理是否正确,将有错误的指出错误之处. (1)求证:四边形的内角和等于360°. 证明:设四边形ABCD是矩形,则它的四个角都是直角, 有∠A+∠B+∠C+∠D=90°+90°+90°+90°= 360°.所以,四边形的内角和等于360°.
(2)已知 2和 3都是无理数, 试证: 2+ 3也是无理数. 证明:依题设, 2和 3都是无理数,而无理数与无理 数的和是无理数,所以 2+ 3也必是无理数.

(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,求证:a2 +b2 = c2. 证明:因为a=csinA,b=ccosA,所以a2 +b2 = c2sin2A+c2cos2A=c2(sin2A+cos2A)=c2. (4)设a=b(a≠0,b≠0). 等式两边乘以a,得a2=ab, 两边减去b2,得a2-b2=ab-b2, 两边分解因式,得(a+b)(a-b)=b(a-b), 两边除以(a-b),得a+b=b, 以b代a,得2b=b, 两边除以b,得2=1.

[解析] 上述四个推理过程都是错误的. (1)犯了偷换论题的错误,在证明过程中,把论 题中的四边形改为矩形. (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理 数”,这个论据是假的,因为两个无理数的和 不一定是无理数.因此原题的真实性仍无法断 定. (3)本题的论题就是人们熟知的勾股定理.上述 证明中用了“sin2A+cos2A=1”这个公式,按照 现行中学教材的系统,这个公式是由勾股定理 推出来的,这就间接地用待证命题的真实性作 为证明的论据,犯了循环论证的错误.

(4)所得结果显然是错误的,错误的原因在 于以(a-b)除等式两边.因为a=b,而a-b =0,用0除等式两边,这是错误的.

[例4] 在四边形ABCD中,AB=CD,BC= AD(如图).求证:ABCD为平行四边形.写出 三段论形式的演绎推理.

[分析] 原题可用符号表示为(AB=CD)且 (BC=AD)??ABCD. 用演绎推理来证明论题的方法,也就是从 包含在论据中的一般原理推出包含在论题 中的个别、特殊事实. 为了证明这个命题为真,我们只需在假设 前提(AB=CD)且(BC=AD)为真的情况下, 以已知公理、已知定义、已知定理为依据, 根据推理规则,导出结论?ABCD为真.

[证明] (1)连结AC (2)平面几何中的边边边定理是:有三边对应相 等的两个三角形全等.这一定理相当于: 对于任意两个三角形,如果它们的三边对应相 等,则这两个三角形全等.大前提 如果△ABC和△CDA的三边对应相等小前提 则这两个三角形全等.结论 符号表示: (AB = CD) 且 (BC = DA) 且 (CA = AC)?△ABC≌△CDA.

(3)由全等形的定义可知:全等三角形的对 应角相等.这一性质相当于: 对于任意两个三角形,如果它们全等,则 它们的对应角相等.大前提 如果△ABC和△CDA全等,小前提 则它们的对应角相等.结论 用符号表示,就是 △ABC≌△CAD?(∠1=∠2)且(∠3=∠4) 且(∠B=∠D).

(4)两条直线被第三条直线所截,如果内错 角相等,那么这两条直线平行.(平行线判 定定理)大前提 直线AB, DC被直线AC所截,若内错角 ∠1=∠2,∠3=∠4小前提(已证) AB∥DC,BC∥AD. (AB∥DC)且(BC∥AD)结论(同理)

(5)如果四边形的两组对边分别平行,那么 这个四边形是平行四边形.(平行四边形定 义)大前提 四边形ABCD中,两组对边分别平行,小 前提 四边形ABCD为平行四边形结论 符号表示为:AB∥DC且AD∥BC?ABCD ? 为平行四边形.

[点评] 像上面这样详细地分析一个证明 的步骤,对于养成严谨的推理习惯,发展 抽象思维能力,是有一定积极作用的.但 书写起来非常繁琐,一般可以从实际出发, 省略大前提或小前提,采用简略的符号化 写法.比如,本例的证明,通常可以这样 给出:

证明:连结 AC. AB=CD? ? BC=DA??△ABC≌△CDA CA=AC ? ?
?∠1=∠2?AB∥DC? ? ? ???ABCD. ?? ?∠3=∠4?BC∥AD? ? ?

用三段论证明:直角三角形两锐角之和为90°. [证明] 因为任意三角形三内角之和是180°大前提 而直角三角形是三角形 小前提 所以直角三角形三内角之和是180° 结论 设直角三角形两个内角分别为A、B,则有∠A+∠B+ 90°=180° 因为等量减等量差相等 大前提 (∠A+∠B+90°)-90°=180°-90° 小前提 所以∠A+∠B=90° 结论

[例5] (2010·安徽理,18)如图,在多面 体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形, EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC= 90°,BF=FC,H为BC的中点.

(1)求证:FH∥平面EDB; (2)求证:AC⊥平面EDB; (3)求二面角B-DE-C的大小. [解析] (综合法)(1)证:设AC与BD交于点 G,则G为AC的中点,连EG,GH,
1 又 H 为 BC 的中点,∴GH 綊2AB.

1 又 EF 綊2AB,∴EF 綊 GH.

∴四边形EFGH为平行四边形. ∴EG∥FH,而EG?平面EDB,∴FH∥平面EDB. (2)证:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC. 又EF∥AB,∴EF⊥BC. 而EF⊥FB, ∴EF⊥平面BFC. ∴EF⊥FH,∴AB⊥FH. 又BF=FC,H为BC的中点, ∴FH⊥BC.

∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC. 又FH∥EG,∴AC⊥EG. 又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB. (3)解:EF、FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面 CDEF. 在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线 于 K , 则 ∠ FKB 为 二 面 角 Β—BE—C 的 一 个 平 面 角. 设 EF=1,则 AB=2,FC= 2,DE= 3.
又 EF∥DC,∴∠KEF=∠EDC.

2 ∴sin∠EDC=sin∠KEF= . 3 2 BF ∴FK=EFsin∠KEF= ,tan∠FKB= = 3, FK 3 ∴∠FKB=60°. ∴二面角 B—DE—C 为 60°. (向量法): ∵四边形 ABCD 为正方形,∴AB⊥BC. 又 EF∥AB,∴EF⊥BC. 又 EF⊥FB,∴EF⊥平面 BFC. ∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.

又BF=FC,H为BC的中点, ∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABC. 以H为坐标原点,为x轴正向,为z轴正向, 建立如图所示坐标系. 设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(- 1,0,0) , D( - 1 , - 2,0) , E(0 , - 1,1) , F(0,0,1).

(1)证:设 AC 与 BD 的交点为 G,连 GE,GH, → → 则 G(0,-1,0),∴GE=(0,0,1),又HF=(0,0,1) → → ∴HF∥GE. GE?平面 EDB,HF 不在平面 EDB 内, ∴FH∥平面 EBD. → → → → (2)证:AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC·GE=0, ∴AC⊥GE. 又 AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面 EDB.

→ → (3)解:BE=(-1,-1,1),BD=(-2,-2,0). 设平面 BDE 的法向量为 n1=(1,y1,z1), → → 则BE·n1=-1-y1+z1=0,BD·n1=-2-2y1=0, ∴y1=-1,z1=0,即 n1=(1,-1,0). → → CD=(0,-2,0),CE=(1,-1,1). 设平面 CDE 的法向量为 n2=(1,y2,z2),则 → n2·CD=0,y2=0, → n2·CE=0,1-y2+z2=0,z2=-1,

`

故 n2=(1,0,-1), n1·n2 1 1 cos〈n1,n2〉= = = , |n1|·|n2| 2· 2 2 ∴〈n1,n2〉=60°,即二面角 B—DE—C 为 60°.

设m为实数,求证:方程x2 -2mx+m2 +1 =0没有实数根. [解析] 已知方程x2-2mx+m2+1=0的判 别式?=(-2m)2-4(m2+1)=-4<0,所以 方程x2-2mx+m2+1=0没有实数根.

[点评] 此推理过程用三段论表述为: 大前提:如果一元二次方程的判别式?<0, 那么这个方程没有实数根; 小前提:一元二次方程x2-2mx+m2+1= 0的判别式?<0; 结论:一元二次方程x2 -2mx+m2 +1=0 没有实数根.

一、选择题 1.演绎推理是以下列哪个为前提,推出 某个特殊情况下的结论的推理方法 ( ) A.一般的原理 B.特定的命题 C.一般的命题 D.定理、公式 [答案] A [解析] 考查演绎推理的定义,由定义知 选A.

2.“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P),若 奇数(S)是9的倍数(M),故该奇数(S)是3的 倍数.”上述推理是( ) A.小前提错误 B.大前提错误 C.结论错误 D.正确的 [答案] D [解析] 大前提是正确的,小前提也是正 确的,推理过程也正确,所以结论也正 确.故应选D.

3.如果有人在1985年以后大学毕业,他 就一定读过《邓小平理论》.刘明读过 《邓小平理论》,所以( ) A.刘明可能是1985年以后的大学毕业生 B.刘明是共产党员 C.刘明是1985年以后的大学毕业生 D.刘明喜欢这本书 [答案] A [解析] 由实际生活情况知A正确,故应 选A.

二、填空题 4.指出三段论“自然数中没有最大的数 字(大前提),9是最大的个位数字(小前提), 所 以 9 不 是 自 然 数 ( 结 论 )” 中 的 错 误 是 ____________. [答案] 小前提中S不是M [解析] 大前提中的数字泛指非负整数, 而小前提中的数字指的是个位数,因而得 出错误的结论.

5.函数y=2x+5的图象是一条直线,用三段论表示为: 大前提_______________________________________. 小前提_______________________________________. 结论_______________________________________. [答案] 一次函数的图象是一条直线 函数y=2x+5是 一次函数 函数y=2x+5的图象是一条直线 2 5 [解析] 关键找出大前提和小前提.

三、解答题 6.将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)菱形的对角线互相平分. (2)奇数不能被2整除,75不能被2整除,所以75 是奇数. [答案] (1)平行四边形对角线互相平分大前提 菱形是平行四边形小前提 菱形对角线互相平分结论 (2)一切奇数都不能被2整除大前提 75不能被2整除小前提 75是奇数结论


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