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空间向量与立体几何


第三章

空间向量与立体几何 小结与复习

空间向量 的运算的 几何意义
空间向量 的定义及 其运算
用空间向量 的表示点、 直线、平面 等元素 建立空间 图形与空 间向量的 联系

利用空 间向量 的运算 解决立 体几何 中的问 题

空间向量 的运算坐 标表示

r /> 归纳整理

(一)基本概念 1. 空间向量:空间中具有大小和方向的量 叫做向量. 2. 空间向量也用有向线段表示,并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 3. 向量的模:向量的大小叫向量的长度或 模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量:模是 1 的向量。 5. 零向量:模是 0 的向量。零向量的方向 是任意的。有向线段的起点与终点重合。

归纳整理
(一)基本概念 6. 相等向量:模相等且方向相同的向量叫 做相等向量. 7. 相反向量:模相等且方向相反的向量叫 做相反向量.
8.如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向 量。 9.平行于同一平面的向量,叫做共面向量
10.平面的法向量:如果表示向量 n的有向线段所在直线 垂直于平面? ,则称这个向量垂直于平面? ,记作n ⊥ , n ?么 向 量 叫做平面 n ? ⊥ ,那 如果 的法向量 ? .

(二)空间向量的运算
1.加法:三角形法则或平行四边形法则 2.减法:三角形法则
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c )

注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、
减法实质是一样的.三个向量或三个以上向量的和

遵循空间多边形法则

3.数乘向量运算。 与平面向量一样,实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 仍然 是一个向量. ⑴当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 ? ? 0 时, ? a 是零向量. (4) ? a ? ? a

空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

即:?(a ? b) ? ? a ? ?b; (? ? ?) a ? ? a ? ? a; ?(? a) ? (??)a

4、两个向量的数量积

注:①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

空间两个向量的数量积的性质

注:空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质.

(三)空间向量的理论 1.共线向量定理:对空间任意两个向量

a, b(b ? 0), a // b的充要条件是存在实数 ? 使

a ? ?b

两个不平行的向量,那么,该平面内的任一向量a,存
在惟一的一对实数a1,a2,使 a= a1 e1 +a2 e2

2、平面向量基本定理 如果e1和e2是一平面内的

3. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p ? xa ? yb .

共线向量定理的推论:如果 l 为经过已知点
A且平行已知非零向量 a的直线,那么对任一 点O,点P在直线 l上的充要条件是存在实数t, 满足等式 OP ? OA ? ta P 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 .a 若 OP ? OA ? t AB

(或 AP ? t AB)
则A、B、P三点共线。 若 P为 A,B 中点 , ( x ? y ? 1) O, 若 OP ? xOA ? yOB

B

A

1 OP ? P三点共线。 OA ? OB 则 则 A、 B、 2

?

?

向量参数表示式

共面向量定理的推论:
(1) 点 P 在平面 ? 上 ? ∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xa ? yb ①
C 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ⑵∵已知点 B 、

∴点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xAB ? yAC ②
⑶∵已知点 A、B 、 C 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP ? OA ? xAB ? yAC ③

( 4 )对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC , 则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x ? y ? z ? 1 .

4.空间向量基本定理 若三个向量a,b,c 不共面,则对空间任一向量p,存在有序实数 组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量 若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直,则称这个 基底为正交基底,若三个基向量是互相垂直的单位向量,则称这 个基底为单位正交基底

(四)空间向量运算的坐标表示
(1)若p=xe1+ye2+ze3,则p=(x,y,z).
(2)设{i,j,k}为单位正交基底,向量a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2).

a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) λa=(λ x1,λ y1,λ z1)

a· b = x 1 x 2 + y 1 y2 + z1 z2

a//b a⊥ b

x1=λ x2,y1=λ y2,z1=λ z2(λ ∈R)
x 1 x 2 + y 1 y 2 + z1 z2 = 0
x
2 1

| a| =

+ y

r r cos a, b =

2 1

+ z

2 1

x 1x 2 + y 1y 2 + z 1z 2 x 12 + y 12 + z 12 x 22 + y 22 + z 22
2 2 2

dA B =

(x 2 - x 1 ) + (y 2 - y 1 ) + (z 2 - z 1 )
x 1 + l x 2 y1 + l y 2 z1 + l z 2 P( , , ) 1+ l 1+ l 1+ l

uuu r uuu r A P = l PB

(五)、空间位置关系的向量法: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ?
的法向量分别为 u, v ,则

线线平行
线面平行

l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv . 线线垂直 l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ; 线面垂直 l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; 面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.
面面平行

(六)、空间角的向量方法: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ?
的法向量分别为 u, v ,则
两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤

?
2

), cos ? ?

a?b a b



? 所成的角为 ? (0 ≤? ≤ 直线 l 与平面

?
2

),sin ? ?

a?u a u



二面角 ? ─l ─ ? 的大小为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ? ), cos ? ?

u?v u v

.

(七)空间“距离”问题
点、直线、平面间的距离有七种.点到平面的距离是重点,
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离的最小值.

1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算,

? ?2 ? 2 2 2 a ? x ? y ? z 利用公式 a ? a 或

? (其中 a ? ( x, y, z) ) ,可将两点距离问题
转化为求向量模长问题

2、E为平面α外一点,F为α内任意一 点, 为平面 n α的法向量,则点E到平面的距离为:
E

| n ? EF | d? |n|

n

?

F

?O

3、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点, n 是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为
| n ? EF | d? |n|

例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角, 若 BC=a,求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析 : 用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角 , 且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b , 借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所 成的角的大小 . 向量方法避开了寻找角的过程 , 这样问题的解 决就变得容易.但要注意的是由于向量夹角的范围是 ?0, ? ? ,而 异面直线所成角的范围是 (0, ] ,要注意余弦值最后计算的结果
2

?

应该取正值.
几何法 向量法

例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角, 若 BC=a,求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
解 :∵ BC= a,∠ BAC= 45° ,∴ AC= a,AB= 2 a, △ ABD 中, AB= 2 a,∠DAB= 30°, 6 2 6 ∴ BD= a, AD= a, 3 3 作 CE//AB,且 CE=AB, ∴∠ABE=135°, 15 则 BE=a, 又 CD= a, 3 15
a,

E

∴ CE= 2 a, DE=

3 DC 2 ? EC 2 ? DE 2 30 ∴ cos∠DCE= = , 2 DC ? EC 10

∠DCE 是 AB 与 CD 所成的角或其补角,

30 ∴AB 和 CD 的夹角的余弦值为 10

例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角, 若 BC=a,求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
解 : 建立空间直角坐标系 B─xyz(如图),以长度 a 为 单位长度,则

y

z
x

例 2. 已知在四边形 ABCD 中, AD//BC , AD=AB=1 , ,将△ABD 沿对角线 BD 折起 ?BCD ? 45 , ?BAD ? 90° 到如图所示 PBD 的位置,使平面 PBD ? 平面BCD . ⑴求证: CD ? PB ; ⑵求二面角 P ? BC ? D 的余弦值大小; ⑶求点 D 到平面 PBC 的距离.

分析:⑴第一问用几何法(线线垂直转化为证线面垂直)
⑵ 第二问用几何法就要找角 , 注意到由第一问的结 论可知坐标系容易建立 , 用坐标法处理好 , 而且第三问也 是顺手牵羊.
几何法 坐标法

解:⑴ ?BAD ? 90 , AD ? AB ??ADB ? ?ABD ? 45° AD // BC ??BCD ? 45° ??BDC ? 90° ? BD ? DC 又 平面PBD ? 平面BCD,CD ? 平面BCD , ? CD ? 平面PBD , PB ? 平面PBD ? CD ? PB
⑵过 P 作 PE ? BD于E, 由平面PBD ? 平面BCD得 PE ? 平面BCD, 过 E 作 EF ? BC 于 F ,连接 PF ,由三垂线定理可证 PF ? BC . ∴ ? PFE 为二面角 P ? BC ? D 的平面角, PB ? PD ? 1

2 PE 3 ? tan ?PFE ? ? 2 ,? 二面角P ? BC ? D 的余弦值大小为 EF 3 ⑶设 D 到平面 PBC 的距离为 h,由 PB ? 1 可求出 BD ? DC ? 2 ,

? PE ? BE ?

1

,EF ?

2 1 , BE ? , 在Rt ?PEF中,?PEF ? 90° 2 2

BC=2, PC ? 3 . PB ? PD, PB ? CD, PD CD ? D ? PB ? 平面PCD 1 1 1 1 PC ? 平面PCD? PB ? PC VC ? PBD ? VD? PBC ? ? ? PB ? PD ? DC ? ? ? PB ? PC ? h 3 2 3 2 PD ? DC 6 ? PD ? DC ? PC ? h ? h ? ? PC 3

解: ?BAD ? 90 , AD ? AB ??ADB ? ?ABD ? 45° AD // BC ??BCD ? 45° ??BDC ? 90° ? BD ? DC ,如图所示建立空间直角坐标系 D ? xyz
? 2 2? 0, 0), B 2, 0, 0 , C 0, 2 , 0 , P? 0, 则 D(0, ? ? 2 , ? 2 ? ? ? ? ? 2 2? 0 ,PB ? ? 0,? ⑴ CD ? 0,? 2, , ? ? 2 , ? 2 ? ?

?

? ?

?

?

?

CD ? PB ? 0,?CD ? PB,?CD ? PB

? ? 2 ?x ? z ? 0 2? ? ? 2 2? ? ? m ? PB ? 0 PB ? ? 0? ? , PC ? ? ? , 2, ? ? , 令x ? z ? 1, ?? ,即 ? ?y ?1 ? 2 ,, ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?x ? 2y ? z ? 0 ? ? 2 ? m ? PC ? 0 ?? 3 n? m 1 3 ? m ? (111) , , ? cos ? n , m ?? ? ? ? 二面角P ? BC ? D的大小 为 arccos 3 | n || m | 1? 3 3 ? ? DC ? m 3 ⑶过 D 做 DM ? 平面PBC于 点 M ? cos ? DC , m ?? ? 3 | DC || m |

⑵取平面 BDC 的法向量 n ? (0, 0, 1) 设平面 PBC 的法向量为 m ? ( x, y, z)

6 ? D到平面PBC的距离 | DM |?| DC | ? cos ? DC, m ?? 3


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