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第六讲-函数的奇偶性


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第六讲 函数的奇偶性
第一部分:奇偶性 1.定义: 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f(x)就叫偶函数; 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f(x)就叫奇函数。 2.奇、偶函数的必要条件:函数的定义

域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f (0) ? 0 ; 3.判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) 是否恒成立。 4.奇偶函数图象的性质 ①奇函数的图象关于原点对称。反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数 为奇函数。 ②偶函数的图象关于 y 轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数 为偶函数。 5.具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 6.常用结论:(1)奇偶性满足下列性质:奇±奇=奇,偶±偶=偶, 奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。 (2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性, 偶函数在对称的单调区间内 具有相反的单调性。 例 1:判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、 f ( x) ? x ? 2 x
3

⑵、 f ( x) ? 2 x ? 3x
4

2

⑶、 f ( x) ?

x3 ? x2 x ?1

⑷、 f ( x) ? x 2

x ? ?? 1,2?

⑸、 f ( x) ?

x?2 ? 2? x

⑹、 f ( x) ?

x2 ?1 ? 1 ? x2

1

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7.关于函数奇偶性的题型 1、利用奇偶性求函数值 例 1:已知 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ?

2、利用奇偶性比较大小 例 2:已知偶函数 f ( x) 在 ?? ?,0? 上为减函数,比较 f (?5) , f (1) , f (3) 的大小。

3.利用奇偶性求解析式 例 3: 已知 f ( x) 为偶函数 当0 ? x ? 1 求 f ( x) 的解析式? 时, f ( x) ? 1 ? x,当 ? 1 ? x ? 0时 ,

4、利用奇偶性讨论函数的单调性 例 4:若 f ( x) ? (k ? 2) x ? (k ? 3) x ? 3 是偶函数,讨论函数 f ( x) 的单调区间?
2

5、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例 5:已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a ? 0) 是偶函数,判断 g ( x) ? ax ? bx ? cx 的奇
3 2 3 2

偶性。

2

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6、利用奇偶性求参数的值 例 6:定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??,0) 是单调递减, 若 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,则 a 的取值范围是如何?

7、利用图像解题 例7 (2004.上海理) 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5] 时,f(x)的图象如右图, 则不等式 f ?x ? ? 0 的解是 8.利用定义解题 例 8.已知函数 f ( x) ? a ? .

1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
x

综合练习 1.判断下列函数是否是偶函数. (1) f ( x) ? x2

x ?[?1, 2]
x2 ?1

2 (2) f ( x) ? 1 ? x ?

1.解: (1)因为 x ?[?1, 2] 定义域不关于原点对称 ? f ( x) 是非奇非偶函数

?1 ? x 2 ? 0 ( 2 ) f ( x) 需 满 足 条 件 ? 2 ?x ?1 ? 0

? x ? ?1 关 于 原 点 对 称

f (? x) ? 1 ? (? x) 2 ? (? x) 2 ? 1 ? f ( x) ? f ( x) 为偶函数

3

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2:判断函数 f ( x) ? ?

? x 2 ( x ? 0) 的奇偶性。 2 ?? x ( x ? 0)

ax ? b 1 2 是定义在 (?1,1) 上的奇函数,且 f ( ) ? . 2 2 5 1? x (1)确定函数 f ( x) 的解析式 ; (2)判断并证明 f ( x) 在 (?1,1) 的单调性;
3、已知函数 f ( x ) ?

4:已知 f ( x ) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ,求当 x ? 0 时 f ( x ) 的解析式。

5.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x ) 是奇函数; (2) f ( x ) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0, 求 a 的取值范围。
2

6. 函数 7.函数

在 R 上为奇函数, 且 , 是( B.奇函数 )

, 则当



.

A.偶函数

C.不具有奇偶函数 D.与

有关

4

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第二部分:周期性

1. 周 期 函 数 的 定 义 : 对 于 f ( x) 定 义 域 内 的 每 一 个 x , 都 存 在 非 零 常 数 T , 使 得

f ( x ? T) ? f ( x)恒成立,则称函数 f ( x) 具有周期性, T 叫做 f ( x) 的一个周期,
则 kT ( k ? Z , k ? 0 )也是 f ( x) 的周期,所有周期中的最小正数叫 f ( x) 的最小正 周期.

2. 具有周期性的抽象函数:函数 y ? f ? x ? 满足对定义域内任一实数 x (其中 a 为常数),


f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的周期函数;

② f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; ③ f ? x ? a? ? ?

1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; f ? x?

④ f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; ⑤ f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

3. 主要方法:判断一个函数是否是周期函数要抓住两点:一是对定义域中任意的 x 恒有

f ( x ? T ) ? f ( x) ;二是能找到适合这一等式的非零常数 T ,一般来说,周期函数的定义域
均为无限集.

5


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