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猜想——二阶等差数列及其通项公式


二阶等差数列及其通项公式
( 1)

( 2)

( 3)

1 2 3 4 5 、 、 、 、 ,… (第 n 个数) 2 3 4 5 6 1 1 1 1 - 1、 、 ? 、 、 ? ,… (第 n 个数) 2 3 4 5 1 1 1 1 、 、 、 ,… (第 n 个数) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

4 ? 5
(第 n 个数) (第 n 个数) (第 n 个数)

(4)1,2,4,7,11,16,22,… (5) 1,3,6,10,15,21,28,… (6) 1,3,7,13,21,31,43,…

通过观察分析,也能发现上面三个数列有其内在规律与特点,但若想轻易写出却有难处。

一、等差数列的定义及其通项公式:
1、等差数列的定义:如果一个数列 a1,a2,a3,…,an,…, 从第二项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 d, 即 a2 - a1 = a3 - a2=… = an - an-1 = d, 则称此数列为等差数列,常数 d 叫等差数列的公差。 2、等差数列的通项公式:an =a1 + ( n - 1 ) d, 公 差: d = a2 - a1.

二、二阶等差数列的定义及其通项公式:
定义:如果一个数列 a1,a2,a3,…,an,…, (★) a2 - a1, a3 - a2, a4 - a3, …,

从第二项起, 每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列, 即 an - an-1,…成为一个等差数列,则称数列(★)为二阶等差数列。 相应地,d =(a3 - a2) - (a2 - a1)= a3 + a1 - 2a2 称为二阶等差数列的二阶公差。

依此定义可以判断,⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。其二阶公差分别为 1、1、2. 说明:⑴、为区别于二阶等差数列,可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.

⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系:二阶等差数列不一定是一阶等差数列,但一阶等 差数列肯定是二阶等差数列。 二阶等差数列的通项公式: 设数列 a1,a2,a3,…,an,…是一个二阶等差数列,为了书写的方便,我们记数列 a2 - a1,a3 - a2,a4 - a3,…,an - an-1,…为 b1 , b2 , b3 , …,bn-1 , …, 即记 bn= an+1 - an, (☆)

(n≥1,n∈Z) 对于数列(☆),d = b2 - b1 = a1 + a3 - 2a2,

则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。 根据等差数列的通项公式,则有

bn= an+1 - an = b1 + (n-1) d, (n≥1,n∈Z) 由此得,an +1= an + b1 + (n-1) d 依此规律,则有 a2 = a1 + b1, a3 = a2 + b1+d, a4 = a3 + b1+2d, … …

an = an-1 + b1 + (n-2 ) d, 由上面各式左右分别相加,可得 an = a1 +(n-1)b1 +

(n ? 1)( n ? 2) (●) d, 2

此即为二阶等差数列的通项公式, 其中,b1 = a2 - a1,[注:bn= an+1 - an, (n≥1,n∈Z)]

对 于 数 列 ⑷ , 知 a1 =1 , b1 =1 , d=1 , 则 由 公 式 ( ● ) 可 得 , an=1+ ( n-1 ) ×

(n ? 1)( n ? 2) n 1+ = 2

2

?n ? 1 ,代入验证。 2

同理可求知⑸、⑹的通项公式:

⑸、an ⑹、an

=

n

2

?n 2

= n2-n+1

由此通项公式,则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。 读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式: ⑺、2、2、5、11、20、32、47,… ⑻、2、3、8、17、30、47、68,…

中考数学中常会出现一种寻找规律的题型,其中有一类实际是高中数学中的等差数列或 二阶等差数列,由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项,因此在 确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 a n ? a1 ? ? n ? 1? d ? dn ? a1 ? d (其中 a1 为首项,d 为公差,n 为正整数),若将 n 看成自变量, an 看成函数,则 an 是关于 n 的一次 函数;若一列数 a1,a2,…an 满足 a n ? a n ?1 ? kn ? b (其中 k,b 为常数),则这列数是二阶等差数列, 即每一后项减去前项得到一新的数列,这一新数列是等差数列。它的通项 a n ? an 2 ? bn ? c 是关 于 n 的二次函数。我们学习过用待定系数法确定函数解析式,由于数列是特殊的函数,因此 可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。 练习 1、2008 年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会,2012 年的奥运会在英国伦敦举行,奥运 会的年份与届数如下表所示: 年份 届数 1896 1 1900 2 1904 3 … … 2012 n

表中 n 的值等于 . 2、如图,是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第 n 个图案 中阴影小三角形的个数是 .

3、我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列,如 1,3,9,19,33,…就是一个数列,如 果一个数列从第二个数起,每一个数与它前一个数的差等于同一个常数,那么这个数列就

叫做等差数列,这个常数叫做这个等差数列的公差.如 2,4,6,8,10 就是一个等差数列, 它的公差为 2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列,则称 这个数列为二阶等差数列.例如数列 1,3,9,19,33,…,它的后一个数与前一个数的 差组成的新数列是 2,6,10,14,…,这是一个公差为 4 的等差数列,所以,数列 1,3, 9,19,33,…是一个二阶等差数列.那么,请问二阶等差数列 1,3,7,13,…的第五个 数应是 . 4、问题情境: 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放,则第 2012 个图共有多少枚棋子?

建立模型: 有些规律问题可以借助函数思想来探讨,具体步骤:第一步,确定变量;第二步:在直角 坐标系中画出函数图象;第三步:根据函数图象猜想并求出函数关系式;第四步:把另外的 某一点代入验证,若成立,则用这个关系式去求解. 解决问题: 根据以上步骤,请你解答“问题情境”.

5、按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖,则第 14 个图案中黑色小正方形地砖的块数 是 .

6、下图是在正方形网格中按规律填成的阴影,根据此规律,则第 n 个图中阴影部分小正方形 的个数是 .

7、观察下列一组图形:

它们是按一定规律排列的,依照此规律,第 n 个图形中共有 8、用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:

个.

(1)第 5 个图形有多少黑色棋子? (2)第几个图形有 2013 颗黑色棋子?请说明理由.


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