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圆知识整合


《圆的基本性质》 单元复习
考点分析: 随着对复杂几何证明要求的降低,对圆一章内容的删减,圆的考题难度有明显降低。 与圆有关的位置关系,试题强调基础,突出能力,源于教材,知识重组,变中求新, 重在培养创新意识。要注意分类讨论和有关圆的问题的多解性,同时结合阅读理解,条件 开放,结论开放的探索题型,结合运动的动态型综合题问题,结合函数的函数几何综合题 逐渐成为新课程中的热

门考点。 【本章知识框架】 圆 的 认 识 基本元素:圆的定义,圆心,半径,弧,弦,弦心距 垂径定理: (直径 平分 垂直) 对称性:旋转不变性,轴对称,中心对称 圆心角、弧、弦、弦心距的关系 与圆有关的角:圆心角,圆周角 弧长,扇形的面积,弓形的面积,及组合的几何图形 圆中的有关计算: 圆锥的侧面积、全面积 一、圆的概念 1、圆的定义:线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的封闭曲线, 叫做圆.点 O 叫做圆心,线段 OP 叫做半径。 2、弧:圆上任意两点间部分叫做圆弧,简称弧。优弧、劣弧以及表示方法。 3、弦,弦心距,圆心角,圆周角, 4、判定一个点 P 是否在⊙O 上. 设⊙O 的半径为 R,OP=d,则有: d>r ? 点 P 在⊙O 外; d=r ? 点 P 在⊙O 上; d<r ? 点 P 在⊙O 内。 二、圆的性质 1、旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合; 2、圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 性质:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两个弦心距中有一对量 相等,那么它们所对应的其余各对量也分别相等。 3、轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

4、与圆有关的角 ⑴ 圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。 圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ⑵ 圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的性质: ① 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ② 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ③ 90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角. 5、三角形的外接圆,外心 三角形的外心:是三角形三边垂直平分线的交点,它是三角形外接圆的圆心。 知识点:锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形 外心在三角形外部。 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等。 相关知识:三角形重心,是三角形三边中线的交点,在三角形内部。 三、弧、扇形、圆锥侧面的计算
2 ⑴ 圆的面积: S ? ?R ,周长: C ? 2?R

⑵ 圆心角为 n°,半径为 R 的弧长 l ?

n?R . 180
1 n?R 2 或 S ? lR . 2 360

⑶ 圆心角为 n°,半径为 R,弧长为 l 的扇形的面积 S ?

知识点:弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。 ⑷ 圆锥的侧面展开图为扇形。 底 面 半 径 为 R , 母 线 长 为 l , 高 为 h 的 圆 锥 的 侧 面 积 为 S ? ?Rl , 全 面 积 为

S ? ?Rl ? ?R 2 ,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 l 2 ? R 2 ? h 2 。

圆中常见的辅助线 1.作半径,利用同圆或等圆的半径相等; 2.作弦心距,利用垂径定理进行证明或计算; 3.作半径和弦心距,构造由“半径、半弦和弦心距”组成 的直角三角形进行计算; 4.作弦构造同弧或等弧所对的圆周角; 5.作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角; 6.遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。


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