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高三数学一轮单元测试卷(共18套)试题


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高三数学单元测试卷(一)
第一单元 集合与简易逻辑
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 P

={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义 P※Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则 P※Q 中元素的 个数为 A.3 B.4 C.7 D.12 2. A, 是两个集合, 设 B 定义 A-B={x|x∈A, x B}, M={x||x+1|≤2}, 且 若 N={x|x=|sinα|, ∈R}, α 则 M-N= A.[-3,1] B.[-3,0] C.[0,1] D.[-3,0]

其中正确的命题是 A.①④
x

B.①③

C.①②③

D.①②④

e +1 8.函数 y= x ,x∈(0,+∞)的反函数是 e -1 x-1 A.y=ln ,x∈(-∞,1) x+1 x-1 C.y=ln ,x∈(1,+∞) x+1 x+1 B.y=ln ,x∈(-∞,1) x-1 x+1 D.y=ln ,x∈(1,+∞) x-1

9.如果命题 P: ∈ {} ,命题 Q: {} ,那么下列结论不正确的是 A."P 或 Q"为真 B."P 且 Q"为假 C."非 P"为假 D."非 Q"为假

10.函数 y=x2-2x 在区间[a,b]上的值域是[-1,3],则点(a,b)的轨迹是图中的 A.线段 AB 和线段 AD C.线段 AD 和线段 BC 答题卡 题号 答案 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.已知函数 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,f(x)的 图象如图所示,则不等式 f(x)cosx<0 的解集是 . y O 1 2 3 B. 线段 AB 和线段 CD D. 线段 AC 和线段 BD

3.映射 f:A→B,如果满足集合 B 中的任意一个元素在A中都有原象,则称为"满射".已知集合 A 中有 4 个元素,集合 B 中有 3 个元素,那么从 A 到 B 的不同满射的个数为 A.24 B.6 C. 36 D.72 1 2 3 4

5

6

7

8

9

10

4.若 lga+lgb=0(其中 a≠1,b≠1),则函数 f(x)=ax 与 g(x)=bx 的图象 A.关于直线 y=x 对称 C.关于 y 轴对称 5.若任取 x1,x2∈[a,b],且 x1≠x2,都有 f( 2 B.关于 x 轴对称 D.关于原点对称

x1+x2

f(x1)+f(x2) )> 成立,则称 f(x) 是[a,b]上的凸函数.试 2

. .

.

x

问:在下列图像中,是凸函数图像的为 y a A 6.若函数 f(x)=x- A.[-1,+∞) b x a B y b x a C y b x a D y

12.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税 b x 420 元时,这个人应得稿费(扣税前)为 13.已知函数 f(x)= f ( x) = 元. . .

p p + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是 x 2
B.[1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,1]

x 2 , x ≤ 0,

若f ( f ( x0 )) = 2, 则 x0= 2 cos x,0 < x < π .

7.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①c=0 时,f(x)是奇函数 ③f(x)的图象关于(0,c)对称 ②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根 ④方程 f(x)=0 至多两个实根

14. 若对于任意 a∈[-1, 函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零, x 的取值范围是 1], 则

15.如果函数 f(x)的定义域为 R,对于 m,n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-6,且 f(-1)是不大于 5 的

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正整数,当 x>-1 时,f(x)>0. 那么具有这种性质的函数 f(x)= .(注:填上你认为正确的一个函数即可) 18. (本小题满分 14 分) 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 二次函数 f(x)满足 f (x+1)-f (x)=2x 且 f (0)=1. ⑴求 f (x)的解析式; ⑵在区间[-1,1]上,y=f (x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 已知命题 p :方程 a x + ax 2 = 0 在[-1,1]上有解;命题 q :只有一个实数 x 满足不等式
2 2

x 2 + 2ax + 2a ≤ 0 ,若命题"p 或 q"是假命题,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知集合 A= {x | ( x 2)[ x (3a + 1)] < 0} ,B= {x | ⑴当 a=2 时,求 A ∩ B; ⑵求使 B A 的实数 a 的取值范围.

x 2a < 0} . x (a 2 + 1)

设函数 f ( x ) = 2 x + a 2 x 1 (a 为实数). ⑴若 a<0,用函数单调性定义证明: y = f ( x) 在 ( ∞, +∞ ) 上是增函数; ⑵若 a=0, y = g ( x ) 的图象与 y = f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称,求函数 y = g ( x ) 式. 的解析

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21. (本小题满分 14 分) 20. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x ) = 2 x
2 对于函数 f ( x) = ax + (b + 1) x + b 2( a ≠ 0) ,若存在实数 x0 ,使 f ( x0 ) = x0 成立,则称 x0 为

a 的定义域为(0,1]( a 为实数) . x

⑴当 a = 1 时,求函数 y = f ( x ) 的值域; ⑵若函数 y = f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; ⑶求函数 y = f ( x ) 在 x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.

f (x) 的不动点.
⑴当 a=2,b=-2 时,求 f (x ) 的不动点; ⑵若对于任何实数 b,函数 f (x ) 恒有两相异的不动点,求实数 a 的取值范围; ⑶在⑵的条件下,若 y = f (x ) 的图象上 A,B 两点的横坐标是函数 f (x ) 的不动点,且直线

y = kx +

1 2a + 1
2

是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围.

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高三数学单元测试卷(二)
第二单元 函数
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设函数 y = f (x ) 与函数 g (x ) 的图象关于 x = 3 对称,则 g (x ) 的表达式为

3 2 A. 2

3

2 3 B. 3

3

3 3 C. 2

2 2 D. 3
-1

1 9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=( )x,那么 f 3 A.2
2

(-9)的值为

B.-2

C.3

D.-3

10.若方程 1 x = x + m无实数解,则实数m 的取值范围是 A.(-∞,-1) B.[0,1) C.[ 2,+∞) 答题卡 题号 答案 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11. 函数f ( x ) = log a x满足f (9) = 2,则f
1

D.(-∞,-1)∪( 2,+∞)

3 A. g ( x ) = f ( x ) 2
C. g ( x ) = f ( 3 x )

B. g ( x ) = f (3 x ) D. g ( x ) = f (6 x )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2.设 a = log 0.3 4,b = log 4 3,c = 0.3 2 ,则a,b,c的大小关系是 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<a<c 3.指数函数 y=f(x)的反函数的图象过点(2,-1),则此指数函数为 A. y = ( ) x

( log 9 2) 的值是__________________.

12.使函数 y = x 2 4 x + 5 具有反函数的一个条件是____________________________. (只填上一个条件即可,不必考虑所有情形). 13.函数 y = log 1 ( x 2 x) 的单调递减区间是________________________.
2 2

1 2

B. y = 2 x

C. y = 3 x

D. y = 10 x

4 . 已 知 函 数 f ( x ) = x x 3,x1,x 2,x3 ∈ R,且x1 + x 2 > 0,x 2 + x3 > 0,x3 + x1 >0 , 则

f ( x1 ) + f ( x 2 ) + f ( x3 ) 的值
A.一定大于零 B.一定小于零 C.等于零 D.正负都有可能 5.若函数 f ( x) = log a x + 1 在区间(-1,0)上有 f ( x) > 0,则f ( x) 的递增区间是 A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)

14.已知 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数,并且 f ( x + 2) =

1 ,当 2 ≤ x ≤ 3 时, f ( x ) = x ,则 f ( x)

f (105 .5) = _________________.
15.关于函数 f ( x) = lg

x2 +1 ( x ≠ 0, x ∈ R) 有下列命题: | x|

①函数 y = f (x ) 的图象关于 y 轴对称; ②在区间 (∞,0) 上,函数 y = f (x ) 是减函数;

6.已知 0 < log a 2 < log b 2,则a,b 的关系是 A.0<a<b<1 B.0<b<a<1
x

C.b>a>1

D.a>b>1 ③函数 f (x ) 的最小值为 lg 2 ; D.1 个或 2 个或 3 个 ④在区间 (1, ∞ ) 上,函数 f (x ) 是增函数. 其中正确命题序号为_______________.

7.已知 0 < a < 1,则方程 a A.1 个

= log a x 的实根个数是
C.3 个

B.2 个

8.若 log x y = 2,则x + y 的最小值为

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三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax+

x2 (a>1) x +1

函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0,且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时, Q(x-2a,-y)是函数 y=g(x)图象上的点. ⑴写出函数 y=g(x)的解析式. ⑵当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围.

⑴证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; ⑵用反证法证明 f(x)=0 没有负数根.

17.(本小题满分 12 分) 已知 f(x)=2 -1 的反函数为 f
-

x

1

(x),g(x)=log4(3x+1).

⑴若 f 1(x)≤g(x),求 x 的取值范围 D; 1 ⑵设函数 H(x)=g(x)- f 2
1

19.(本小题满分 14 分) 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额, 拟在 2005 年度进行一系列促销活动, 经过市场调查 和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销t万元之间满足 3-x 与t+1 成反比例,如果不搞促销 活动,化妆品的年销量只能是 1 万件,已知 2005 年生产化妆品的设备折旧,维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为:其生产成 本的 150%"与平均每件促销费的一半"之和,则当年生产的化妆品正好能销完. ⑴将 2005 年的利润 y(万元)表示为促销费t(万元)的函数; ⑵该企业 2005 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入—生产成本—促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

(x),当 x∈D 时,求函数 H(x)的值域.

18.(本小题满分 14 分)

20.(本小题满分 14 分)
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x+ y 1 已知 f(x)在(-1,1)上有定义,f( )=-1,且满足 x,y∈(-1,1)有 f(x)+f(y)=f( ) 2 1 + xy
⑴证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数; ⑵对数列 x1=

f(x)=ax2+bx+1(a>0)有两个相异的不动点 x1,x2. ⑴若 x1<1<x2,且 f(x)的图象关于直线 x=m 对称,求证: ⑵若|x1|<2 且|x1-x2|=2,求 b 的取值范围.

1 <m<1; 2

2 xn 1 ,xn+1= ,求 f(xn); 2 2 1 + xn

⑶求证

1 1 1 2n + 5 + ++ > f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( xn ) n+2

21.(本小题满分 14 分) 对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.如果函数
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高三数学单元测试卷(三)

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第三单元

数列

若每年更新的车辆数比前一年递增 10%, 2003 年底更新现有总车辆数(参考数据 1.14=1.46, 5 则 1.1 =1.61)

(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 8 15 24 1.数列-1, ,- , ,…错误!未定义书签.的一个通项公式是 错误! 错误 未定义书签. 5 7 9 A.an=(-1)n
n

A.10%

B.16.5%

C.16.8%

D.20%

10.已知 a1,a2,a3,…,a8 为各项都大于零的数列,则"a1+a8<a4+a5"是"a1,a2,a3,…,a8 不 是等比数列"的 A.充分且必要条件 C.必要但非充分条件 B.充分但非必要条件 D.既不充分也不必要条件 答题卡 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n +n 2n+1

3

B.an=(-1)n
n

n(n+3) 2n+1

(n+1)2-1 C.an=(-1) 2n-1

n(n+2) D.an=(-1) 2n+1

2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 S6=36,Sn=324,Sn-6=144,则 n= A.15 B.16 C.17 D.18

3.在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是 A.14 B.16 C.18 D.20

二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.已知

a n = log n +1 (n + 2)(n ∈ N + ) .我们把使乘积 a a a …a 为整数的数 n 叫做"劣数" , 1 2 3 n
. .

4.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2 -a1)= A.8 B.-8 C.±8 9 D. 8

则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为

12.已知集合 An = { x | 2 n < x < 2 n +1 , 且x = 7 m + 1, m, n ∈ N + } ,则 A6 中各元素的和为

13.等差数列{an}中,a1=-5,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项,余下 10 项的平均值是 4,则抽取的是第 项. .

5.设等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,若 a1>0,S4=S8,则当 Sn 取得最大值时,n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 n+1 6.已知数列{an}的通项公式 an=log2 (n∈N+),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的正整数 n n+2 A.有最小值 63 C.有最小值 31 B.有最大值 63 D.有最大值 31

14. a+b+c, -a, -b, 若 b+c c+a a+b-c 依次成等比数列, 公比为 q, q3+q2+q= 则 15 . 若 数 列 {an }( n ∈ N + ) 为 等 差 数 列 , 则 数 列 bn =

a1 + a2 + a3 + … + an (n ∈ N + ) n

也为等差数列,类比上述性质,相应地,若数列{cn}是等比数列且 cn > 0( n ∈ N + ) ,则有数列 dn = (n∈N+)也是等比数列.

7. 设数列{an}是公比为 a(a≠1), 首项为 b 的等比数列, n 是前 n 项和, S 对任意的 n∈N+ , 点(Sn , n+1) S 在 A.直线 y=ax-b 上 C.直线 y=bx-a 上 B.直线 y=bx+a 上 D.直线 y=ax+b 上 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{bn}的第 二项,第三项,第四项.
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8.数列{an}中,a1=1,Sn 是前 n 项和,当 n≥2 时,an=3Sn,则 lim S n + 1 的值是 n→∞ S n +1 3 A.-2 4 B.- 5 1 C.- 3 D.1

9.北京市为成功举办 2008 年奥运会,决定从 2003 年到 2007 年五年间更新市内现有的全部出租车,

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⑴求数列{an}与{bn}的通项公式. ⑵设数列{cn}对任意正整数 n,均有

c c1 c2 c3 + + + …… + n = an +1 ,求 c1+c2+c3+…+c2004 的值. b1 b2 b3 bn

19.(本小题满分 14 分) 17. (本小题满分 12 分) 3 已知 f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=- ,a3=f(x).求: 2 ⑴x 的值; ⑵数列{an}的通项公式 an; ⑶a2+a5+a8+…+a26. 1 已知函数 f(x)定义在区间(-1,1)上,f( )=-1,且当 x,y∈(-1,1)时,恒有 2 x-y 1 2an 1 1 1 f(x)-f(y)=f( ),又数列{an}满足 a1= ,an+1= ,设 bn= + +…+ . 2 f(a1) f(a2) f(an) 1+an2 1-xy ⑴证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数; ⑵求 f(an)的表达式; m-8 ⑶是否存在正整数 m,使得对任意 n∈N,都有 bn< 成立,若存在,求出 m 的最小值;若不存 4 在,请说明理由.

18. (本小题满分 14 分) 正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2 Sn=an+1. (1) 试求数列{an}的通项公式; 1 1 ,{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< . (2)设 bn= 2 anan+1

20. (2005 年湖南理科高考题 14 分) 自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞 * 强度对鱼群总量的影响.用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N ,且 x1>0.不考虑其它因 素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn2 成正比,这些比例系数依 次为正常数 a,b,c. ⑴求 xn+1 与 xn 的关系式;
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⑵猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明) * ⑶设 a=2,c=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N ,则捕捞强度 b 的最大允许值 是多少?证明你的结论.

高三数学单元测试卷(四)
21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(t)满足对任意实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且 f(-2)= -2. ⑴求 f(1)的值; ⑵证明:对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t; ⑶试求满足 f(t)=t 的整数 t 的个数,并说明理由.

第四单元 [三角函数]通,性质大集中
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.(2005 年全国高考题)函数 f (x) = | sin x+cos x |的最小正周期是
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A.

π 4

B.

π 2

C.π

D.2π

2.若 cos θ > 0, 且 sin 2θ < 0, 则角θ 的终边所在象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察,函数 y = f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin(ωt + ) 的图象.下面的函 数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( t ∈ [0,24] ) ( A. y = 12 + 3 sin C. y = 12 + 3 sin )

π π
6

t t 3 4

B. y = 12 + 3 sin(

π
6

t +π) t+ 9

3.若函数 f ( x) = sin(ωx + ) 的图象(部分)如图所示,则 ω和 的取值是
A. ω = 1, = C. ω =

π
3

B. ω = 1, = D. ω =

π
3
π 3

y 1
O

12

D. y = 12 + 3 sin(

π

π
2

12

) 10

1 π , = 2 6

4.函数 y = 2 sin(
A. [0,

π

1 π , = 2 6

2π 3

x

题号 1 答案

2

选择题答题卡 5 6 7

8

π
3

6

2 x)( x ∈ [0, π ]) 为增函数的区间是
B. [

]

π
12

,

7π ] 12

C. [

π
3

,

5π ] 6

D. [

5π , π] 6

5.定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数.若 f (x) 的最小正周期是 π ,且当 x ∈ [0 ,
时, f ( x ) = sin x ,则 f ( A.

π
2

]

二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分(15 小题每空 2 分),共 20 分.把答案填在横线上. sin3α 13 11.(2005 年全国高考题)设 α 为第四象限的角,若 sinα = 5 ,则 tan2α =_____________. 12.(2005 年上海春季高考题)函数 y = sin x + arcsin x 的值域是 . nπ π 13.设 f(n)=cos( 2 +4 ),则 f(1)+f(2)+…+f(2006)= . . 14.已知 tanα+cotα=-2,则 tannα+cotnα=______ 15.(2005 年湖南高考题)函数 y=f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数

1 2

5π ) 的值为 3 1 B. 2

C.

3 2

D.

3 2

6.(2005 年全国高考题)锐角三角形的内角 A,B 满足 tan A-
A.sin 2A –cos B = 0 C.sin 2A – sin B = 0

1 = tan B,则有 sin 2 A

π 2 f(x)在[a,b]上的面积.已知函数 y=sinnx 在[0, ]上的面积为 (n∈N*),则(i)函数 y=sin3x 在[0, n n 2π ]上的面积为 ; 3 π 4π (ii) 函数 y=sin(3x-π)+1 在[ , ]上的面积为 3 3 .

7.为了得到函数 y = sin( x ) 的图象,可以将函数 y = cos 2 x 的图象 2 6
π π A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 3 6 π π D.向左平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 3 6 2 π cos x 8.当 0<x< 4 时,函数 f(x)= 的最小值是 ( ) cosxsinx-sin2x A .4 B. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

π

B.sin 2A + cos B = 0 D.sin2A+sinB=0

16. (本题满分 12 分)

已知 sin( + 2α ) sin( 2α ) =

π

π

4

4

1 π π , α ∈ ( , ), 求2 sin2 α + tanα cotα 1的值. 4 4 2

1 2

C .2 π π

D.

1 4
)

9.(2005 年全国高考题)已知函数 y =tan ωx 在(- 2 , 2 )内是减函数,则(

A.0 < ω ≤1 B.-1 ≤ ω < 0 C. ω ≥ 1 D. ω ≤ -1 10.设 y = f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ≤ t ≤ 24 .下表是该港口 某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:
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19.(本题满分 14 分)(2005 年广东高考题)
6k -1 π 6k +1 化简 f(x)=cos( π+2x)+cos( π-2x)+2 3sin( +2x)(x∈R,k∈Z),并求函数 f(x)的值域 3 3 3

17. (本题满分 12 分) (2005 年上海春季高考题) 已知 tanα 是方程 x 2 + 2 x secα + 1 = 0 的两个根中较小的根,求 α 的值.

和最小正周期.

20. (本题满分 14 分)(2005 年天津高考题) 18.(本题满分 14 分) (2005 年湖南高考题)
已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0.求角 A,B,C 的大小. 某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一座铁塔,如图所示,塔高 BC=80(米) ,塔所在的山高 OB =220(米) ,OA=200(米) ,图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上, l 与水平地面的夹 1 角为 α,tanα= ,试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高) 2

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21.(本题满分 14 分)
2 设关于 x 的函数 y = 2 cos x 2a cos x (2a + 1) 的最小值为 f ( a ) .

⑴ 写出 f ( a ) 的表达式; ⑵试确定能使 f (a ) =

1 的 a 值,并求出此时函数 y 的最大值. 2

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高三数学单元测试卷(五)
第五单元 [向量]作运算,图形见奇观
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.(2005 年全国Ⅱ高考题)已知点 A( 3,1),B(0,0),C( 3,0).设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交

为 A.(-2,4)

B.(-30,25)

C.(10,-5)

D.(5,-10)

9.已知向量 OB =( 2,0), OC =( 2, 2), CA =(cosα,sinα)( α∈R),则 OA 与 OB 夹角的取 值范围是 A.[0, ]

p 4

B.[ ,

p 4

5p 12]

C.[

p 5p 12,12]

D.[

5p p 12,2]

10.在△ABC 中,a=x,b=2,B=45°,若这样的△ABC 有两个,则实数 x 的取值范围是 A.(2,+∞) B.(0,2) C.(2,2 2) 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D.( 2,2)

→ → 于 E,那么有BC =λCE,其中 λ 等于
A.2 1 B. 2 C.-3 1 D.- 3

答案 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.(2005 年湖南高考题)已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且|AB|= 3,则

→ → → → → → 2.已知 O 是△ABC 内一点,且满足OAOB=OBOC=OCOA,则 O 点一定是△ABC 的 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

BC CD 其中 a ,b 不共线,则四边形 3.在四边形 ABCD 中, AB = a + 2b , = 4a b , = 5a 3b ,
ABCD 是 A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形

OA OB =

.

12.(2005 年全国Ⅰ高考题)△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,

4.在边长为 1 的正△ABC 中,若 AB = a , BC = b , CA = c ,则 a b + b c + c a = 3 A. 2 3 B.- 2 C.3 D.0 )

OH = m(OA + OB + OC ) ,则实数 m =

.

13.(2005 年天津高考题)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的 平分线上且| OC |=2,则 OC = .

5.已知 a, b, c 为非零的平面向量. 甲: a b = a c,乙 : b = c, 则 甲是乙的( A.充分条件但不是必要条件 C.充要条件 B.必要条件但不是充分条件 D.非充分条件非必要条件

14.(2005 年全国Ⅲ高考题)已知向量 OA = ( k ,12), OB = (4,5), OC = ( k ,10) ,且 A,B,C 三点共线, 则 k= .

6.已知三角形的三条边成公差为 2 的等差数列,且它的最大角的正弦值为 是 15 A. 4 15 3 B. 4 21 3 C. 4

3 ,则这个三角形的面积 2

15.设 a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ① ( a b ) c (c a ) b = 0 ; ② a b < a b ; ③ (b c )a (c a )b 不与 c 垂直; ④ (3a + 2b ) (3a 2b ) = 9 a
2

35 3 D. 4

7.把点(3,4)按向量 a 平移后的坐标为(-2,1),则 y=2x 的图象按向量 a 平移后的图象的函数表达式 为 - - + + B.y=2x 5-3 C.y=2x 5+3 D.y=2x 5-3 A.y=2x 5+3 8.(2005 年全国Ⅱ高考题)点 P 在平面上作匀数直线运动,速度向量 v=(4,-3)(即点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点 P 的坐标为(-10,10) ,则 5 秒后点 P 的坐标

4 b 中是真命题的有

2

.

三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

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16.(本题满分 l2 分) 如图, Rt△ABC 中, 在 已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, PQ与BC 的夹角θ 问 取何值时 BP CQ 的值最大?并求出这个最大值.
C Q a

到 C 使|BC|=t(t>0),连 AC 交 BE 于 D 点. ⑴用 t 表示向量 OC 和 OD 的坐标; ⑵(理)求向量 OD 和 EC 的夹角的大小. 3 (文)当 OC = OB 时,求向量 OD 和 EC 的夹角的大小. 2
B

A

P

17. (本题满分 12 分) A,B,C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a,b,c.若 m =(-cos ,sin ), n =(cos ,

A 2

A 2

A 2

19. (本题满分 14 分) 已知 a = (cos α , sin α ), b = (cos β , sin β )(0 < α < β < π ) . ⑴求证: a + b 与a b 互相垂直; . ⑵若 ka + b 与a kb 大小相等,求 β α (其中 k 为非零实数)

1 A sin 2 ),且 m n =2.
(1)求 A; (2)若 a=2 3,三角形面积 S= 3,求 b+c 的值.

y 18. (本题满分 14 分) 如图,△AOE 和△BOE 都是边长为 1 的等边三角形,延长 OB

A 20.(本题满分 14 分) 设△ABC 的外心为 O,以线段 OA,OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为 D,再以 OC,OD 为

O D B C

E

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x

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邻边作平行四边形,它的第四个顶点为 H. ⑴若 OA = a , = b , = c , a ,b ,c 表示OH ; OB OC 用 ⑵求证:AH⊥BC;

形 ABC 面积 S 的最大值.

→ ⑶设△ABC 中,∠A=60°,∠B=45°,外接圆半径为 R,用 R 表示|OH|.

21.(本题满分 14 分)
2 2 已知圆 O 的半径为 R,它的内接△ABC 中, 2 R (sin A sin C ) = ( 2a b) sin B 成立,求三角

高三数学单元测试卷(六)
第三单元 [不等]符号定,比较技巧深
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(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.不等式(1+x)(1-|x|)>0 的解集是 A.{x|0≤x<1} C.{x|-1<x<1} B.{x|x<0 且 x≠-1} D.{x|x<1 且 x≠-1}

取值范围是 A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞)

9.某工厂第一年年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这两年的平均增长率为 x, 则 A.x=

a+b 2

B.x≤

a+b 2

C.x>

a+b 2

D.x≥

a+b 2

2.直角三角形 ABC 的斜边 AB=2,内切圆半径为 r,则 r 的最大值是 A. 2 B.1 C. 2 2 D. 2-1

10.设方程 2x+x+2=0 和方程 log2x+x+2=0 的根分别为 p 和 q,函数 f(x)=(x+p)(x+q)+2,则 A.f(2)=f(0)<f(3) B.f(0)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(0)=f(2) 答题卡 题号 答案 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 1 x2 + ax 1 2x+a-1 11.对于-1<a<1,使不等式( ) <( ) 成立的 x 的取值范围是_______ . 2 2 12.(2005 年全国Ⅰ高考题)若正整数 m 满足 10 13.已知 f ( x ) =
m 1

D.f(0)<f(3)<f(2)

3.(2005 年天津高考题)给出下列三个命题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a b ①若 a ≥ b > 1 ,则 ≥ 1+ a 1+ b
n ②若正整数 m 和 n 满足 m ≤ n ,则 m( n m) ≤ 2
③设 P ( x1 , y1 ) 为圆 O1 : x 2 + y 2 = 9 上任一点,圆 O2 以 Q ( a, b) 为圆心且半径为 1. 当 ( a x1 ) 2 + (b y1 ) 2 = 1 时,圆 O1 与圆 O2 相切 其中假命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

0, {1,1, xx <≥0,

< 2 512 < 10 m ,则 m =

.(lg2≈0.3010) .

则不等式 x + ( x + 2) f ( x + 2) ≤5 的解集是

14.已知 a>0,b>0,且 a 2 +

b2 = 1 ,则 a 1 + b 2 的最大值是 2

.

15.对于 0 < a < 1 ,给出下列四个不等式 ① log a (1 + a ) < log a (1 + ③a <a a 其中成立的是
1+ a 1+ 1

4.不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|的解集为 A.(1,2) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(2,+∞)

1 ) a
.

② log a (1 + a ) > log a (1 + ④a
1+ a

1 ) a

5.如果 x,y 是实数,那么"xy<0"是"|x-y|=|x|+|y|"的 A.充分条件但不是必要条件 C.充要条件 B.必要条件但不是充分条件

>a

1+

1 a

D.非充分条件非必要条件 ln2 ln3 ln5 6.(2005 年全国Ⅲ高考题)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 l2 分) (2005 年全国Ⅱ高考题) 设函数 f(x) = 2 | x +1|| x 1| ,求使 f(x)≥ 2 2 的 x 取值范围. 的x的

7.已知 a,b,c 满足 c < b < a ,且 ac < 0 ,那么下列选项中不一定成立的是 A. ab > ac B. c(b a ) < 0 C. cb 2 < ab 2
2x

D. ac( a c) < 0

8.(2005 年全国Ⅰ高考题) 设 0 < a < 1 ,函数 f ( x ) = log a ( a

2a x 2) ,则使 f ( x) < 0

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17. (本题满分 12 分)(2005 年全国Ⅲ高考题) 已知函数 f ( x) = 2 sin 2 x + sin 2 x, x ∈ [0, 2π ]. 求使 f ( x ) 为正值的 x 的集合.

19. (本题满分 14 分) 设函数 f(x)=|x-m|-mx,其中 m 为常数且 m<0. ⑴解关于 x 的不等式 f(x)<0; ⑵试探求 f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值.

20.(本题满分 14 分) 18. (本题满分 14 分) ⑴已知 a, b 是正常数, a ≠ b , x, y ∈ (0, +∞ ) ,求证: ⑵利用⑴的结论求函数 f ( x ) = 已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx 2 .

a 2 b 2 ( a + b) 2 + ≥ ,指出等号成立的条件; x y x+ y

⑴当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x) ≤ 1,证明 a ≤ 2 b ; ⑵当 b>1 时,证明对任意 x ∈ [0,1],都有|f(x)| ≤ 1 的充要条件是 b-1 ≤ a ≤ 2 b ; ⑶当 0<b ≤ 1 时,讨论:对任意 x ∈ [0,1],都有|f(x)| ≤ 1 的充要条件.

2 9 1 + ( x ∈ (0, ) )的最小值,指出取最小值时 x 的值. x 1 2x 2

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21.(本题满分 14 分) (2005 年全国Ⅰ高考题) ⑴设函数 f ( x) = x log 2 x + (1 x) log 2 (1 x) (0 < x < 1) ,求 f (x ) 的最小值; ⑵设正数 p1 , p 2 , p 3 , , p 2 n 满足 p1 + p 2 + p 3 + + p 2 n = 1 ,证明

p1 log 2 p1 + p 2 log 2 p 2 + p 3 log 2 p 3 + + p 2n log 2 p 2n ≥ n .

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高三数学单元测试卷(七)
第三单元 直线与圆
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 θ∈R,则直线 x sin θ 3 y + 1 = 0 的倾斜角的取值范围是 A.[0°,30°] C.[0°,30°]∪[150°,180°) B.[150°,180°)

的直线与单位圆的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定

8.直线 l1:x+3y-7=0,l2:kx- y-2=0 与 x 轴,y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则 k 的值等


A.-3 B .3 C.-6 D.6

9.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边 界)内,目标函数 z = 2 x ay 取得最大值的最优解有无 数个,则 a 为

D.[30°,150°]

A.-2

B.2

C.-6

D.6

2.已知两点 M(-2,0) ,N(2,0) ,点 P 满足 PM PN =12,则点 P 的轨迹方程为 x A. +y2=1 16 C.y2-x2=8
2

10.设△ABC 的一个顶点是 A(3,-1) ,∠B,∠C 的平分线方程分别是 x=0,y=x,则直线 BC 的 方程是 A.y=2x+5 B.y=2x+3 C.y=3x+5 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D. y =

B.x2+y2=16 D.x2+y2=8

x 5 + 2 2

3.已知两点 P(4,-9) ,Q(-2,3) ,则直线 PQ 与 y 轴的交点分 PQ 所成的比为 1 A. 3
2

答案

1 B. 2
2 2

C.2

D.3
2

二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上.
11.三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为
2 2 2

.
2

4.M( x0 , y 0 ) 为圆 x + y = a ( a > 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x + y 0 y = a 与该圆的位置关 系为 A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交

12.已知圆 C 的方程为 x + y = r , 定点 M(x0,y0),直线 l : x 0 x + y 0 y = r 有如下两组论断: 第 Ⅰ组 (a) 点 M 在圆 C 内且 M 不为圆心 (b) 点 M 在圆 C 上 (c )点 M 在圆 C 外 第Ⅱ组 (1) 直线 l 与圆 C 相切 (2) 直线 l 与圆 C 相交 (3) 直线 l 与圆 C 相离 .

5.已知实数 x,y 满足 2 x + y + 5 = 0, 那么 x 2 + y 2 的最小值为
A. 5 B. 10 C.2 5 D.2 10

由第Ⅰ组论断作为条件,第Ⅱ组论断作为结论,写出所有可能成立的命题 (将命题用序号写成形如 p q 的形式) 6.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 A.x-y+1=0 B.x-y=0

π 2 2 7.已知 a ≠ b,且 a sin θ +acos θ - =0 ,b sin θ +bcos θ - =0,则连接(a,a2),(b,b2)两点 4 4

π

C.x+y+1=0

D.x+y=0

x + 3 y 3 ≤ 0 y+2 13.已知 x,y 满足 x ≥ 0, ,则 z= 的取值范围是 x 1 y ≥ 0

.

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14.已知 A(-4,0) ,B(2,0)以 AB 为直径的圆与 y 轴的负半轴交于 C,则过 C 点的圆的切线方 程为 .
2 2

15.过直线 x = 2 上一点 M 向圆 ( x + 5) + ( y 1) = 1 作切线,则 M 到切点的最小距离为 _ ____. . 18. (本小题满分 14 分) 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 自点(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆 设有半径为 3km 的圆形村落,A,B 两人同时从村落中心出发,B 向北直行,A 先向东直行,出 村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与 B 相遇.设 A,B 两人速 度一定,其速度比为 3:1,问两人在何处相遇?

x 2 + y 2 4 x 4 y + 7 = 0 相切,求光线 L 所在直线方程.

17. (本小题满分 12 分) 某厂准备生产甲,乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3 千元,2 千元.甲,乙产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在每台 A,B 上加工一件甲产品所需工时分别为 1 时,2 时,加工一件乙 产品所需工时分别为 2 时,1 时,A,B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400 和 500.如何安 排生产可使收入最大? 19. (本小题满分 14 分) 已知圆(x+4)2+y2=25 的圆心为 M1,圆(x-4)2+y2=1 的圆心为 M2,一动圆与这两个圆都外切. ⑴求动圆圆心 P 的轨迹方程; ⑵若过点 M2 的直线与⑴中所求轨迹有两个交点 A,B,求|AM1||BM1|的取值范围.

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20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,在 y 轴的正半轴上给定 A,B 两点,在 x 轴正半轴上求一点 C,使∠ACB 取 得最大值.

21. (本小题满分 14 分) 如图 9-3,已知:射线 OA 为 y=kx(k>0,x>0),射线 OB 为 y= -kx(x>0),动点 P(x,y)在∠AOx 的内部,PM⊥OA 于 M,PN⊥OB 于 N,四边形 ONPM 的面积恰为 k. (1)当 k 为定值时,动点 P 的纵坐标 y 是横坐标 x 的函数,求这个函数 y=f(x)的解析式; (2)根据 k 的取值范围,确定 y=f(x)的定义域. .

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1 6.过抛物线 y2= - x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,且 A,B 在直线 x= 上的射影分别 M, 4 N,则∠MFN 等于 A.45° B.60° C.90° D.以上都不对 2 2 7.直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支交于不同两点,则 k 的取值范围是 A.(- 15 15 , ) 3 3 15 ,0) 3 B.(0, D.(- 15 ) 3 15 ,-1) 3

高三数学单元测试卷(八)
第八单元 圆锥曲线
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知双曲线 为 A.2 B.3
2 2

C.(-

8.已知直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M,N 两点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,若△BMN 的重心恰 好为椭圆的右焦点,则直线 l 的方程是 A.5x+6y-28=0 B.5x-6y-28=0 C.6x+5y-28=0 D.6x-5y-28=0 9.若动点 P(x,y)与两定点 M(-a,0) ,N(a,0)连线的斜率之积为常数 k(ka≠0) ,则 P 点的 轨迹一定不可能是 A.除 M,N 两点外的圆 B.除 M,N 两点外的椭圆 C.除 M,N 两点外的双曲线 D.除 M,N 两点外的抛物线 10.点(x,y)在曲线 3 3 , ] 3 3 1 2

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的实轴长,虚轴长,焦距长成等差数列,则双曲线的离心率 e a 2 b2
4 C. 3 5 D. 3

x = 2 + cos θ y (θ为参数, ≤ θ ≤ π ) 上,则 x的取值范围是 0 y = sin θ
B.[- 3 ,0) 3 5 C.[- 答题卡 3 ,0] 3 7 8 D.(-∞, 3 ] 3 10

A.[-

2.已知双曲线的两个焦点是椭圆 则此双曲线的方程是 A.

x y + = 1 的两个顶点,双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点, 100 64

题号 答案

3

4

6

9

二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. B.

x y =1 60 30

2

2

x y =1 50 40

2

2

C.

x y =1 60 40

2

2

D.

x y =1 50 30

2

2

11.双曲线

( x 2) 2 y 2 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等于它的一 a2 b

3.已知 P 是椭圆 4 A. 5

x2 y2 + = 1 上的一点,则 P 到一条准线的距离与 P 到相应焦点的距离之比为 9 16
5 B. 4 C. 7 4 D. 4 7

个焦点到一条渐近线的距离,则双曲线的两条渐近线的夹角为 . 12.双曲线 的两个焦点 F1,F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 到 x 轴的距离 为 .

4.若抛物线 y2=2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6,则该点横坐标为 A.10 B.9 C.8 D.6 5.已知动点 P(x,y)满足 5 ( x 1) + ( y 2) =| 3 x + 4 y + 12 | ,则 P 点的轨迹是
2 2

x2 y2 13.已知 F1,F2 是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的焦点,P 是椭圆上一点,且∠F1PF2=90°,则椭圆的 a b
离心率 e 的取值范围是 .

A.两条相交直线

B.抛物线

C.双曲线

D.椭圆

14.椭圆 C1:

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 在第一象限部分的一点 P,以 P 点横坐标作为长轴长,纵坐标作 a 2 b2

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为短轴长作椭圆 C2,如果 C2 的离心率等于 C1 的离心率,则 P 点坐标为 . 15.设 P 是双曲线 y2=4(x-1)上的一个动点,则点 P 到点(0,1)的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的 最小值是 .

18. (本小题满分 14 分) 三,解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16. (本小题满分 12 分) 过双曲线 如图所示,在直角梯形 ABCD 中,|AD|=3,|AB|=4,|BC|= 3 ,曲线段 DE 上任一点到 A,B 两 点的距离之和都相等. (1)建立适当的直角坐标系,求曲线段 DE 的方程; (2)过 C 能否作一条直线与曲线段 DE 相交,且所 得弦以 C 为中点,如果能,求该弦所在的直线 的方程;若不能,说明理由.

x2 y2 π = 1 的右焦点 F 作倾斜角为4的直线交双曲线于 A, 两点,求线段 AB 的中点 C B 9 16

到焦点 F 的距离.

19. (本小题满分 14 分) 已知 H(-3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足 17. (本小题满分 12 分)已知双曲线 x2-3y2=3 的右焦点为 F,右准线为 l,以 F 为左焦点,以 l 为左 准线的椭圆 C 的中心为 A,又 A 点关于直线 y=2x 的对称点 A'恰好在双曲线的左准线上,求椭圆 的方程.

3 HP PM = 0, PM = MQ. 2
⑴当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; ⑵过点 T(-1,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 A,B 两点,若在 x 轴上存在一点 E(x0,0),使得△ABE 是等边三角形,求 x0 的值.

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20. (本小题满分 14 分) 如图,椭圆

x2 y 2 + = 1 上的点 M 与椭圆右焦点 F1 的连线 MF1 与 x 轴垂直,且 OM(O 是坐标原 a2 b2

21. (本小题满分 14 分) 设 x,y∈R,i,j 为直角坐标平面内 x,y 轴正方向上的单位向量,若向量 a=xi+(y+2)j,b=xi +(y-2)j,且|a|+|b|=8. (1)求点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 OP = OA + OB, 是否存在这样的直线 l, 使得四边形 OAPB 为矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.

点)与椭圆长轴和短轴端点的连线 AB 平行. (1)求椭圆的离心率; π (2)F2 是椭圆的左焦点,C 是椭圆上的任一点,证明:∠F1CF2≤ ; 2 (3)过 F1 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P,Q, 若△PF2Q 的面积是 20 3 ,求此时椭圆的方程.

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A.3 个

B.4 个

C.6 个

D.7 个

高三数学单元测试卷(九)
第九单元 [简单几何体],交角与距离
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.(2005 年全国Ⅰ高考题)过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直线有

8.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,C1D1 的中点,则直线 A1B1 与平面 A1ECF 所成 角的正弦为 A. 6 3 B. 3 3 C. 6 6 D. 2 2

9.在空间直角坐标系 O—xyz 中,有一个平面多边形,它在 xOy 平面的正射影的面积为 8,在 yOz 平 面和 zOx 平面的正射影的面积都为 6,则这个多边形的面积为 A.2 46 B. 46 C.2 34 D. 34

A.18 对 A. 8 2π

B.24 对 B. 8π

C.30 对
C. 4 2π

D.36 对
D. 4π

10.将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 A.

2. .(2005 年全国Ⅰ高考题)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 π ,则球的表面积为

3+2 6 3
1 2

B.2+

2 6 3
4 5

C.4+

2 6 3
7

D.

4 3+2 6 3
9 10

答题卡 题号 答案 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.正三棱锥 P-ABC 的四个顶点同在一个半径为 2 的球面上,若正三 棱锥的侧棱长为 2 3,则正三棱锥的底面边长是_____________ . 12.如图,PA⊥平面 ABC,∠ABC=90°且 PA=AB=BC=a, 则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于________. 13.已知球面上 A,B 两点间的球面距离是 1,过这两点的球面半径的 夹角为 60°,则这个球的表面积与球的体积之比是 . 3 6 8

3.设三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V,P,Q 分别是侧棱 AA1,CC1 上的点,且 PA=QC1,则四棱锥 B-APQC 的体积为 V A. 6 V B. 4 V C. 3 V D. 2

4.(2005 年全国Ⅰ高考题)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE, △BCF 均为正三角形,EF‖AB,EF=2,则该多面体的体积为

A.

2 3
4 3

B.
D.

3 3

3 2 5.设 α,β,γ 为平面, m,n,l 为直线,则 m ⊥ β 的一个充分条件是

C.

A. α ⊥ β , α ∩ β = l , m ⊥ l C. α ⊥ γ , β ⊥ γ , m ⊥ α

B. α ∩ γ = m, α ⊥ γ , β ⊥ γ D. n ⊥ α , n ⊥ β , m ⊥ α

6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 ABC1D1 的 距离为 D
1

1 A. 2 C. 2 2

B.

2 4 3 2

O A1 B1 D A B

C1

14.下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中,真命题的编号是______________(写出所有真命题的编号) .

D.

C

7.不共面的四个定点到平面 α 的距离都相等,这样的平面 α 共有

15.(2005 年全国Ⅰ高考题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过对角线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E,交 CC1 于 F,则 ① 四边形 BFD1E 一定是平行四边形

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② 四边形 BFD1E 有可能是正方形 ③ 四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D 以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号) . 18. (本题满分 14 分) 如图,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD;

三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 l2 分) 在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明 AB⊥平面 VAD. (Ⅱ)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小.

V D A B C

(2)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值; (3)在 BC 边上是否存在一点 G,使得 D 点到平面 PAG 的距离为 1,若存在,求出 BG 的值;若 不存在,请说明理由. P E A B C D

17. (本题满分 12 分)(2005 年湖南高考题) 如图 1,已知 ABCD 是上,下底边长分别是 2 和 6,高为 3的等腰梯形.将它沿对称轴 OO1 折成 直二面角,如图 2.

O1 D O1 C D O A O B A

C

B

19. (本题满分 14 分) 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,侧棱 A1A 与 AB,AC 均成 45° 角,且 A1E⊥B1B 于 E,A1F⊥CC1 于 F. C1 A1 ⑴求证:平面 A1EF⊥平面 B1BCC1; B1 F ⑵求直线 AA1 到平面 B1BCC1 的距离; E ⑶当 AA1 多长时,点 A1 到平面 ABC 与平面 B1BCC1 的距离相等. A B C

(Ⅰ)证明 AC⊥BO1; (Ⅱ)求二面角 O-AC-O1 的大小.

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20.(本题满分 14 分) 如图直角梯形 OABC 中, ∠COA=∠OAB=

π
2

, OC=2, OA=AB=1,SO⊥平面 OABC,SO=1,

21.(本题满分 14 分) 直三棱柱 ABC-A1B1C1, 底面△ABC 中, CA=CB=a, ∠BCA=90°, 1=2a, N 分别是 A1B1, AA M, AA1 的中点. (I)求 BN 的长;

以 OC,OA,OS 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系 O-xyz. ⑴求 SC与OB的夹角α 的大小(用反三角函数表示) ; ⑵设 n = (1, p, q ), 满足 n ⊥ 平面SBC , 求 : ① n 的坐标; O ②OA 与平面 SBC 的夹角 β (用反三角函数表示) ; B ③O 到平面 SBC 的距离. ⑶设 k = (1, r , s )满足 k ⊥ SC且k ⊥ OB.填写 : ① k的坐标为 . C A

z
S

(II)求 cos〈 BA1 ,CB1 〉 ; (III)求证:A1B⊥C1M.

y

x

②异面直线 SC,OB 的距离为

.(注:⑶只要求写出答案)

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9.若向量 MA, MB, MC 的起点与终点 M,A,B,C 互不重合且无三点共线,且满足下列关系(O 为 空间任一点) ,则能使向量 MA, MB, MC 成为空间一组基底的关系是 A. OM =

高三数学单元测试卷(十)
第十单元 空间向量及运算
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,设 AC1 = x AB + 2 yBC + 3 zCC1 ,则 x+y+z 等于 A.1 2 B. 3 5 C. 6 11 D. 6 64 D. 9

1 1 1 OA + OB + OC 3 3 3 1 2 C. OM = OA + OB + OC 3 3

B. MA ≠ MB + MC D. MA = 2 MB MC

10.已知 a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),且 sinα≠cosα,则向量 a+b 与 a-b 的夹角是 A.0° B.30° C.60° D.90° 答题卡 题号 答案 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.已知 a=(2,-1,2) ,b=(2,2,1) ,则以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为 . 12.与向量 a=(2,-1,2)共线,且满足方程 ax= -18 的向量 x= 13.若点 A,B 的坐标为 A(3cosα,3sinα,1) ,B(2cosθ,2sinθ,1)则 | AB | 取值范围 O 若 则 14. 已知 G 是△ABC 的重心, 是空间与 G 不重合的任一点, OA + OB + OC = λ OG , λ= 15.已知 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),且|a|=5,|b|=6,ab=30,则 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.设 a=(x,4,3),b=(3,2,z),且 a‖b,则 xz 的值为 A.9 B.-9 C.4

3.已知 A(1,2,-1)关于面 xoy 的对称点为 B,而 B 关于 x 轴对称的点为 C,则 BC = A. (0,4,2) B. (0,-4,-2) C. (0,4,0) D. (2,0,-2)

. . .

4.如图,在四面体 O—ABC 中,是 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点,则 MN =

1 2 1 A. OA OB + OC 2 3 2 2 1 1 C. OA + OB + OC 3 2 2

1 1 2 B. OA + OB OC 2 2 3 2 2 1 D. OA + OB OC 3 3 2
D.-15

a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3

5.已知 a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则 5a 与 3b 的数量积等于 A.-1 B.-3 C.-5 6.设空间四点 O,A,B,P,满足 OP = OA + t AB, 其中 0<t<1,则有

三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 l2 分) 已知 a=(1,1,0) ,b=(1,1,1) ,若 b=b1+b2,且 b1‖a,b2⊥a,试求 b1,b2.

A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的延长线上 C.点 P 在线段 BA 的延长线上 D.点 P 不一定在直线 AB 上 7.已知向量 a=(1,1,0) ,b=(-1,0,2) ,且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 等于 A.1 1 B. 5 3 C. 5 7 D. 5

8.设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 AB AC = 0, AC AD = 0, AB AD = 0, 则 B,C,D 三点构成 A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.形状不能确定
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19. (本题满分 14 分) 17. (本题满分 12 分) 如图,BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标为 ( =90°,∠DCB=30°. ⑴求向量 CD 的坐标; ⑵求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值.

3 1 , , 0) ,点 D 在平面 yoz 上,且∠BDC 2 2

1 如图,已知四面体 O—ABC 中,E,F 分别为 AB,OC 上的点,且 AE= AB,F 为中点,若 AB= 3 3,BC=1,BO=2,且∠ABC=90°,∠OBA=∠OBC=60°,求异面直线 OE 与 BF 所成角的余 弦值.

18. (本题满分 14 分) 已知 a,b 是非零的空间向量,t 是实数,设 u=a+tb. ⑴当|u|取得最小值时,求实数 t 的值; ⑵当|u|取得最小值时,求证:b⊥(a+tb).

20.(本题满分 14 分)
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已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,P,Q 分别是 BC,CD 上的动点,且|PQ|= 2,建立如 图所示的直角坐标系. ⑴确定 P,Q 的位置,使得 B1Q⊥D1P; ⑵当 B1Q⊥D1P 时,求二面角 C1—PQ—C 的正切值.

⊥B1M. ⑴试求 A1P 与平面 APC 所成角的正弦; ⑵求点 A1 到平面 APC 的距离.

21.(本题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都是 2,M 是 BC 的中点,P 是侧棱 BB1 上一点,且 A1P
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高三数学单元测试卷(十一)
第十一单元 排列组合,二项式定理
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 18 小题,每小题 5 分,共 90 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

A.36

B.32

C.24

D.20

1 2 n 7.若 n 是奇数,则 7 n + Cn 7 n 1 + Cn 7 n 2 + ……+ Cn 1 7 被 9 除的余数是

A.0

B.2

C.7

D.8

8.现有一个碱基 A,2 个碱基 C,3 个碱基 G,由这 6 个碱基组成的不同的碱基序列有 合题目要求的. 1.5 人排一个 5 天的值日表,每天排一人值日,每人可以排多天或不排,但相邻两天不能排同一人, 值日表排法的总数为 A.120 B.324 C.720 D.1280 A.20 个 B.60 个 C.120 个 D.90 个

9.某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如果将这 3 个节目插 入原节目单中,那么不同的插法种数为 A.504 B.210 C.336 D.120

2.一次考试中,要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行答题,要求至少包含前 5 个题目中的 3 个,则考生答题的不同选法的种数是 A.40 B.74 C.84 D.200

10.在 (1 + x)3 + (1 + x) 4 +……+ (1 + x) 2005 的展开式中,x3 的系数等于
4 A. C2005 4 B. C2006 3 C. C2005 3 D. C2006

3.以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A.18 个 B.15 个 C.12 个 D.9 个

11.现有男女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人,分别参加数理化三科竞赛,共有 90 种不同方案,则男,女生人数可能是 A.2 男 6 女 B.3 男 5 女 C.5 男 3 女
5

4.从一架钢琴挑出的十个音键中,分别选择 3 个,4 个,5 个,…,10 个键同时按下,可发出和弦, 若有一个音键不同,则发出不同的和弦,则这样的不同的和弦种数是 A.512 B.968 C.1013 D.1024

D.6 男 2 女

12.若 x∈R,n∈N+ ,定义 M x n =x(x+1)(x+2)…(x+n-1),例如 M 5 =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数 f ( x) = xM 19 9 的奇偶性为 x A.是偶函数而不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.是奇函数而不是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

5.如果 ( x + x x ) n 的展开式中所有奇数项的系数和等于 512,则展开式的中间项是
6 A. C10 x8

B. C10 x

5

7

x

C. C84 x 6

D. C11 x

6

8

x

6.用 0,3,4,5,6 排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的五位数的个 数是

13 . 由 等 式 x 4 + a1 x 3 + a2 x 2 + a3 x + a4 = ( x + 1) 4 + b1 ( x + 1)3 + b2 ( x + 1) 2 + b3 ( x + 1) + b4 , 定 义 映 射

f : (a1 , a2 , a3 , a4 ) → (b1 , b2 , b3 , b4 ), 则 f(4,3,2,1)等于
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A. (1,2,3,4) C. (-1,0,2,-2)

B. (0,3,4,0) D. (0,-3,4,-1)

二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在横线上. 19.某电子器件的电路中,在 A,B 之间有 C,D,E,F 四个焊点(如图) ,如果焊点脱落,则可能导 致电路不通.今发现 A,B 间电路不通,则焊点脱落的不同情况有 20.设 f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1,则 f(x)的反函数 f 1(x)=
-

14.已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},从 A 到 B 的映射 f(x),B 中有且仅有 2 个元素有原象, 则这样的映射个数为 A.8 B.9 C.24 D.27

种. .

21. 正整数 a1a2…an…a2n-2a2n-1 称为凹数, 如果 a1>a2>…an, a2n-1>a2n-2>…>an, 且 其中 a(i=1,2,3,…) i ∈{0,1,2,…,9},请回答三位凹数 a1a2a3(a1≠a3)共有 个(用数字作答) . .

15.有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,又不与乙相邻,而不同的站法有 A.24 种 B.36 种 C.60 种 D.66 种

22.如果 a1(x-1)4+a2(x-1)3+a3(x-1)2+a4(x-1)+a5=x4,那么 a2-a3+a4

16.等腰三角形的三边均为正数,它们周长不大于 10,这样不同形状的三角形的种数为 A.8 B.9 C.10 D.11

23.一栋 7 层的楼房备有电梯,在一楼有甲,乙,丙三人进了电梯,则满足有且仅有一人要上 7 楼, 且甲不在 2 楼下电梯的所有可能情况种数有 . .

17.甲,乙,丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天 1 人值班,每人 值班 2 天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同的值班表有 A.36 种 B.42 种 C.50 种 D.72 种

24.已知(x+1)6(ax-1)2 的展开式中,x3 的系数是 56,则实数 a 的值为

三,解答题:本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 25. (本小题满分 12 分) 将 7 个相同的小球任意放入四个不同的盒子中,每个盒子都不空,共有多少种不同的方法?

18.若 ( 2 x)10 = a0 + a1 x + a2 x 2 +…+ a10 x10 , 则(a0 + a2 +…+ a10 ) 2 (a1 + a3 +…+ a9 ) 2 的值为 A.0 B.2 C.-1 D.1

答题卡 题号 答案 26. (本小题满分 12 分) 已知(
4

1

2

3

4

5

6

7

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10

11

12

13

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17

18

1 3 + x2)n 展开式中的倒数第三项的系数为 45,求: x

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⑴含 x 的项; ⑵系数最大的项.

3

27. (本小题满分 12 分)
1 2 3 n 求证: 1 + 4Cn + 7Cn + 10Cn + …+ (3n + 1)Cn = (3n + 2) 2 n 1.

高三数学单元测试卷(十二)
第十二单元
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[排组]到[概率],算法找规律

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(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.将 4 名教师分配到 3 种中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分配方案共有 A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种

A.48

B.36

C.24

D.18

9.四面体的顶点和各棱中点共 10 个点, 在其中取 4 个不共面的点, 则不同的取法共有 A.150 种 B.147 种 C.144 种 D.141 种

10.从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之 和等于9的概率为 19 A. 125

2.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目 插入原节目单中, 那么不同插法的种数为 A.42 B.96 C.124 D.48

18 B. 125

16 C. 125

13 D. 125

答题卡 5 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3. 1-9 这 9 个不同的数字分别填入右图中的方格中, 将 要求每行自左至右数字从小 到大排,每列自上到下数字也从小到大排,并且 5 排在正中的方格,则不同的填法 共有 A.24 种 B.20 种 C.18 种 D.12 种

二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.若 C n = C n 1 + C n 1 ,则 n 的值为
3 3 4

4.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不同的 选法共有 A.140 种 B.120 种 C.35 种 D.34 种

_____ .

12.一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000,有四台这中型号的自动机床各 自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是 .

5.某人射击一次击中的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 81 54 36 27 A. B. C. D. 125 125 125 125 6.(2005 年全国Ⅲ高考题) 在(x-1)(x+1)8 的展开式中 x5 的系数是 A.-14 B.14 C.-28 D.28

13.将标号为 1,2,…,10 的 10 个球放入标号为 1,2,…,10 的 10 个盒子内, 每个盒子内放一个 球,则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 . 14.若在二项式(x+1)10 的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 (结果用分数表示). 15.(2005 年湖南高考题)在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6 展开式中,x2 的系数是 (用数字作答) . (以数字作答) .

7.在一次足球预选赛中, 某小组共有 5 个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场), 已知胜一场得 3 分, 平一场得 1 分, 负一场的 0 分. 积分多的前两名可出线(积分相等则要要比净胜球数或进球总 数). 赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 A.22 B.23 C.24 D.25

8.(2005 年湖南高考题) 4 位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲,乙两道题 中任选一题作答,选甲题答对得 100 分,答错得-100 分;选乙题答对得 90 分,答错得-90 分.若 4 位同学的总分为 0,则这 4 位同学不同得分情况的种数是

三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 l2 分) 从 1 到 100 的自然数中, 每次取出不同的两个数, 使它的和大于 100, 则不同的取法有多少种.

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⑶求有坑需要补种的概率.

19. (本题满分 14 分) 甲与乙两人掷硬币,甲用一枚硬币掷 3 次,记下国徽面朝上的次数为 m;乙用一枚硬币掷 2 次,记 下国徽面朝上的次数为 n. ⑴计算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表: 17. (本题满分 12 分)(2005 年全国Ⅰ高考题) 设甲,乙,丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内,甲,乙都需要照顾的 概率为 0.05,甲,丙都需要照顾的概率为 0.1,乙,丙都需要照顾的概率为 0.125, ⑴求甲,乙,丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少; ⑵计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 国徽面朝上次数 m P(m) 国徽面朝上次数 m P(m) ⑵现规定:若 m>n,则甲胜;若 n≥m,则乙胜.你认为这种规定合理吗?为什么? 2 1 0 3 2 1 0

18. (本题满分 14 分) 9 粒种子分种在甲,乙,丙 3 个坑内,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率为 0.5 ,若一个坑内至少有 1 粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种. ⑴求甲坑不需要补种的概率; ⑵求 3 个坑中恰有 1 个坑不需要补种的概率;

20.(本题满分 14 分) 规定 Ax = x ( x 1) ( x m + 1), 其中 x ∈ R , 为正整数, Ax = 1, 这是排列数 An ( n, m 是正整数, m 且
m 0 m

且 m ≤ n) 的一种推广.

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⑴求 A15 的值; ⑵排列数的两个性质:① An = nAn 1 ,
m m m 1

3

a1 , a 2 , a 3 , a 4 ,有多少不同的种植方法?
② An + mAn
m m 1

= Anm+1 .(其中 m,n 是正整数)是否都能推

⑵如图 3,圆环分成的 n 等份为 a1 , a 2 , a 3 ,……,an,有多少不同的种植方法?

广到 Ax ( x ∈ R, m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由; ⑶确定函数 Ax 的单调区间.
3

21.(本题满分 14 分) 一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为

n(n ≥ 3, n ∈ N ) 等份,种植红,黄,蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.
⑴如图 1,圆环分成的 3 等份为 a1 , a 2 , a 3 ,有多少不同的种植方法?如图 2,圆环分成的 4 等份为
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高三数学单元测试卷(十三)
第十三单元 [统计]到整体,推断与估计
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.10 个小球分别编有号码 1,2,3,4,其中 1 号球 4 个,2 号球 2 个,3 号球 3 个,4 号球 1 个,则 数 0.4 是指 1 号球占总体分布的 A.频数 B.概率 C.频率 D.累积频率 2.已 知 10 个 数 据 : 1203 1201 1194 1200 1204 1201 1199 1204 1195 1199 它们的平均数是 A.1400 B.1300 C.1200 D.1100

确的是 A.平均数与方差都不变 C.平均数不变,方差变了

B.平均数与方差都变了 D.平均数变了,方差不变

9.从 5 名男生,1 名女生中,随机抽取 3 人,检查他们的英语口语水平,在整个抽样过程中,若这名 女生第一次,第二次均未被抽到,那么她第三次被抽到的概率是 1 1 2 1 B. C. D. A. 6 3 3 2 10.某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二,三年级各 81 人,现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样,分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和 分层抽样时,将学生按一,二,三年级依次统一编号为 1,2,…,270;使用系统抽样时,将学 生统一随机编号为 1,2,…,270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 关于上述样本的下列结论中,正确的是 A.②,③都不能为系统抽样 B.②,④都不能为分层抽样 C.①,④都可能为系统抽样 D.①,③都可能为分层抽样 答题卡 题号 答案 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.一个容量为 n 的样本分成若干组,已知某组的频数和频率分别是 20 和 0.25,则 n= . 12.甲,乙,丙,丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示: 甲 平均环数 x 方差 s2 则参加奥运会的最佳人选为 8.5 3.5 . 乙 8.8 3.5 丙 8.8 2.1 丁 8 8.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3.某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5,现用分层抽样方法抽出一 个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n= A.60 B.70 C.80 D.90

4.若 m 个 数 的 平 均 数 是 x, n 个 数 的 平 均 数 是 y, 则 这 m+n 个 数 的 平 均 数 是 x+y x+y mx+ny mx+ny A. B. C. D. 2 m+n m+n x+y 5.为了了解全校 1320 名高一学生的身高情况,从中抽取 220 名学生进行测量,下列说法正确的是 A.样本容量是 220 B.个体是每一个学生 C.样本是 220 名学生 D.总体是 1320 6.某公司在甲,乙,丙,丁四个地区分别有 150 个,120 个,180 个,150 个销售点.公司为了调查产 品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙地区中 有 20 个特大型销焦点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为②.则完 成①,②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A.分层抽样,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简随机抽样法,分层抽样法 7.如图所示是一批产品中抽样得到数据的频率直方图, 由图可看出概率最大时数据所在范围是 A. (8.1,8.3) B. (8.2,8.4) C. (8.4,8.5) D. (8.5,8.7) 8.对一组数据 xi(i=1,2,…,n),如将它们改为 xi-m(i=1,2,…,n),其中 m≠0.则下面结论正

13.若 x1 , x 2 , , x8 的方差为 3,则 2( x1 3),2( x 2 3), 2( x8 3) 的方差是_____. 14.一个公司有 N 个员工,下设一些部门,现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为 n(N 是 n 的倍数),已知某部门被抽取了 m 个员工.那么这一部门的员工是 . 15.为科学地比较考试布成绩,有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分,转化关系式为 Z= x-- x (其中 x 是某位学生的考试分数,-是该次考试的平均分,s 是该次考试的标准差,Z 称为这 x

s

个学生的标准分).转化后可能出现小数和负值,因此又常将 Z 分数作线性变换为其他分数.如某 次学业选拔考试采用的是 T 分数,线性变换公式是 T=40Z+60.已知在这次考试中某位考生的 考试分数是 85,这次考试的平均分是 70,标准差是 25.则该考生的 T 分数是 .

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三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 进行随机抽样时,甲学生认为: "每次抽取一个个体时,任一个个体 a 被抽到的概率"与"在整个 抽样过程中个体 a 被抽到的概率"是一回事,而学生乙则认为两者不是一回事.你认为甲,乙两 学生中哪个对?请列举具体例子加以说明.

18. (本小题满分 14 分) 某农科所为寻找高产稳定的油菜品种,选了三个不同的油菜品种进行试验,每一品种在五块试验 田试种.每块试验田的面积为 0.7 公顷,产量情况如下表. 品种 1 2 3 各试验田产量(kg) 1 21.5 21.3 17.8 2 20.4 23.6 23.3 3 22.0 18.9 21.4 4 21.2 21.4 19.1 5 19.9 19.8 20.8

试评定哪一品种既高产又稳定.

17. (本小题满分 12 分) 某人从湖中打了一网鱼,共 m 条,做上记号再放入湖中,数日后,又从该湖中打了一网鱼共 n 条, 其中 k 条有记号,估计湖中有多少条鱼?

19. (本小题满分 14 分) 某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下: 等待时间(min) 频数 [0,5) 4 [5,10) 8 [10,15) 5 [15,20) 2 [20,25) 1

试用上述分组资料求出病人平均等待时间的估计值-及平均等待时间标准差的估计值 s. x

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20. (本小题满分 14 分) 某电信部门执行的新的电话收费标准中,其中本地网营业区内的通话费标准:前 3 分钟为 0.20 元 (不足 3 分钟按 3 分钟计算) ,以后的每分钟收 0.10 元(不足 1 分钟按 1 分钟计算. )在一次实习 作业中,某同学调查了 A,B,C,D,E 五人某天拨打的本地网营业区内的电话通话时间情况, 其原始数据如下表所示: A 第一次通话时间 第二次通话时间 第三次通话时间 应缴话费(元) ⑴在上表中填写出各人应缴的话费; ⑵设通话时间为 t 分钟,试根据上表完成下表的填写(即这五人在这一天内的通话情况统计表) : 时间段 0<t≤3 3<t≤4 4<t≤5 5<t≤6 合计 正 正 ⑶若该本地网营业区原来执行的电话收费标准是: 3 分钟为 0.20 元 每 (不足 3 分钟按 3 分钟计算) . 问这五人这天的实际平均通话费与原通话标准下算出的平均通话费相比,是增多了还是减少了? 增或减了多少? 频数累计 ┯ 频数 2 频率 0.2 累计频率 0.2 3分 0分 0分 B 3 分 45 秒 4分 0分 C 3 分 55 秒 3 分 40 秒 5分 D 3 分 20 秒 4 分 50 秒 2分 E 6分 0分 0分

21. (本小题满分 14 分) 考察某校高三年级男生的身高,随机抽取 40 名高三男生,实测身高数据(单位:㎝) 如下: 171 171 165 176 163 163 169 166 168 168 160 169 167 159 151 168 170 160 168 174 161 167 156 157 164 157 162 166 158 164 163 163 168 165 168 174 169 180 167 161

⑴作出频率分布表; ⑵画出频率分布直方图; ⑶估计身高不大于 160 ㎝的概率.

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高三数学单元测试卷(十四)
第十四单元 导数及应用
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.曲线 y=x +3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率 k 是 A.4 B.5 C.6 D.7 2.已知二次函数 y=ax2+(a2+1)x 在 x=1 处的导数值为 1,则该函数的最大值是 25 A. 16 x2-1 的导数是 3.函数 y= x x2-1 A. x x2+1 B. x x2-1 C. 2 x 1-x2 D. 2 x 25 B. 8 25 C. 4 25 D. 2
2

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.过点(0,-4)与曲线 y=x3+x-2 相切的直线方程是 . 12.设 y= 3 2 ,则 y′= x2
1 2

.

,则函数 f(x)= 13.以函数 y = x 为导数的函数 f(x)图象过点(9,1)

.

14.已知函数 f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于 x∈(-1,1)恒有 f'(x)<0 成立,若 f(- 2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数 a 的取值范围是 . 15.已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,给出下列结论: ①若存在常数 x0,使 f'(x)=0,则函数 f(x)必在 x0 处取得极值; ②若函数 f(x)在 x0 处取得极值,则函数 f(x)在 x0 处必可导; ③若函数 f(x)在 R 上处处可导,则它有极小值就是它在 R 上的最小值; ④若对于任意 x≠x0 都有 f'(x)>f(x),则 f(x0)是函数 f(x)的最小值; ⑤若对于任意 x<x0 有 f'(x)>0,对于任意 x>x0 有 f'(x)<0,则 f(x0)是函数 f(x)的一个最大值; 其中正确结论的序号是 .

4.已知函数 f(x-1)=2x2-x,则 f′(x)= A.4x+3 B.4x-1 C.4x-5 D.4x-3 3 5.曲线 y=x 的切线中斜率等于 1 的直线 A.不存在 B.存在,有且仅有一条 C.存在,有且恰有两条 D.存在,但条数不确定 6.已知函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)……(x-100),则 f′(1)= A.-99! B.-100! C.-98! D.0 3 2 7.已知 f(x)=2x -6x +a(a 是常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么在[-2,2]上的最小值是 A.-5 B.-11 C.-29 D.-37 1 8.设过曲线 xy=1 上两点 P1(1,1) 2(2, )的切线分别是 l1,l2,那么 l1 与 l2 夹角的正切值为 ,P 2 3 A.- 5 3 B. 4 4 C. 5 3 D. 5

三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

x 2 + ax( x ≤ 1) 设函数 f ( x) = 求实数 a, 的值和该函数的最小值. b , 若该函数在实数集 R 上可导, x + b( x > 1)

9.已知一个物体的运动方程是 s=1-t+t2,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么该物体在 3 秒末 的瞬间速度是 A.6 米/秒 B.7 米/秒 C.8 米/秒 D.9 米/秒 3 2 10.已知函数 f(x)=x -ax +1 在区间(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是 A.a≥3 B.a=3 C.a≤3 D.0<a<3 17. (本小题满分 12 分) 答题卡
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1 已知曲线 C1:y=x2-2x+2 和曲线 C2:y=x3-3x2+ x+5 有一个公共点 P(2,2) ,若两曲线在 2 α+β α+β 点 P 处的切线的倾斜角分别是 α 和 β,求 tan 和 sin 的值. 2 3

无盖的方盒.欲使所得的方盒有最大容积,截去的小正方形的边长应为多少?方盒的最大容积为 多少?

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b(x∈[-1,2])的最大值为 3,最小值为-29,求 a,b 的值.

19. (本小题满分 14 分) 将边长为 a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个

20. (本小题满分 14 分) . 4 已知函数 f(x)=x -4x3+ax2-1 在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减; ⑴求 a 的值;

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⑵是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx -1 的图象与函数 f(x)的图象恰有 2 个交点,若存在,求出 实数 b 的值;若不存在,试说明理由.

2

⑵设 f(x)=(x-n)g(x)(m>n>0)在 x=a 和 x=b(b<a)处取得极值. (ⅰ)求证 b<n<a<m; (ⅱ) m+n=2 2, 若 则过原点与曲线 y=f(x)相切的两条直线能否互相垂直?若能, 请给出证明; 若不能,请说明理由.

高三数学单元测试卷(十五)
21. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y=g(x)的图象经过原点 O(0,0) ,点 P1(m,0)和点 P2(m+1,m+1)(m≠0, 且 m≠1). ⑴求函数 y=g(x)的解析式;
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第十五单元

函数与方程思想

(时量:120 分钟 150 分)

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一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α ,且 sin α +cos α =0,则 a,b 满足 A. a + b = 1 则 AB 的长为 A.2 3 B.2 5 C.2 7 D.4 2 3. 若 {an } 是等差数列,首项 a1 > 0, a2003 + a2004 > 0, a2003 .a2004 < 0 ,则使前 n 项和 S n > 0 成立的最 大自然数 n 是 A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 B. a b = 1 C. a + b = 0 D. a b = 0

1+ 3 A. 2 题号 答案 1 2

B.1+ 3 3 4

2+ 3 C. 2 答题卡 5 6

D.2+ 3 7 8 9 10

2.设 P 是 60°的二面角 α-l-β 内一点,PA⊥平面 α,PB⊥平面 β,A,B 为垂足,PA=4,PB=2, 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.两个正数 a,b 的等差中项是 5,等比中项是 4.若 a>b,则双曲线 于 12.若 ( x + .

x2 y2 = 1 的离心率 e 等 a b

4.每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有 A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种

1 2)n 的展开式中常数项为-20,则自然数 n= x
1

. .

13.x0 是 x 的方程 ax=logax(0<a<1)的解,则 x0,1,a 这三个数的大小关系是 14.已知函数 y = f ( x ) 与y = f

x ( x ∈ R ) ,区间 M=[a,b](a<b),集合 N={ y y = f ( x ), x ∈ M },则使 M=N 5.设函数 f ( x) = 1+ x
成立的实数对(a,b)有 A.0 个 6.设 f
1

( x ) 互为反函数,又 y = f

1

( x + 1) 与y = g ( x ) 的图象关于直线
_;

y = x 对 称 , 若 f ( x ) = log 1 ( x 2 + 2)( x > 0) ,则f
2

1

( x ) = __

B.1 个

C.2 个

D.无数多个

g( 6 ) = _______

.

( x ) 是函数 f ( x) = log 2 ( x + 1) 的反函数,若 [1 + f 1 (a)][1 + f 1 (b)] = 8 ,则 f (a + b) 的值为 B.2 C.3 D. log 2 3

15.已知矩形 ABCD 的边 AB = a, BC = 2, PA ⊥ 平面 ABCD, PA = 2, 现有以下五个数据:

A.1

(1) a =

1 ; ( 2 ) a = 1 ; ( 3 )a = 3 ; ( 4 ) a = 2 ; ( 5 ) a = 4 , 当 在 BC 边 上 存 在 点 Q , 使 2

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当 A,B C,D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为 A.90° B.60° C.45° D.30°

PQ ⊥ QD 时,则 a 可以取_____________. (填上一个正确的数据序号即可) .

8.若函数 f(x)=(1-m)x2-2mx-5 是偶函数,则 f(x) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减

9.定义在(-∞,+∞)上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)在区间(-∞,0 ] 上的图像关于 x 轴对称,且 f(x)为 增函数,则下列各选项中能使不等式 f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)成立的是 A.a>b>0 B.a<b<0 C.ab>0 D.ab<0 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知集合 A={x|x2-ax+a2-19=0},集合 B={x|log2(x2-5x+8)=1},集合 C={x|m m≠0,|m|≠1}满足 A∩B
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x 2 + 2 x 8

10.△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边.如果 a,b,c 成等差数列∠B=30°,△ABC 3 的面积为 ,那么 b= 2

=1,

φ , A∩C= φ ,求实数 a 的值. .

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19. (本小题满分 14 分) 某公司生产的 A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年 管理费,因此,该年 A 型商品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件.第二年,商场开始对 该商品征收比率为 p%的管理费(即销售 100 元要征收 p 元) ,于是该商品的定价上升为每件 17. (本小题满分 12 分) 有一组数据 : x1 , x 2 , , x n ( x1 < x 2 < < x n ) 的算术平均值为 10,若去掉其中最大的一个,余下数 据的算术平均值为 9;若去掉其中最小的一个,余下数据 的算术平均值为 11. . (1)求出第一个数 x1 关于 n 的表达式及第 n 个数 x n 关于 n 的表达式; (2)若 x1 , x 2 , , x n 都是正整数,试求第 n 个数 x n 的最大值,并举出满足题目要求且 x n 取到最大 值的一组数据. . (2) 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于 14 万元, 则商场对该商品征收管理费的比 率 p%的范围是多少? (3)第二年,商场在所收管理费不少于 14 万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则 p 应为 多少?

70 元,预计年销售量将减少 p 万件. 1 p%
(1)将第二年商场对该商品征收的管理费 y(万元)表示成 p 的函数,并指出这个函数的定义域;

20. (本小题满分 14 分) 18. (本小题满分 14 分)

1 2 求函数 f ( x ) = ln(1 + x ) x 在[0,2]上的最大值和最小值. 4

已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件: f(x-1)=f(3-x)且方程 f(x)=2x 有等根. . (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n) ,使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如果存在,求
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出 m,n 的值;如果不存在,说明理由. .

21. (本小题满分 14 分) 设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若首项 a1 = 3 ,公差 d = 1 ,求满足 S k 2 = ( S k ) 2 的正整数 k; 2
2

高三数学单元测试卷(十六)
第十六单元 数形结合思想
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 A=(1,+∞),集合 B=(-∞,2).则 U(A∩B)= A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,1)∪[2,+∞)
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(2)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S k 2 = ( S k ) 成立.

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C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1]∪(2,+∞) 2.如图,直线 Ax+By+C=0(AB≠0)的右下方有一点(m,n),则 Am+Bn+C 的值 A.与 A 同号,与 B 同号 y B.与 A 同号,与 B 异号 C.与 A 异号,与 B 同号 O x (m,n) D.与 A 异号,与 B 异号 3.设方程 2x+x+2=0 和方程 log2x+x+2=0 的根分别为 p 和 q,函数 f(x)=(x+p)(x+q)+2,则 A.f(2)=f(0)<f(3) B.f(0)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(0)=f(2) D.f(0)<f(3)<f(2)

答题卡 题号 答案 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0 的解是 12.设 x,y 满足约束条件: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x-2≤0, 4.已知点 P(x,y)在不等式y-1≤0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值范围是 x+2y-2≥0
A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2] 5.若定义在区间(―1,0)内的函数 f ( x) = log 2 ( x + 1)满足f ( x) > 0, 则a 的取值范围是 A. (0, )

x ≥ 0, x ≥ y, 2 x y ≤ 1,
则 z=3x+2y 的最大值是 13.据新华社 2002 年 3 月 12 日电,1985 年到 2000 年间,我国农村人均居住面积如图所示,其中, 从 年到 年的五年间增长最快. 14.有两个相同的直三棱柱,高为

1 2

B. (0,

1 ] 2

C. ( ,+∞)

1 2

D. (0,+∞)

6.如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地 的北偏东 30°方向 2 km 处, 河流的没岸 PQ (曲线) 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km.现要 在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B,C 两地 转运货物.经测算,从 M 到 B,M 到 C 修建公路的 费用分别是 a 万元/km, 万元/km, 2a 那么修建这两 条公路的总费用最低是 A.(2 7-2)a 万元 B.5a 万元 D1 C.(2 7+1) a 万元 D.(2 3+3) a 万元 7. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 在 A1D 上且 A1E=2ED, A1 点 点 F 在 AC 上且 CF=2FA,则 EF 与 BD1 的位置关系是 A.相交不垂直 B.相交垂直 E D C.平行 D.异面 F 8.在(0,2π)内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为 A π π 5π π A.( , )∪(π, ) B.( ,π) 4 2 4 4 π 5π C.( , ) 4 4 π 5π 3π D.( ,π)∪( , ) 4 4 2 C1 B1

2 ,底面三角形的三边长分 a

别为 3a,4a,5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱, 在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则 a 的 取值范围是 . 15.给出下列图象
y y y y

O

x

O

x
2

O

x

O

x

① C B


3





其中可能为函数 f(x)=x4+ax +bx +cx+d(a,b,c,d∈R)的图象的是_____. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)

π 7π π x) cos( x + ) 的图象向右平移 个单位得到函数 g ( x ) 的图象. 8 8 8 ⑴求函数 g ( x ) 的表达式;
已知函数 f ( x) = sin( ⑵证明当 x ∈ (

9.椭圆上一点 A 看两焦点的视角为直角,设 AF1 的延长线交椭圆于 B,又|AB|=|AF2|,则椭圆的离心 率 e= A.-2+2 2 B. 6- 3 C. 2-1 D. 3- 2 2 2 10.过原点的直线与圆x +y +4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 A.y= 3x B.y=- 3x C.y=

3π 5π , ) 时,经过函数 g ( x ) 图象上任意两点的直线的斜率恒大于零. 4 4

3 3x

D.y=-

3 3x
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40

4

2

(I)根据表中数据: (1)计算鲸沿海岸线方向运动的速度, (2)写出 a,b 满足的关系式,并画出 鲸的运动路线简图; (II)若鲸继续以(I)-(2)中的运行路线运动,则鲸经过多少分钟(从放归时计时) ,可进入前 方观测站 B 的观测范围.( 41≈6.4)

17. (本小题满分 12 分) 如图所示,已知四面体 O ABC 中,M 为 BC 的中点,N 为 AC 的中点,Q 为 OB 的中点,P 为 OA 的 中点,若 AB = OC ,试用向量方法证明: PM ⊥ QN . O
P Q A N C M

19. (本小题满分 14 分)如图所示,已知圆 C : ( x + 1)2 + y 2 = 8 ,定点 A(1, 0) , M 为圆上一动点,点

P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足 AM = 2 AP, NP AM = 0,点N 的轨迹为 曲线 E .
(I)求曲线 E 的方程; (II)若过定点 F (0, 2) 的直线交曲线 E 于不同的两点 G , H (点 G 在点 F , H 之间) ,且满足

FG = λ FH ,求 λ 的取值范围.

y M P

B

N CO A x

18. (本小题满分 14 分)为了能更好地了解鲸的生活习性,某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子 监测装置,从海岸放归点 A 处(如图所示)把它放归大海,并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行 了 40 分钟的跟踪观测,每隔 10 分钟踩点测得数据如下表(设鲸沿海面游动) .然后又在观测站 B 处对鲸进行生活习性的详细观测.已知 AB=15km,观测站 B 的观测半径为 5km.

20. (本小题满分 14 分)已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y=f2(x)的图 象与直线 y=x 的两个交点间距离为 8,f(x)= f1(x)+ f2(x). (1) 求函数 f(x)的表达式; (2) 证明:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)= f(a)有三个不同的实数解.

观测时刻 t (分钟) 10 20 30

跟踪观测点到放归点距离 a(km) 1 2 3

鲸位于跟踪观测点正北方向的距离 b(km) 1 2 3
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数列 {an } 的通项公式是 an = 21. 本小题满分 14 分) 已知 a > 1 , (

1 a n 2

, n 项和记作 S n ( n = 1, …) 前 2, ,

规定 S0 = 0 .函数 f ( x) 在 S0 处和每个区间 ( Si , Si +1 ) ( i = 0,1,2,…)上有定义,且 f ( S0 ) = 0 , .当 x ∈ ( Si , S i +1 ) 时, f ( x) 的图像完全落在连结点 Pi ( Si , f ( Si ) )与 f ( Si ) = ai ( i = 1,2,…) 点 Pi +1 ( Si +1 , f ( S i +1 ) )的线段上. (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)设 f ( x) 的图像与坐标轴及直线 l : x = S n ( n = 1,2,…)围成的图形面积为 An , 求 An 及 lim An ;
n →∞

(Ⅲ)若存在正整数 n ,使得 An > a 2 ,求 a 的取值范围.
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高三数学单元测试卷(十七)
第十七单元 分类与整合思想
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数 f(x)=loga x 在[2,π]上的最大值比最小值大 1,则 a 等于 2 π 2 π A. B. C. 或 D.不同于 A,B,C 答案 π 2 π 2

C.|loga(1-x)|>| loga(1+x)|

D.|loga(1-x)|与| loga(1+x)|的大小与 a 值有关

9.已知线段 AB 在平面 α 外,A,B 两点到平面 α 的距离分别为 1 和 3,则线段 AB 的中点到平面 α 的 距离为 A.1 10.若函数 f ( x ) = B.2 C.1 或 2 D.0 或 1

1 1 1 1 (a 1) x 3 + ax 2 x + 在其定义域内有极值点,则a的取值为 3 2 4 5
B.a=1

A.

2 5 2+ 5 <a< 2 2 2 5 2+ 5 <a< 或 a=1 2 2

x2 y2 10 + = 1 的离心率 e=- , 则 m 的值为 2.已知椭圆 5 m 5
A.3
2

C.

D.

2 5 2 + 5 ≤a≤ 或 a=1 2 2

答题卡 25 B. 或 3 3
3

C. 5

5 15 D. 或 15 3

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3.设 P=loga(a +1), Q=loga(a +1),a>0 且 a≠1,则 P,Q 的大小关系是 A.P>Q B.P<Q
2

二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.设一双曲线的两条渐近线方程为 2x-y+1=0, 2x+y-5=0,此双曲线的离心率为 12.在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A,B 两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作 物生长,要求 A,B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则不同的选垄方法共 有 种.

C.P=Q

D.与 a 有关

4.已知二次函数 f(x)=ax +2ax+1 在区间[-3,2]上的最大值为4,则 a 的值为 3 3 A.-3 B.- C.3 D.-3 或 8 8 2 5.如果 loga <1,那么 a 的取值范围是 3 2 A.(0, )∪(1,+∞) 3 2 C.( ,1) 3 2 B.( , +∞) 3 2 2 D.(0, )∪( ,+∞) 3 3

13.已知 0 ≤ x ≤ π ,1 sin x 1 + sin x = sin

x ,则 tanx= 2

.

x 2 x 2 > 0 ① 14.若不等式组 2 的解集中的整数有且只有—2,则 a 的取值范 ② 2 x + (5 + 2a ) x + 5a < 0
围 .

6.函数 y=logax 在 x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则 a 的取值范围为 1 1 A. <a<2,且 a≠1 B.0<a< 或 1<a<2 2 2 C. 1<a<2 1 D. a>2 或 0<a< 2

15.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,组成没有重复数字的四位数, 其中能被 5 整除的四位数共有 个(用数字作答).

7.若对任意 x∈R,(m-2)x2+4(2―m)x―4 的值恒为负值,则 m 的取值范围为 A.(1, 2) B.(-∞,2) C.(1,2] D.(∞,2] 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) B.|loga(1-x)|=| loga(1+x)|
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8.设 0< x <1,0<a≠1,则 A.|loga(1-x)|<| loga(1+x)|

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已知函数 f(x)=cos x+asinx-a +2a+5.有最大值 2,求实数 a 的值.

2

2

(2)求 f (x ) 的最小值.

17. (本小题满分 12 分) 解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R).

19. (本小题满分 14 分) 已知方程 kx 2 +y 2 =4,其中 k 为实数,对于不同范围的 k 值,分别指出方程所代表图形的类型, 并画出曲线简图.

20. (本小题满分 14 分) 18. (本小题满分 14 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) = x 2 + | x a | +1 , x ∈ R (1)讨论 f (x ) 的奇偶性; 已知函数 f ( x ) = ax 2 + bx ( a ≠ 0) 满足 f(2) = 0 且方程 f(x) = x 有两个相等的实根. (1)求 f(x)的解析式:
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(2)是否存在 m,n∈R(m < n),使 f(x)的定义域为[m, n]且值域为[2m, 2n]?若存在,找出 所有 m , n;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } , {bn }满足 : a1 = 1, a 2 = a ( a为常数), 且bn = a n a n +1 , 其中n = 1,2,3 (Ⅰ)若{an}是等比数列,试求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的公式; (Ⅱ)当{bn}是等比数列时,甲同学说:{an}一定是等比数列;乙同学说:{an}一定不是等比数列, 你认为他们的说法是否正确?为什么?
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高三数学单元测试卷(十八)
第十八单元 化归与转化思想
(时量:120 分钟 150 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.一个四面体所有棱长都是 2,四个顶点在同一球面上,则此球表面积为 A.3π B.4π C.3 3π D.6π 2.已知函数 y = f ( x)与函数y = g ( x) 图象如下图

A.

4 3
4 A12 12 4

B.1

C.

6 3

4 D. 9

7.某房间有 4 个人,那么至少有 2 人生日是同一个月的概率是
4 A4 C12 C4 C. 12 D. 1 12 124 124 12 4 当 8. (2005 年湖北高考题)在 y = 2 x , y = log 2 x, y = x 2 , y = cos 2 x 这四个函数中, 0 < x1 < x 2 < 1 时, x + x2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) )> 使 f( 1 恒成立的函数的个数是 2 2

A.

B. 1

则函数 y = f ( x ) g ( x ) 图象可能是

A.0 B.1 C.2 D.3 9. (2005 年辽宁高考题)在 R 上定义运算 : x y = x (1 y ). 若不等式 ( x a ) ( x + a ) < 1 对任意实 数 x 成立,则 1 3 3 1 A.-1<a<1 B.0<a<2 C.- <a< D.- <a< 2 2 2 2 10.(2005 年上海高考题)用 n 个不同的实数 a1,a2,…,an 可得 n!个不同的排列,每个排列为一行写 成一个 n!行的数阵.对第 i 行 ai1,ai2,…,ain,记 bi=-ai1+2ai2-3ai3+… 1 2 3 +(-1)nnain,i=1,2,3,…,n!.用 1,2,3 可得数阵如右,由于此数阵 1 3 2 中每一列各数之和都是 12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2 × 12-3 × 12= 2 1 3 -24.那么,在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中,b1+b2+┄+b120 等于 2 3 1 A.-3600 B.1800 C.-1080 D.-720 3 1 2 答题卡 3 2 1 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)= 2 5 A.0 B.1 C. D.5 2 π 4.已知球 O 的半径为 1,A,B,C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 ,则球心 O 到平 2 面 ABC 的距离为 1 3 2 6 A. B. C. D. 3 3 3 3 5.已知两条直线 l1:y=x,l2:ax–y=0,其中 a∈R,当这两条直线的夹角在(0, ∈ 值范围是 3 ,1)∪(1, 3) D.(1, 3) 3 a Sn 4n 6.等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别用 Sn 和 Tn 表示,若 = ,则 lim n 的值为 Tn 3n+5 n →∞ b A.(0,1) B.( C.(
n

π

2

)内变动时,a 的取

3 , 3) 3

二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. * 11.在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N )成立, 类比上述性质,在等比数列{bn}中,b9=1,则有 等式 成立. 12.如图,正三棱锥 P-ABC 中,各条棱的长都是 2,E 是侧棱 PC 的中点,D 是侧棱 PB 上任一点, 则 △ ADE 的 最 小 周 长 P 为 . P E 13.已知 a,b 为不垂直 的异面直线,α 是一 E 个平面,则 a,b 在 D α 上的射影有可能是 D C A C ①两条平行直线; A ②两条互相垂直的直线; ③同一条直线; B B ④一条直线及其外一点. 在上面的结论中,正确结 (写出所有正确结论的序号编号). 论的编号是 14.一条路上共有 9 个路灯,为了节约用电,拟关闭其中 3 个,要求两端的路灯不能关闭,任意两个

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相邻的路灯不能同时关闭,那么关闭路灯的方法总数为 15. m, n是平面α ., β 外两条直线,给出四个论断:

.

① m ⊥ n ② m ⊥ α ③ n ⊥ β ④α ⊥ β 以其中三个论断为条件,余下论断为结论,写出所有正确的命题

.

三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知 x∈R,a 为常数,且 f ( x + a ) = 不是,说明理由.

1 + f ( x) ,问 f ( x) 是不是周期函数?若是,求出周期,若 1 f ( x)

19. (本小题满分 14 分)已知: a1 + a2 + + an = 1, ai > 0 求证:

(i = 1,2 n)

2 2 2 an 1 an a12 a2 1 + + + + > a1 + a2 a2 + a3 an 1 + an an + a 1 2

17. (本小题满分 12 分)
0

已知数列 {a n } ( n ∈ N )是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列.
+
1 2 0 1 2 3

⑴求和: a1C2 a2C2 + a3C2 , a1C3 a2C3 + a2C3 a4C3 ; ⑵由⑴的结果归纳出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明.

20. (本小题满分 14 分) 18. (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的方程: x ax 2ax + a 1 = 0 有且仅有一个实根,求实数 a 的取值范围.
3 2 2

已知α , β ∈ (0, ), 且 sin β csc α = cos(α + β ), a + β ≠ .当 tan β 取最大 2 2 值时, 求 tan(α + β )值.

π

π

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21. (本小题满分 14 分) 某商店进货每件 50 元,据市场调查,销售价格(每件 x 元)在 50≤x≤80 时,每天售出的件数 P= 105 .若想每天获得的利润最多,销售价格每件应定为多少元? (x-40)2

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