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等差数列的前n项和 1


2 . 3

课前预习·巧设计

第 二 章 数 列

等 差 数 列 的 前 项 和

第一 课时 等差 数列 的前 n项 和

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[读教材·填要点] 1.数列的前n项和

我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn
表示,即Sn= a1+a2+a3+…+an .

2.等差数列的前 n 项和 若等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则

n?a1+an? n?n-1? na1+ 2 d 2 Sn= = .

[小问题·大思维]

1.数列{an}的前n项和Sn与通项an之间有什么关系?
? ?S1 提示:an=? ? ?Sn-Sn-1

?n=1?, ?n≥2?.

2.“等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数”,这种 说法正确吗? 提示:不一定正确.当d≠0时,Sn=An2+Bn(A≠0)是关 于n的二次函数;当d=0时,Sn=na1=a1n是关于n的一 次函数.

3.如何根据条件选择等差数列前n项和公式?
n?n-1? 提示: 当给出首项和公差时, 利用 Sn=a1n+ 2 d; n?a1+an? 当给出首项和末项时,利用 Sn= . 2

[研一题] [例1] 在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn= 35,求a1和n.

[自主解答]

?an=a1+?n-1?d, ? 由? n?n-1? S =na1+ 2 d, ? ? n

?a1+2?n-1?=11, ? 得? n ? n - 1? na + 2 ×2=35, ? ? 1
? ? n = 5, 解方程组得? ? ?a1=3, ? ?n=7, 或? ? ?a1=-1.

将“d=2”改为“a1=3”,其它条件不变,求n和公差d.
?an=a1+?n-1?d, ?11=3+?n-1?d, ? ? 解: 法一: 由? 得? n?n-1? n?n-1? S =na1+ 2 d, 35=3n+ 2 d, ? ? ? n ?
? ?n=5, 解之得? ? ?d=2.

n?3+11? 法二:∵a1=3,an=11,Sn=35,∴35= =7n, 2 即 n=5. 又∵11=3+(5-1)d,∴d=2.

[悟一法] a1、n、d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以 用三个基本量来表示,五个量a1、d、n、an、Sn可知三求 二.在具体求解过程中注意与等差数列的性质相联系,利 用整体代换思想解题,可简化运算.

[通一类] 1.(1)数列{an}是等差数列,a1=1,an=-512,Sn=-

1 022,求公差d;
(2)已知等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,求a10.

n?n-1? 解:(1)因为 an=a1+(n-1)d,Sn=na1+ 2 d, 又 a1=1,an=-512,Sn=-1 022, ? ?1+?n-1?d=-512, 所以? 1 n+2n?n-1?d=-1 022. ? ? ① ②

1 把(n-1)d=-513 代入②,得 n+2n· (-513) =-1 022,解得 n=4, 所以 d=-171.

?a1+d+a1+4d=19, ? (2)法一:由已知可得? 5× 4 5a + 2 d=40. ? ? 1 解得 a1=2,d=3. 所以 a10=a1+9d=29.

法二:由S5=5a3=40,得a3=8. 所以a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19. 得d=3.所以a10=a3+7d=8+3×7=29.

[研一题]

[例2] 一等差数列共有偶数项,且奇数项之和与偶数
项之和分别为24和30,最后一项与第一项之差为10.5,求

此数列的首项、公差、项数.

[自主解答]

法一:设此数列的首项为 a1,公差为 d,

项数为 2k(k∈N*). ? ?S奇=24, ?S偶=30, 根据题意得? 21 ? a -a1= 2 , ? ? 2k

? ?1k?a1+a2k-1?=24, ?2 ?1 即?2k?a2+a2k?=30, ? ? 21 ?2k-1?d= 2 , ? ? 3 3 解得 a1=2,d=2,k=4,

? ?k[a1+?k-1?d]=24, ?k?a1+kd?=30, 即? 21 ? ?2k-1?d= 2 , ? ?

3 3 所以首项为2,公差为2,项数为 8.

法二:设此数列的首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N*). ? ?S奇=24, ?S偶=30, 由 题 意 知 ? 21 ? a -a1= 2 , ? ? 2k ? ?kd=6, ? 21 ,解得 ?2k-1?d= 2 ? ? ? ?S偶-S奇=6, 所 以 ? 21 a -a1= 2 , ? ? 2k

所 以

? ?k=4, k ? 代入 S 奇=2(a1+a2k-1)=24, 3 d=2, ? ? 3 3 3 可得 a1=2.所以首项为2,公差为2,项数为 8.

[悟一法] 与前 n 项和有关的等差数列的常见性质有: (1)等差数列的依次每 k 项之和 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组 成公差为 k2d 的等差数列. (2)若等差数列的项数为 2n(n∈N*),则 S2n=n(an+an+1) S偶 an+1 (an,an+1 为中间两项)且 S 偶-S 奇=nd, = a . S奇 n

若项数为 2n-1(n∈N*), 则 S2n-1=(2n-1)an(an 为中间项) S偶 n- 1 且 S 奇-S 偶=an, = n . S奇 (3)若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则{an}为等差数列等价 Sn 于{ n }是等差数列. (4)若{an},{bn}都为等差数列,Sn,Sn′为它们的前 n 项 S2m-1 am 和,则b = . S2m-1′ m

[通一类] 2.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之 和为33,求这个数列的中间项及项数.

解:设等差数列{an}共有(2n+1)项, 则奇数项有(n+1)个,偶数项有 n 个,中间项是第(n+1) 项,即 an+1. 1 S奇 2?a1+a2n+1?×?n+1? ?n+1?an+1 ∴ = = 1 S偶 nan+1 2?a2+a2n?×n

n+1 44 4 = n =33=3,得 n=3. 又∵S 奇=(n+1)· an+1=44,∴an+1=11. 故这个数列中间项为 11,项数共有 2n+1=7 项.

[研一题] [例 3] Sn 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n, n )(n∈N*)

均在函数 y=3x-2 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn anan+1 m <20对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m.

[自主解答]

Sn (1)依题意得, n =3n-2,

即 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n -1)]=6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1=6×1-5 适合, 所以 an=6n-5(n∈N*).

3 3 (2)由(1)得 bn= = anan+1 ?6n-5? [6?n+1?-5] 1 1 1 =2( - ). 6n-5 6n+1 1 1 1 1 1 故 Tn=b1+b2+…+bn=2[(1-7)+(7-13)+…+( 6n-5 - 1 1 1 )]=2(1- ). 6n + 1 6n+1

1 1 m 因此,使得2(1- )<20(n∈N*)成立的 m 必须满足 6n+1 1 m 2≤20,即 m≥10,故满足要求的最小整数 m 为 10.

[悟一法] 已知数列前n项和Sn求通项an,先由n=1时,a1=S1 求得a1,再由n≥2时,an=Sn-Sn-1求an,最后验证a1是否 符合an,若符合则统一用一个解析式表示.

[通一类]

3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且lg(Sn+1)=n+1,求
通项公式. 解:因为lg(Sn+1)=n+1, 所以Sn+1=10n+1.即Sn=10n+1-1. 当n=1时,a1=S1=102-1=99, 当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=9×10n, 从而,数列{an}的通项公式为:
? ?99 an=? n ? ?9×10

?n=1? ?n≥2?.

在等差数列{an}中,S10=100,S100=10.求S110.
[解 ] 法一:(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1,

10?10-1? ? d=100, ?10a1+ 2 公差为 d,则? ?100a +100?100-1?d=10. 1 2 ?

1 099 ? ?a1= 100 , 解得? ?d=- 11. 50 ? 110?110-1? ∴S110=110a1+ d 2 1 099 110×109 11 =110× 100 + ×(-50)=-110. 2

法二:(设而不求整体代换法) ∵S10=100,S100=10, ∴S100-S10=a11+a12+…+a100 90?a11+a100? = =-90. 2

∴a11+a100=-2. 又∵a1+a110=a11+a100=-2, 110?a1+a110? ∴S110= =-110. 2

法三:(新数列法)∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100 -S90,S110-S100,…成等差数列, 10×9 ∴设该数列公差为 d, 则其前 10 项和为 10×100+ 2 d=10,解得 d=-22. 10×11 10×11 ∴前 11 项和为 11×100+ 2 d=11×100+ 2 ×(-22)=-110.

法四:(运用函数观点解决问题) Sn 100 由于 f(n)= n 是关于 n 的一次函数, 而点(10,10 ), (100, 10 S110 100),(110,110)在其图象上,由斜率相等, S110 100 10 100 110- 10 100- 10 得 = ?S110=-110. 110-10 100-10

法五:(待定系数法)设{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为 常数)时,
2 ? ?S10=A×10 +B×10=100, ? 2 ? ?S100=A×100 +B×100=10,

① ②

11 111 解得A=-100,B= 10 . 11 111 2 ∴S110=A×110 +B×110=-100×110 + 10 ×110=-110.
2


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