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精品单调性(讲课课件) -


德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据
时间间隔 刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 … 记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …

艾宾浩斯记忆遗忘曲线
记忆保持量 (百分数)
100 80 60

40
20 O

2

3

4

5

6

天数

学习新课
观察下列函数的图象,回答当自变量 x 的值增大时,函数 值 f ( x ) 是如何变化的?

(1) f ( x ) ? x ? 1

(2) f ( x) ? x

2

y

y

4

o

1

x
-2 -1

1
0

1 2

x

(1) f ( x ) ? x ? 1

y

(2) f ( x) ? x

2

y

4

o

x
-2 -1

1
O

1 2

x

当x增大时f(x)随着增大 函数在R上是增函数

(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大

函数在(-∞,0]上是减函数 函数在(0,+∞)上是增函数

y y=f(x)

一般地,设函数 f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 f(x2) 量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)<f(x2), f(x1) 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.

o x1
y

x2 x y=f(x)
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)>f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

f(x f(x o x1) x2 x 1 2)

x1、x2的三大特征: ①属于同一区间 ②任意性③有大小: 通常规定 x1<x2

反比例函数 y ?

1 x


-2 -1

y
1
O

减 在(-∞,0)上是____函数 减 在(0,+∞)上是____函数 问:能否说 y ?

1 f (x) ? x

-1

1

2 x

1 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数? x

y 函数 y ?
1 x



f ( x1 )
f ( x2 )
O

1 f (x) ? x

减 在(-∞,0)上是____函数
减 在(0,+∞)上是____函数

x1 x 2

x

在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2

当x1< x2时,都有f(x1) > f(x2)

取自变量-1< 1,

y
1
-1

而 f(-1) < f(1)

f (x) ?

-1

1 x
O

1

x

1 ∴不能说 y ? 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 x

因为 x1、x2 不具有任意性.

定义
y
y=f(x)

一般地,设函数 f(x)的定义域为I:

f(x f(x 2) o x1 x2 x 1) y y=f(x)

如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在 区间D上是增函数.

f(x f(x o x1) x2 x 1 2)
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减 函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上 具有(严格的)单调性,区间D叫做函数f(x) 的单调区间.

例2.利用定义: 证明函数 f ( x ) ? ? 2 x ? 3 在R上是减函数.
证明:设 x 1 , x 2 是R上任意两个值,且 x 1 ? x 2, 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( ? 2 x1 ? 3) ? ( ? 2 x 2 ? 3)
? ? 2 ( x1 ? x 2 )

设值 判断差符号

作差变形

∵ x1 ? x 2 , ∴ x 1 ? x 2 ? 0 ,
? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,

即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ). ∴函数 f ( x ) ? ? 2 x ? 3 在R上是减函数.

下结论

证明函数单调性的步骤:
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形; 3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负; 4.下结论:由定义得出函数的单调性.

课堂练习
k 证明函数 f ( x ) ? (k为负的常数) x

在区间(0,+∞)上是增函数.

证明函数 y

?

k x

( k ? 0 ) 在区间(0,+∞)上是增函数

证:设 x 1 , x 2 是(0,+∞)上任意两个值且 x1 ? x 2 ,
x 2 ? x1 k k f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ?k x1 x 2 x1 x 2 ∵ 0 ? x1 ? x 2 , 且 k ? 0

设值 作差变形

∴ x 2 ? x1 ? 0 , x 1 x 2 ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ).

判断差符号 下结论

k ∴ f ( x ) ? 在区间(0,+∞)上是增函数. x

课堂小结
1.增函数、减函数的定义:

定义
y
y=f(x)

一般地,设函数 f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.

f(x1) x2 x o x1
y y=f(x) f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1

f(x2)

布置作业
作业:课本39页A组第1、2、3题

思考题:
如何确定函数
4 f (x) ? x ? , x

x ? [1,5 ] 的单调区间?

分析和函数 f ( x ) ? x ? 4 ( x ? 0 ) 的图象

y
8

4 y ? x? x

x

y?x

6 4 2
O

猜测:
单调递减区间: [1,2]
[2,5] 单调递增区间:

4 y? x

1 2 3 4

5 6 7

8

x


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