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2013-2014学年高中数学(人教A版)选修2-2基础达标 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 Word版含解析


1.复数 1+i2 的实部和虚部分别是( ) A.1 和 i B.i 和 1 C.1 和-1 D.0 和 0 解析:选 D.∵1+i2=1-1=0,故选 D. 2.设 a,b∈R.“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.当 a=0,且 b=0 时,a+bi 不是纯虚数;

若 a+bi 是纯虚数,则 a=0.故“a =0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件. 3.设集合 C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集 S=C,则下列结论正确的是 ( ) A.B∪(?SB)=C B.?SA=B C.A∩(?SB)=? D.A∪B=C 解析:选 A.依据复数的分类可知 B∪(?SB)=C. 4.下列说法正确的是( ) A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个复数相等 B.若 a,b∈R 且 a>b,则 ai>bi C.如果复数 x+yi 是实数,则 x=0,y=0 D.复数 a+bi 不是实数 解析:选 A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等,即它们 的实部差与虚部差都为 0. 5.(2013· 宁德高二检测)若(x2-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,则实数 x 的值是( ) A.-1 B.1 C.± 1 D.-1 或-2 ?x2-1=0, ? 2 2 解析:选 B.∵(x -1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,∴? 2 ?x +3x+2≠0. ? 2 2 由 x -1=0,得 x=± 1,又由 x +3x+2≠0,得 x≠-2 且 x≠-1,∴x=1. 6.给出下列说法: ①复数由实数、虚数、纯虚数构成; ②满足 x2=-1 的数 x 只有 i; ③形如 bi(b∈R)的数不一定是纯虚数; ④复数 m+ni 的实部一定是 m. 其中正确说法的个数为________. 解析:③中 b=0 时 bi=0 不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类; ②中平方为-1 的数为± i;④中 m、n 不一定为实数.故①②④错误. 答案:1 π π? π π 7.复数 z=cos( +θ)+sin( +θ)i,且 θ∈? ?-2,2?,若 z 是实数,则 θ 的值为________; 2 2 若 z 为纯虚数,则 θ 的值为________. π π 解析:z=cos( +θ)+sin( +θ)i=-sin θ+icos θ. 2 2 当 z 是实数时,cos θ=0. π π? π ∵θ∈? ; ?-2,2?,∴θ=± 2

? ?-sin θ=0 π π - , ?, 当 z 为纯虚数时? ,又 θ∈? 2 2? ? ?cos θ≠0 ? ∴θ=0. π 答案:± 0 2 8.如果(m2-1)+(m2-2m)i>0,则实数 m 的值为________. 解析:由于两个不全为实数的复数不能比较大小,可知(m2-1)+(m2-2m)i 应为实数, 2 ? ?m -1>0, 得? 2 ?m -2m=0, ? 解得 m=2. 答案:2 9.复数 z=(m2-5m+6)+(m2+3m-10)i(m∈R),求满足下列条件的 m 的值. (1)z 是实数; (2)z 是虚数; (3)z 是纯虚数. 解:(1)若 z 是实数,则 m2+3m-10=0, 解得 m=2 或 m=-5; (2)若 z 是虚数,则 m2+3m-10≠0, 解得 m≠2 且 m≠-5; 2 ? ?m +3m-10≠0, ? (3)若 z 是纯虚数,则 2 解得 m=3. ?m -5m+6=0, ?

10.若 sin 2θ-1+i( 2cos θ+1)是纯虚数(其中 i 是虚数单位),且 θ∈[0,2π),求 θ 的值. ?sin 2θ-1=0, 解:因为 sin 2θ-1+i( 2cos θ+1)是纯虚数,所以? ? 2cos θ+1≠0, sin 2θ=1, ? ? 所以? 2 cos θ≠- , ? 2 ?

?θ=kπ+4?k∈Z?, 即? 3π ?θ≠2kπ± 4 ?k∈Z?,
π 又 θ∈[0,2π),所以 θ= . 4

π


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