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(上课用)1.1.1命题


1.1 命题及其关系
1.1.1命题

下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗?

(1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点;
(2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若x2=1,则x=1; (5)两个全等三角形的面积相等; (6)3能被2整除.

特点:①都是陈述句 ②都可以判断真假 (1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.

命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题 判断为真的语句叫真命题。 判断为假的语句叫假命题。
? 理解: 1)命题定义的核心是判断,切记:判断的标准必须确定, 判断的结果可真可假,但真假必居其一。 2)含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述 句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题? 疑问句 1) 7是23的约数吗? x>5. 3) -2<a<3. 4) 画线段AB=CD.
2)

开语句 祈使句

?判断一个语句是不是命题,关键看这语句是否符合“是陈述句”

?

和“可以判断真假” 这两个条件。 有些语句中含有变量,在不给定变量的值之前,我们无法确定 这语句的真假,这样的语句叫开语句,以后会专门研究。

说明1

要判断句子是否是命题. 首先,要看给出的句子的句型,一 般地,疑问句、祈使句、感叹句都不是 命题. 其次,要看能不能判断其真假,也 就是判断其是否成立. 不能判断真假的语句, 就不能叫命题.

说明2

还有一种语句,如“x>2”、 “x2-1=0”等,语句中含有变量 x或y,

在没有给定这些变量的值之前,是无
法确定语句的真假的.这种含有变量的

语句叫做开语句(条件命题).开语句
不是命题.

看看下列语句是不是命题?
1) 今天天气如何?
2) 你是不是作业没交? 3) 这里景色多美啊! 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。

不是(疑问句)
不是(疑问句) 不是(感叹句) 是 是 不是

例1 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是 假命题? (1)空集是任何集合的子集; 真命题
(2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗? (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行; 假命题
假命题

(5)

?? 2?2 ? 2 ;

真命题

(6)x>15.

上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.本章中我们只讨论这种形 式. “若p,则q”也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等 形式. 其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.

“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数,则a是奇数。”具 q 有“若p则q”的形式。 p ?通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条 件,q叫做命题的结论。 ?“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是 唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就 有q”等形式。
?“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易

辨别, 缺点是太格式化且不灵活.

“若p则q”形式的命题的书写
了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与 结论。 ? 对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先 添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。 ? 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 ? 写成“若p则q”的形式为: 若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平 面平行。
?

例1 指出下列命题中的条件p和结论q.

1)
2)

若整数a能被2整除,则a是偶数;
菱形的对角线互相垂直且平分。

解:1) 条件p:整数a能被2整除,

结论q:整数a 是偶数。 2) 写成若p,则q 的形式:若四边形是菱形,则它的对角线
互相垂直且平分。 条件p:四边形是菱形,

结论q:四边形的对角线互相垂直且平分。

例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行;
若两个平面垂直于同一直线,则这两个平面平行。 真

(2)两个全等三角形的面积相等;
若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等。 真

(3) 3能被2整除
若一个数是3,则这个数能被2整除。



(4) 负数的立方是负数
若一个数是负数,则这个数的立方是负数。

真 真 真

(5) 对顶角相等
若两个角是对顶角,则这两个角相等。

(6) 能被2整除的整数是偶数
若一个整数能被2整除,则这个整数是偶数。

(7) 菱形的对角线互相垂直且平分
若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分。真

例2 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判断真假。

(1) 负数的平方是正数.
(2) 正方形的四条边相等.

真命题 真命题

(3) 相切两圆的连心线经过切点.
(4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 等边三角形的三个内角相等.

真命题
假命题 真命题

例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定 真假。

(1)垂直于同一条直线的两条直线平行 假命题 真命题 (2)负数的立方是负数. 真命题 (3)对顶角相等. 假命题 (4)面积相等的两个三角形全等.

练习
1.判断下列命题的真假:
(1)能被6整除的整数一定能被3整除; (2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形 是正方形;

(3)二次函数的图象是一条抛物线;
(4)两个内角等于 45 的三角形是等腰直角三

角形.

2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式, 并判断它们的真假.
(1)等腰三角形两腰的中线相等;

(2)偶函数的图象关于y轴对称;
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行。

(1)若三角形是等腰三角形,则三角形两边上的中线相等。 这是真命题。
(2)若函数是偶函数,则函数的图象关于y轴对称,这是真 命题。 (3)若两个平面垂直于同一平面,则这两个平面互相平行。 这是假命题。

练习
(1)下面命题中是真命题的是( C ) A.若一个四边形对角线互相平分,则该四边 形为正方形。 B.集合M ? {x | x2 ? x ? 0}, N ? {x | x ? 0},则M ? N C.若a2 ? b2 ? 0, 则a, b不全为零 2 D. x ? x ? 1 ? 0

练习
(2)若m、n是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个 不同的平面,下面命题中的真命题是( C)

A.若m ? ? , ? ? ? , 则m ? ? B.若? ? ? m, ? ? ? n, m n, 则? ? C.若m ? ? , m ? , 则? ? ? D.若? ? ? , ? ? ? , 则? ? ?

练习
(4)将命题“a>0时,函数y=ax+b的值随x值的增加 而增加”改写成“p则q”的形式,并判断命题的 真假。 解答:a>0时,若x增加,则函数y=ax+b的值也随之 增加,它是真命题.

在本题中,a>0是大前提,应单独给出, 不能把大前提也放在命题的条件部分内.

小结

1.什么叫命题?真命题?假命题? 2.命题是由哪两部分构成的? 3.怎样将命题写成“若 p,则 q”的形式. 4.如何判断真假命题.


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