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空间向量的应用(学生)


空间向量的应用
1.在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, AB ? 2, ?BAD ? 60? . (1)求证: BD ? 平面 PAC; (2)若 PA ? AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

2.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB+AD=4, CD= 2 , ?CDA ? 45? . (1)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)设 AB=AP. (i)若直线 PB 与平面 PCD 所成角为 30 ? ,求 AB 的长; (ii)在线段 AD 上是否存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等?说 明理由.

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3.如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD, PD∥QA,QA=AB=

1 PD. 2

(1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q—BP—C 的余弦值.

4.如图,在平面内直线 EF 与线段 AB 相交于 C 点,∠BCF= 30 ,且 AC = CB = 4,将此 平面沿直线 EF 折成 60 的二面角 ? -EF- ? ,BP⊥平面,点 P 为垂足.
?

?

(1) 求△ACP 的面积; (2) 求异面直线 AB 与 EF 所成角的正切值.

?
B B E C F E C P A A F

?

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巩固练习 1.在等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC , AD ?

1 2

BC , ?ABC ? 60? ,N 是 BC 的中点.将

? 梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90 ,得到梯形 ABC ?D? (如图) .
(1)求证: AC ? 平面 ABC ? ; (2)求证: C ?N / / 平面 ADD? ; (3)求二面角 A ? C ?N ? C 的余弦值. B

C?

A

D?

D

N

C

2.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,侧面 PAB 是边长为 2
?

的正三角形,侧面 PAB ? 底面 ABCD . (1)设 AB 的中点为 Q ,求证: PQ ? 平面 ABCD ; (2)求斜线 PD 与平面 ABCD 所成角的正弦值; (3)在侧棱 PC 上存在一点 M ,使得二面角

P

A M

M ? BD ? C 的大小为 60 ? ,求

CM 的值. CP

Q
B

D

C

3.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知面 ABB1 A1 ? 面 CBB1C1 , AB ? BB1 ? BC ? 2 ,

?ABB1 ? ?CBB1 ? 600 ,棱 AC 的中点为 D .
(1)求 AB1 与面 ACC1 A1 所成角的正弦值; (2)求点 D 到平面 A1B1C1 的距离.

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