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微元法在物理竞赛中的运用


第27卷第5期 2006年

物理教师
PHYSICS TE ACHER

Vd.27 No.5

(2006)

?竞赛园地?

微元法在物理竞赛中的运用
余建刚
(广东省佛山市南海区石门中学,广东佛山528248)
1引言

M,今固定其一端将其自由悬挂起来,试求此弹簧在
其自身重力作用下的伸长量. 解析:设此弹簧的自然长度为Z,并假定将其均分

微元法,又称元素法,是指从整体中取某一特定的 微小部分作为研究对象,从而达到解决事物整体的一 种思维方法.微元法是物理学中研究连续变化量的一 种常用方法。即把整个复杂、变化的物理过程分解为许 多短暂的小过程或把研究对象整体分割成大量的微小 的单元来考察,然后通过对这些小过程或微小局部的 研究从而归纳出适用于全过程或整体的结论.这个微 小的过程或者局部常被称为“微元”.微元法在历年物 理竞赛中屡试不爽。在第22届全国物理竞赛的初赛及 复赛中其优势更是表现得“淋漓尽致”. 为此,本文就微元法作一些初步的归纳,供大家参 考. 2微元法解题的一般思路 (1)将所研究的对象进行无限分割,或假设研究对 象发生了微小的变化,如伸长了一小段长度越、质量

为N段,则每一小段弹簧的质量为等,每小段弹簧的
劲度系数为Nk,当每段很小即N之值极大时,取悬挂 着的弹簧的某一小段为研究对象,由于其本身重力很 小,可以忽略,而这--d'段所产生的弹力便是等于悬挂 在此小段下面的各小段弹簧的重力之和. 设这些小段自下而上依次为第1、2…i…N一1、N 段,则对第i段其弹力大小为


F一(i=!)娩




则第i段的伸长量为

缸;=是=≮学.
整个弹簧的伸长量z为各段伸长量之和,即

减少了Am、发生了一小段位移k。经历了一小段时
间△£等等.被选的微元应具有整体研究对象的基本 特征. (2)从该微元人手,以某个微元为研究对象或微小 变化为研究过程,找出所选取的微元或微小变化所遵 循的物理规律,列出对应的物理方程. (3)找出微元个体与整个物理对象或微小变化与 整个物理过程间的隐含关系,列出对应的数学关系式, 求解整体物理量. 3典型例题分析 3.1化变量为常量,便于建立相关物理量间的函数关


z=蓦舰=N丝2k宝i=l(H)=麓?学.
因N---oo,有丛尹一1,则其总伸长量为箦.
点评:该题虽较为简单,却是“五官俱全”,体现了

上面所述的微元法解题的一般思路:无限分割——找 出所选取的微元所遵循的物理规律——求解整体物理
量. 例2.如图1所示,水 平放置的金属细圆环半径 为a,竖直放置的金属细 圆柱(其半径比a小得多) 的端面与金属圆环的上表 面在同一平面内,圆柱的 细轴通过圆环的中心o. 一质量为m,电阻为R的
图1

某些物理量,对于所研究物理过程或状态的整体 来说,各个局部的值是不同的,因此在建立有关物理量 的关系时,这个量的值不好确定.而倘若将此物理过程 或物理状态无限分割成无数的微元,再取某一个微元 来研究,则由于微元极小,其内部各部分间的差异也很 小,故可以用确定值的物理量来描述它.由此,便可用 定值的形式来建立相关物理量间的关系,使物理问题 简单化. 例1.有一根均匀的弹簧,其劲度系数为k,质量为

均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑.棒的一端有 一小孔套在细轴0上,另一端A可绕轴线沿圆环作 圆周运动.棒与圆环的动摩擦因数为卢,圆环处于磁感 应强度大小为B=kr、方向竖直向上的恒定磁场中,式 中k为大于零的常量。,-为场点到轴线的距离.金属细

一63—
 

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物理教师 PHⅣSICS TEACHER

第27卷第5期 2006年

圆柱与圆环用导线耐连接.不计棒与轴及与细圆柱端 面的摩擦,也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电 流产生的磁场.问沿垂直于棒的方向以多大水平外力 作用于棒的A端才能使棒以角速度∞匀速转动. (2005年第22届全国中学生物理竞赛预赛题) 解析:将整个导体棒分割成n个小线元,小线元 端点到轴线的距离分别为,.o(=0),n,r2,…,n~l, ^,…,h一1,h(=口),第i个线元的长度为△以=ri— ri—l,当Arl很小时,可以认为该线元上各点的速度都 为Vi=coti,该线元因切割磁感线而产生的电动势为
AEi 5 BviArf=krio旷iAri 2地%2△以.

内做匀角速转动,要求棒对于O轴所受的合力矩为 零,即外力矩与阻力矩相等,设在A点施加垂直于棒 的外力,,则有

知=M+尥,
由(6)、(7)、(8)式得


(8)

.1=—k20—.gz59R七羔2吼g.
。,Ⅳ’‘6‘

(9)

现了微元法的重要作用一化变量为常量”.一处是
由于导体细棒上各小段的速度不同,切割磁感线而产 生的电动势也不同,很难用某个确定值的物理量来描 述这一过程,唯有将导体棒无限分割,则某一微元而 言。其速度为某一固定常量,便可很快地写出该微元电 动势表示式,接着将各微元的电动势累加,即可得到整 个棒上的电动势.另一处由于各微元虽然所受安培力 次发挥其“化变量为常量”的独特作用. 例3.一个用绝缘材料 制成的扁平薄圆环,其内、 外半径分别为a1、a2,厚度 可以忽略.两个表面都带 有电荷,电荷面密度矿随 离开环心距离r变化的规 律均为口(r)=-00i,口。为已
,.

点评:本题解法连续两次运用了微元法,很好地体

(1)

整个棒上的电动势为
E =

。∑Ⅲ 蝎





以 △以

(2)



。∑■

(r+△r)3=r3+3r2Ar+3r(A,-)2+(△r)3, 略去高阶小量(△r)2及(△t.)3,可得

相同,但距离中心轴距离不同,故力矩不同,微元法再

r2Ar=寺[(r+△,.)3一r3].
代入(2)式,得


图2

E=i1鼬∑(n3一¨3)z{如[,.13一r03)+
(r23一,-13)+…+(^3一h_13)]={妇3.
由全电路欧姆定律。导体棒通过的电流为 (3)

J=导=絮. R)4(








、’7

知常量.薄圆环绕通过环

导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反. 第i个线元△^受到的安培力为 今瑰=BIAri=kGIAri. 作用于该线元的安培力对轴线的力矩 AMi=△-瑰?rl=klri2△n, 作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为 (5)

心垂直环面的轴以大小不变的角加速度p减速转动, t=O时刻的角速度为∞o。将一半径为a0(口o《口1)、电 阻为尺并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放 置.试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力 F与时间t的关系.提示:半径为r、通有电流J的圆 线圈(环形电流),在圆心处产生的磁感应强度为B=

M=∑△M=kI∑^2△^= ∑(一3一心一13)= KI砉(冉¨3)_,Iklaik/a3,
i=l

忌上(志为已知常量).(z005年第22届全国中学生物
理竞赛复赛题) 解析:用半径分别为rl(>口1),r2,…,ri,…,厶一1 (<a2)的疗一1个同心圆把塑料薄圆环分割成n个细 圆环.第i个细圆环的宽度为△以=rl—rl—l,其环带 面积 △Si3,rrf2一万(n—Arl)2=2atfAri, 式中已略去高阶小量(Ari)2,该细圆环上、下表面所带 电荷量之和为 (7)

3,



M=百k20F.1a6.

(6)

因棒A端对导体圆环的正压力为_}mg,所以摩 擦力为寺,腓g,对轴的摩擦力矩为

魄=吉胱口.
一64一
 

Aqi=2盯ASi=警2矾△一=4noro.Ari.
设时刻t,细圆环转动的角速度为∞,∞=too一犀,

其方向与安培力矩相同,均为阻力矩.为使棒在水平面

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(2006)

单位时间内,通过它的“横截面”的电荷量,即为电流

甑=BIAI?casO=BI,Xy,
△凡=BIAl?sinO=BIAx.

(8) (9)

觚=△吼差=鼍警.
由环形电流产生磁场的规律,该细圆环的电流在环心 产生的磁感应强度为

根据对称性,作用于沿半个导线圆环Q删上的各电
流元的安培力的z分量之和相互抵消,即

△Bi:五垒生:正—2w丁aoAri.


正=∑BIAy=BI∑Ay=0.
(1)

(10)

r/

rl‘

式中△^是一个微小量,注意到能一l=ri(ri—Ari)
≈n2,有

(式中△∥=Alcx】sO,当口<号时,的是正的,当0>号 时,幻是负的,故∑幻=0),而作用于沿半个导线
圆环O.MN上的各电流元的安培力的Y分量之和为

等:粤:上一上.
r/‘

^^一1

(2)

r/一1

r/

乃=∑BIAx=BI∑如=B12ao, 的,故≥:缸=2ao)

(11)

将各细圆环产生的磁场叠加,由(1)、(2)式得出环心 。点处的磁感应强度

(式中Az=AlsinO,由于口在0~丌之间Ax都是正

B:—2kow0(a—2-a1). 垂:Bs:—2b-aT0(a—2-a1)磁。2.


(3)

即半个导线圆环上受的总安培力的大小为B12ao,方 向沿Y正方向,由于半个圆环处于平衡状态,所以在 导线截面Q、N处所受(来自另外半个圆环)的拉力 (即张力)F应满足2F=B/2ao.由(3)、(6)两式得

由于口o《口1,可以认为在导线圆环所在小区域的磁场 是匀强磁场,可由0点的场表示.磁场对导线环的磁
通量

(4)

F=胁。=血篆籍必(旷础(12)
由(12)式可见,张力F随时间t线性减小. 点评:本题也连续两次运用了微元法。一处是由于 扁平薄圆环上各带电荷量的细圆环的转动的线速度不 同,导致产生环形电流不同,进而在环心产生的磁感应 强度不同;另一处是由于导线圆环各处的受力虽然大

ala2

由于∞是变化的,所以上述磁通量是随时间变化的, 产生的感应电动势的大小为

E=蚓=她掣蚓

:21咐o(a2-a1)7ra02f1.

由全电路欧姆定律可知。导线环内感应电流的大小为 (6)

设题图2中薄圆环带正电作逆时针旋转,穿过导 线圆环的磁场方向垂直纸面向外,由于薄圆环做减角 速转动,穿过导线圆环的磁场逐渐减小,根据楞次定 律,导线圆环中的感应电流亦为逆时针方向,导线圆环 各元段型所受的安培力都沿环半径向外.现取对于Y 轴两对称点U、y,对应的二段电流元IAl所受的安培
力的大小为

-=景=型铲.

(5)

小相等但方向不同,除了要化矢量为标量外,还必须用 微元法。否则很难求出安培力在Y方向分量的合力. 3.2显示隐含条件,使解题路径简捷正确 在物理竞赛中经常会有这样一类题,其条件并未 明显地给出,而是需要解题者仔细分析和深入挖掘才 能显露出来.这些条件称为隐含条件.显露隐含条件往 往就是解题的关键步骤.在某些包含隐含条件的问题 中,若能正确地对研究对象和物理过程进行微元分析, 也是暴露隐含条件的有效方法之一.下面的例子可以 说明这一点. 例4.一个装有液体的圆柱形容器,固定在一个旋 转的水平圆板中心,圆板旋转的角速度是叫.一定时间 后,液体表面呈凹面型,试求液面与过转轴的竖直平面 的交界线之形状.L2J 解析:如图4所示,曲 线C为题述交界线,Oy为 转动轴,Oz为水平方向. 曲线上任一点的坐标为 (z,Y).求出Y=,(z)的函 数式即可确定陆线C的形

斗=B/A1.

(7)

寒萍
图3





……1f

一Ⅳl

N刀

烨枢 刎!一

方向如图3所示,它沿z及y方向分量分别为

图4

—65—  

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第27卷第5期 2006年

状.将横坐标z均匀细分成n等分,咒一一.对应地,曲
线C上有无穷个分点(0,0)、(z1,y1)、(z2,y2)…… (露,冀)……(磊,%).由于曲线C被无穷分割,故每 相邻两分点间的曲线可近似看做直线段,取其中第f

点,猎犬运动到C点,因为猎犬速率不变,所以没有切 向加速度,只有向心加速度,在这很短时间内可以把猎 犬的运动近似看成匀速圆周运动中的一段,设其轨迹

的半径为R,则OD=OC=R,皿上OC,因时间很
短,我们近似可以看成FD=CE=DE,么ECF=口, (如图6)


小段微元——它是一极小液元来考察.设其质量为
Am,它受到内部液体的弹力N、重力Amg的作用而 做角速度为∞的匀速圆周运动.对该微元,由牛顿第二 定律。可得

Amg。tancl。LXm≯,
式中tan{¥=急=瓮,
于是有



协J D

图5

图6

Ayl=筹‘(詈)2吃
此式为一个等差数列的通项式,对该式求和后取极限 便可得到Y对z的函数即曲线C的方程,即


口=半=警,
所以R:—vz—L.
口1

2。l—im。蚤如2姆蚤警(詈)2(1-I-2+.”+

猎犬的加速度为

n,=告2姆%尹=参2.
这是一个抛物线的标准方程。于是可知容器中液 体表面与过转轴的竖直面之交界线呈抛物线,整个液 面为一抛物面. 点评:本题的条件较为隐秘,因此显露隐含条件成 为该题解题的关键.解题中采用微元法,对液体表面凹 面型曲线进行微元分析,既能得到对该微元的常量描 述,又能暴露题目中所隐含的条件,使得解题简便准
确.

口=萼=_。11广V2,方向与刃垂直.
点评:本题条件也较为隐秘,咋看该题很难看出猎 犬的运动特征,因此很难下手.当尝试用微元法,对猎 犬的运动过程进行微元分析时,其很短时间内的运动 特征“跃然纸上”,解题思路茅塞顿开,有“柳暗花明又 一村”之感觉.可见,微元法的确是暴露隐含条件的有 效方法之一. 参考文献:
1高中物赛委员会.2005年第22届全国中学生物理竞赛预 赛题试卷及答案/2005年第22届全国中学生物理竞赛复

例5.有一只狐狸以不变速度口1沿直线AB逃 跑,一猎犬以不变的速率可2追击,其运动方向始终对 准狐狸,某时刻狐狸在F处猎犬在D处,FDj-AB,且 FD=L,如图5所示,试求此时猎犬的加速度的大 d、C3].

赛题试卷及答案(在http:Ilwuli.zgdata.net/F载) 2张大同.金牌之论竞赛辅导.第2版.西安:陕西师范大学 出版杜.2004. 3胡建军。沈展.用微元法建立物理规律的数学表达式.中学 物理教学参考,2002,(4):60.

解析:设经过一段很短的时间&,狐狸运动到E

(收稿日期:2005—11—05)

(上接第62页)PQ2,运动的时同仍为

由此得 (1)

t2=吾T—RO口.
0QlP,运动的时间就为

△f=警+等a啪2/枷qB.(竹=o’1,2,3,…)
这样一来,答案就不是唯一的,而是一组值. 笔者以为该学生的观点不无道理,该题中由于未 给出具体的数值,确实存在这种可能,只是这是一种临 界情况,不容易考虑到而已.我想该题参考答案确实不 完整,应该加上这一结果. (收稿日期:2005~11—09)

粒子1的路程就应该是整数个圆周长再加上弧长

铲咒T+号丁+譬.
两粒子射入的时间间隔

(2)

At=tl飞=尢t+攀.(咒=0,1,2川3..)(3)
一66一
 

微元法在物理竞赛中的运用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 余建刚 广东省佛山市南海区石门中学,广东,佛山,528248 物理教师 PHYSICS TEACHER 2006,27(5) 1次

参考文献(3条) 1.高中物赛委员会 2005年第22届全国中学生物理竞赛预赛题试卷及答案/2005年第22届全国中学生物理竞赛复赛题 试卷及答案 2.张大同 金牌之论竞赛辅导 2004 3.胡建军.沈晨 用微元法建立物理规律的数学表达式 2002(04)

引证文献(1条) 1.爱宁 高中物理方法教学之"微元法"[期刊论文]-中国科教创新导刊 2009(3)

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