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三角函数性质与图像


高三数学总复习考点训练——三角函数的性质与图像

高考要求: 1)了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用"五点法"画正弦函数、余弦函 数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图,理解 A,ω ,φ 的物理意义. 2)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx、arccosx、arctanx 表示. 3)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. 考点回顾: 1.三角函数线[见课本第一册下 P14] (? ? (0, 2. y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x的图象 3. y ? A sin(?x ? ? )的图象 ①用五点法作图

?
2

), 则 sin ? ? ? ? tan ? )

x
?x ? ?
y ? A sin(?x ? ? )
②图象变换:平移、伸缩两个程序 0 0

? 2
A

?
0

3? 2
-A

2?
0

y ? sin x

(1) y ? sin(x ? ? ) ? y ? sin(?x ? ? ) (2) y ? ?x ? y ? six(?x ? ? )
2?

y ? A sin(?x ? ? )

③A---振幅 T ?

?

----周期

f ?

1 ? ? ----频率 ?x ? ? ? ?相位 ? ? ?初相 T 2?

4.图象的对称性 ① y ? sin x与y ? cos x 的图象既是中心对称图形又是轴对称图形。 ② y ? tan x 的图象是中心对称图形,有无穷多条垂直于 x 轴的渐近线。 .1. y=sinx y=cosx y=tanx ( y ? cot x )

定义域:

R

R

?? ? ? x | x ? R, x ? k? ? ? 2? ?

?x | x ? R, x ? k? ?
值域: [-1,1] 周期: 2π 奇偶性: 奇函数 单调区间:
fly

[-1,1] 2π 偶函数

R π 奇函数

R π 奇函数

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高三数学总复习考点训练——三角函数的性质与图像

增区间; ?? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ; ? ?
? 2 2 ?

?? ? ? 2k? ,2k? ?; ?2k? , ? ? 2k? ?

? ? ? ? ?? 2 ? k? , 2 ? k? ? ? ?

减区间 ?? ? 2k? , 3? ? 2k? ? ; ? ?
?2 2 ?

无 无

对称轴: x ? k? ? 对称中心: ?k? ,0?

?
2

x ? k?
?? ? ? ? k? ,0 ? ?2 ?

? k? ? ,0 ? ? ? 2 ?

(以上均 k ? Z )

5、求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界性,一般通过三角变换化为下列基本类 型处理: ① y ? a sin x ? b ,设 t ? sin x 化为一次函数 y ? at ? b 在闭区间 t ? [?1,1] 上的最值求之; ② y ? a sin x ? b cos x ? c , 引 入 辅 助 角 ? (cos ? ?

a a 2 ? b2

,sin ? ?

b a 2 ? b2

) ,化为

y ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) ? c 求解方法同类型①; ③ y ? a sin 2 x ? b sin x ? c ,设 t ? sin x ,化为二次函数 y ? at 2 ? bt ? c 在 t ? [?1,1] 上的
最值求之; x ? ④ y ? a sin x cos x ? b(sin x ? cos x) ? c , 设 t ? s i n

c x o 化 s为 二 次 函 数

a(t ? 1) ? bt ? c 在闭区间 t ?[? 2, 2] 上的最值求之; ?2 at 2 ? b t ? tan x ⑤ y ? a tan x ? b cot x ,设 化为 y ? 用 ? 法求值;当 ab ? 0 时,还可用平 t y?
2

均值定理求最值; ⑥y?

a sin x ? b 根据正弦函数的有界性,即可分析法求最值,还可“不等式”法或“数形 c sin x ? d

结合” . 6、掌握三角形有关的定理: 正余弦定理:a =b +c -2bccosθ, cos? ?
2 2 2

a b c b2 ? c2 ? a2 ? ? ? 2R ; sin A sin B sin C 2bc

内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

C A? B C A? B =sin , sin =cos 2 2 2 2 1 1 1 面积公式:S= absinC= bcsinA= casinB 2 2 2 a?b?c S= pr = p( p ? a)( p ? b)( p ? c) (其中 p= , r 为内切圆半径) 2
cos 射影定理:a = bcosC + ccosB;b = acosC + ccosA;c = acosB + bcosA 考点训练 考点 1、三角函数性质(1)定义域、值域、最值 EG1. 当 x ? ??

? ? ?? , ? 时,函数 f(x)=sinx+ 3 cosx 的值域是 A ? 2 2?
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1 ,1] C. [-2,2] D. [-1,2] 2 1 B1-1.函数y= 的最大值是B 2 ? sin x ? cos x
A. [-1,2] B. [A.

2 -1 2

B.

2 +1 2

C.1-

2 2

D.-1-

2 2

B1-2.函数 y ? sin 2x ? 2 cos2 x 的最大值是A A. 2 ? 1 B. 2 ? 1
2

C.3

D.2

B1-3.设函数 f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? a (a为实常数 )在区间[0, 那么a的值等于C A.4 B.-6

?
2

] 上的最小值为-4,

C.-4

D.-3

B1-4.函数 y ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的最大值为A A. 1 ? 2 B1-5. x ? [0, A. 2 B. 2 ? 1 C. 2 D.2

?
2

], a ? (? cos x,1), b ? (2 sin x, cos 2 x), 则f ( x) ? a ? b 的最大值是 B
B.1 C.

2 3

D. ?

2

考点 2、三角函数性质(2)单调性、奇偶性、周期性、对称性 EG2.下列四个函数中,在区间(0,1)上为增函数的是B A. y ? ? log2 x B.y=sinx C. y ? ( )

1 2

x

D.y=arccosx

B2-1.下列函数中,既为偶函数又在(0,π )上单调递增的是 A.y=tan|x|. B.y=cos(-x). C. y ? sin( x ?

?
2

).

D. y ?| cot

B2-2.在下列给定的区间中,使函数 y=sin(x+ A.[0,

? ] 4

B.[

? ? , ] 4 2

? )单调递增的区间是 4 ? C .[ , ? ] D.[- ? ,0] 2

x | 2

B2-3.函数 y ? 3 sin ?

?? ? ? 2 x ? 的单调递减区间是________________________. ?3 ?

? 5? ? ? k? ? , k? ? ? ( k ? Z ) ? 12 12 ? ?
例3.函数 y ? sin(x ? ? )(0 ? ? ? ? )是R 上的偶函数,则

?=

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A.0

? B. 4

C.

? 2

D. ?

B3-1.(理)函数y=5sin(x+φ )是偶函数的充要条件是B

? ? (k∈Z) B. ? =kπ + (k∈Z) 2 2 3 ? C. ? =2kπ (k∈Z) D. ? = kπ + (k∈Z) 2 2
A. ? =2kπ + B3-2、 使函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) 是奇函数, 且在[ 0, 的一个值是 B A.

? ]上是减函数的 ? 4
5? 3

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

B3-3、函数 y ? (sin x ? 3 cos x)(cosx ? 3 sin x) 的最小正周期为________. ?

例 4.函数 f(x)=cos2x-2 3 sinxcosx 的最小正周期是 B4-1、函数 y ? sin A

. π

x 的最小正周期是 C 2
B

? 2

?

C 2?

D 4?

B4-2、若 f(x)sinx 是周期为π 的奇函数, 则 f(x)可以是 B A sinx B cosx C sin2x D cos2x B4-3、 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且

5? ) 的值为 D 2 3 1 1 3 3 A. ? B. C. ? D. 2 2 2 2 ? x ? x ? B4-4 、函数 y = 2sin( + )cos( + )+asinx (x ∈ R) 的图象关于 x= 对称 , 则 g(x)= 4 2 4 2 8
当 x ? [0,

?

] 时, f ( x) ? sin x ,则 f (

asin(a+1)x 的最小正周期是 B4-5、下列函数中周期为 2 的是 A. y ? 2 cos C. y ? tan(
2

.

2π.
C B. y ? sin 2?x ? cos 2?x

?x ? 1
x?

?
2

?
3

) D. y ? sin ?x cos?x 变式 6.


2 2 B4-6. “ a ? 1 ”是函数“ y ? cos ax ? sin ax ”的最小正周期为 ? 的(

A.充分不必要条件 C.充要条件 EG5、函数 y=sinx+cosx 的最小正周期是
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B.必要不充分条件 D.既不充分也非必要条件 ,期图象的相邻两条对称轴之间的距离

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. 2? , ?

B5-1、函数 y = -2sin(4x+ .(

? , 0), 12

2? )的图象与 x 轴的交点中, 离原点最近的一点的坐标是 3

B5-2、函数 y = sin(2x+ A x=-

? 2

5? )的图象的一条对称轴方程是 2
Bx=-

A Dx=

? 4

C

x=

? 8

B5-3、给定性质: ①最小正周期为π ; ②图象关于直线 x= 具有性质①、②的是

? 对称, 则下列四个函数中, 同时 3
D y = sin(2x-

5? 4

x ? ? A y = sin( + ) B y = sin(2x+ ) C y = sin|x| 2 6 6
B5-4、 已知函数f(x)=sin(2x+φ )的图象的一个对称中心是( 值为B A.-

D

? ,0),则绝对值最小的φ 的 6

? ) 6

? 6

B.-

? 3

C.

? 3

D.

2? 3

考点 3、图像变换 π 例 6、在同一个坐标系中,为了得到 y=3sin(2x+ )的图象,只需将 y=3cos2x 的图象 4 π π π π A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移 4 4 8 8 B6-1、为了得到函数 y ? sin( 2 x ?

?

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

) 的图象,可以将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象 B 6 6

?

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移

B6-2、若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ?和? 的取值是 C A. ? ? 1, ? ? C. ? ?

?
3

B. ? ? 1, ? ? ? D. ? ?

?
3

1 ? ,? ? 2 6

1 ? ,? ? ? 2 6

B6-3、下列四个结论中正确的个数有 B ①y = sin|x|的图象关于原点对称; ②y = sin(|x|+2)的 图象是把 y = sin|x|的图象向左平移 2 个单位而得; ③y = sin(x+2)的图象是把 y = sinx 的 图象向左平移 2 个单位而得; ④y = sin(|x|+2)的图象是由 y = sin(x+2)( x≥0)的图象及 y = -sin(x-2) ( x<0)的图象组成的. A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 B6-4、为了得到函数 y ? sin( 2 x ?

?

6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象 B

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? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移 B6-5.将函数y=f(x)·sinx的图象向右平移
2

? 个单位后,再作关于x轴的对称变换,得到函 4

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移

数y=1-2sin x的图象,则f(x)可以是D A.sinx B.cosx C.2sinx D.2cosx B6-6、把函数 y = sin(2x+

? ? 1 )的图象向右平移 个单位, 再将横坐标缩小为原来的 , 则其 2 4 8

解析式为 . y = sin4x, 考点1、余弦定理、正弦定理 EG7.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab且 sin C ? 2 sin A cos B ,则 ABC 是 ( ) A.等边三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形,但不是等边三角形 D.直角三角形,但不是等腰三角形

B7-1.在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角为θ ,由此点向塔底沿直线走 30 米,测得 塔顶的仰角为 2θ ,再向前走 10 3 米,又测得塔顶的仰角为 4θ ,则塔高是 B7-2.在△ABC 中,A=60°,b=1, S ?ABC ? 15 米;

3, 则
C.

a?b?c 等于 sin A ? sin B ? sin C
D. 2 3

A.

8 3 3

B.

2 39 3

26 3 3

B7-3.△ABC 中,若 cos2B ? cos B ? cos(A ? C ) ? 1 ,则 A.a、b、c 成等差数列 C.a、b、c 成等比数列 B.a、c、b 成等差数列 D.a、c、b 成等比数列

B7-4.△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则 AB ? BC 的值为 A.19 B.-19 C.-18 D.-14

B7-5. 在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列,∠ B=30°,△ABC 的面积为

3 ,那么 b= 2
(C)

(A)

1? 3 2

(B) 1 ? 3

2? 3 2

(D) 2 ? 3

B7-6.若A,B,C是△ABC的三个内角,且 A ? B ? C (C ?

?
2

) ,则下列结论中正确的是
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A. tan A ? tan C

B. cot A ? cot C

C. sin A ? sin C

D. cos A ? cos C

B7-7 . (2003 年 高 考 上 海 文 史 ) 在 △ ABC 中 , sinA ∶ sinB ∶ sinC=2 ∶ 3 ∶ 4, 则 ∠ ABC=_____________.(结果用反三角函数值表示) arccos

11 . 6

方法归纳 1. “五点法”画正弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,五个特殊点通常都是取 三个平衡点,一个最高、一个最低点; 2. 给出图象求 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的解析式的难点在于 ? , ? 的确定, 本质为待定系数法, 基本方法是:①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象变换法,即考察已知 图象可由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由平衡点或最值点确定周期 T ,进而确 定? . 3.求三角函数的定义域实质就是解三角不等式(组) .一般可用三角函数的图象或三角函数 线确定三角不等式的解.列三角不等式,既要考虑分式的分母不能为零;偶次方根被开方 数大于等于零;对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1,又要考虑三角函数本身的定 义域; 4.求三角函数的值域的常用方法:①化为求代数函数的值域;②化为求 y ? As i n? ( x ?? ? ) B 的值域;③化为关于 sin x (或 cos x )的二次函数式; 5 .三角函数的周期问题一般将函数式化为 y ? Af (? x ? ? ) (其中 f ( x ) 为三角函数,

? ?0) . 6.三角函数的奇偶性的判别主要依据定义:首先判定函数的定义域是否关于原点对称,当 函数的定义域关于原点对称时,再运用奇偶性定义判别; 7.函数 y ? A sin(? x ? ?) ( A ? 0, ? ? 0) 的单调区间的确定,基本思路是把 ? x ? ? 看作一 个整体,运用复合函数的单调规律得解; 8. 比较三角函数值的大小, 利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值, 再利用单调性比较大小. 9、最值 (1) 认真观察函数式,分析其结构特征,确定类型。 (2) 根据类型,适当地进行三角恒等变形或转化,这是关键的步骤。 (3) 在有关几何图形的最值中,应侧重于将其化为三角函数问题来解决。 2. 特别说明 注意变换前后函数的等价性,正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响,含参数 函数的最值,解题要注意参数的作用和影响。
实战训练 1.已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)cosx<0 的解 集是 C A.(0,1)∪(2,3) C.(0,1)∪( B.(1,

? ,3) 2

? ? )∪( ,3) 2 2

D.(0,1)∪(1,3)

2.函数 y = - xcosx 的部分图象是 D y y O B
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y x O C x

y O D
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O A
fly

x

x

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3、若 sin2x>cos2x, 则 x 的取值范围是 A{x|kπ -

? ? ? ? < x< kπ + , k∈Z} B {x|2kπ - < x< 2kπ + , k∈Z} 4 4 4 4 ? 3? ? 3? C{x|2kπ - < x< 2kπ + , k∈Z} D{x|kπ - < x< kπ + , k∈Z} 4 4 4 4
( ) A tanα tanβ <1 C cosα +cosβ >1 B sinα +sinβ < 2 D

D

4、设α 、 β 是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是 D

5.已知函数 y ? tan( 2 x ? ? ) 的图象过点 ( A. ?

?
12

1 ??? tan(α +β )<tan 2 2
A D. ( )

,0) ,则 ? 可以是
C. ?

?
6

B.

? 6

? 12

? 12
( )

6.函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数 B A. (

? 3?
2 ,

2 x 7.函数 y ?| sin | 的最小正周期是 2 ? (A) (B) ? (C) 2? 2
8.已知函数 f ( x) ? sin(?x ?

)

B. (? ,2? )

C. (

3? 5? , ) 2 2

D. (2? ,3? )

(D) 4?

?

2

) ? 1 ,则下列命题正确的是
B. f ( x) 是周期为 2 的偶函数 D. f ( x) 是周期为 2 的非奇非偶函数

A. f ( x) 是周期为 1 的奇函数 C. f ( x) 是周期为 1 的非奇非偶函数 9.函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 [0, 10.函数 f ( x) ? cos x ? 11、把函数 y = cos(x+ 最小值是

?
2

] 上的最小值为
.

? )的图象向左平移 m 个单位(m>0), 所得图象关于 y 轴对称, 则 m 的 3 2 . π, 3

1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2

3 4

12.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表是 该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:D t y 0 11 3 14.1 6 11.1 9 8.1 12 10.9 15 13.9 18 10.9 21 7.9 24 11.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象.下面 的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( )

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A. y ? 11 ? 3sin( C. y ? 11 ? 3sin

?

t ? ), t ? [0, 24] 12 2

?

?

B. y ? 11 ? 3sin(

?
6

t ? ? ), t ? [0, 24]

12

t , t ? [0, 24] D. y ? 11 ? 3sin

?
6

t , t ? [0, 24]

13. 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? ? ①它的图象关于直线 x ? ②它的图象关于点 (

?
2

) ,给出下列四个论断:

?
12

成轴对称图形;

?
3

, 0) 成中心对称图形;

③它的最小周期是 ? ; ④它在区间 [?

?

6

, 0] 上是增函数。

以其中两个论断为条件,余下的两论断作为论断,写出你认为正确的一个命题: ②③ ? ①④ 14、已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x. 则 f ( x) 的最小正周期 ;

f ( x) 的最大值

、最小值

。T ?

2? ? ? . 2 ;- 2 2

15、 已知函数 f ( x) ? a cos ?x ? sin ?x ? cos ?x ?
2

1 2 (? ? 0, a ? 0) 的最大值为 , 其最小 2 2
;曲线 y=f(x) 的对称轴方程:

正周期为 π . 则实数 a= 及其对称中心的坐标 (Ⅰ) y ? a cos ?x ? sin ?x ? cos ?x ?
2

与ω = .

1 a 1 1 ? (1 ? cos 2?x) ? sin 2?x ? 2 2 2 2 1 a ?1 ? (sin 2?x ? a cos 2?x) ? 2 2

?

a2 ?1 a ?1 . sin(2?x ? ? ) ? 2 2
1 2 a ?1 2 ,∴a=1. a ?1 ? ? 2 2 2

∵y的最小正周期T=π .∴ω =1. ∴ yman ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=1,ω =1, ∴ f ( x) ?

1 2 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) . 2 2 4
k? ? ? (k ? Z ) . 2 8

∴曲线y=f(x)的对称轴方程为 x ?

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k? ? ? ,0)( k ? z ) . 2 8 ? 16、设 0<θ <π , 求函数 y =(1+ cosθ )·sin 的最大值. 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 解: y =(1+ 2cos2 -1)·sin =2cos2 ·sin =2 cos ? cos2 ? sin 2 2 2 2 2 2 2 2
对称中心的坐标为 ( ≤2

? ? ? 1 ? 1 2 3 4 3 2 . 当且仅当 cos2 =2 sin2 , ∴tg2 = . 即 tg = 取 ?( ) ? 2 2 2 2 2 2 2 3 9
? 4 3 的最大值是 2 9

“=”. ∴y =(1+ cosθ )·sin

17.已知 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a (a∈R , a 为常数) (Ⅰ) 若 x∈R , 求 f(x)的单调增区间; (Ⅱ) 若 x∈[0,

? ]时, f(x)的最大值为 4, 求 a 的值, 2

并指出此时 f(x)的图象可由 y = sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解: (Ⅰ)f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a= cos2x+ 3 sin2x+ a+1=2 sin(2x+ ∴f(x)的单调增区间为[kπ ∴

? ? 7? ≤2x+ ≤ . f(x)MAX=2+ a+1=4, ∴a=1. 6 6 6
cos 3 x ?? x cos 2 2. tgx

? ? , kπ + ] k∈Z. 3 6

? ) +a+1, 6 ? (Ⅱ) ∵x∈[0, ]时, f(x)的最大值为 4, 2

18.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的定义域;

(Ⅱ)判断函数 f(x)的奇偶性, 并说明理由.

tgx ? 0 ? k? k? ? 解: (Ⅰ)由 ? (k∈Z). ∴f(x)的定义域为 {x| x∈Z 且 x≠ , k∈Z} . ? , 得 x≠ x ? k? ? 2 2 ? 2 ? x ?? x x x x cos 3 cos ? sin 3 cos ? sin x sin 2 2 2 = 2 2 ? 2 =- 1 cos x · 1 (1- cos ( Ⅱ ) f(x)= tgx tgx 2tgx 2 2 1 1 1 1 1 x)= cos2 x- cos x, 对于定义域内的任意 x, f(-x)= cos2 (-x)- cos(- x)= cos2 4 4 4 4 4 1 x- cos x= f(x). ∴f(x)是偶函数. 4 ??? ? ??? ? ??? ? 19、已知△ABC 的周长为 6, BC , CA , AB 成等比数列,求
(1) △ABC 的面积 S 的最大值;

BC 的取值范围. (2) BA?
19、设 BC , CA , AB 依次为 a,b,c,则 a+b+c=6,b?=ac,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , ??4 分 由余弦定理得 cos B ? 2ac 2ac 2ac 2
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高三数学总复习考点训练——三角函数的性质与图像

a ?c 6?b ? , 从而 0 ? b ? 2 ??6 分 3 2 2 1 1 2 1 2 ? (1) 所以 S ? ac sin B ? b sin B ? ? 2 ? sin ? 3 ,即 Smax ? 3 ?8 分 2 2 2 3
故有 0 ? B ? ,又 b ?

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ac ?

(2) 所


2

??? ? ???? a 2 ? c ? b (a ? c ? ac ? b (6 ? b)2 ? 3b2 BA?BC ? ac c B ? ? ? ? ?(b ? 3)2 ? 27 o 2 2 2
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