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等差数列的前n项和公式


《等差数列的前 n 项和公式》教学设计

一、教学内容分析
《等差数列的前 n 项和公式》是高等教育出版社数学基础模块下册第六章的重要内容之一,本节课主要研究如何 应用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式以及该求和公式的应用.等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数 列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时,求数列前 n 项和也是数列研究的基本问题,通过对公式 推导,可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。它反映了从特殊到一般的数学思维形式,这对发展学生 的思维能力、培养学生的创新意识等方面有着重要的作用。

二、学情分析
任教的班级是一年级物流专业。 1、知识基础:在本节课之前学生已经掌握了等差数列的通项公式,理解等差数列的基本性质,小学时对高斯算法 有所了解,这三者形成了学生思维的“最近发展区” ,为新课学习提供了基础; 2、认知水平与能力:学生初步具有一定的逻辑思维能力,但思维不够深刻、片面、不严谨,对问题解决的一般性 思维过程认识模糊. 3、班级学生特点:多数学生能积极主动参与数学学习,动手操作能力较强。但缺乏自信,同时渴望表现,渴望肯 定。

三、设计思想
建构主义学习理论认为,学习是学生积极主动地建构知识的过程,因此,应该让学生在具体的问题情境中经历 知识的生成与发展,让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验,自主地在教师的引导下促进对新知识的 建构.在教学过程中,根据教学内容,从《张丘建算经》中等差数列的求和问题及泰姬陵陵寝三角形图案中的圆宝 石谈起,结合小学高斯的算法,探究这种方法如何推广到一般等差数列的前 n 项和的求法.以问题驱动任务完成为 主线,通过设计一些从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象的问题,层层铺垫,步步深入,组织和启发学生 通过观察、类比、联想、猜测、实践操作获得公式的推导思路,并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习,通 过生生互动和师生互动等形式,让学生在问题解决中学会思考、学会学习.

四、教学目标
1、知识目标: 掌握等差数列的前n项和公式,并能用公式解决简单的问题; 2、能力目标: 通过公式的探索、发现,体验从特殊到一般的研究方法,培养学生观察猜想、类比分析、归纳总 结和逻辑推理的能力,渗透方程(组)思想. 3、情感目标: 通过生动有趣的数学史故事,激发学生求知的欲望和探究的热情,渗透数学文化,增强学生爱国 主义情感。

五、教学重点和难点
重点:探索并掌握等差数列前n项和公式,学会用公式解决一些简单问题;
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难点:等差数列前n项和公式推导思路的获得; 关键点:首尾配对法引出倒序相加法.

六、教学过程设计 (一)创设情景,唤起学生知识经验的感悟和体验
上节课同学们已经学习了等差数列的概念、通项公式和性质。其实,早在我国北朝时,张丘建在《张丘建算经》 中就给出了等差数列的一些问题,例如:今有女子不善织布,每天所织的布以同数递减,初日织五尺,末一日织一尺, 共织三十日,问共织几何?这个涉及等差数列求和问题,本节课学习《等差数列前n项和公式》。 世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格,传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成, 共有100层,你知道这个图案一共花了多少宝石吗? 这个问题化为数学问题就是求1+2+3+??+100=? 200多年前,被誉为“数学王子”的德国数学家高斯在10岁时,当老师提出这个问题后,很快就说出了答案,这是 小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,请你想想他是怎样算的? [学情预设] 方案一:1+2+3+4??+100=5050(逐个求和)。点评:方法可行,但是对于项数较多或数字较大的数列求和则不 方便。 方案二:(1+100)+(2+99)+(3+98)??+(50+51)=101 ? 50=5050 点评:方法巧妙。高斯就是这种方法。 方案三:利用计算机“Excel”中的“∑”求得结果。点评:此法具有时代性,符合专业特点。 【设计意图】情境学习理论认为:数学学习总是与一定的知识背景,即“情境”相联系.通过富于人文气息的历 史素材和有趣的数学史故事,激发学生求知的欲望和探究的热情,并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用, 为新课的讲解作铺垫.同时,方案三的提出使得教学具有针对性、时代性,体现职业教育课改理念。

(二)由易到难,在自主探究与合作中学习 问题1:第1层到第51层一共有多少颗宝石?
该题组织学生分组讨论,在合作中学习,并把小组发现的方法一一呈现. [学情预设] 学生可能出现以下求法 方法1:原式=(1+2+?+25+27?+51)+26 方法2:原式=(1+2+3+??+50)+51 方法3:原式=(1+2+??+50+51+52)—52 方法4:原式=0+1+2+??+50+51 学生若将奇数个项问题转化为偶数个项求解,教师应进行充分肯定与表扬. 【设计意图】这是求奇数个项和的问题,若简单地摹仿高斯算法,将出现不能全部配对的问题,借此渗透化归思想.

问题 2:求 1+2+???+n=?
[学情预设] 学生通过激烈的讨论后,发现 n 为奇数时不能配对,可能会分 n 为奇数、偶数的情况分别求解,教师 如何引导学生避免讨论成为该环节的关键. 启发: 让学生利用班级收集起来的矿泉水瓶, 摆出等差数列求和模型。 引导学生理解高斯首尾配对法是 “首尾配” ,
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也可说是“尾首配”。鼓励学生操作,尝试完成“首尾配”;(多媒体演示)在建筑中堆放的钢材形成的三角形图案 左侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形. 通过以上启发学生再自主探究,相信容易得出解法:

∵1 +

2

+

3

+?(n-1) + +

n 1

n +(n-1)+ (n-2)+? + 2

___________________________________________ (n+1) + (n+1) + (n+1) +? +(n+1) + (n+1)
n(n ? 1) 2

∴1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?

【设计意图】在动手操作过程中,借助几何图形的直观性,能启迪思路,唤醒学生记忆深处的东西,为倒序相加 法的出现提供了一个直接的模型。实现“做中学、做中教”的课改理念。该方法在生活中也有应用,体现教学贴近学 生、贴近生活、贴近专业“三贴近”原则,进一步体会倒序相加法的合理性。

问题 3: 在公差为 d 的等差数列{an}中,定义前 n 项和 Sn=a1+a2+?+an,如何求 Sn?
让学生观察问题 2 的结果猜测求和公式, 鼓励学生类比问题 2 的解决方法完成对公式的推导。 由前面的大量铺垫, 学生应容易得出如下过程:

方案一: ∵Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +?+[a1+(n-1)d]

Sn=an + (an-d) +(an-2d)+?+[an-(n-1)d] 2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ??? ? (a1 ? an ) ∴ ?????? ? ??????? ?
n个

得: S n ?
方案二:

n(a1 ? an ) (公式 1) 2

? Sn ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n

Sn ? an ? an?1 ? ? ? a2 ? a1

若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq

?2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? ? (an ? a1 ) n(a1 ? an ) (公式 2) 得: S n ? 2
组织学生讨论:在公式 1 中若将 an=a1+(n-1)d 代入又可得出哪个表达式? 即:

S n ? na1 ?

n( n ? 1) d 2

【设计意图】在等差数列前 n 项和公式的推导过程中,通过问题获得知识,让学生经历“提出问题—分析问题— 解决问题”的过程.
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【归纳小结】等差数列前 n 项和公式:
Sn ? n( a1 ? an ) 2 S n ? na1 ? n(n ? 1) d 2

师生共同剖析公式结构特点,明确知三求 Sn,并引导学生由公式的结构特征类比联想到梯形面积公式. 【设计意图】利用图形的直观性,深化对公式的记忆与理解。

(三)设置典例,促进学生对公式的应用
例 1、在等差数列{an}中, (1)已知:a1=1,a10=10,求 S10 ; (2)已知:a1=3,d = -2,求 S10

例 2、已知等差数列{an}中,d=2,an=1,Sn= -8,求 n. 小结:在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素. 【设计意图】 “顺”用公式,让学生熟悉公式的要素与结构,加深对公式的基本量意义的认识; “变”用公式可 以培养学生思维的高度灵活性,渗透方程思想;小结及时给学生学法指导.

(四)反馈调控,实现学生对知识的掌握
1、教材 P10 练习; 2、下面,大家试着给同桌出一个等差数列,然后用公式求出它的前 n 项和。 典型展示: (1)1+2+3+??+n=?(2)1+3+5+??+(2n-1)=?(3)2+4+6+??+2n=? 【设计意图】拓展自主发展的空间,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成 功的喜悦,看到自己的潜能,从而实现“以人为本”的教育理念。 3、 《张丘建算经》中关于等差数列求和问题: “今有女子不善织布,每天所织的布以同数递减,初日织五尺,末 一日织一尺,共织三十日,问共织几何?” 。

(5 ? 1) ? 30 ? 90 (术曰:并初、末织布数,半之,余以乘织讫日数,即得。 ) 2
【设计意图】体会付出就有回报。

(五)回顾反思,深化知识
组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法,小组之间互相补充完成课堂小结,实现对等差数列前 n 项和公式的再次深化. 1.等差数列前 n 项和公式:

Sn ?

n( a1 ? an ) 2

an ? a1 ? (n ?1)d

S n ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

2.在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.;
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3.公式的推证用的是倒序相加法 【设计意图】归纳总结,完成知识的建构;

(六)布置作业:
1、必做题:教材 P11 习题 A 组 5、6 题; 【设计意图】巩固知识,发现和弥补课堂学习中的不足,培养学生自觉学习的习惯.

2、课后思考: 《张丘建算经》中关于等差数列求和又一问题: “今有女子善织布,逐日所织的布以同数
递增,初日织五尺,计织三十日,共织九匹三丈,问日增几何?” 。 (一匹为四丈,一丈为十尺) 【设计意图】为学有余地的学生思维发展提供平台,进一步了解古代中国在数学方面取得的伟大成就,唤起 生的爱国热情。

七、板书设计:

等差数列的前 n 项和
一、 等差数列的前 n 项和 Sn 二、公式推导(问题 3) Sn 三、剖析公式 公式 1: 公式 2: ? ? ? ? ? 四、例题及解答 ? ? ? ? ? 问题 1: 问题 2: 《张邱建算经》

八、教学反思:
本节课没有因为职专学生基础知识薄弱,学习能力不强而直接给公式,否则的话,就如同波利亚所说的“帽子里 跳出的兔子” 。倒序相加法也只不过是美丽的传说。所以在教学中对教材灵活处理,不回避教学困难,通过分解难点, 迎难而上,通过师生共同努力,很好完成了教、学任务。师生之情、生生之谊在也合作交流中得到融洽,培育和谐的 可持续发展的教学生态环境。体现了“以人为本” 、 “做中学、做中教”教学理念。 当然,在实际教学中由于学生之间存在的个体差异较大,少部分学生不善交流或者不会表达。学生合作的有效性 稍显不足。在课堂教学组织分组学习中,需注意学生个性差异,力求组员强弱搭配,组间能力均衡,激励学生勇于承 担责任,乐于交流和表达,通过互帮互助,实现共同进步。 我想在今后的教学中积极为学生提供更多自主学习和相互交流的机会以及表现和自我发展的空间,逐渐调动起学 生参与课堂的热情,使每个学生都学有所得,真正成为课堂的主人.

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