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二元一次不等式(组)与平面区域教学设计


二元一次不等式(组)与平面区域教学设计
建瓯一中 陈朔陶

一、教材分析
本节课是新教材必修 5 第三章 3.3.1 节的内容, 教学大纲对这部分内容的要求是了解二元 一次不等式表示平面区域,并会简单的应用。这是《新大纲》中增加的新内容,不仅为传统 的高中数学注入新鲜的血液,而且给学生提供了学数学、用数学的机会,体现了新课程理念。 在此之前

,学生已经学习了直线的方程,已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系, 同时也学习了数形结合的思想方法。 为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。 这节内容,是介绍直线方程的简单应用(即简单的线性规划)的基础,起到承前启后的作用。

二、教学目标分析
1、知识目标:准确画出二元一次不等式(组)表示平面区域; 2、能力目标:学生在学会知识的过程中,培养学生运用数学方法解决问题的能力,会准 确地阐述自己的思路和观点,着重培养学生的认知和元认知能力; 3、情感目标:通过对新知识的构建,优化学生的思维品质,通过自主探索、合作交流, 增强数学的情感体验,提高创新意识。

三﹑教学的重点、难点
1、教学重点:二元一次不等式(组)表示平面区域; 2、教学难点:准确画出二元一次不等式(组)表示平面区域;

四、教法与学法指导及教学手段
1、教学方法:引导发现法、探索讨论法、题组教学法等; 2、学法指导: 这是一节抽象的概念作图课,教师应注重创设认知情境,引导学生进行 尝试、猜想、证明、归纳,帮助学生在原有经验上对新知识主动建构, 在交流合作中学习。 3、教学手段:采用坐标纸让学生动手操作,利用多媒体技术优化课堂教学。

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五、教学过程设计

教学 环节









师生互动



一、 创导 设入 情新 境课

1.建立二元一次不等式模型 【多媒体展示】 北京 08 年奥运会的主体育场“鸟巢” ,它的外形结构是由许多 巨大的钢架够成的,在当时为了按期完工,每天至少需要 50 根高质量的钢柱,已知只有两个厂有能力生产这样的钢柱,一 号钢厂和二号钢厂每间车间的日生产量分别是 10 根和 8 根, 但是两个厂每天总共能投入生产的车间至少 6 间, 那么两个钢 厂各提供多少车间才能满足每天的需求呢? 【学生解答】 解:设一号钢厂提供 x 间车间,二号钢厂提供 y 间车间

?x ? y ? 6 ? 则 ?10 x ? 8 y ? 50 ? x, y ? N ?

创 设 情景, 构 造 师:大家知道“鸟 问 题 巢” 吗?请看多媒体 悬念, 的展示, 这个问题中 激 发 存在一些不等关系, 兴趣, 我们应该用什么不 明 确 等式模型来刻画它 学 习 呢? 目标, 生:解答 引 出 概念

二, 引入 概念

师:刚才列出的不 等式有什么特点? 生:两个未知数, 未知数的次数是 1. 2.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 师:我们把这个不等 (1)二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高 式称为什么? 次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式。 生:二元一次不等式 (2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等 师:这里有两个二元 式组称为二元一次不等式组。 一次不等式,所以这 (3) 二元一次不等式 (组) 的解集: 满足二元一次不等式 (组) 个式子称为二元一 的 x 和 y 的取值构成有序实数对(x,y) ,所有这样的有序实数 次不等式组. 对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。 师:二元一次不等 式的解集具备什么 条件?可以用什么 来表示? 生:用序实数对 (x,y)

明 确 概念, 为 探 究 实 验 做 准备

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3.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 【共同探究】 从特殊到一般: 先研究具体的二元一次不等式 x ? y ? 6 如图:在平面直角坐标系内, x ? y ? 6 ? 0 表示一条直线(学 生在坐标纸上作图) 。平面内所有的点被直线分成三类:直线 上的点, 直线右上方, 直线左下方
y
6 5

师: x ? y ? 6 ? 0 表示什么图形? 生: 直线 师:请同学们在坐标 纸上作出这条直线. 这条直线把直角坐 标系上的点分成了 几类?如何描述 生:三类,在直线上, 直线的右上方,直线 的左下方 师:直线上的点坐标 一 定 满 足 x ? y ? 6 ? 0 。请举几

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三、 猜构 想建 探新 索知

2 1
0

1

2

3

4

5

6

x

x? y?6 ? 0

坐标满足 x ? y ? 6 ? 0 : (1,5)(2,4)(3,3) , , , 坐标满足 x ? y ? 6 ? 0 : (1,6),(2,5),(3,4), 坐标满足 x ? y ? 6 ? 0 :(1,4),(2,3),(3,2), 【学生尝试】 把刚才列出的点描在坐标系内,观察。 【展示成果】 坐标满足 x ? y ? 6 ? 0 的点在直线的右上方 坐标满足 x ? y ? 6 ? 0 的点在直线的左下方 【提问 1】 直线右上方的点坐标是否满足 x ? y ? 6 ? 0 直线左下方的点坐标是否满足 x ? y ? 6 ? 0 【探究实验】 利用几何画板

通 过 数 学 个例子。 实验, 生: (1,5) , (2, , 为 感 4) (3,3) , 性 认 师 : 坐 标 满 足 识 上 升 为 x? y ?6 ? 0 的点 理 性 有哪些呢? 认 识 生: 1,6) ( ,(2,5),(3,4), 打 好 师 : 坐 标 满 足 基础。

x ? y ? 6 ? 0 的点
(1,4),(2,3),(3,2) 师:他们落在坐标 平面内的哪些区域 呢?请你们把这些 点描在你们所作出 的坐标系内。 学生展示成果 师:你们发现了点 与直线的位置关系 式怎样的? 生: (1,6) ,(2,5),(3,4) 在直线的右上方; (1,4),(2,3),(3,2) 在直线的左下方 师:直线右上方的

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点坐标是否满足
P (x0,y0)

x0 ? y 0 ? 6 ? 0

x? y ?6 ? 0?
用几何画板做实验 生:直线的右上方 的 点 坐 标 满 足

x? y ?6 ? 0
【总结】

x? y ?6 ? 0。
师: x? y ?6 ? 0 表示直线右上方的 平面区域。

x ? y ? 6 ? 0 表示直线右上方的平面区域。

三、 x ? y ? 6 ? 0 表示直线左下方的平面区域。 猜构 想建 x ? y ? 6 ? 0 表示直线是两区域的边界。 探新 索知 【提问 2】
二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域吗? 【举例验证】

x? y ?6 ? 0 表示
直线左下方的平面 区域。

x? y ?6 ? 0 表示

直线是两区域的边 界。 师:二元一次不等 式 Ax+By+C>0 在平 面直角坐标系中表 y x-y-6=0 示直线 Ax+By+C= 0 上方的区域吗? 生 1:是;生 2:不是。 x 师:说不是的那位 同学请你举个例子。 生:比如直线 x-y-6 =0 直线上方的点 (0,0) , (1,0) 使 (0,0) 0-0-6<0 (1,0) 1-0-6<0 (6,-1) 6+1-6>0 x-y-6<0 直线下方 的 点 (6,-1) 使 得 【一般结论】一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直 x-y-6>0 角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面 师:由此说明二元 区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线;不等 一 次 不 等 式 式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域,包括边界直线,应把边界 Ax+By+C>0 在平面 直线画成实线。 直角坐标系中表示 【结论】 直线同侧点同号. 直 线 Ax+By+C = 0 某一侧所有点组成 的平面区域。
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4.练习反馈 强调:直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 (x,y) 把它的坐标 代入 Ax+By+C 所得到的实数符号相同,所以在直线某一侧取 一个特殊点(x0,y0)代入,从 Ax0+By0+C 的正负可以判断出 Ax+By+C>0 表示哪一侧的区域。 例 1 画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域。 解: 先画直线 x ? 4 y ? 4(画成虚线) . 取原点(0,0) ,代入 x +4y-4,∵0+4 ×0-4=-4<0, ∴原点在 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域内, 四﹑ 练习 不等式 x ? 4 y ? 4 表示的区域如图: 反馈 归纳:画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界, 特殊点定域”的方法。特殊地,当 C ? 0 时,常把原点作为此 特殊点。 变式 1、画出不等式 4 x ? 3 y ? 12 表示的平面区域。 变式 2、画出不等式 x ? 1 所表示的平面区域。 概括:“直线定界,取点定域”,特别地,当 C≠0 时,常把原 点作为特殊点。 5.探索新知 【例题示范1】 (利用口诀“直线定界,取点定域”) 画出不等式 2x+y-6<0 表示的平面区域。 (强调画图规范和注意点) 变式一:指出不等式-2x+y-6<0 表示的平面区域; 变式二:指出不等式 2x-y-6≥0 表示的平面区域; 变式三:指出不等式-2x-y-6≥0 表示的平面区域。 …… 规律: 一般地, 二元一次不等式 Ax+By+C>0(A 不等于 0) A >0 当 时,Ax+By+C>0 表示平面区域在直线 Ax+By+C=0 的右方, Ax+By+C<0 表示平面在直线 Ax+By+C=0 的左方。 概括: “系数化正、 左小右大”, 系数指 x 前系数 A, “左 (右) ” 指平面区域的左(右)方,“小(大)”指不等式的小于(大于) 号。

师 : 直 线 Ax+By+C=0 同一侧 的所有点 (x,y) 把 它 的 坐 标 代 入 Ax+By+C 所得到的 实数符号相同, 所以 在直线某一侧取一 个 特 殊 点 (x0,y0) 代 入,从 Ax0+By0+C 的正负可以判断出 Ax+By+C>0 表示哪 一侧的区域。 生:画二元一次不 等式表示的平面区 域常采用“直线定 界, 特殊点定域” 的 方法。特殊地,当 常把原点 C ? 0 时, 作为此特殊点。

通 过 练习, 加 强 学 生 的 认 知 结 构, 得 到 规律, 概 括 为 口 诀, 便 于 操 作。

五, 探索 新知

师:从上面判断过 程中能得到什么新 规律, 使区域的判断 更方便呢? 生:从不等号方向 和 A 的正负考虑 生:一般地,二元 一 次 不 等 式 Ax+By+C>0(A 不等 于 0)当 A >0 时, Ax+By+C>0 表示平 面 区 域 在 直 线 Ax+By+C=0 的 右 方 , Ax+By+C<0 表示平面在直线 Ax+By+C=0 的 左 方。

给 学 生 提 供 活 动 的 时 (思 维 时 间) 空 ( 思 维 空 间) ,

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【例题示范2】

画出不等式组

?x ? y ? 5 ? 0 ? 表示的平面区域。 ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

五, 探索 变式一:用二元一次不等式组表示下列平面区域; 新知 2 2 变式二:能画出不等式 y ? x ? 0 表示的平面区域吗?
引申:能画出不等式 y ? x ? 0 表示的平面区域吗?
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通 过 问 题 变式, 重 组 学 生 的 认 知 结 构, 从 而 得 到 规 律, 概 括 为 口诀, 便 于 操作。 培 养 学 生 自 主 学, 合 作 交 流 的 学 习 方式, 培 养 探 究 能力 练习二 ? 学生板演 反映 教材 的重 点、 难 点知 识, 体 现教 学意 图。

六、 小作 结业 提布 炼置

一, (思考、讨论得出小结,教师作适当的补充) 1、这节课学习的主要内容是什么? 2、如何理解口诀“直线定界,取点定域”和“系数化正,左小右 大”。 3、请同学们认真总结在探索和交流中的体会。 二, 1、课本 P93 习题 3.3 第 1,2 题。 2、选做题:求不等式 | x ? 2 | ? | y ? 2 |? 2 表示的平面区域 的面积。 3、预习第二课时。 课题:§3.3.1 1﹑定义 2、 用二元一次不等式表 示平面区域 3、判断方法: 注意事项? 例一 ? 例二 ? 练习 1

板 书

讲解示范

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