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高一数学竞赛试题(基础篇1)


高一数学竞赛试题(基础篇 1)
一选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题的四个选项中,有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合 A ? (x, y ) x ? y ? 0 , B ? (x, y ) x ? y ? 0 ,则 A A ?0? 2.下列函数中与函数 y ? x 相同的是 ( A y ? ( x )2 B y? B ?0, 0?

C ?(0,0)? D? ) (人教 A 版)

?

?

?

?

B =(

) (湖南版)

x2

C

y ? 3 x3

Dy?

x2 x

3.过点 (3,0),(3, 3) 的直线的倾斜角为( ) (人教 B 版) 0 0 0 0 A 0 B 30 C 60 D 90 4.在空间中,下列命题正确的是( ) (人教 B 版) (1) 平行于同一条直线的两条直线平行; (2)平行于同一条直线的两条平面平行; (3)平行于同一平面的两条直线平行; (4)平行于同一平面的两个平面平行; A 1 B 2 C 3 D 4 5.设 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 ,则下列区间中使 f ( x) ? 0 有实数解的区间是( )(人教 A 版) A [1, 2] B [2,3] C [3, 4] D [4,5] 6.如果奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最小值是 5,那么 f ( x ) 在区间 [?7, ?3] 上是 ( ) (湖南版) A 增函数且最大值为 ?5 C 减函数且最大值为 ?5 B 增函数且最小值为 ?5 D 减函数且最小值为 ?5
2

7.如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为 4 m , 互相平行的两个侧面的距离为 2 m ,则这个六棱柱 的体积为( ) (北师大版)
3 6m3 C 12m D 以上都不对 8.已知 0 ? x ? y ? a ? 1,则有( ) (湖南版) A loga ( xy ) ? 0 B 0 ? loga ( xy ) ? 1 C 1 ? loga ( xy ) ? 2 D loga ( xy ) ? 2 9.如图,在正方形 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ?a,

A 3m

3

B

A

B E

E , F 分别是 BC , DC 的中点,则异面直线 AD1 与

D

F

C

EF 所成角为( ) (江苏版) 0 0 0 0 A 30 B 45 C 60 D 90 10.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,则当 x ? 0 时, 函数 f ( x ) 的解析式为( ) A f ( x) ? x( x ? 1) B f ( x) ? ? x(1 ? x) C f ( x) ? x(1 ? x) D f ( x) ? ? x(1 ? x)
A1 B1 D1 C1

第二部分 非选择题(共 100 分) 二填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 11.在空间直角坐标系中,点 A(1, ?3,0), B(2,0, 4) 的距离是___________.(人教 B 版)

12.函数 f ( x) ? 1 ? ( ) 的定义域为___________.(人教 B 版)
x

1 2

13.已知函数 f ( x) ? ?

? x, x ? 0 ,则 f ( f (?2)) ? ___________.(江苏版) 2 ?x , x ? 0

14. 已 知 圆 x2 ? y 2 ? 4 和 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 关 于 直 线 l 对 称 , 则 直 线 方 程 为 ___________. (人教 A 版) 三解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

1, x ? 1 ? ? 1 ? 2 15.(10 分)已知函数 f ( x ) ? ? 1 ? x , ?1 ? x ? 1 ,求 f (3) ? f ( ?3) f ( ) 的值。 (湖南版) 3 ? x , x ? ?1 ? ?

16.(12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2x , g ( x) ? x ? 2 x( x ?[2, 4])
2 2

(1) 求 f ( x), g ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x), g ( x) 的最小值。 (人教 A 版)

17.(13 分)已知三角形三顶点A ? 4, 0?,B ?8, 10?,C ?0, 6? 求

(1)AC边上的高所在的直线方程 ; (2)过A点且平行于BC的直线方程 。

18.(14 分)如图,在正方形 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, M , N 分别是 A1B, BC1 的中点, (1) 求证: MN 平面ABCD (2) 求证: AC ? 平面BDC1 (北师大版) 1
D A B C

M

N

A1

B1

D1

C1

19.(15 分)如图,有一块半径为 2 的半圆形钢板, 计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它的下底 AB 是 O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,写出这 个梯形周长 y 和腰长 x 间的函数解析式,并求出它 的定义域。 (人教 A 版)
D C

A

O

B

20(16 分)已知圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25, 直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 , (1) 求证:直线 l 恒过定点; (2) 判断直线 l 被圆 C 截得的弦长何时最长, 何时最短?并求截得的弦长最短时, 求m的 值以及最短长度。 (人教 A 版)

参考答案 一、 选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 B 5 B 6 A 7 B 8 D 9 C 10 C

二、 填空题: 11. 26 三解答题: 15 解: 因为 f (3) ? 1 , f (?3) ? ?3 , f ( ) ? 1 ? ( ) 所以 12. [0, ??) 13.4 14. x ? y ? 2 ? 0

1 3

1 3

2

(5 分)

1 1 2 2 f (3) ? f (?3) f ( ) ? 1 ? ?3 ? 1 ? ( ) 2 ? 1 ? 3 ? ? 1? 2 2 3 3 3
(10 分)

16 解: (1)函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? ( x ? 1)2 ? 1,对称轴为 x ? 1 , (2 分) 所以函数 f ( x ) 在 (??,1) 为减函数,在[1, ??) 为增函数; (4 分) 函数 g ( x) ? x2 ? 2x ? ( x ? 1)2 ? 1, x ? [2, 4] 所以函数 g ( x) 在 [2, 4] 上是增函数。 (6 分) (2)函数 f ( x ) 的最小值为 ?1 , (3 分) 函数 g ( x) 的最小值为 0。 (6 分) 17 解: (1)设直线的方程为

y ?10 ? k ? x ? 8? (1 分)

由题意得: k ? k AC ? ?1 (3 分)

1 1 3 ?? ? (5 分) 0?6 2 k AC 4?0 3 所以所求方程: y ? 10 ? ? x ? 8 ? 即 3x ? 2 y ? 4 ? 0 (7 分) 2 k ??
(2)设直线的方程为 由题意得: k ? k BC ?

y ? k ? x ? 4? (8 分 )
10 ? 6 1 ? (11 分 ) 8?0 2

所以所求方程: y ? 18 解: (1)

1 ? x ? 4 ? 即 x ? 2 y ? 2 ? 0 (13 分 ) 2

连结A1C1 , AC , 因为M 为A1 B中点,N为BC1中点, 所以MN A1C1 (3分) 因为A1C1 AC,AC在平面ABCD内(5分) 所以MN 平面ABCD(7分)
(2)连结 BD ,由 ABCD ? A 1B 1C1D 1为正方体 为正方体可知(8 分)

? ? AC ? BD ? ? ? BD ? 面A1 AC A1 A AC ? A ? A1 A, AC ? 面ACC1 A1 ? ? 所以BD ? A1M ( 12分) 同理可得BC1 ? A1M (13分) 因为BD BC1 ? B 所以A1M ? BDC ( 1 14分)
0 19 解:做 DE ? AB ,垂足为 E ,由已知可得 ?ADB ? 90 ,(2 分)

AA1 ? BD

因为AD ? x, AB ? 4,于是

AD 2 ? AE ? AB AE ? AD 2 x 2 ? (5分) AB 4 x2 x2 ? 4 ? (6分) 4 2
x2 ?x 2

所以, CD ? AB ? 2 AE ? 4 ? 2 ?

于是y ? AB ? BC ? CD ? AD ? 4 ? x ? 4 ?

??

x2 ? 2 x ? 8 (9 分) 2

由于AD ? 0, CD ? 0, 所以

x ? 0, 解得

x2 x2 ? 0, 4 ? ? ( 0 12分) 4 2

0 ? x ? 2 2 (14 分)
所以,所求的函数为

y??

x2 ? 2 x ? 8, 0 ? x ? 2 2 (15 分) 2

20 解: (1)证明:直线 l 的方程课化为 (2 x ? y ? 7)m ? ( x ? y ? 4) ? 0 (3 分)

?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 联立 ? 解得 ? ? x? y?4 ? 0 ?y ?1
所以直线恒过定点 (3,1) (7 分)

(5 分)

(2) 当直线 l 过圆心 C 时,直线被圆截得的弦长最长。 (8 分) 当直线 l ? CP 时,直线被圆截得的弦长最短(9 分)

2m ? 1 1? 2 1 , kCP ? ? ? (10 分) m ?1 3 ?1 2 2m ? 1 1 3 .( ? ) ? ?1 解得 m ? ? (12 分) 由? m ?1 2 4
直线 l 的斜率为 k ? ? 此时直线 l 的方程是 2 x ? y ? 5 ? 0 (13 分)

圆心 C (1, 2) 到直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的距离为 d ?

2?2?5 5

? 5 (14 分)

AP ? BP ? r 2 ? d 2 ? 25 ? 5 ? 2 5

(15 分)

所以最短弦长是 AB ? 2 AP ? 4 5

(16 分)


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