物理竞赛课件

V=v1+v2
v2 V v1

V12=v1-v2
V12

v1

v2

当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效 为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则 称作物体实际运动的分运动．这种双向的等效操作过程 叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法．

运动的合成与分解遵循如下原理： ? 独立性原理 构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、
互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会 因有其它分运动的存在而发生改变．

果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义． 描述运动状态的位移、速度、加速度等 矢量性原理 物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行 四边形定则作上述物理量的运算．

?

合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结 等时性原理

?

若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为vAC，动参 考系B对C的速度（牵连速度）为vBC，而A对动参考系B的速度 （相对速度）为vAB，则有 v ?v ?v V = -V

*

引入中介参照系．

同样地，位移的合成与分解为 加速度的合成与分解为

v AB ? v AC ? v BC S AC ? S AB ? S BC S AB ? S AC ? S BC a AC ? a AB ? a BC a AB ? a AC ? a BC

AC

AB

BC

AB

BA

注意矢量运算式中下标的规律性! * 根据实际效果分解运动. v ? v1 ? v2

雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落，人打着伞以3 m/s的速度向 东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向 什么方向？ 本例求雨相对人(伞)的速度，引入中介参照系-人 雨对地的速度（绝对速度） v雨=4 m/s 竖直向下 人 人对地的速度（牵连速度）v人=3 m/s 向东

v

雨对人的速度（相对速度）V雨对人 三速度矢量关系为

v雨对人 ? v雨 ? v人
伞柄方向与竖直成

?

O

v雨

? ? tan

?1 v人

v雨

3 ? 37 ? tan 4
?1

?
V雨对人

一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动，与此同时，另一质点以v2 速度从B点出发做匀速运动，如图所示，已知A、C相距l，B、C相距d，且 BC⊥AC，若要两质点相遇，v2的最小速率为多少？其方向如何？

由“两质点相遇”知A处质

C
d v2 θ v1 B v2

l

v AB ? v1 ? v2 v1 ? v AB ? v2

点相对于B处质点的速度 vAB方向沿AB连线

v1 θ

A

θ

由几何三角形与矢量 三角形关系得:

v2m

v2 m ? v1 sin?
= d d ?l
2

2

v1

vAB

方向与BC成

sin

-1

d d2 ? l2

v1

假定某日刮正北风，风速为u，，一运动员在 风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向什么方向跑的时候， 他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成 为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他 跑的方向所成夹角最大？ 本例求相对速度，引入中介参照系-人 风对地的速度（绝对速度）u 人对地的速度（牵连速度） v 风对人的速度（相对速度）V 由题给条件，速度关系为 u ? V ? v 且 V ? v 当运动员朝南偏西 ? ? cos
?1

例1

北 u
?m ? θ

V

v 感到风从正右侧吹来 u

?

v
?1

当v＞u时，无此情况！

v u 由 ? sin ? sin ?

当 ? ? 90 时 ?max

u ? sin v
?1

当运动员朝南偏西 cos 奔跑时感到风与他跑的方 向所成夹角最大！

u v

例4从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v1竖直
上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位臵水平抛出，求这两个石块在运 动过程中，它们之间的最短距离．

v y ? v1 ? v y ? v2 ? v1 两者相对速度为 2 ?
与v21相同:

一个石块对地的初速度为 v1 另一个石块对地的初速度为 v2

?

?

v1 l

以石块1为参考系，石块2的位移方向 以石块1为参考系，两石块初始距离

v21
v2

? ?

为 l:

由图 d

v1 ? l ? sin? 而 sin? ? v21 ?

v1
2 v1 2 ? v2

x21

d?

v1 l
2 v1 2 ? v2

l cos ? lv 2h 即 ? ? 2 2 2 另一石块落地之前 v21 v1 ? g v2

这个最短距离适用于

从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体， 讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最大． 物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的 时间t内，速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt; 落地时速度v的大小为vt ? 矢量△“面积”
2 v0 ? 2 gh

例2

矢量关系: ?v ? vt ? v0

v0

θ

1 S? ? gt ? v0 cos ? 2
2 0 2 t

h
θ

1 1 ? gx ? v0 ? vt ? sin ?? ? ? ? 2 2
v0

?

v0 v ? v ? ? tan ?1 时 2 当x ? ? ? 90 即 ?? ? 2 2 v0 v0 ? vt2 ? ? sin ?? ? ? ? v ? v 0 t x g max ? g

x

△v

vt

如图所示， 在仰角 ? ? ? 的雪坡上举行跳台滑雪比 6 赛．运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧， 保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上Ｂ 点，坡上OB两点距离L为此项运动的记录．已知A点高于O点h＝50 m，忽略各种阻力、摩擦，求运动员最远可跳多少米，此时起跳角 在O点起跳速度v的大小为 v0 ? 2 gh ? 10 10 m/s 为多大？ 物体做抛体运动时，只受重力作 用．在发生L位移的时间t内，速度增A 量△v恒为竖直向下,大小为gt; h

1 S? ? gt ? v0 cos ? 其中v0 t cos ?1? L cos ?2 1 1 2
矢量△“面积”

矢量关系: ?v ? v B ? v0

O

θ

v0 θ αB

L ? ? ? v0v?0 ? vB ? sin ? ? 90 gL3 cos ? gL ? cos ? ? ? ? ? 0 ? cos ? ? ? ? 1 ? 2 2 22 ? v B ? v0 ? 2 gL sin ? 20 100 ? L
2 v v ? gL 0? ?0 ? 200 m 时 当?? ? ? 3 0 即 ?? L? ? cos ?L ?max ? ?? ? 2 v0 g vB ? 此时由 sin ? sin ? 90 ? ? ? ? ? 30

?

?

△v

?

vB

例5 敞开的磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁

带．绕好后带卷的末半径r末为初半径r初的3倍．绕带的时间为t1．要 在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少 时间？

带卷面积

? 绕薄磁带时,
ld ? ?

设磁带总长l,绕厚磁带时,由题意

2 9r初

2 ? r初

带卷面积

2r初 2? 由t1 ? ? d ? 得 5 ? 1 r初绕一层时间 绕多少层 2? t2 ? ? d/2 ?

d 2 2 l ? ? R ? r初 2

?
?

? ?

r初 r末

d

R ? 5r初

…

?

t2 ?

?

5 ? 1 t1

?

一只蜗牛从地面开始沿竖直电杆上爬，它上 爬的速度v与它离地的高度h之间满足 的关系是v=Lvo/(L+h)，其中常数L=20cm， v0=2cm/s。求它上爬20cm所用的时间。
1/V 1/Vt 1/VO h

? 研究对象
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体． 具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距 离是恒定不变的; 任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合 而成的.

?

刚体运动的速度法则

刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相 同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.
v=rω，r是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度． 刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．

刚性杆或绳约束物系各点速度的相关特征是： 在同一时刻必具有相同的沿 杆、绳方向的分速度.
v2 v0
θ

θ

v1

接触物系接触点速度的相关特征是： 沿接触面法向的分速度必定相 同，沿接触面切向的分速度在 无相对滑动时相同.

v1 vn

θ
v1 A C

vn

vt v

线状相交物系交叉点的速度是:
相交双方沿对方切向运动分速 度的矢量和.

v1 d α D O v Bv v2
2d

1d

v0

v2 d

的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点C 的速度． （杆和圆柱接触点C?的速度大小）

1. 如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周 这是杆约束相关速度问题
考察杆切点C,由于半圆 静止,C点速度必沿杆! 杆A点速度必沿水平! B C R θ A v2 θ v

以C为基点分解v:
由杆约束相关关系:

v c ? v1 ? v cos?

v2是A点对C点的转动速度,故

v sin? ? ? ? Rcot?
v sin ? ?? R cos ?
2

2. 如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1， 顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时， 顶点Ｂ2的速度vB2．

这是杆约束相关速度问题
分析顶点A2、A1的速度：

B1

B2 A1 A2
? v1 v 2

2 v1 ? v A1 2
分析B2点速度：

2 v2 ? v A2 2

A0

B3 A3

v

v1
A1
2 2

B2
? v1

vB2 vA2 vA1 A2

由图示知

? 2 ? ? 2 ? vB 2 ? ? v ? v ? ? A 1 ? 2 ? ? 2 A2 ? ? ? ? ? ? 由几何关系 v A1 ? v , v A 2 ? 5 v
2 6

17 vB 2 ? v 6

3.细杆ABC在一竖直平面上靠着一个台阶放臵，A端可沿 着水平地面朝台阶运动，细干不离开台阶拐角。当ABC 杆与水平地面夹角为图所示的φ时，杆的B点恰好位于台 阶拐角处，而且C端运动速度值恰好为A端运动速度值的 2倍，试求BC长与AB长的比值a。

3.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h．轨道上有两 个物体Ａ和Ｂ，它们通过一根绕过定滑轮Ｏ的不可伸长的轻绳相连接．物体Ａ在 下面的轨道上以匀速率v运动．在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO 段的中点处有一与绳相对静止的小水滴 Ｐ与绳子分离，设绳长BO远大于滑轮直 径，求：小水滴Ｐ恰脱离绳子落地时速度的大小．

小水滴P刚与绳分离时应具有与 OB绳中点相同的速度,这个速度是 沿绳速度与绕O转动速度的合成:

vBn vPn 30° P

vB

B h v

小水滴沿绳方向速度即为v 整个OB段绳有相同绕O转动 v v tan 30 角速度,故 v ? Bn
Pn

vP O v

A

则

? 2

vP ? v ? v

2

? 3 ? 2 2 pn ? v ? ? ? 6 v? ? ? ?

2

2
?

3 ? v 6
13 v 12

以此速度斜抛落地

v pt ?

2 vp

? gh ?

13 2 v ? gh 12

如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面向右运 动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，P为其顶 点．求当∠AOP=α时，AB杆的速度．

4

这是接触物系接触点相关速度问题 根据接触物系触点速度相关特 征，两者沿接触面法向的分速度相 同，即
vA
P

B

α A v0

v A cos ? ? v0 sin ?

α v0

α
O

v A ? v0 tan ?

5.如图所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端A点速度为v，
方向水平．以铰链固定于B点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径 分别为r和R．试确定木板的角速度ω与角α的关系．

板上C点与线轴上C 点有相同的法向速度vn, 且板上vn正是C点关于B轴的转动速度 ： 线轴上C点的速度：它应是C点对轴心 O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度 vO的矢量和，而vCn是沿C点切向的，则C 点法向速度vn应是 ：

考察板、轴接触的切点C速度

C

? vn ? ? ? BC ? ? ? R cot 2

vn

A

v

B

α

vCn
C

C

vn ? v0 sin ?

vn

α

v0 r R v0

v

线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴 与水平面切点为基点，应有

v0 v R ? v0 ? v R?r R R?r

1 ? cos ? ?? v R?r

D

如图所示，一个半径为R的轴环O1立在水平面上，另一个同 样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点A的 速度vA与两环中心之距离d之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧傍 第一个轴环．

6.

本题求线状交叉物系交叉点A速度
轴环O2速度为v，将此速度沿轴环 O1、O2的交叉点A处的切线方向 分解成v1、v2两个分量:

A O2 O1
O2 d v

由线状相交物系交叉点相关 A 速度规律可知，交叉点A的速度 即为沿对方速度分量v1! R θ 由图示几何关系可得: v1 O1 θ v v R vA ? ? ? d 2 2sin ? 2 R 2 ?d ? ? v R ?? ? ? 2? 4 R2 ? d 2

v2

v

O2

h v 杆M ? ? ? h cos ? t ?t 由线状交叉物系交叉点相关速度特征
环M的速度等于vM沿杆OC 分量:

7.如图所示，AB杆以角速度 ω绕A点转动，并带动套在水平杆OC上 的小环M运动．运动开始时，AB杆在铅垂位臵，设OA=h，求：⑴ 小环M沿OC杆滑动的速度；⑵小环M相对于AB杆运动的速度． v M 对 AB B M ⑴ 经时间t，杆转过角ωt，杆 O C AB上 M点速度 : ?t

v 杆M
ω

A

vM

?h ? ? 2 cos ?t cos ? t
v 杆M

⑵小环相对于AB杆的速度大小等于速度v杆M沿AB杆方向分量:

v M 对AB ? v杆M tan ? t ? ? h sin ? t cos 2 ? t

方向如图!

滑冰运动员在沿100m长的半圆形线路上把他的速率 从2m/s均匀增加到12m/s。问在中间点处他的速率是 多少？在该处，他的速度和加速度之间的夹角是多 少？

将一小球以10m/s的初速度从楼顶平抛出去,如果小 球做曲线运动的法向加速度为5m/s2,问小球这时下 降的高度及所在处轨迹的曲率半径各为多少(空气 阻力不计)

图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的 平面连杆结构图。AB 和CD杆可分别绕过A、D的 垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水 平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可 绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定 的角速度 转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直 位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知 AB杆的长度为 ，BC杆和CD杆的长度由图给定。 求此时C点加速度 的大小和方向（用与CD杆之间 的夹角表示）

如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A、B、C出 发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着 A．试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？ vn A

由三位舞者运动的对称性可知， 他们会合点在三角形ABC的中心O

每人的运动均可视做绕O转动的

同时向O运动，
B 考虑A处舞者沿AO方向分运动考虑,到达O点历时

O

vt C

2l t? ? 3v v cos 30
由于舞者匀速率运动,则

AO

2l s ? vt ? 3

如图所示，两只小环O和O ? 分别套在静止不动的竖直杆AB 和 CD 上，一根不可伸长的绳子一端系在 C 点上，穿过环 O ?，另一端系在环 O ? 上．若环 O 以恒定速度 v1向下运动，当∠AO O ?=α时，求环O的速度．

以O′为参照绳抽出速度大 vO对O?＝v1+v2A 小为v1,方向如示: 设环O的速度为v2 则环O对环O′的速度大小为 v1+v2,方向如示: v2
α O

C

V绳对环O? = v1
O?

出”速度和对O′转动速度 的合成 B 由绳约束特征:在同一时刻必具有相 同的沿绳方向的分速度.

这个速度是O对O′沿绳“抽

V绳对环O? v1
D

? v1 ? v2 ? cos ? ? v1

1 ? cos ? v2 ? v1 cos ?

由摩擦定律:

FN

Ff ? ? FN Ff ? tan ? ?? FN

?
Ff
-1

? (摩擦角)= tan ?
◎支持面作用力(约束力)与正压力间的 夹角称为摩擦角,约束力方向总与约束 面法向成tan-1μ 的角度.

解:

如图所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的 动摩擦因数为，想用力F推动物体沿水平地面滑动，推力方向与 水平面的夹角在什么范围内者是可能的？

分析物体恰开始滑动时的受力情况: F约 物体所受地面约束力的摩擦角
3 tan ? ? ??? FN 3 Ff
Ff

FN
30

?
mg

作出物体所受三力恰构成的闭合矢量三角形:

mg F ? sin ? 90 ? ? ? ? 0 ? sin ? ?1 mg ? 0 ? 60 ? sin 2F

30

G
?1

推力与水平线所成角θ满足:

均可使物体沿水平地面滑动

mg ? ? 60 ? sin 2F

?0

如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重 为G的物体A与斜面间的动摩擦因数为μ,且μ<tan θ,现给A施以一水 平力F,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力F多大时物体 能在斜面上静止 ？

? ? ?1 Fmin ? mg tan ?? ? tan ? ?
Fmax ? mg tan ? ? tan ?
?1

静摩擦力达到最大时, 斜面约束力作用线方向 与斜面法线成摩擦角!

F约 F约
Fmin m Fmax

?
tan-1 ?

tan-1 ?

mg

sin ? ? ? cos ? sin ? ? ? cos ? ?F ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? sin ?

尽量取整体

需“化内为外”时取部分 方程数不足时取部分
整、分结合，方便解题

专题2-问题4

如图所示，一长L、质量均匀为M的链条套在一 表面光滑，顶角为α的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中 的张力是多少？
α

链条的受力具有旋转对称性．链条各部分 间的张力属于内力,需将内力转化为外力，我 们可以在链条中隔离出任一微元作为研究对象， 链条其它部分对微元的拉力就成为外力，对微 元根据平衡规律求解: ?? ?? FT FT 当?? ?,sin 2 2 Fi ?? ?? Fi ? 2FT sin ? 2FT ? 2? 2 2 ?? ?

? 2

链条微元处于平衡

n

FNi

?? ? 2FT ? ? ?mg cot 2 2 n M ? ? Mg cot ? FT ? ? g cot 2? 2 2? n 2

Fi

△mg

压延机由两轮构成，两轮直径各为d＝50 cm，轮间的间隙为a＝0.5 cm，两轮按反方向转动，如图 2-15上箭头所示．已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系 数μ＝0.1．问能压延的铁板厚度b是多少？
分析铁板受力如图：

铁板能前进，应满足

? FN cos ? ? FN sin ?
分析几何关系求角θ：
?d ? ?d b?a? ? 2? ?? 2 ? 2 ? ? ? ? ? tan? ? d b?a ? 2 2
2 2

b

a

??
?

d 2

d b?a ? ? 2 2

?

解得 b≤0.75 cm

FN

Ff

物体处于平衡时,其各部分所 受力的作用线延长后必汇交于一 点,其合力为零.

滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平成60°角靠墙 静止，求棒长． 棒 AB受三力:

专题2-问题5 如图所示，光滑半球壳直径为a ，与一光

棒 AB处于静止,三力作用线 汇交于一点!
在三角形BCD中由正弦定理:
L ? sin 60 L2 ? 2 sin ? sin 30 ? ?

FA

FB
O

?
C

30

A

又

?

?

? ? tan

?1

3 6

B

G

a L ? sin 30 ? L 2 ? ?1 sin ? ? a a/2

L ?1? a

3 39

L?

13 ? 13

a

如图所示，半圆柱体重G，重心C到圆心O的距离 为4R/3π ，其中R为圆柱体半径．如半圆柱体与水平面间的摩擦因 数为μ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度θ． 由半圆柱处于平衡,三力作

用线汇交于一点来确定
地面约束力! 半圆柱所受三力矢量构成闭合三角形

F约 C?
? ? P

?

F

摩擦角 tan ? ? ? ? F G

由三角形与几何三角形相似,得

F G ? a sin ? R ? 1 ? sin ? ?

G

3?? sin? ? 4 1 ? sin ?

3?? sin? ? 3?? ? 4

物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时， 物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体， 物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ

φm = 15°。 最后，μ= tgφm 。 答案：0.268 。

一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另 一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与 墙的静摩擦系数分别为μ1、μ2，求梯子能 平衡时与地面所成的最小夹角。
F2

?2

F1
G

?1

?1 ? tg ?1?1
? 2 ? tg ?1?2
，

tg? ?

BC DH ? DE DH DE ? ? ? AC 2 AH 2 AH 2 EB ? 2 1 ? ?1? 2 1 1 1 ? ctg?1 ? ctg? 2 ? ? ? 2 2 2?1 2 2?1
1 ? ?1 ? 2 ? ? tg 2?1
?1

即梯子与地面所成的最小的角为

一梯子长为L，斜靠在竖直的墙壁上，梯子的倾角为 ? ，与 水平地面间的静摩擦系数为 ?1，与竖直墙面间的静摩擦系数 为 ?2 ，不计梯子的重力，求：重为G的人沿梯子能上升的最 大高度。

力臂定义：支点到力作用线的垂直距离，符号

L

L
●

求力臂作图
L甲 ? D

若OP ? D

L乙 ?

D 2

L丙 ?

D 2

L丁 ? 0

? L甲 ? L乙 ? L丙 ? L丁 ? 垂直与杠杆的施力 , 力臂最大 , 转动效果最好

? 力矩 M
M＝FL

2．力矩计算的两种常用等效转化方法：

（1）求力矩的两种常用方法 F F F1

?
L M＝FL sin ? L

?
F2

M＝F1L ＝FL sin ?

二．一般物体的平衡平衡与平衡条件：
物体处于静止或匀速运动状态，称之 为平衡状态。 平衡条件：合外力为零且合外力矩为零。

F合 ＝ 0

M顺 ＝ M逆

平衡综合问题:
例9：如图所示，光滑水平面上有一长木板，一均匀 杆质量为m，上端铰于O点，下端搁在板上，杆与板间 的动摩擦因数为?＝1/2，杆与竖直方向成45?角，（1） 为使板向右匀速运动，向右的水平拉力F应多大？（2） 为使板向左匀速运动，向左的水平拉力F应多大？
O

F

向右匀速运动时

对杆： FNL cos 45? ＝GLcos 45? /2＋?FNL sin 45? FN＝mg O 对板： F＝Ff＝?FN＝?mg ＝mg/2
FN
F

Ff

Ff

G

向左匀速运动时

对杆： FNL cos 45? ＋?FNL sin 45? ＝GLcos 45? /2 FN＝mg /3 对板： F＝Ff＝?FN＝?mg F ＝mg/6
F O

N

Ff

G Ff F

? 如图10所示，质量为m的均匀杆与地面接触

为一固定转动轴，杆与光滑球接触点距0为 L/3。求竖直墙对球的弹力T。 ? 2. 简解：对杆 ? 对球体静止，水平方向有

如图所示，有六个完全相同的长条薄片 AiBi(i=1,2,... 6)依次架在水平碗口上，一端 搁在碗口、另一端架在另一薄片的正中位 置（不计薄片的质量）将质量为m的质点 置于A1A6的中点处，试求A1B1薄片对A6B6 的压力．

L FNi ? L ? FNi ?1 ? 2
10、解：本题中六个物体，其中通过分析可知A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、 A5B5的受力情况完全相同，因此将A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5作为 一类，对其中一个进行受力分析、找出规律，求出通式即可． 以第个薄片AB为研究对象，受力情况如图1所示， 第个薄 片受到前一个薄片向上的支持力、碗边 向上的支持力和后一个薄片向下的压力．选碗边 F B点为轴，根据力矩平衡有 ，得 FNi ? Ni ?1 所以 ① 2 1 1 1 1 FN 1 ? FN 2 ? ? FN 3 ? ??? ? ( )5 FN 6 2 2 2 2 再以A6B6为研究对象，受力情况如图2所示，A6B6受到 薄片A5B5向上的支持力FN6、碗边向上的支持力和后一 个薄片A1 B1向下的压力FN1、质点向下的压力mg。选 B6点为轴，根据力矩平衡有 ② mg 由①②联立，解得 FN 1 ? mg 所以A1B1薄片对A6B6的压力为
42

42

? 一长为L的均匀薄板与一圆筒按图所示放置，

平衡时，板与地面成θ角，圆筒与薄板相接触 于板的中心．板与圆筒的重量相同均为 G．若板和圆筒与墙壁之间无摩擦，求地面 对板下端施加的支持力和静摩擦力．

? 如图所示，匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之

间，其质量为m，半径为R，与墙和木板间的 动摩擦因数为μ，板很轻，其质量可以忽略。 板的一端O与墙用光滑铰链相连，另一端A挂 有质量为m′的重物，OA长为L，板与竖直夹 θ角，θ=53°，试问，m′至少需要多大才能 使系统保持平衡？并对结果进行讨论。

三个完全相同的圆柱体，如图所示，叠放在水 平桌面上，将C柱放上去之前，A、B两柱体之间 接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦 因数为μ0，柱体与柱体之间的摩擦因数为μ，若 系统处于平衡，μ0与μ必须满足什么条件？
C

A

B

③ 由∑EA＝0得

② 由∑FAx=0得

f2 ?

f1R ? f 2 R
④ 由以上四式可得

3 1 N1 ? N1 ? 0 2 2

f1 ? f 2 ?
1 N1 ? G 2
，

N1 2? 3 ? G 2 2? 3

3 N2 ? G 2
而

f 2 ? ?0 N2
，

f1 ? ? N1

?0 ?
，

2? 3 3

? ? 2? 3
9、解：如图所示，圆筒所受三个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为

FN1 ? FN sin ? ? 0
，

FN cos? ? G ? 0
板所受五个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为

一根质量为m、长为的均匀横梁，需要用两只雪橇在水平 雪地上将其保持水平状态运送。简化其过程如图（甲）所 示。雪橇均与横梁固连，下端B与雪地接触，假定触地面积 很小。用一距地h的水平牵引力F作用于前方雪橇，前后雪 橇与雪地的动摩擦因数分别为μ1、μ2。在前后雪橇均与雪 地接触时，使横梁沿雪地匀速向前移动，则h应满足什么条 件？F应多大？（雪橇质量可忽略不计）

A
?2

m

l
A
?1

B
(甲)

h

B

?

?

?
? ? ? ? ? ? ?

分析：系统受力如图11-78（乙）所示。其中 N1 、 N 2 分别为地对雪橇的 f1 f 2 支持力，、分别为地对雪橇的摩擦力。由题意易知， F不能太大，h不能 太高，否则 N 2 、 f 2 将会变为0，系统将以P为轴翻倒，此为临界状态。 在这种情况下，所求问题与 ? 2 无关。由一般物体的平衡条件即可解决。 解：根据平衡条件得 F ? f1 ? f 2 , mg ? N1 ? N 2 mgl 其中 f1 ? ?1N1, f 2 ? ? 2 N 2 以P为轴可得 Fh ? N 2l ? 1 2 由以上几式联立可得 l (?1 ? ? 2 ) / 2 1 F? mg l ? ?1l （1） （2 ）
N2 ?

依照题意，应有 F ? 0, N 2 ≥0 1 ? ? l ? ?1h ? 所以由（1）式得? ≥0 （3） ?2 ? 由（2）式得 ?l ? (?1 ? ? 2 )h? ? 0 （4） l （3）、（4）式联立得 h≤ （5） 2?1 在满足（5）式条件下，所求F即为（2）式结果。

2 mg l ? (?1 ? ? 2 )h

l ? (?1 ? ? 2 )h

O

? ? ?

稳定平衡
不稳定平衡

稍微偏离原平衡位 置后能回到原位置 稍微偏离原平衡位置 后不能回到原位置
O

随机平衡

能在随机位置保持平衡

对由重力与支持力作用下的平衡 偏离原平衡位臵．

* 设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍

或从能量角度考察受扰动后物体重心位臵的高度变 * 化，根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本 是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡； 或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量， 即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的 平衡态属于哪一种．

为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明 * 晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节”的描述， 故常需运用合理的近似这一数学处理手段．

依问题的具体情况，择简而从．

图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的 线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？

随机平衡

稳定平衡

不稳定平衡

给两小球线绳系统一扰动,从受力角度考 察受扰动后,两小球重力沿绳方向力的合 力指向,从而判断平衡种类!

如图所示,长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而 另一端靠在不动的光滑面上．为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位 臵处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达式Ｙ(x) （杆总 是位于垂直于墙面的竖直平面内） y 为满足题意即杆处于随遇平衡,应 (0,) 使杆的重心始终在x轴! 表面的横截线满足 O
2 2
(x,y)

C

x

x + ? 2 y ? ? ? 2 L?
2

x2

? 2L?

2

+

y2 L
2

?1

该表面为椭球面的一部分

如图所示装臵，它是由一个长L的木钉、从木钉 上端向左右斜伸出两个下垂的、长为l的细木杆，以及在木杆的末 端装有质量同为m的小重球而组成．木钉及木杆的质量可忽略，木 杆与木钉间夹角为α，此装臵放在硬质木柱上，则l、L、α间应当满 l cos? ? L 足______________ 关系才能使木钉由垂直位臵稍微偏斜后，此装臵 只能以O点为支点摆动而不致倾倒． 为满足题意即系统处于稳定平衡, 给系统一扰动, 两小球重力对O的力 l 矩应能使系统回到原位! 原平衡位臵时 l cos? < L 受一微扰后
m O

α L α

l m

不能回到原位
l cos? > L

2mg 2mg

原平衡位臵时 受一微扰后

能回到原位

一根质量为m的均匀杆，长为L，处于竖直的位臵，一端可绕固 定的水平轴转动．有两根水平轻弹簧，劲度系数相同，把杆的上端 拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数k为何值时才能使杆处于稳定 平衡？

为使杆处于稳定平衡,给杆一扰
动,弹簧拉力对O的力矩应大于杆重 力矩!

FT FT
??

即 其中 得

L 2FT ? L > mg ? ? ?? 2
FT ? k ? ? L ? ?? ?

mg

mg k> 4L

如图所示,一块厚d的匀质木板位于半径为R的圆柱上，板的重心刚 好在圆柱的轴上方．板与圆柱的一根摩擦因数足够大．试求板可以 处于稳定平衡状态的条件． 令板从原平衡位臵偏转一小角度α

板处于稳定平衡条件是重心升高! d 以圆柱轴为参照,原板重心高度 R ? 2 d 扰动后重心高度 R cos ? ? cos ? ? ? Rsin? 2 应有 R cos? ? ? R sin? ? d cos? > R ? d 2 2 d ?? d ? 2? ? ? R ? 2 ?? 1 ? 2sin 2 ? ? ? R sin? > R ? 2 ? ?? ? 2 ? ? dd ?? ? 2 2? ?sin R? >> ? ? ? ? 2sin ?R ?R ?R 2 2? 2 ? ? 2? 考虑到 ? 很小,sin? ? ?

C α
M

?

Rcos? ?

C? d 2 M?

α

R

d < 2R

如图所示,儿童玩具不倒翁高h＝21cm，质量m＝300g，相对轴KD对称分布．不 倒翁的下部是半径R＝６cm的球面，如果不倒翁放在与水平面成角α＝30°的粗糙 面上，当它的轴KD与竖直方向倾角β＝45°，则处于稳定平衡状态．为了使它在 水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶Ｋ加多少塑泥？ K K

先求原重心位臵：

在三角形OCD中运用正弦定理：

h

OC sin30

?

R sin45

OC ?

R 2

R O D

OC α Δm K
βD

? 3 2 cm

K 在水平面上： 不倒翁失去稳定平衡条件

是重心高于O!
即 ?m ? ? h ? R ? > m ? OC OC 3 2 ?m > ?m ? ? 300 g h? R 21 ? 6
C?

O
30

O

C
45

? 84 g

C
30

D?

有一长为0.2 m、截面积为2 cm2的均匀细棒，密度为5×102 kg/m3． ⑴在细棒下端钉上一小铁片（不计体积），让细棒竖立在水面， 若细棒露出水面部分的长为0.02 m，则小铁片质量为多少？ ⑵不拿去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上 端面与水面齐平？ ⑶要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重?

? ?16g 0.9 ? 0.5? ? 10 m ? 0.9?水 ? ? LS ?

⑴分析此时受力： ? LSg ? mg ? ?水 0.9 LSg

?

?

3

4 ? 0.2 ? 2 ? 10?? kg 水 L1 Sg

?水 ? 0.9 LSg

⑵此时态势为： ? L1 Sg ? mg ? ?水 L1 Sg m 16 ? 10?3 L1 ? ? m=16 cm 3 ? 4 ? 水 ? ? S 0.5 ? 10 ? 2 ? 10

C1

?

? L ? 4 cm ?

? L1 Sg

CM C总 ? LSg

低细节 描述
mg

mg ! ⑶ 系统为稳定平衡条件是浮心高于合重心

M L M?m 即 ? < M ? m 2 2?水 S

m > 20

0.02 0.02 ? m mmin 8 g ? 0.1 < 0.02 ? m 2 ? 103 ? 2 ? 10?4

?

2 ?1 g

?

续解

C总 C总 C总

不稳定平衡

随机平衡

稳定平衡

Fi

质点系各质点受系统以 外力F1、F2、……

mi
F13

F1i

Fi1

m1
F31

F1

… F21

F1 ? F21 ? F31 ?
对各质点

对质点1

F3

m3

F12

Fi 1 ? Fi 2 ?

? m1a1 ? m2a2

m2
F2

F2 ? F12 ? F32 ?

Fi +F1i ? F2i ? F3i ?

Fni ? mi ai

?F

n

i

? m1a1 ? m2a 2 ?

? ? mi a i

n

如图所示，A、B滑块质量分别是mA和mB，斜面 倾角为α，当A沿斜面体D下滑、B上升时，地板突出部分E对斜面体 D的水平压力F为多大（绳子质量及一切摩擦不计）？

对A、B、D系统在水平方向有

F ? m Aa x
对A、B系统分析受力
B E

α

ax
a x α

Dα F m Ag

A

mA g sin ? ? mB g ? ? m A ? m B ? a

m Bg

而 a x ? a cos ?
得 m A sin ? ? m B F ? mA ? g ? cos ? m A ? mB

如图所示，一根绳跨过装在天花板上的滑轮，一端 接质量为M的物体，另一端吊一载人的梯子而平衡．人的质量为m， 若滑轮与绳子的质量均不计，绳绝对柔软，不可伸长．问为使滑轮 对天花板的反作用力为零，人相对于梯子应按什么规律运动？ 由“滑轮对天花板的反作用力为零”知绳上张力为零

则aM ? a梯 ? g 对人与梯由质点系“牛二律” Mg ? ma人 ? ? M ? m ? g
则人相对梯的加速度为
2M ? m a人 ? g m

g

M

g
a人

2 M ? m 2M a人梯 ? a人 ? a梯 ? g ? ??g? ? g m m

绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往 有相关联系，确定它们的大小关系的一般方法是：设 想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间，则由

可知，加速度与位移大小成正比，确定了相关

1 2 s ? at ? a ? s 2

物体在同一时间内的位移比，便确定了两者加 速度大小关系．

2x

x

如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面 体上，斜面体的质量为M，斜面体与水平地面间的动摩擦因数为 μ．现用水平拉力F向右拉斜面体，要使物体与斜面体间无相互作用 力，水平拉力F至少要达到多大？
当物体与斜面体间无作用力时，物体的加速度为g 考虑临界状况，斜面体至少具有这 样的加速度a：在物体自由下落了斜 面体高度h的时间t内，斜面体恰右 移了hcotθ ，由在相同时间内

m
θ

FN M

F

a h cot ? ? , 故a ? g cot ? g h 对斜面体 F ? ? Mg

1 2 s ? at ? a ? s 2

g

F

a

? Ma ? Mg cot ?

Mg

F ? ? ? ? cot ? ? Mg

如图所示，A为固定斜面体，其倾角α=30°，B为固定在斜 面下端与斜面垂直的木板，P为动滑轮，Q为定滑轮，两物体的质量分别为m1=0.4 kg和m2=0.2 kg，m1与斜面间无摩擦，斜面上的绳子与斜面平行，绳不可伸长，绳、 滑轮的质量及摩擦不计，求m2的加速度及各段绳上的张力． Q

m1沿斜面下降,m2竖直上升,若m1下降s, m2上升2s,故

建立如图坐标分析受力
T1 ? m1 g sin ? ? m2 g ? m1 2a2 ? m2 a2
对m1建立方程 牛顿第二定律方程为
T1

a1 ? 2a2

P B m1 α m1 T1 P A

m2
m2 g

T1 2m1 g sin ? ? m2 g 代入题给数据 2 a2 ? a ? 1.09m/s 2 4m1 ? m2 T ? 2 T ? 2 . 18N 2 1 T1 ? 1.09N

2m1 g sin ? ? m1 2a2 ? m2 g ? m1 2a2 ? m2 a2

m1 g sin ? ? T1 ? m1 2a2 T1 ? m1 g sin ? ? m1 2a2

T1

T2

相对于惯性系以加速度a运动的参考系称 非惯性参考系. 牛顿运动定律在非惯性参考系中 不能适用 a

Fi ? ? ma

小球不受外 力而向我加 速

? ma ? m ? ? a ?

小球不受外 力而静止

为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式，我们可以引入 一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为

可适用于非惯性系． 惯性力与物体实际受到的力（按性质命名的力）不同，它是虚构的，没 有施力物，不属于哪种性质的力．

? F ? Fi ? ma非

一质量为M、斜面倾角为α的三棱柱体，放在粗糙的 水平面上，它与水平面间的摩擦因数为μ，若将一质量为m的光滑质 点轻轻地放在斜面上，M发生运动，试求M运动的加速度a． 设M运动的加速度为a，显然a的方向水平向右: 设m相对于M的加速度为a非，a非的方向与 Fn 水平成α角向下，即，沿三棱柱体的斜面: m FN 设水平面对三棱柱体的摩擦力为Ff，支持力为FN: Fi 研究M、m构成的系统，在水平方向有 Ma F f ? ? Ma ? m(-a ? a非 cos ? ) α μ ? x Ff 在竖直方向有 ? M ? m ? g ? FN ? ma非 sin? mg 由摩擦定律 F f ? ? FN 取m为研究对象 mg sin ? +ma cos ? ? ma非
?? ?? M ? m? g ? ma非 sin? ? ? ? m ? a非 cos? ? a ? ? Ma

(M+m)g

a非 ? g sin ? ? a cos ?

a非 ?

? M ? m ?? ? g ? a ?

a?

m cos ? ? sin ? ? ? cos ? ? ? ? M m sin ? ? sin ? ? ? cos ? ? ? M

g

m cos ? ? ? m sin ?

如图所示，已知方木块的质量为m，楔形体的质量 为M，斜面倾角为θ，滑轮及绳子的质量可忽略，各接触面之间光滑， 求楔形体M的加速度．

楔形体和方木块的加速度设为情景模拟 aM、 am,方木块相对楔形体的加速度amM： amM和aM的关系由位移关系
amM和aM、am的矢量关系是

amM ? a M
?
2

T

am ? amM ? a M am ? 2aM sin
对方块，以M为参考系的运动方程为 系统的“牛二律”方程为

MM θ mg maM cos ? amM

aM

mg sin ? ? T ? ma M cos ? ? ma M

xM

T ? MaM ? mam sin

?
2
?

?
2

aM

mg sin? ? M ? 2m(1 ? cos? )

am

aM

如图所示，在以加速度a行驶的车厢内，有一长为L，质量为 m的棒AB靠在光滑的后壁上，棒与车厢底面间的摩擦因数为μ．为了使棒不滑动， 棒与竖直平面所成的夹角θ应在什么范围内？ ．

棒不向右滑,受力如图

A
?

以车为参考系 水平方向 竖直方向

a
B

F2 ? F f ? ma

L L ma cos? ? ? mgL cos ? ? mg sin ? ? mgL sin ? 2 2 a 由上可得 tan? ? ? 2?
棒不向左滑,受力如图 以A端为支点,应满足

以A端为支点,应满足

FN ? mg

A

F2
?

ma

FN mg F f

Ff

g

L L ma cos? ? mg sin? 2 2

a ?1 a （ ? 2? ） ? ? ? tan （ ? 2? ） a g tan? ? ? 2g ? g ? mgL sin ? ? ? mgL cos ?

θ范围为

?

曲线运动发生的条件 合外力方向与速度方向不在一直线

?

切向力改变速度大小 ?v ? Ft ? mat ? m ?t 法向力改变速度方向 2 v ? Fn ? man ? m ?

ΣFt

v

求解曲线运动的动力学方法 物体运动情况分析 物体受力情况分析

ΣF

ΣFn

返回

一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意点P，在重力 作用下由静止开始往下滑，从Q点离开球面，求PQ两点的高度差h.

设球半径为R 由机械能守恒:

P
h

H ? R 2mgh v2 mg ? mg sin ? ? m R H R R 由几何关系: h? H ?h sin ? ? 3 R 若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑 下R/3的高度，释放高度H越小，沿球面滑下 的高度越短．这是一个有趣又有用的模型．

Q点动力学方程为:

1 2 mgh ? mv 2

R

H?

Q v
?

mg

如图所示，套管A质量为M，因受绳子牵引沿竖直杆向上滑 Y 动．绳子另一端绕过离杆距离为 L的滑轮B而缠在鼓轮上．当鼓轮转动时，其边缘 上各点的速度大小为v0．求绳子拉力和距离x之间的关系． 重力Mg、绳子拉力 X vt v A L 分析滑块A受力： B FT、导轨支持力FN FT x x 分析滑块A运动： 滑块沿导轨向上的运动 v0 ? ? FN A 速度vA可视作沿绳向滑轮B的法向速度v0 ω ? 由牛顿第二定律:

及以B为中心转动的切向速度vt的合成！ vt ? v0 tan ?

? L? FT sin ? ? FN v ? 0 x? 2 ? ? 2 ? ? v L ? ? Mg FT ? FT sin ? ? Mg cos ? ? M 0 ?1 ? ? 2 2 FT ? x ?L cos ? ? gx 2 x 2 ? L2 cos ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 2 ? v0 L? ? v 2 x ? L 0L FT ? cos ? ? Mg cos? ? M ? 1 ? 3 ? Mg ? 2 2 2 ? x x x ?L x g?
2

Mg X : FT ? FN sin ? ? Mg cos ? ? M 2 2 x ? L A实际运动沿竖直，在水平方向满足

2 vt

如图所示，质量为m，半径为r的圆木搁在两个高度相同的支架上 右支架固定不动，而左支架以速度v从圆木下面向外滑．求当两个支点距离 AB ? 2r 时，圆木对固定支架的压力 FN．（两支架开始彼此靠得很近，圆木与支 架之间的摩擦不计）

FNA 2 FNB O r 分析圆木受力 重力mg、支架A、B支持力F 、 F NA NB vO r45 A v B 圆木质心O绕A点转动 v v 分析圆木运动：
圆木与B接触,故接触点具有相同的法向速度 O对A点转动的线速度 vO ? 2 v 圆木的运动方程
2
2 2 v 2 v O mg ? FNA ? m ? m 2 r 2r

由几何关系知 ?AOB ?

?

2 v 2

FN

mg

? 2 v2 ? FN ? m ? g ? ? ? 2 ? 2r ? ?
v 2 ? 2 gr 否则圆木
已与固定支架脱离

? 2 v2 ? FNA ? m ? ? 2 g ? 2r ? ? ? ?

如图所示，用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆 周运动，圆心为O，绳长为L，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为m的小 球，恰好也沿着一个以O点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦， 求：⑴手对细绳做功的功率P；⑵小球与桌面之间的动摩擦因数μ．

小球圆运动的半径设为R
R ? r 2 ? L2

V ?? r ? L
2

2

分析小球受力 绳拉力T；桌面摩擦力 f

v
r

ω
R

∵小球圆周运动，在法向有
手拉端速度

∵小球匀速圆周运动，在切向有

v ? ?r 3 r ? L r P ? Tv ? m? L
2 2

T cos ? ? m?

2

r ?L
2

2

L V
2 2

?

f

f ? T sin?

R R ?L ? m? L
2

如图所示，一长为a的细线系着一小球悬挂在O点静 止不动．若使小球获得一个水平初速度 v0 ? ? 2 ? 3 ? ag ，略去空气阻力， 证明：小球的运动轨迹经过悬点O． y 图示

小球运动轨迹会通过悬点O，是因 v 为线绳在水平直径上方与水平成某 一角度α时，绳恰不再张紧，小球 x 0 开始脱离圆轨道而做斜上抛运动 h ? O 绳上张力为零时小球达临界速度 v ? ag sin ? 3ag / 3 该过程机械能守恒: 2 1 2 1 mv0 ? m ag sin ? ? mga ?1 ? sin ? ? v0 2 2 3 2 ? 3 ag ? ag sin ? ? 2 ga ? 1 ? sin ? ? sin ? ? 3 小球做斜上抛运动设当y方向位移为-h时历时t,有 1 2 ? h ? vt cos ? ? gt 3 gt 2 ? 2 2 3agt ? 2 3a ? 0 2 3 6 1 2 a ? a ? vt ? gt t? 2 3 续解 3 3 2

?

?

?

?

查阅

这段时间内小球完成的水平位移为

3 a 3 y x ? vt sin? ? ag ? 2 3 ? 3 g 3 6 0 ? a ? a cos ? 3 3 ? a
说明小球做斜抛运动过程中， 通过了坐标为
3

6 a 3

x

O

? 6 3 ? a ? 的悬点O! ? a, ? 3 ? ? ? 3 ?

如图所示，长为l的轻杆上端有一个质量为m的小重物，杆用铰 链固接在A点，并处于竖直位臵，同时与质量为M的物体互相接触．由于微小扰动 使系统发生运动．试问质量之比 M/m为多少情况下，杆在脱离物体时刻与水平面 成角α＝π/6，这时物体的速度u为多少？

v 则u ? 2 过程中系统机械能守恒

小重物只受重力，小重物与物体水平速度相同

小重物与物体恰要脱离时两者接 触而无挤压, 故物体的加速度为零! m
l M
30

u

v mgl ? mv ? M 4 小重物动力学方程 ? v2 2 mg sin ? m ? v ? gl ? 2 v 6 l
2

? ? 1 2 1A ? mgl ? 1 ? sin ? ? mv ? Mu 6? 22 2 ?
gl 2

mg v

4m ? M

u?

gl 8

如图所示，圆盘半径为R，以角速度ω绕盘心O转动，一质 点沿径向槽以恒定速度u自盘心向外运动，试求质点的加速度．

本题讨论中介参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成 质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起 ? 转动两者之合运动． uA 设某一瞬时质点沿槽运动到与O相距r的位臵A 经Δt时间，质点沿槽运动到与盘心O相距r+uΔt 的 O ′ 位臵B ，盘转过了角度ωΔt，故质点实际应在位臵B 在Δt时间内，质点沿y方向速度增量为 ?v ? ? u cos ??t ? ? ? r ? u?t ? sin ??t ? ? u y
y

?v x ? ? ?u sin ??t ? ? ? r ? u?t ? cos ??t ? ? ? ?r
注意到Δt→0时

在Δt时间内，质点沿x方向速度增量为

?

?

B

cos ??t ? 1 sin ??t ? ??t 2 ? ?t ? ? 0

u A
??t

B?

? ? r ? u ? ?t ?

ωr

O

续解 x

a Ay
a Ax

? u ? ? ? r ? u? t ? ? ? t ? ?u ? ? ? lim ? lim ? ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t

?v y

?? r
2

? ? r ? u?t ? ? u??t ? ? r ?v x ? lim ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

牵连加速度

? 2?u
?1

aA ? ?

?? r ?

2

? 4u

2

方向与x成 ? ? tan
y

?r
2u

牵连加速度

a牵连 ? ? r
2

?
A

a科 ? 2? u
由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而 产生的，方向指向u沿ω方向转过90°的方向

? 2?u
aA

? 2r
O

x 返回 试手

FT ? Fi ? FT ? ml? ? 0
牛顿运动定律仍可适用

相对做匀角速度转动的非 惯性参考系静止的物体

2

小球受绳拉力 ω 而静止?

FT l

m F ? ? ma i n

在相对于惯性参考系具 有向心加速度的参考系中所 引入的使牛顿定律仍能适用 的力就是惯性离心力!
相对做匀角速度转动的非 惯性参考系运动的物体

小球受绳拉 力而匀速转 动

Fi ? ? man
r

?

科里奥利力是转动参考系中引入的假想的 Fk 惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度 的真实力，方向相反．物体在转动平面上 沿任何方向运动时，都将受到一个与运动 方向垂直的科里奥利力 :F ? ? 2 mu?
k

? u F ? 2 N ? 2mu? 2O aA ? r 2
Ff ?

u A

mr?

? 方法 A
利用图象求功之方法适用于当力对位移的关 系为线性时;或在表示力对位移关系的F-s示功图 中F(s)图线与s轴围成的图形“面积”有公式可 依时;因为在F-s示功图中，这种“面积”的物理 意义就是功的大小． F

W 0

x

s

锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能 量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度x成正比，试求木桩每次打入的深度 比．若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？

专题8-例1

本题中的阻力f为一与位移x成正比的变力，即f=kx

图中各阴影“面积” 表示第1、2、F 3……次锤击中，木桩克服阻力做 的功，数值上等于锤传给木桩的 能量，设为W0．
由图

示功图

0

W0

W0 W0

……
l x

2 2 2 2 x1 : x2 : x3 : : xn ? W0 : 2W0 : 3W0 : nW0 x1 : x2 : x3 : : xn ? 1: 2 : 3 : n ?x1 : ?x2 : ?x3 : : ?xn ? 1: 2 - 1 : 3 ? 2 : n ? n ? 1 l 当xn=l时，由 3? 1 n ? 9 ? 次? x1 : xn ? 1: n l n

x1 x2 x3

?

??

? ?

?

如图所示，一质量为m，长为l的柔软绳索，一部分平直地放在 桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为 μ．⑴柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？⑵由这一位臵开始运动， 柔绳刚离开桌面时的速度多大？

x0

⑴设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0，则由 ? m m x

1 2 2 2 WG ? W f ? mv mg ll ? m x0 x0 m 2 lg ? x0 g 其中，重力功等于绳重力势能减少 WG ? 2l l l 2 2 m 摩擦力为线性变力： F f ? ? xg 示功图 ? mg 2l Ff Wf ? l ? x0 ? ? m ? ? l ? x0 ? g 2 l 2 l 2 g l 2 ? x0 ? g ? l ? x0 ? 2

⑵柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理

l

g ? ? ? l ? x0 ?

l

g x0min ?

1? ?

l

?

?

v ?

?

l

??

v?

gl l 1? ?

Wf

0

l-x0

x

? 方法 B
如果在某一位移区间，力随位移变化的关系 为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位 移区间分成n（n→∞）个小区间s/n，在每个小 区间内将力视为恒定，求其元功Fi· s/n ，由于功 是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个 小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段 n 位移中所做的功为：

W ? lim

Wi ? n ??
i ?1

在数学上，确定元功相当于给出数列通项 式，求总功即求数列n项和当n→∞时的极限．

将木板在水平地面上绕其一端转动角α，求所需要 做的功．木板长度为 L，质量为M，木板与地面之间的动摩擦因数 为μ．

M L Wi ? ? g?i ? n n n 则对木板的功 n 1 M L W ? lim ? ? ? g ? i ? ? ? MgL? lim ? i 2 n?? n ?? n n i ?1 i ?1 n 1 1 n ? n ? 1? ? ?? MgL ? ? MgL? lim ?
n ??

F fi ? ? g n L 元摩擦力做功的位移为 xi ? i ? ? n 摩擦力对i段做的元功为

将板沿板长均分为n（n→∞）等份 M 各元段摩擦力为
i
1 2

L n

?

i

xi

n2

2

半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内 的水完全吸尽，至少要做多少功？ 沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n 层，每一元层水的高度 ?h ? r
每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层 2 r 水柱底面的半径 ? ? 2
ri ? r ? ? i ? ? n?

n

1 2

r
i

r ri

这层水的质量

将这层水吸出至少应做的元功是 Wi 将池水吸尽至少要做的功是
? i W ? lim ?Wi ? ? g? r ? 2 ? 4 ? n?? n ? ? i ?1 ?n ?
n 4

? 2 ? r ?2 ? r mi ? ?? ? r ? ? i ? ? ? ? n? ? ? ? ? n

? 2 ? r ?2 ? r r ? ?? ? r ? ? i ? ? ? g ? i n ? n? ? ? ? ? n 3 ? i

? ? g? r lim

?1 ? ? g? r lim ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? n ?? ? n ? 1 n ? n ? 1? 4 ?
4
n ?? ? n 2

? n? ?

1 n
4

?1

3

?2 ?3 ?

3

3

?

?

2

2 n2 ? n ? 1? ? ? ? 4? 4 ? n ?

1

1 4 ? ? g? r 4

? ?n ? ?
3

?

? 方法 C

这种求功方法依据功对能量变化的量度关系， 只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便 是相应的功量．

W ? ?E

专题8-例5

如图所示,一质量分布均匀的粗绳长2a，质量为2m， 两端悬于水平天花板上相距为a的两点而悬垂静止，其重心位于 天花板下方b处.现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至D点，求拉 力所做的功．

由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势 能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量．
由几何关系拉直后两段绳的重心位臵距天花

由功能原理，拉力功为

? 3 ? ?E p ? 2mg ? b ? h? ? 2mg ? ?b? 4 a? ? ? ?

重力势能增加了

a 3 h ? ? cos 30 ? a 2 4
C

h h D

? 3 ? W ? ?E p ? 2mg ? b ? a? ? ? 4 ? ?

如图甲所示，把质量均为m的两个小钢球用长为2L的线连接， 放在光滑的水平面上．在线的中央O作用一个恒定的拉力，其大小为F，其方向沿 水平方向且与开始时连线的方向垂直，连线是非常柔软且不会伸缩的，质量可忽 略不计．试求：⑴当两连线的张角为 2θ时，如图乙所示，在与力Ｆ垂直的方向上 钢球所受的作用力是多少？⑵钢球第一次碰撞时，在与力Ｆ垂直的方向上，钢球 ⑴在如示坐标中分解力F 的对地速度为多少？⑶经过若干次碰撞，最后两个钢球一直处于接触状态下运动 试求由于碰撞而失去的总能量为多少？ 在与F垂直方向上线对钢球的力大小为

F F y ? tan ? 2 ⑵设钢球第一次碰撞时沿F方向速度为vx， O 垂直于F方向速度为vy，设力F的位移为x， 由动能定理

y F

θ θ

O F F x

在x方向上:

vx FL F x ? L ? ? 2 vy ? F ? 2ma ? 2m v ? x 2 ? x ? L? m m ⑶达到终态时，两球vy=0，F总位移X，有 FX ? 2 ? 1 mv 2 ? ?E X

1 2 2 2 Fx ? 2 ? m v 2 ? v ? mv ? mv x y x y 2 2

?

?

Fy
甲

乙

F FX ? m ? 2 ? X ? L? ? ?E 2m

?E ? FL

2

? 元功法
取元功作微元，以功能原理为基本依据求 得一类物理问题解答的方法，我们称之为“元 功法”.这种解法所循基本原理是分析力学中 的“虚功原理”，由伯努利首先提出的．用元 功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单．

? 元功法处理平衡问题基本思路

取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从 而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为 零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理， 求得终解．

如图所示，质量为m、长度为l的均匀柔软粗绳， 穿过半径R的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间 距离为2R，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为M，且相互间 无摩擦，求绳上最低点C处的张力． 分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况 分析绳之一半的受力情况 设想在A处以力TA将ABC段绳竖直向上拉过一极小距离Δx

本题用元功法求解!

TA A

1 TA ? ? m ? M ? g 2

Δx O

?W A ? TA ? ?x m ? l ?? R ? ?E ? ?x ? g ? ? R ? ? l 2 ? ?

?WC ? ?TC ? ?x

l ??R 2

由功能原理

B

R
TC

1 m l ?? R? ? ? m ? M ? g ? ?x ? Tc ? ?x ? ? ?xg ? R ? ? 2 l 2 ? ?

C

Tc ?

Ml ? m ?? ? 2? R 2l

g

(M+m)g

如图所示，均匀杆OA重G1，能在竖直面内绕固定轴O转动， 此杆的A端用铰链连住另一重G2的均匀杆AB，在AB杆的B端施一水平力F，试用元 功法求二杆平衡时各杆与水平所成的角度α及β． O x

l1 cos ? l1 sin ? x1 ? y1 ? 2 2 l2 cos ? l2 sin ? x2 ? l1 cos ? ? y2 ? l1 sin ? ? 2 2 x3 ? l1 cos ? ? l2 cos ? y3 ? l1 sin ? ? l2 sin ?
设想水平力使AB杆的B端移动极小位移Δx3

分析连杆的受力情况

?

? x1 , y1 ?
A

?

G1 G2

? x 2 , y2 ?
Bx , y ? 3 3?

F

y?? ? ? cos ? ? 则?x3 ? l1 ? ?cos ?? ? ?? ? ? cos? ? ? ? l2 ? ?cos ? ? ? ? l1 sin ? ? ?? ? l2 sin ? ? ?? l l 同时，G1、 ?y ? 1 ?sin ? ? sin ?? ? ?? ? ? 1 cos ? ? ?? 1 ? 2 2? G2力沿力方 l2 向的极小位 ?y2 ? l1 ? ?sin ? ? sin ?? ? ?? ? ? ?? 2 ? ?sin ? ? sin ? ? ? ?? ? ? ? l2 移各为： l1 cos ? ? ?? ? cos ? ? ??

由元功法得

F ? ?x3 ? G1 ? ?y1 ? G2 ? ?y2

F ? ? l1 sin ? ? ?? ? l2 sin ? ? ?? ? ?

将各力的微小位移代入:

l1 ? ? ? l2 ? ? Fl1 sin ? ? G1 2 cos ? ? G2 l1 cos ? ? ? ?? ? ?G2 2 cos ? ? Fl2 sin ? ? ? ?? ? ? ? ?

l1 l2 ? ? G1 ? cos ? ? ?? ? G2 ? ? l1 cos ? ? ?? ? cos ? ? ?? ? 2 2 ? ?

该等式成立须 l1 Fl1 sin? ? G1 cos ? ? G2 l1 cos ? ? 0
l2 G2 cos ? ? Fl2 sin ? ? 0 2

2

G1 ? 2G2 ? tan ? ? ? ? 2F ? ?tan ? ? G2 ? ? 2F

弹性碰撞
v10 m1 m2 v20

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2 m1v102/2+m2v202/2=m1v12/2+m2v22/2

V1=[(m1－m2)v10+2m2v20 ]/m1+m2 V2=[2m1v10+(m2－m1)v20]/m1+m2

在光滑斜槽底部有处于静止状态的小球1，质量为2m,在斜槽上部离地面高 为h处有质量为2m的小球2和质量为m的小球3紧挨放置，放手让两小球开始 下滑，问三球发生碰撞后各自升高的最大高度？（碰撞弹性，球大小忽略）

2

3

1

h

牛顿碰撞定律：若两球碰撞前速度依次为v10、v20，碰 撞后速度为v1、v2，则碰撞后两者的分离速度v2－ v1与 碰撞前两者的接近速度v20－ v10成正比，比值e称恢复 系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即

v 2 ? v1 e? vv ? v10 20 10－v20

e=0完全非弹性碰撞 0﹤ e﹤1非完全弹性碰撞 e=1完全弹性碰撞

【例题】如图质量为 m1 的小球与质量 m2 的小球都用长为 l 的绳子吊起来，将其中一个小球拉过偏角?无初速度释放，它 撞击另一个小球，使其产生偏转角度?，求两者之间的恢复系 数 e。 解： 按照机械能守恒求出小球?的初速度 ??????????? v10 ? 2 gl (1 ? cos ? ) 碰撞结束后小球 2 的末速度为

v2 ? 2 gl (1 ? cos ? )
碰撞过程动量守恒

?? ??
m2 m1

m1 v10 ? m1 v1 ? m2 v2 由此得出 v1 ? v10 ? m2 v2 / m1
于是按定义

v2 - v1 1 ? cos ? e? ? v20 - v10 1 ? cos ?

? m2 ? ?1? m ? ? 1 1 ? ?

专题8-例6 一质量为m的皮球，从高为h处自由下落（不计空气
阻力），反弹起来的高度为原来的3/4，要皮球反弹回h高处，求 每次拍球需对球做的功 在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功， 使球的动能减少．地面对球的弹力功是变力功! 3 1 从h高度自由下落再反弹 W1 ? mgh ? mgh ? mgh 的全过程,地面弹力功W1: 4 4 从h高度拍下再反弹原高 的全过程,地面弹力功W2:

W2 ? W拍 ? mgh ? mgh ? W拍

续解

从h高下落未速度即与地接近速度:

1 2 由mgh ? mv自接近 2
1 2 由W拍 ? mgh ? mv拍接近 2

v自接近 ? 2 gh
v拍接近 ? 2W拍 m
3 gh 2

? 2 gh

从地面反弹的起跳速度即与地分离速度:

3h 1 2 由mg ? mv自分离 v自分离 ? 4 2

同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同: 3 gh 2 gh v自分离 v拍分离 2 ? e? ? 2W拍 v自接近 v拍接近 2 gh ? 2 gh m

1 2 由mgh ? mv拍分离 v拍分离 ? 2 gh 2

1 W拍 ? mgh 3

物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守 恒．引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场 中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置．
在中心引力场中，m从 A1移至An处，引力做负
功为：
n

rn

M

r1

m A1 A2 A3

An

n n ?1 1 ? GMm ri ? 1 ? ri ? ? ? GMm lim ? ? ? W ? lim ? 2 ? ri ? 1 ? ri ? ? GMm lim ? ? n ?? n ?? ?ri ? 1 ? n ?? i ? 1 ? ri ri ri ? ri ? 1 i ?1 i ?1 ?1 1 1 1 1 1? 1 1? ? GMm lim ? ? ? ? ? ? ? ? ? GMm ? ? ? ? n ?? r r r r r r n ?1 n ? ? 1 2 2 3 ? r1 rn ?

以无穷远处为零引力势 能位置，物体在距中心 天体r远处的引力势能为

GMm Ep ? ? r

宇宙飞船绕一行星做匀速圆周运动，轨道半径为R，速 率为v,船长想把圆形轨道改为过B点的椭圆轨道，B点距 行星中心为3R，如图所示． (1)若飞船在A点由圆形轨道改为椭圆轨道，它的速率应 增加多少? (2)飞船由A到B的时间是多少? (3)飞船由A到C,由C到B各需多长时间?
C

B

O

A

R

? 动量定理

? I ? ?p ? Ft ? mv ? mv
t

0

? 动量定理的应用
(1)遵从矢量性与独立性原理
(2)合理与必要的近似

(3)尽量取大系统与整过程 ? Ii ? ?pi

如图所示，顶角为2θ、内壁光滑的圆锥体倒立竖直固定在P点， 中心轴PO位于竖直方向，一质量为m的质点以角速度ω绕竖直轴沿圆锥内壁做匀 速圆周运动，已知a、b两点为质点m运动所通过的圆周一直径上的两点，求质点 m从a点经半周运动到b点，圆锥体内壁对质点施加的弹力的冲量．

分析受力： 运动半周动量变化量为 其中轨道半径r由 合外力冲量为
2

?p ? 2mv ? 2m?r
g
2

O

mg cot ? ? mr? r ?

?? IG ? mg 重力冲量为 ? 弹力冲量为 I ? mg 2cot ? 2 ? ? 2 ? ? N
?

g? I ? 2m cot ?

m a cot ? 2θ

b

ω
?

F向

P

mg
I

I G IN

如图所示，滑块A和B用轻线连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F 作用在B上，使A、B一起由静止开始沿水平桌面滑动．已知滑块A、B与水平桌 面之间的动摩擦因数均为μ．力F作用时间t后A、B连线断开，此后力F仍作用于 B．试求滑块A刚刚停住时，滑块B的速度大小？两滑块质量分别为mA、mB．

? ? F ? ? m ? m g ? ? A B ? ? ? t ? ? mA ? mB ?V 其中 F ? ? ?F m? m g mB ? g ?? ?? m A ? BA V ? ? g ?T ? T ? ?t ?t ? mA ? ? A ? mB ? ?m g? Bm ? F ? ? ? m A ? mB ? g ? ? Ft ? ? vB ? ? mB ? m A ? mB ? g

而在t时间内对系统有

? ? F ? ? ? mA ? mB ? g ? ? ? ? t ? T ? ? mB vB

设绳断时A、B速度为V，绳断后A运 动时间为T;则在t+T时间内对系统有

A

B

F

一根铁链，平放在桌面上，铁链每单位长度的质量为 λ．现用手提起链的一端，使之以速度 v竖直地匀速上升，试求在从 一端离地开始到全链恰离地，手的拉力的冲量，链条总长为L． 图示是链的一微元段离地的情景，该段微元长 ?x ? L ? n ? 0 ? n 该段微元质量 ?m ? ? ? ?x

设该元段从静止到被提起历时Δt， 那么竖直上升部分长x的链条在手的拉 力F、重力的冲量作用下，发生了末段 微元动量的变化，由动量定理:

?x Δx F ? ? xg= ? ? ? v ? ? ? v2 ?t ? L? 2 2 F ? ? v ? ? xg ? ? gvt ? ? v t ? ? 0, ? 力随时间线性变化，故可用算术平均力求整个过程手拉力F的总冲量： ? v ? 2 ? gL 1 ? ? L 2 ? ? Lv I ? ? ? ? v ? ? gL ? ? ? 2 2v ? ? v

? F ? ? xg? ?t ? ?m ? v

F

? 反冲模型

0 ? m1v1 ? m2 v 2

※系统总动量为零

Sm 2 在系统各部分相互作用过程的各瞬间，总有 v1 : v2 ? : ?t ?t 0?m s ?m s
m1

※平均动量守恒 m M 0?m 1 v1 ? m2 v 2 ※常以位移表示速度 S
1 m1 2 m2

1 1 2 ?Ek ? mv ? MV 2 2 2

※须更多关注“同一性”与“同时 “同一性” : 取同一惯性参考系描述 m m 的动量 1 、 2 性”
“同时性”:同一时段系统的总动量守恒

一条质量为M、长为L的小船静止在平静的 水面上，一个质量为m的人站立在船头．如果不计水对 船运动的阻力，那么当人从船头向右走到船尾的时候， 船的位移有多大？ 设船M对地位移为x，以向右方向为正，用 位移表速度，由 运算法则

0 ? m ? L ? x ? ? Mx
人对船的位移 向右取正

m 船对地的位移 x?? L ±未知待求 m? M

x

O

S人

“－”表示船的位移方向向左

典型情景：

vm m

M

vm m M

vM

v m m

M F
M

vm m F

模型特征：由两个物体组成的系统，所受合外力为零而相互作用力为一对恒力． 规律种种： ⑴动力学规律

两物体的加速度大小与质量成反比． ⑵运动学规律 两个做匀变速运动物体的追及问题或相对运动问题． ⑶动量规律 系统的总动量守恒．
⑷能量规律 力对“子弹”做的功等于“子弹”动能的增量：

1 1 2 2 ? Fsm ? mvmt ? mvm 0 2 2
1 1

2 2 力对“木块”做功等于“木块”动能增FsM ? Mv Mt ? Mv M 0 2 2 量： 1 1 1 1 2 2 2 2 一对力的功等于系统动能增量： F ( sM ? sm ) ? mvmt ? MvMt ? ( mv0 ? MvM 0)

2

2

2

2

[“一对力的功”用其中一个力的大小与两物体相对位移的乘积来计算 图象1 图象2

长为L的木板A右边固定着一个挡板，包括挡板在内的总质量为1.5M，静止在光滑水平面上， 有一质量为M的小木块B，从木板A的左端开始以初速度v0在木板A上滑动，小木块B与木板A 间的摩擦因数为μ小木块B滑到木板A 的右端与挡板发生碰撞．已知碰撞过程时间极短，且碰 2 3v 0 后木板B恰好滑到木板A的左端就停止滑动．求：⑴若 在小木块 B ?L ? , 与挡板碰
160 g

撞后的运动过程中，摩擦力对木板A做正功还是做负功？做多少功？⑵讨论木板A和小木块B 在整个运动过程中，是否有可能在某段时间里相对地面运动方向是向左的？如果不可能，说 明理由；如果可能，求出能向左滑动，又能保证木板A和小木块B不脱离的条件．

这是典型的“子弹打木块”模型：A、B间相互作用着一对等大、反 向的摩擦力Ff=μMg而系统不受外力，它的变化在于过程中发生一系统内 部瞬时的相互碰撞．小木块B与挡板碰撞前、后及整个过程均遵从动量守 恒规律；A、B两者加速度大小与质量成反比；碰撞前木块“追”木板， 碰撞后则成木板“追”木块 .

Mv0 ? ? M ? 1.5 M ?V 2 V ? v0 5

由系统全过程动量守恒

2 aA ? ? g 3

系统运动v-t图

v v0

B

v0

aB ? ? g
VA

B L

A L

A L B t +t

V

0

A t

t 续解

由图象求出B与挡板碰后时间t2:
1 1 2 5 L ? t 2 ? t2 ? a A ? a B ? ? ? t2 ? ? g 2 2 3

查阅
6L 得t2 ? 5? g

v0 碰后板A的速度VA: V ? V ? 2 ? g ? t A 2?

3

2

v-t图

由动能定理,摩擦力在碰后过程中对木板A做的功 2 2? ? v0 1 ?2 ? 27 2 W f ? ? 1.5 M ? ? v0 ? ? ? ? ? Mv0 2 4? ? 400 ?? 5 ? ? B能有向左运动的阶段而又刚好不落下A板应满足两个条件：
2 2 2 v 一是B与挡板碰后B速度为负: 0 VB ? v0 ? ? g ? t2 < 0 ? L > 5 15 g

一是一对摩擦力在2L的相对位移上做的功不大于系统动能的增量，即 :

2 2v0 3v0 木块B可在与挡板碰撞后的一段时间内相对 当 < ?L ? 时 15 g 20 g 地面向左运动并刚好相对静止在板A的左端

1 1 5 ?2 ? 2 ? mg ? 2l ? Mv0 ? ? M ? v0 ? 2 2 ?5 ? 2 2

2

2 3v 0 ?L ? 20 g

如图所示，定滑轮两边分别悬挂质量是2m和m的重物A和B， 从静止开始运动3秒后，A将触地(无反跳)．试求从A第一次触地后：⑴经过多少时 间，A将第二次触地？⑵经过多少时间系统停止运动？

⑴整个系统一起运动时 a ? 2mg ? mg ? g

初时质量为2m的物块A离地高度

A着地后，绳松，B以初速度 v1=at1=10m/s竖直上抛
经2
v1 ? 2s g

3m 1 g 2 h ? ? ? t1 ? 15m 2 3

3

落回原处并将绳拉紧! m

2m

此瞬时A、B相互作用，A被拉离地面，由动量守恒
v1 at1 mv1 ? 3mv 2 ? v 2 ? ? 3 3

此后，两者以v2为初速度、a=g/3做匀变速运动（先反时针匀减 速、后顺时针匀加速），回到初位臵即A第二次触地须经时间

v1 v1 v1 ?2 ?4 则A的第一、二次着地总共相隔 2 g g g

?t ? 2

v2 v1 ?2 ? 2s a 3? g / 3

? 4s
续解

⑵第二次着地时两物块的速度
v1 ? ? v2 ? v2 3

查阅

v1 A着地后，绳松，B以初速度 v1/3竖直上抛, 经 2 落回原处 3g

并将绳拉紧! A再次被拉离地面时两物块的速度由
v1 v1 m ? 3mv 3 ? v 3 ? 2 3 3

此后，两者以v3为初速度、a=g/3做匀变速运动（先反时针匀减 速、后顺时针匀加速），A第三次触地须经时间

则A的第二、三次着地总共相隔 2 v1 ? 2 3v1 ? 4 v1 3g 32 g 3g
以此类推，到第n次着地时

v3 v1 v1 ?t ? 2 ? 2 2 ?2 a 3 ? g/3 3g

T ? 4lim ?
n??

? 6s

1 ? ? 1 ? 3 n? 2 v1 ? n? 2 ? 4 lim 3 g n?? ? 1 ? 1 ? 3 ?

? 自开始运动到最终停止共用 ? ? T ? t0 ? 9 s ? ? ?

角动量 角动量定理

力对定点产生的矩
力矩 质量 m 的质点，受到外力作用时，会产生加速度。但对于一 个有大小形状的刚体，受到外力 F 作用时，是否产生转动， 决定于外力是否产生力矩 L。设参考点为 O，到力的作用点 A 的位矢为 r，则力 F 对 O 点的力矩是 力矩是一个矢量，大小与 r,F 以及两者的夹角?有关，方向 由右手螺旋确定。其大小为 L ? rF sin ?

L? r?F

r

α F

O

角动量：质点的质量 m,速度为 V，对固定点 O 的位矢为 r,定义 质点相对与该固定点的角动量是一个矢量 同力矩一样，角动量是一个矢量，其大小为 J ? rmv sin ? ? rP sin ? 角动量是一个矢 J ＝ mrvsina 量，其方向由右 手螺旋确定，大 小是

J ? r ? mV ? r ? P

mv

J ＝ mrvsina
与质点的速度,质 量以及速度与位 矢的交角有关。

?
O

r

m

角动量
例如作直线运动的质点，质量 m,速度为 V，该质点 的角动量多大？

b O

m r

v

相对于直线上的参考点，其角动量为零；但相对于 距离直线距离为 b 的点，其角动量为 bmV，方向垂 直版面向里。这个角动量的大小与质点运动的位置 无关。

角动量定理
质点的质量 m,速度为 V， 对固定点的位矢为 r,作用在质点上 的外力为 F，牛顿第二定律给出

上式两边左叉乘位矢 r,

d d mv = P?F dt dt
d r ? mv = r ? F dt

利用角动量定义，因为
dJ d d ? m ? r ? V ? ? mV ? V ? r ? mV dt dt dt 其中力矩的定义为 L ? r ? F 。角动量定理表成

dJ ?L dt

角动量守恒
当质点受到的力矩为零时，质点的角动量守恒。即有 L ? 常数 例如作半径 R 圆周运动的质点， 其角速度为 R??V,以圆心为坐标 原点，其角动量为 mRV=mR2??方向如图所示，由右手螺旋确定。 ?
外力矩 L ＝ 0 的条 件 (1) 外力 F ＝ 0 (2) 外 力 的 力 臂 为 零（力的作用线通 角动量矢量J 过固定点 ) ?3? 每个 分力的力矩不为零， 但和力矩为零。

小球作圆周运 动的张力 T 对圆心的力矩 为零，因此角 动量守恒.由 于圆半径不变， 质点做匀速圆 周运动。

T V＝R?

【开普勒第二定律】任意行星绕太阳椭圆轨道，相等时间内位 矢扫过的面积相等。角动量守恒

F

因为万有引力作用线通过焦点， 力矩为零。

J ? r ? mv = r ? P ＝常量
这就是角动量守恒。

【例题】绕地球做椭圆运动的人造卫星，地球是椭圆的一个焦 点求卫星在椭圆长半径端点与短半径端点处速度的关系。
B

F

A

因为万有引力作用线通过焦点，力矩为零。因此卫星相对焦 点的角动量守恒。卫星的速度始终沿着轨道切线方向。因此 在长半径端点 A 处角动量为 m(a ? c )VA，在短半径端点的角动 量是 mbVB 。按照角动量守恒得到速度关系是
VA ? VB b a?c

第二十届全国中学生物理竞赛复赛第一题：图中a为一固定放置的半径

为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时， 球表面处的电势为U=1000 V．在离球心O很远的O′点附近有一质子 b，它以 Ek＝2000 eV 的动能沿与O?O平行的方向射向a．以l表示b 与O?O线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰， 试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值．

1 GMm 2 E ? mv0 ? 2 r

v0 a e d

E?0
vd ?

E?0

2GM r

b

c

GM vb ? r E ? 0 v ? 2GM e r

轨道与 能量

引力势 能

1 2 GMm E ? mv0 ? ? 恒量 2 r 示例

轨道与 能量

两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作 用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互 作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互 作用的前后相对速度遵守“反射定律”，如果是一维方向上的“弹性碰 撞”，则相对速度等值反向．若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的 动量守恒而机械能不守恒． 角动量

若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保 持不变，这就是质点的角动量守恒定律．物体在受有心力作用而绕着中心天 体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力 模型与 心的力矩为零，故系统的角动量守恒．即 mvr sin? ? 恒量 ． 方法

?

假设地球是一个均匀球体，现在地球的东半球北纬30°的a处开一个穿过地轴的 直线隧道直通西半球北纬30°的b处，如图所示．已知地球的半径是6370 km，地 面的重力加速度g=9.8 m/s2，第一宇宙速度v1=7.9 km/s，假设隧道光滑．现将一个 物体以v=v1/3的初速度从a处抛入隧道，问物体从b处出来后能飞离地面的最大高度 是多少？

解题方向 考虑对称性，物体从b处飞出的速度大小为v1/3， 此后在地心引力作用下沿一椭圆轨道的远地椭圆弧运动； 由守恒定律求最大高度.
由机械能守恒有

v1 由角动量守恒有 R sin 30? ? V ? R ? h? V 3
注意到 v1
2

1 ? v1 ? GMm 1 GMm 2 m? ? ? ? mV ? 2 ? 3? R 2 R?h

2

v1 3

b h R R+h 30°

a

GM ? R

h ? 285km

如图，一质量为m＝12 t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度h＝100 km．为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点做一次短时间发动．从喷口喷 出的热气流相对飞船的速度为u＝10 km/s．月球半径R＝1700 km，月球表面上自 由落体的重力加速度为g月=1.7 m/s2．飞船可用两种不同方式到达月球：⑴到达月 球上的A点，该点正好与X点相对；⑵在X点给一指向月球中心的动量后，与月球 ⑴按此方式，飞船椭圆轨道X为远月点，A为近月点，XA 表面相切于B点．试计算上述两种情况下所需的燃料量．

为长轴，月心为焦点， 由牛顿草图可知，飞船在X点是向运动方向喷气减速而成 B
2

1 2 GM ? m ? ?m ? 1 2 GM ? m ? ?m ? ⑴ ? ? m ? ?m ? v A ? ? m ? ?m ? v X ? A 2 R? h 2 R

R g月 设飞船做圆运动时速率为v0 v0 ? R?h 由机械能守恒有

A

X A

X

v0
u

O

⑵

vX

X

由角动量守恒有

? m ? ?m ? v X ? R ? h? ? ? m ?2?m ? v A R
而GM月 ? R g月
v0 ? v X ? ? ?m ? m u

vA
vX ?

飞船喷气过程动量守恒:

mv0 ? ? m ? ?m ? v X ? ?m ? u ? v X ?

? R ? h?? 2 R ? h?

2 g月R3

代入题给数据得:

?m ? 29kg

⑵按此方式，飞船向背离月球方向喷气后获得的指向月心 的速度vR，飞船在X点的速度变为 由机械能守恒有
2 2 vX ? v0 ? vR

读题

vB O

B

vX

v0
u

1 2 GM ? m ? ?m ? 1 2 GM ? m ? ?m ? ? ? m ? ?m ? vB ? ? m ? ?m ? v X ? 2 R? h 2 R

由角动量守恒有

vR

X

? m ? ?m ? v X ? R ? h?

v0
2 2 v0 ? vR

? ? m ? ?m ? v B R

而GM月 ? R 2 g月

vR ?

h2 g月 R?h

飞船喷气过程沿径向动量守恒:
2 h g月 m ?m ? u R?h

0 ? ? m ? ?m ? vR ? ?m ? vR ? u ?

? 116kg

一卫星在半径为r的圆形轨道上运动，旋转周期为Ｔ，如果给卫星一个附加的径 向速度un或一个附加的切向速度ut，卫星都将沿一个椭圆轨道运动．⑴ 确定在上 述二种情况中卫星的旋转周期．⑵ 所附加的径向速度un和切向速度ut必须满足什 么关系，才能使两种情况下，卫星旋转周期相等？

中心天体质量为M、“远(近)地点”速度为V、矢径为rn（t） ⑴卫星在半径r轨道圆运动速度为v ? 2? r ? GM T r 卫星附加速度u为径向时 读图 v ? ? 1 1 1 1 r ? r 机械能守恒 ? v 2 ? u2 ? ? V 2 ? GM ? ? ? n v?u ? v v ? 2 2 r r 角动量守恒

v ? r ? V ? rn

?

n

?

对同一环绕中心，两轨道周期满足T

2 2 ? ? 4 ? r ? ? v n T ?T ? 2 2 ? ? 2 2 2 ? 2 ? n 4 ? r ? u T ? T v ? u ? 卫星附加速度u为切向时 ? ? v2 ?1 1 1 2 1 ? at ? 2 r ? v ? u ? ? V1 ? GM ? ? 2 ? v ? 2vu ? u 2 2 ? r 2at ? r ? 3 v ? r ? V ? rn ? ? 4? 2 r 2 2 2 2 2 ? ⑵要使Tn=T，根据开普勒第三定律，必有 Tt ? ? 4 ? r ? 4 ? ruT ? u T ? ?

2a ?? ? ?r 2n v ? u v ? u ? ? v an ? 2 r v ? u2
3

2

3

an=at，即有

2 v 2 ? un ? v 2 ? 2vut ? ut2

4? r u ?u ? ut T
2 n 2 t

续解 卫星附加速度u为径向时 v u r
原轨道

卫星附加速度u为切向时 v u
原轨道

rn

2an rt 2at

变轨道

V
变轨道

V

远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星，它的形成可看成是从无限远 处落向太阳的天体经木星碰撞偏转而成为太阳的彗星，求其近日点．（已知木星

的公转轨道半径为R）

理想化模型：从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经与木
星发生“弹性碰撞”改变运动方向进入绕日轨道，如图．
2 v0 由G ?M 2 R R M日 得木星“碰撞”前速度为 v0 ? G R 由机械能守恒，从无限远处被 太阳吸引到木星轨道附近时速 度v满足1 mv 2 ? G M日m ? 0 2 R

M日M

木星轨道

v1
r
太阳

v0

v V

v? G

2 M日 R

? 2v0

与木星 “完全弹性碰撞” 过程速度矢量关系如图： 续解

“完全弹性碰撞”接近速 度与分离速度大小相等！
V接近 ? V分离 ?
而V分离 ? V ? v0

V接近

v0

?

2v0

?

2

2 ? v0

? 3v0

v
V V分离

?V ?

?

3 ? 1 v0

?

天体进入太阳彗星轨道，设其绕日轨道近日点距太阳r，过近日 点时速度为v1 读图

M m M m 由机械能守恒有 1 mV 2 ? G 日 ? 1 mv 2 ? G 日 1 2
由角动量守恒有

R mVR ? mv1 r ? v1 ? V r
3 ?1 r? R 2

R

2

r

质量为m的人造卫星沿半径为r0的圆轨道飞行，地球质量为M．若 卫星运动中受到微弱的摩擦阻力f（大小恒定），则将缓慢地沿一螺 旋形轨道接近地球．将每周的旋转近似处理成半径为ri的圆轨道．试 求每旋转一周，轨道半径的改变量Δr及卫星轨道减少一半时减少的 机械能．

在第i圈运动时，摩擦力的功

W fi ? ? f ? 2? ri

引力的功 由动能定理

? 1 1? WGi ? GMm ? ? ? ? ri ? ?r ri ?

ri M

? 1 ? 1 1? 1 1? ? f ? 2? ri ? GMm ? ? ? ? GMm ? ? ? ? ri ? ?ri ri ? 2 ? ri ? ?ri ri ? 3 4? fri3 4 ? fr i ?ri ? 2 ? ? ? GMm ? 2? fri GMm ? 1 1 ? ? 卫星轨道减少一半 ?E ? GMm ? r ? 2r0 ? 0 ? 时减少的机械能 ?2 ? ? 2 ?

GMm ? 2r0

对于一个质量均匀半径为R的实心球，距球心r处所置质点的引力势能？

m
R r

M

两面元质量各为 M M ? ? ?S1 ? ? ? S ? ? ? S ? ? ?S2 1 2 2 2 4? r 4? r r1 ?S1 ?1 两面元对壳内质点m的引力各为
F1 ? G

??

r2
?2

?S2

m r O

? ? ?S1 ? m ? ? ?S2 ? m , F ? G 2 r12 r22

由几何关系:?S1 ? cos ?1 ? r12 ? ??
?S2 ? cos ? 2 ? r22 ? ??

F1 ? F2

整个球壳对球壳内物 质的万有引力为零!

M

返回

对于一个质量均匀半径为R 的实心球，在距球心r（＜R） 处质点只受半径为r的球内质量 的万有引力，而r以外球壳（即 R为外径r为内径的球壳）则对 质点无引力的作用． 距球心r处所臵质点受到引力大小

m R r

? r3 ? ? 3 M ?m Mm R ? ? ?G 3 r F ?G 2 R r
距球心r处所臵质点的引力势能

M

Mm R ? r GMm 由G 3 ? ??R ? r? ? ? ? E p E ? G Mm r 2 ? 3 R 2 R 2 R p 3

2R

?

?

?

质心 质心运动定律
能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外 力集中于此的某一点.
从质心的等效意义出发:

0
? ? xC ? ? ? ? ? yC ? ? ? ?z ? C ? ?

x1 m1

x2 m2

x

? m i xi ? mi ? m i yi ? mi ? m i zi ? mi

以质心为坐标原点

? mi r=0

巴普斯定理 1.在一平面上取任一闭合区域，使它沿垂直于该区域的平 面运动形成一个立体，那么这个立体图形的体积就等于质 心所经路程乘以区域面积Ｖ＝ＳＬ。 2.如果令某一长为L的曲线段沿着垂直于它所在平面的方 向移动一段距离r，那么L,r与线段扫过的面积S存在关系： S=rL。

x

x

圆半径为R,求均匀半圆盘质心位置

圆半径为R,求质量均匀半圆形金属线 质心位置

2．质心运动定理 系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小 成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿 合外力的方向。

? ? F ? MaC

? 内力不影响系统质心的运动。

如图所示，半径为 R、质量为 M、表面光滑的半球 放在光滑的水平面上，在其顶部有一质量为 m 的小 滑块，从静止开始沿球面下滑。试求：小滑块脱离 球面之前的轨迹。
m M

R
O

解： xC 0 ? 0
mx ? M (? s ) xC ? m?M 由 x C1 ? x C 得：
2

y m s M O'
2 2 2

x R y O x

m s? x M
根据 ( s ? x) ? y ? R 可得

x y ? 2 ?1 M R 2 ( R) m?M

2

2

如图所示质量分别为m1，m2的两个小球系在长为l的不 可伸长的轻绳两端放在光滑水平桌面上初始时绳是拉直 的桌面上另有一质量为m3的小球以垂直于绳的速度u与 小球m1对心正碰若恢复系数为e，求碰后瞬时绳中张力

m2

l

m1

u m3

1.柯尼希定理 质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动 能之和。此结论称为柯尼希定理。

1 1 1 2 2 2 ? Ek ? ? mi vi ? Mvc ? ? mi vi 2 i 2 i 2

2.质心参照系 取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系

或质心系。
? 在讨论孤立质点系的运动时，采用质心系是方 便的。在质心系里，体系的动量恒为零，且孤立 体系的质心系是惯性系，功能定理和机械能守恒 定律都能适用。 ? 即使讨论非孤立体系的运动，采用质心系也是 方便的，可以证明，当质心系为非惯性参考系时， 功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。（这是 因为在质心参照系中，作用在各质点上的惯性力 所做的总功为零。）

如图，长为 2L，质量可忽略的杆的两端固定 有两质量均为 m 的小球 A、B。开始时系统 竖直放在光滑的水平桌面上。系统受外界微 扰而在竖直面内倒下。求当细棒与水平面夹 角为? 时，A、B 两球的速度大小。
A m L

L
m

C B

?

解： 1 1 2 2 mg ? 2 L ? 2 ? mv? ? (2m)vC ? mg ? 2 L sin ? 2 2 vB ? vC ? v? ? vC ? v? cos ?
? 2 gl (1 ? sin ? ) ? v? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ?v ? cos ? 2 gl (1 ? sin ? ) C 2 ? 1 ? cos ? ? vA ? v? A ? vC

m A m

L L
vC ? v' ? vB B C vC m

?

v'

? v? sin ? i ? (vC ? v? cos ? ) j
?

2 gl (1 ? sin ? ) (sin ? i ? 2cos ? j ) 2 1 ? cos ? 2 gl (1 ? sin ? ) sin ? i 2 1 ? cos ?

vB ? ?v? sin ? ? ?

质点系角动量
质点组每一个质点对参考点存在角动量，则定义质点系相对 固定点的总的角动量为各个质点角动量的矢量和
J ? ? ri ? miVi ? ? ri ? Pi
i ?1 i ?1 n n

质点组受力包括内力与外力，但内力对固定点的力矩矢量和 为零。于是质点组角动量定理表成
n n n dJ (i ) (e) ? ? mi ri ? ai ? ? ri ? Fi ? Fi ＝? ri ? Fi(e) ? L(e) dt i ?1 i ?1 i ?1

?

?

质点组总角动量对时间的变化率等于所有 作用在质点组外力力矩的矢量和。 同样当外力矩 矢量和 L＝0 时，总角动量守恒，即 J＝常矢量。

碰后瞬间轻杆角速度？ 2m l/3

2l/3 v0 V0/2 m

m

如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平槽内， 现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球A，开

始时细绳处于松弛状态 , A与 B相距为l/2。球 A以初
速度 v0 在光滑的水平地面上向右运动。当 A 运动到 图示某一位置时细绳被拉紧，试求 B 球开始运动时 速度vB的大小。
B
vB

l/2

l
vAy 300 A A vA vAx

解：

mv0 ? mvB ? mvAx

mv0l / 2 ? mvAxl sin 300 ? mvAyl cos300 vB cos300 ? vAx cos300 ? mvAy sin 300 3 vB ? v0 7
B vB l vAy 300 A A vA vAx

l/2

如图所示，质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，并 置于光滑水平桌面上，当弹簧处于自然状态时， 长为a，其倔强系数为k。今两球同时受冲力作用， 各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后 运动过程中弹簧的最大长度b=2a，求两球的初速度v0

一根长为L的轻质刚性棒两端分别连着质量为m的质点。现 将此棒放在光滑桌面上，并用一个质量为m，速度为v0的质 点与棒端的一个质点相碰。已知v0的方向与棒的夹角为45°， 并设碰撞为弹性碰撞。碰撞之后质点沿原直线返回，试求碰 撞之后棒的角速度

v0

A,B,C,D速度？

装置如图所示。滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同而
处于平衡，现有距盘底高为h质量为m?的胶泥自由下落， 求胶泥粘在盘上时盘获得到初速度。滑轮和绳质量不计。 不计轴承摩擦及绳的伸长。

R

O

R

? ? r r1 2
m?

O

h m

m

[解] 胶泥自由下落至盘面的速度为 v0 ? 2 gh 在碰撞时，质点系对O轴角动量守恒。 取垂直纸 面朝向读者的方向为O轴正方向，有

? R(m? ? m)v1 ? Rmv 2 ? Rm v0
绳不伸长，故
得 将 v0 代入，得

v1 ? v2 ? v
m?v0 v? 2 m ? m?

m? 2 gh v? 2m ? m? 本题也可以利用对点的角动量守恒求解。

解： （1） 机械能守恒: 1 1 2 ? 2 ?0 ? mgl sin ? ? 2mgl sin ? ? (2m)v1 ? mv 2 2 2 ? ? B ?v1 ? v 2 ? l?
2 g sin ? ?? 3l
2 m l O l 1

角动量定理：

B

?L ? ?2mgl cos ? ? mgl cos ? ? ?t ? ? 2 L = 2 m lv ? ml v = 3 m l ? ? 1 2 ? ?L ?? ? ? 3ml 2 ? 3ml 2 ? ? ?t ? ?t
g cos ? ?? 3l

?

A 2m

A

对小球1：

? ?2mg cos ? ? N1 ? 2ma1t ? 2ml ? ? 2 f ? 2 mg sin ? ? 2 ma ? 2 ml ? ? 1n ? 1
4 ? N ? mg cos ? 1 ? ? 3 ? ? f ? 10 mg sin ? 1 ? 3 ?
f2 2
.

N2 l O

mg

同理对小球2：

?
f1 l 1 N1

4 ? N 2 ? mg cos ? ? ? 3 ? ? f ? 1 mg sin ? 2 ? 3 ?

2mg

小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力， 故小球 1 先滑动. 设球 1 开始滑动时，细杆与水平线夹角为 ?1 ，则
N2

f1 (?1 ) ? ? N1 (?1 )
10 4 mg sin ?1 ? ? mg cos ?1 3 3 ? ?1 ? 6
.

f2

2
mg l O

?
f1 l 1 2mg N1

由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端，因此球 1 脱离 细杆时细杆与水平线夹角也为

?1 ?

?
6

因轻杆没有质量，球 1 一旦脱离轻杆，球 2 与轻杆间的相互作用 立即消失，此后球 2 只受重力作用而作斜抛运动，其初速度：
3gl 2 g sin ?1 v0 ? l ? 3l 3
y v0 B2 A

?0
l O

初速度的方向与水平线的夹角：
?0 ? ?
2 ? ?1 ?

?
3

mg

?2 ?1

x

得任意 t 时刻球2的位置坐标：
? 3gl 3 2 x ? ? l cos ? ? v cos ? t ? l ? t ? 1 0 0 B ? 2 6 ? gl 1 2 1 1 2 ? y ? l sin ? ? v sin ? t ? gt ? l ? t ? gt 1 0 0 ? ? 2 2 2 2
A

球2脱离细杆时，

l 2 ? x2 ? y 2
t 2 (t 2 ? 2 l 2l t? )?0 g 3g
B2

y v0 A

?0
l O

15 l t ? (1 ? ) 3 g
? 2 3? 5 l ?x ? ? ? 6 ? ? y ? ? 2 ? 15 l ? 6 ?

mg

?2 ?1

x

A 2 B

2 3? 5 cos ? 2 ? ? l 6 x

? 2 ? 78.2

一、知识概要 2、库仑定律

q1q2 F ?k 2 r

（1）条件：真空中的点电荷
9 2 2 k ? 9 ? 10 N ? m / C （2）其中：

在有理化方程中，通常引入ε0新的常量来代替k，并把它 写成：

1 ?0 ? ? 8.85 ?10 ?12 C 2 / N 2 ? m 2 4?k

（称为真空介电常数）

二、例题分析 2、相距为2r的两个等量同种正电荷带电量为Q，求在连线 的中垂线上场强的最大值即位置。 Q sin ? 解：如图，得：EP ? 2E sin ? ? 2k r 2 p ( ) cos? Q 2 ? 2k 2 cos ? sin ? r ? 2 令：y ? cos ? sin ? + +

1 1 2 cos ? ? cos2 ? ? sin 2 ? 4 1 1 3 2 ] ? 27 ? 4 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 4[ 2 3 2 2 Q 所以：E pm ? 2k 2 ym ? 4 3 ? k Q r 9 r2 2 2 2 而当取最大值时有： cos ? / 2 ? sin ? ? tan? ? 2 所以出现最大值的位置为： 2 op ? r tan? ? r 2

则： y2

? cos4 ? sin 2 ?

二、例题分析
3、将一质量为m，带电量为q的小球，从O点以与水平方向成α角的初速 度v0抛出，当达到最高点A时，恰进入一匀强电场中，如图，经过一段时间 后，小球从A点沿水平直线运动到与A相距为S的A`点后又折返回到A点，紧 接着沿原来斜上抛运动的轨迹逆方向运动又落回原抛出点，求（1）该匀强电 场的场强E的大小和方向；（即求出图中的θ角，并在图中标明E的方向）； （2）从O点抛出又落回O点所需的时间。
解：小球进入电场后，其所受电场力和重力的合 力必为水平向左方向，故在A→A`→A的过程中， 电场力，重力的合功为0，小球水平速度：
2 则由A→A`的过程中，有: vx ? 2as ? (v0 cos? )

vx ? v0 cos?

2

场强方向:

4 2 2 m v cos ? ? 4 g s 0 场强大小: E ? (ma ) ? (mg ) / q ? 2qs
2 2

4

2 gs tan? ? m g / m a ? 2 v0 cos2 ?

二、例题分析
3、将一质量为m，带电量为q的小球，从O点以与水平方向成α角的初速 度v0抛出，当达到最高点A时，恰进入一匀强电场中，如图，经过一段时间 后，小球从A点沿水平直线运动到与A相距为S的A`点后又折返回到A点，紧 接着沿原来斜上抛运动的轨迹逆方向运动又落回原抛出点，求（1）该匀强电 场的场强E的大小和方向；（即求出图中的θ角，并在图中标明E的方向）； （2）从O点抛出又落回O点所需的时间。
解：从O点回到O点经历了四段：

t ? tOA ? t AA` ? t A`A ? t AO
其中： t
OA ? t AO ? 2tOA ? 2

t AA` ? t A`A

v0 sin ? g v cos? 2s ? 2t AA` ? 2 0 ? a v0 cos?

2v0 sin ? 2s t? ? g v0 cos?

三、电场强度求解的特殊情况 1、电偶极子轴线的延长线上和中垂线上任一点的场强。 说明：两个大小相等负号相反的点电荷+q和-q，当它们之 间的距离re比所考虑的场点到二者的距离小得多时，这一电荷 系统称为电偶极子，其中： p e ? q r e 称为电偶极矩，简称电矩。
y
B(0, y )

2qre EA ? k 3 x qre EB ? ?k 3 （向右为正） y
A( x,0)

O

re

x

?? cos ? F1 ? ? k ? q 2 cos ? r1 2 r2 ?? k? q ?? cos ? F2 ? ? k ? q 2 cos ? r2
带电球壳内场强为零!

k?

2 r1 ??

q

?S1

r1
?1

??

r2
?2

?S2

m q r O

4 3 k? ? r ? 3 E? ? r 2 3? 0 r

Q M

三、电场强度求解的特殊情况 2、连续分布电荷的场强。 （4）均匀带电球壳带电量为q，半径为R。

情况讨论
R

q x ? R, E ? k 2 x

x ? R, E ? 0

三、电场强度求解的特殊情况 2、连续分布电荷的场强。 （4）均匀带电球带电量为q，半径为R。

情况讨论
R

q x ? R, E ? k 2 x qx x ? R, E ? k 3 R

电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有 ? e 条电场线垂直穿过，则 E ? ? e 点电荷电场
S

球面上各处场强大小均为

E?
?0 ?
1

kq r
2

?

q

S

从该球面穿出的电通量

4?? 0 r

2
q

S?

?0 4?? 0 r 根据电场线的性质——在电场中 没有电荷处电场线是连续的、不 相交的，可以肯定包围点电荷q的 任意封闭曲面S′上的电通量也是
2

4? k ? e ? ES ?

2 2 ? 8.85 ? 10?12 C /N ? m q
2

? 4? r ?

q

?e ?

q

?0

? 入 ? ?出 ?e ? 0 q ?e ? ?0

返回

S ??

q?0
q

根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷 系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和 为 q,

?
i

i

則 ?e ?

? qi
i

?0

R < r 由高斯定理有

E?

?e 4? R ?e 4? R
2 2

?

0 4? R ? 0
2

?0

O

R ? r 由高斯定理有

E?

?

Q 4? R ? 0
2

?

kQ R
2
0

E

R r

R < r 由高斯定理有

R Q 3 r ?e ?

3

R

O

?0

?kQ Q e E? ? R E? 3 R 2 3 4? R 4? r ? 0 r
? Q 4? R ? 0
2

R ? r 由高斯定理有

E?

?e

4? R

2

?

kQ R
2
0

E

R r

由高斯定理有

?

两面积S、间距d平行板电容器当 带电荷量Q时，板间电场由电场 叠加原理可得为

? ? ?S ?e ? ?0 ?e ? E? ? 2?S 2? 0

E
?S

? ? 4? kQ E?2 ? ? 2? 0 ? 0 S

Q ?Q

在相距 d 的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为＋ λ 及－
λ ．求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点P的电场强度 ．

R E? ?l ?? ? 2?? R 0l ?e ? ? ? 0 E1 ? E 2 ? 2 ?e ? ?d? 2 E? ? 2 ?? ? x ? ? 0 2? R ? ?l 2? R ? 2 ? ?0 d d ? d / 2 2 ?? ? 2 Ep ? 2 ? 2? d E2 2 2 Ep ? x d d 2 ? 2 ? ? ? 2 2 ?? 4 x ? d 2?? ? x 0 0 ? ? ? x ? ? P 2 2 ? ? ? ?

? 由高斯定理有

?

?

EP

如图，有“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R，电荷面密度为σ，试求其场强， 并作E（r）图 ．

r<R

?e E? ?0 ?S
r?R

?e ? 0

R

?
?l

E

? ? 2? R ? ?l ?e ? ?0 ?e ?e R? 1 E? ? ? ? ?S 2? r ? ?l ? 0 r

? ?0

E

r

0

R

如图，在一厚度为d的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷， 其密度为ρ，求在平板层内及平板层外的电场强度E，并作E（r）图 ．

d r? 时 2

?e ? E? ? r 2?S ? 0

d r < 时 ? ? ? ? ?S ? 2r e 2 ?0

?
d ?S

? ? ?S ? d ?e ? ?0
d? 2? 0

?e ?d E? ? 2?S 2? 0

E

0

d/2 ?d ? 2? 0

r

如图所示，在半径为R、体密度为ρ的均匀带电球体内部挖去半径为r的一个小球， 小球球心与大球球心O相距为a，试求A点的场强，并证明空腔内电场均匀 ．

E A ? E1 ? E2
带电球内半径为r处 4 3 场强

EA E2 a O
O?

? ? E1 ? ? r1 E 2 ? ? ? r2 3? 0 3? 0

k? ? r ? 3 E? ? r 2 3? 0 r

r2

E1

r1 A

? 則 EA ? ? r1 ? r2 ? 3? 0

? ? a 3? 0

1.若干带电系统产生的静电场的电势
1）点电荷激发产生的静电场的电势分布

例.在由带电量为Q的静止不动的点电荷激发产生的静 电场中，另有一带电量为q0的试验电荷。求q0从静电 场中a点移动到b点过程中，静电力做了多少功？a，b

与Q的距离分别为ra，rb。如图所示。
推导可知： Wa ? b
?1 1? ? kq0Q ? ?r ? r ? ? b ? ? a

（电磁学篇P24）

Q

a

b

由公式可知： Wa ?b ? q0Uab ? q0 ??a ? ?b ?
kQ kQ 可得： ? a ? ， ?b ? rb ra

一、知识概要 4、电势：把一电荷从P点移到参考点P0时电场力所做的功W ? PA 与该电荷电量q的比值，即：

?A ?

q

（参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。）

q （1）点电荷电场中的电势：? A ? k x
（2）点电荷系电场中的电势： ?A ?

5、电势的计算

q
n

x

A

qi k （标量，代数和） ? xi i ?1

一、知识概要

5、电势的计算
（3）均匀带电球面电场中的电势分布：

q x ? R, ? p ? k x q x ? R, ? p ? k R

?

x

二、例题分析
1、如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点， 过圆心跟环面垂直的轴线上有P点， PO= r ，以无穷远为参考点，试求P点的 电势UP 。 解：这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环 上取一个元段ΔL ，它在P点形成的电势:

?? ? k

??L
R2 ? r 2

2?R 环共有 ?L 段，各段在P点形成的电势相同，而且
她们是标量叠加。

?P ?

2?k?R R2 ? r 2

二、例题分析
2、半径为R的均匀带电圆环，圆心为O，过O电跟环平面垂直的轴线上 有a、b两点，oa=R，ob=2R，设定无穷远处电势为0，已知a点电势为φ1、b 点电势为φ2，求φ2：φ1 b 解：将环分成无穷多个小段△L，它带的电荷量为：

R
a

?q ?

Q ? ?L 2?R

R
?q R2 ? R2 ?k 2?q 2R
O

??a ? k 该点电荷在a处的电势为：

2 ? ?q ? 2kQ 2R 2R 同理，整个环在b处产生的电势： 5kQ ?b ? ? ??b ? 5R
整个环在a处产生的电势：? ? ? ?? ? k a a
故：

?a 2 ? ?b 5

如图所示，半径相同的两个金属球A、B相距很远，原来不带电， C球先与远处电池正极接触，（负极接地），接着与球A接触，再与B球接触；然 后又与电池正极接触，重复上述过程，反复不已．已知C球第一次与电池接触后的 带电量为q，第一次与A球接触后A球的带电量为Q1，求⑴A球与B球最后的带电量 Q1 9 Q与Q′；⑵设 ，至少经过几次与 C球接触后， 球的带电量可达最后带电量 ? ⑴设A、B球半径为 R,C球半径为 r,CA 球与 A球第1次接触后有 q 10 的一半？ q ? Q1 Q1 ? ① A B r R q Q C 电荷不再从C球移向A球，故

R = Q1 q Q? q q ? Q1 r q Q? Q ? ? Q1 q C球与B球接触最终亦有 ? q ? Q1 r 1 r R ? ⑵由①式及题给条件 R 9 2 r R
q ? Q2 ? Q 9 ? Q2 1? 若第２次C与A接触后A又获电量 Q ， q 2 則 Q2 ? ? n ? ? ? 9 ? r ? 10 R ? 1? ? ?
n次C、A接触后有
9 q 10 ? 10 ? ? 4.5q 1 10

?

时

n ? 7次

2。图中实线代表三根首尾相接的等长绝缘细棒， 棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成等长的细 导体棒时的电荷分布完全相同．点A是△abc的 中心，B点和A点相对bc边对称．已测得A、B 两点的电势分别为UA和UB．现将绝缘棒ab取走， 设这不影响bc、ac棒的电荷分布．试求此时A、 B两点的电势各是多少?

解： 如图，根据对称性以及电势是标量可知三根棒在A点所 产生的电势均为UA/3， bc棒在B点产生的电势跟bc棒在 A点产生的电势相等，都为UA．所以ac、ab棒在B点所 产生的电势为 1 1 (U B ? U A ) 2 3 绝缘棒ab取走后，A点的电势
1 2 U ?UA ? UA ? UA 3 3 1 1 U B ' ? U B ? (U B ? U A ) 2 3 1 1 ? UB ? UA 2 6
' A

B点的电势

在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细圆环， 圆环的圆心与导体球心的连线长为a(a>R)，且与环面 垂直，如图所示．已知环上均匀带电，总电量为q，试 问： （1）．当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少? （2）．当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势 如何? （3）．当导体球的电势为V0时，球上总电荷又是多少? （4）．情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改 变量的大小和方向如何?

解：1．见图，导体是一个等势体，所以导体球接地 (V球=0)时，对于球心点有V球心=V球=0 ① 另一方面，可以直接计算球心点的电势．因为所有感 应电荷都分布在球面上，它们到球心的 距离都是R，而圆环上电荷到球心的距离都是 r 2 ? a2 所以 V球心 ? Kq感 / R ? Kq / r 2 ? a 2 ② 式中q感就是要求的感应电荷总量。由①、②两式即得 ③ q ? ? Rq / r 2 ? a 2
感

2。导体球不接地时，其电势可通过对球心的电势计 算而求得： 2 2 ④
V球 ? V球心 ? Kq面 / R ? Kq / r ? a

式中q面表示分布在球面上所有电荷的代数和，而导体 球体内是不会有电荷分布的．由于题给导体球为电中性， 即q面=0，所以由④式得

V球 ? Kq面 / r 2 ? a 2

⑤

3。导体球的电势为V0时，再以球心点考虑： ⑥ 而另一方面，球心的电势是球面上电荷和圆环上电荷 分别产生的电势的迭加： ⑦ V球心 ? Kq面 / R ? Kq / r 2 ? a 2
V球心 ? V球 ? V

导体球的总电荷就是球面上的电荷总量，由⑥、⑦两 式解得 q总 ? q面 ? RV0 / K ? Rq / r 2 ? a 2 ⑧
4。对比⑧式和③式可知，情况3比情况1只是在导体球 上多了电荷RV0/K，而导体球的电势相应地由零变为V0.可 以设想从情况1出发，把导体球与地断开而维持原来的q感 大小及

分布不变，再把电荷RV0/K均匀地加到球面上，正是它 使球的电势变为V0，即成为情况3.对于球外的圆环来说， 这些加上的电荷对它的作用力相当于集中在球心处的等 量点电荷对它的作用力，这也就是圆环多受到的作用力.
( RV0 / K )q RaqV0 a F?K ? ? 2 ⑨ 2 2 2 3/ 2 2 2 r ?a (r ? a ) r ?a （因原来静电平衡内部E=0，RV0/K再加上去应均匀分）

考虑一个原子序数为Z的经典原子模型，忽略 电子问的相互作用．设原子中的一个电子e1 在离核r0处做平面匀速圆周运动．突然，由 于某个过程，外面的另一电子被俘获进原子 核．假定这个俘获过程不影响e1的速度，el 仍然留在原子系统中．试把描述电子e1．在 这种情况下运动的量(能量、轨道参数、周期) 都用r0,K,电子质量m、电子电荷绝对值e及原 子序数Z表达出来，并与原来的运动作比 较．

解： 电子与核之间的作用力是库仑力，它与距离的关系也是平 方反比关系，所以在本题中可以用引力的规律进行处理． 在发生俘获前电子绕核做圆周运动，设其速度为v0，则有 2 Ze2 mv0 ? 2 r0 r0
由此求得v0和动能Ek分别为 v0 ? 此时电子的电势能为 EP ?

?Ze2 故电子的总能量为 E ? Ek ? EP ? 2r0

? Ze r

Ze 2 1 2 Ze 2 , Ek ? mv0 ? mr0 2 2r0

2

电子运动周期为 T ?

2? r0 ? 2? (r0 ) v0

3 2

m Ze2

设e1位于A点时另一个电子被俘获，e1的动能和电势能 2 e 1 '2 分别为 ' (r0 ) ? ?( Z ? 1) EkA ' ? mv A ? Ek , ， EP r0 2 2 (Z ? 2)e ' ' ?E 因而总能量变为 E ' ? EkA ? E p (r0 ) ? ? 2r0 要求Z>2，否则E’≥0，电子e1将运动到无穷远而脱离原 子，其后e1将做椭圆运动，且A应位于长轴的一端(近核 点或远核点)，因为e1在此处的速度垂直于电子与核的 连线，设长轴的另一个端点为B，与核距离为rB，l1在B 处速度为vB，则根据面积速度守恒及能量守恒 有：

1 1 1 Ze2 r0 S ? rB vB ? r0v0 ? 2 2 2 m

1 2 (Z ? 1)e2 ( Z ? 2)e2 mvB ? ?? 2 rB 2r0 Z ? 2 rB2 2(Z ? 1) rB ? 2? ? ?1 ? 0 由此两式可得 Z r0 Z r0

解出rB=r0或rB=Zr0／(Z-2)．第一个解即为A点，第二个 解为B点，设a、b、c为此椭圆轨道的半长轴、半短轴和 半焦距，则有 r0 ? a ? c ， Zr0 /(Z ? 2) ? a ? c
Z ?1 1 Z r0 , c ? r0 , b ? r0 由此可求得 a ? Z ?2 Z ?2 Z ?2

e1的运动周期
2? (r0 )3/ 2 m 2? r 3/ 2 Z ? 1 m T'? ? ? ? ?T ? ? S e Z ?2 Z ?2 e Z

? ab

一、知识概要

6、电容器
1 1 1 1 ? ? ? （5）电容器的串联： C C C C 1 2 3
……
n 1 1 ?? Cn i ?1 Ci

U ? U1 ? U 2 , q1 ? q2 ,

U 1 C2 ? U 2 C1

（6）电容器的并联： C ? C1 ? C2 ? C3

……

Cn ? ? Ci
i ?1

n

q1 C1 U ? U1 ? U 2 , q ? q1 ? q2 , ? q2 C 2

二、例题分析
1、试讨论如图所示的混练电容器的耐压值问题。图中标出的数据是各个 电容器的电容及额定电压值。
解：由电容器的串并联公式得

Cb ? 20uF ? 10uF ? 30uF 60 1 1 1 1 ? C AB ? uF ? ? ? 11 C AB 10 20 30
如果每一部分都以额定电压充电，则
?3 ?3 , q ? 1 . 5 ? 10 C , q ? 1 . 2 ? 10 C 3 q1 ? 10? 200?10 C ? 2 ?10 C 2
?6 ?3

由于电容器串联时的实际电荷量相等，则只能先满足q2，即满足 “20uF，60V”，则： q2 1.2 ?10?3 U AB ? ? V ? 220 V 60 C AB ?10?6 11 这时各串联部分的实际电压值：

U1 ? 120 V ,U 2 ? 60V ,U3 ? 40V

二、例题分析
2、一平行板电容器，极板面积可视为无限大，将其两极板接地，今在两 极板间放置一带电荷量为+Q的薄板，它到两极板的距离分别为a和b，求放入 此电荷后，电容器两极板上的电荷量。
解：将电荷量分开，构成两个电容器

A

B

q A ? qB ? Q
且两个电容器的电压U相等，则可得

CA b ? CB a
又因为 q A

C AU ? qB C BU
b a Q , qB ? Q a?b a?b qA ? ? b a Q , qB ? ? Q a?b a?b

由以上各式的： q ? A

则A、B两极板所带电量分别为：

二、例题分析
3、由许多个电容为C的电容器组成一个如图所示的多级网络，试问： （1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电 容也为C′？（2）不接C′，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的 总电容是多少？

解1：在（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情况，令级数为 1，于是：

1 1 1 5 ?1 ? ? ? C ` ? C C ? C` C C` 2 解2：在（2）问中，因为无限，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得 出方程：

1 1 1 5 ?1 ? ? C ? Cz C Cz ? Cz ? 2 C

如图所示，由五个电容器组成的电路，其中C1＝4μF，C2＝6μF，C3＝10μF，求 AB间的总电容．

五电容连接直观电路如图
设在A、B两端加一电压U，并设 UM＞UN

A A

M(N)处连接三块极板总电量为０ ? ?U1 ? U 2 ? U 则有 ? ? ?C1U1 ? C2U 2 ? ? U 2 ? U1 ? C3
8 ? U ? U 1 ? ? 15 解得 ? ?U ? 7 U 2 ? 15 ?

C1 C1 C2 - M ? C3 ? C2 C2 C3 C C1 2

B

B

N

C1

于是有

五电容连接后的等效电容为

8 ? Q ? UC1 ? ? 1 15 ? ? Q ? 7 UC 2 2 ? 15 ?

Q1 ? Q2 8 7 C? ? C1 ? C2 U 15 15

74 C ? ?F 15

如图所示的电路中，C1＝4C0，C2＝2C0，C3＝C0，电池电动势为E，不计内阻， C0与为已知量．先在断开S4的条件下，接通S1、S2、S3，令电池给三个电容器充电； 然后断开S1、S2、S3，接通S4，使电容器放电，求：放电过程中，电阻R上总共产 S4断开， S1、S2、S3接通的条件下，三电容器并联在 生的热量．

电源上，电路情况如图所示： 每个电容器电量为

S4 R C1 S3 C2 C3 ? - - ? ? -q3 q1 -q-q 1 2 q2 q3 S1 S2

断开 S1、S2、S3接通S4的条件下，三电容 器串联在电源上，电路情况如图所示：

q1 ? 4C0? q2 ? 2C 0? q3 ? C0?

? ? ? q1 ? q3 q 由电荷守恒： 1 ? q3

24 18 3 ? ? C0? q2 ? C0? q23 ? ? C0? ? q2 ? ? q1 ? ? q3 ? ? ? q2 ? q3 q1 7 7 7 2 2 2 ?2 ? 2 ?2 q2 ?2 q3 ? q3 ? q1 ? q2 1 ? q1 2 則Q ? ?W ? ? ? ? ? ? C0? 2? 2C0 C0 ? ? 4C0 ? 7 ?? 得q1

? ? ? q q q 3 1 2 由电势关系： ? ? 4C 0 2C 0 C 0

? ? q1 ? q2 q1? ? q2

三、静电场的能量

1、电容器储存的电能公式：
2 1 Q W ? CU 2 ? 2 2C

U

Q

2、电容器充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能 量，另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能或者以电磁波的 形式发射出去。
W ? QU

三、静电场的能量

3、电场的能量
以平行板电容器为例，将贮有的电能用场强表示：
2 1 1 s 1 s sE d 2 2 2 W ? CU ? ? ?U ? ? ? ( Ed ) ? 2 2 4?kd 2 4?kd 8?k

上式表面，平行板电容器充电后的能量与极板间场强的平方 成正比，并与电场所占空间（sd）的体积也是成正比的。我们 通常把单位体积所储存的电场能量称为静电场的能量密度，用ω 表示，对匀强电场而言有：
E2 ?? 8?k

上式虽然是从平行板电容器这一特殊情况下导出的，但适用 于然和形式的静电场能。对于非匀强电场，由于场强处处不同， 因而能量密度也是处处不同的，电场强度大的地方能量密度大。

在下图中所示ad为一平行板电容器的两个极板，bc是一块长 宽都与a板相同的厚导体板，平行地插在ａ、ｄ之间，导体 板的厚度ｂｃ＝ａｂ＝ｃｄ。极板ａ、ｄ与内阻可忽略的电 动势为 的蓄电池以及电阻R相联如图，已知在没有导体板 ｂｃ时电容器ａ、ｄ的电容为C。现将导体板ｂｃ抽走，设 已知抽走过程中所做的功为A，求这过程中电阻R上消耗的 电能。

解：已知没有导体板bc时，电容器的电容为C，当有bc时，电容器的电容为 C`相当于两个电容器ab和cd串联，而每个电容器的电容和C相比是其3倍， 所以:

1 1 2 1 2 2 在抽走bc的过程中，电容器的电能减少量为： ?? 1 ? C `? ? C? ? C? 2 2 4 1 ?Q ? C `? ? C? ? C? 电容器极板上的电量减少量为： 1 22 ?? 2 ? ?Q? ? C? 由此可知对电源的充电电能为： 2
用A表示电阻上消耗的电能，由能量守恒可知： W ? ??1 ? ?? 2 ? A 所以：A ? W ? ?? ? ?? ? W ? 1 C? 2 1 2

1 1 1 3 ? ? ? C `? C C ` 3C 3C 2

4

镜（电）像法求解：镜像法是一种求解边值问题的间接方法，其 基本原理是：用放置在所求场域之外的假想电荷（既像电荷）等 效的替代导体表面（或介质分界面）上的感应电荷（或极化电荷） 对场分布的影响，从而将求解实际的边值问题转换为求解无界空 间的问题。 具体点来说，镜像法解题的理论依据是唯一性定理，镜像法 的目的就是要凑出若干个点电荷代替在分界面的感应电荷描述源 所在空间的电势或电场分布，这符合唯一性定理。 根据唯一性 定理，镜像电荷的确定应遵循以下两条原则： 1.所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中； 2.镜像电荷的个数位置及电荷量的大小由满足场域边界上 的边界条件来确定。

电像法
-Q A Q

导体板上感应电荷对板右侧电场的影 响，可用与点电荷Q关于导体面成镜像 对称的另一虚设点电荷-Q替代，板 上感应电荷对Q的作用亦等效于像电荷 -Q对Q发生的作用

如图所示，设在一接地导体球的右侧P点，有一点电荷q，它与球心的距离为d，球 的半径为R，求导体球上的感应电荷为多少？点电荷q受到的电场力为多大？

由导体表面感应 电荷总电量在O点 引起的电势与点 电荷q在O点引起 的电势之和为零 得 ?

R

O

?
r q?

P

kq kq ? ?0 d R

F?

kq?q

?d ? r ?

2

?

kRdq 2

＋q

?d

2

?R

2

?

2

根据唯一性原理可知，等效的像电荷量即为

像电荷位置，应令其在球面上任意点引起的电势与q在同 一点电势叠加为零，即满足
2 2 2 2 d r ?

R q? ? ? q d

d

?

2 R ? 2 Rrd ? 2 R d ? ? R 2 ? r 2 ? 2 Rr cos ? ? R 2 R 2? d ? 2R Rd cos ? R ? d ? 2 Rd cos ? R ? r ? 2r Rr cos ? ? 对任意角位置等式均成立必有 d

4 2 kq

?

2

?

32

??

kq? 2 2 cos ?

?

半径为R2的导电球壳包围半径为R1的金属球，金属球原来具有电势为U，如果让球 壳接地，则金属球的电势变为多少？

金属球上电量设为Q

kQ UR 1 由U ? ?Q? R1 k
球壳接地后设感应电荷的像电荷电 量为q（像电荷在球心处），由球壳 电势为0，

U

壳接地后球的电势为Q与q引起的电势叠加

R1U q ? ?Q ? ? k

UR1 R2 ? R1 U? ? U ? ? U R2 R2

返回

C A I1
? 1 r1

R1

R3

I3
? 2 r2

R2

I2
? 3 r3

B

以电势降为正! 则 U AB ? U A ? U B? I1 R1 ? r1

?? ? 1?? 2? I2 ? R2 ? r2 ? r3 ? ? ? 3 UCA ? UC ? U A ? ? I 3 R3 ? ? 1 ? I1 ? R1 ? r1 ? ?
U AB ? U A ? U B ? ? ? i ? ? I i Ri

一段电路两端电势差等于这段电路中所有电源电动势与 电阻上电压降的代数和，即为

基尔霍夫方程及应用
复杂电路的基尔霍夫(Kirchhoff)方程 第一方程：对电路中的节点

?1
I1

R1
R3

I2 I 3
i

?I
i

?0

?2

R1

第二方程：沿任何闭合回路一周电势降落的和为零。 当a和b重合时
U a b ? ? Ii Ri ? ? E i ? 0

应注意 1.先标出(假定)电流方向; 2.由第一方程对每个分支点列出方程;(n个分支点只 有n-1个独立的第一方程). 3.选定分回路,并规定分回路的绕行方向.对每一个含有 新支路的回路列出第二方程.

例:一电路如图示 E1 r1
R1

E1 ? 12V r1 ? 1?
R3

R5 ? 3?

a
R2

E3 r3
c d
R5

E2 ? 8V r2 ? 1? E3 ? 9V r3 ? 1?

b
R4

R1 ? R2 ? R3 ? R4 ? 2?

E2 r2

(1)求a、 b两点间的电势差；

（2）求c、d两点间的电势差； （3）如果c、d两点短路，则a、 b两点间的电势差。

E1 r1
R1

解（1）应用闭合回路欧姆定 律得回路中电流
R3

a
R2

E3 r3
c d
R5

b
R4

E1 ? E2 I? ? 0.4A R1 ? R2 ? R3 ? R4 ? r1 ? r2

E2 r2

考虑 aR2 E2 R4b这段含源电路 ，应用一段含源电路的欧姆定律

取回路方向a→ b (2)

U a ? Ub ? IR4 ? E2 ? Ir2 ? IR2 ? 10V

Uc ? Ua

U d ? Ub ? E3

?Uc ?Ud ? (Ua ?Ub ) ? E3 ? 1V

(3) c、d两点短路，则电路如下图(为复杂电路）

I1 E1 r1
R1

E1 ? 12V E2 ? 8V E3 ? 9V
1
R3 由基尔霍夫第一定律 I1 ? I 3 ? I 2 b R4 由基尔霍夫第二定律 对回路1

a
R2

E3 r3

?0

(1)

I2
E2 r2

R5

2

I3

I1 ( R3 ? R1 ? r1 ) ? I 2 ( R5 ? r3 ) ? ?1 ? ? 3 ? 0 (2)
I 2 ( R5 ? r3 ) ? I 3 ( R4 ? R2 ? r2 ) ? ? 3 ? ? 2 ? 0
(3)

对回路2

由(1)、(2)、(3）得

I 2 ? 2 / 13A

再对bE3a支路应用一段含源电路欧姆定律

U a ? Ub ? I 2 ( R5 ? r3 ) ? ? 3 ? 9.62V

电流 .

如图所示电路，求通过电阻R1、R2、R3中的
E1 r1
A R1 C I2 R2

解:

各电流设定如图
D

E2 r2 E3 r3

I 3 R3 ? I 2 R2 ? I1 R1 ? 0

I1 I 3 R3 I2
B

I1 R1 ? ? I1 ? I 2 ? r2 ? E2 ? E1 ? ? I1 ? I 3 ? r1 ? 0
代入数据整理得 ? 5 I 3 ? I 2 ? I1 ? 0 ? ? 8 I 1 ? I 2 ? 2 I 3 ? 15 ? 0 ? 7 I ? I ? I ? 20 ? 0 1 3 ? 2

? I2 R2 ? ? I2 ? I3 ? r3 ? E2 ? ? I1 ? I2 ? r2 ? E3 ? 0
? I1 ? 2A ? ? I 2 ? ?3A ? I ? 1A ? 3

专题20-例5

解:依据电路基本规律处 理复杂网络问题
U H ? ? 6 ? 5 ? 0.2? =5V

在图示的网络中，已知部分支路上电流值及其方向， 某些元件参数和支路交点的电势值（有关数值及参数已标在图 上）．请你利用所给的有关数值及参数求出含有电阻 Rx的支路上电 流值Ｉx及其方向．
D 3A
I1=3A I2=6A 10Ω

H
E1=7V Rx 10Ω 5Ω 0.2Ω E3=7V

10V C1=5μF C2=4μF 5A

7V

U H ? UG

I x ? 2A

6V 1A F 5V 6A G 2A 1Ω E6=10V I =2A E5=2V 3 E4=2V 2V

A

E2=10V

10Ω

B

6V

C

?? 1 ? I ? r1 ? R ? r2 ? ? ? 2 ? 0 ?1 ? ??? 2 I? r ?r2 R ? r1 ? 由基尔霍夫第一定律: ? ? ? ??
由基尔霍夫第二定律: IR ? I 2 r2 ? ? 2 ? 0

由基尔霍夫第二定律:

ε1 r1 I

ε2 r 2

R

I1 ? I 2 ? I ? 0

r? ? ? r
I1 ε1 ε2 I2 r1 r2 I

I1 r1 ? I 2 r2 ? ? 2 ? ? 1 ? 0

r1? 2 ? r2? 1 r1 ? r2 I? r1 r2 R? r ?r

??

r?

r2? 1 ? r1? 2 ?? ? r1 ? r2

r1 r2 r? ? r1 ? r2

含容电路

解 : C 充电到电量为 2C?
开关打1时:
2

如图所示，两个电池电动势E1=4ε，E2=ε，电容器C1、C2电容均 为C，电阻器R1、R2阻值均为R．求：当开关S由位臵1转换到位臵2后，在电阻器 R2上释放的热量 ．

1

2

R2
E2

1 2 W2 ? C ? 2? ? =2C? 2 2
开关打2时:

能量为

E1

R1 + +C2 C1

C2放电到电量为 C? 能量为 1 通过电阻及电池的电量为

W2? ? C? 2 2

则 ?WC 2 ? Q ? ?q ? ? 1 2 Q ? C? 2
电阻R2放出电热为

?q ? 2C? ? C? ? C?

1 2 Q2 ? C? 4

阻值为R的四个等值电阻，电容为１μF的四个电容器以及四个 电池在立方体框架的各边上连接起来，如图所示．各电池的电动势E1＝4 V，E2 ＝8 V，E3＝12 V，E4＝16 V，它们的内阻可以忽略．求各个电容器的电压和电 量

例

解:

先将立体网络变换成平面网络! C3
G

E1
E2 C1

对电流通路DHEFBCD

E1 ? E4 I? 4R

由含源电路欧姆定律 求各电容端电压:

C4
B

C

E3

C2
D

H

E4
A

U DA ? E1 ? E2 ? IR U EA ? E4 ? E2 ? IR UGC ? E1 ? E3 ? IR UGF ? E4 ? E3 ? IR

F

U DA ? ?1V U EA ? 5V UGC ? ?5V U GF ? 1V

E

qC 1 ? qC 4 ? 1? C

qC 2 ? qC 3 ? 5? C

网络如图，各电容器电荷量Q1，Q2，Q3多大？（已知E1， E2，C1，C2，C3)
A E1 E 2 C2 C3 E1 _ + B E 2 C2 _ + B A C3 + _

C1

C1

Q1+Q2-Q3=0 E1-E2=Q1/C1-Q2/C2 E2=Q3/C3+Q2/C2

I g ? 0时UC ? U D
A I

R1

C

I1 I2
R3

R2
Rg R4 D Er B

I1 R1 ? I 2 R3
I1 R2 ? I 2 R4

R1 R3 ? R2 R4

I1 ? I ? ? I ? 0 Ir ? ? x ? IRg ? I ?R ? 0

工作原理:以基尔霍夫定律为依据,测定求知电源的 电动势 I1R Rx ? ? x

I? 0

R ? r ? Rg

? x ? I 1 Rx
? 0 ? I1 R0

2 ε0 r0 B S
1 A G I I I1 ? I1

Rx ?x ? ?0 R0

?x r

C

DR R0 x
ε1 r1

E
F

返回

电流线的方向即正电荷定 向移动方向，亦即该点电 场方向。 电流线的疏密表示电流密 度——垂直于电流方向单 位面积电流——的大小。
+

E ? ?l Ii ? ?l ? ?S

Ii j? ?S

E j? ?

大块导体各点的欧姆定律

如图所示电线被风吹断，一端触及地面，从而使200 A的电流由接触点流入 例 地内，如图．设地面水平，土地的电导率 γ=10-2S/m，当一个人走近输电线接地 端，左、右两脚间（约0.6 m）的电压称跨步电压，试求距高压线触地点1 m和10 m处的跨步电压．

解:

I I 故 E? 又 j = ? E 即 j= 2 2 2?? r 2? r I U? 1 m处的跨步电压为： 2?? r
Irab I ?1 1 ? ? ? ? ?? 2?? ? r1 r1 ? rab ? 2?? r1 ? r1 ? rab ?
I

电流由电极进入大地的电流线球对称分布：

U ab1

U ab1 ? 1194V
U ab10 Irab ? 2?? r2 ? r2 ? rab ?

b

a

U ab 2 ? 18V

如图，一个平面把空间分为两个部分，一半空间充满了均匀的导电介质，而 物理学家在另一半空间工作， 他们在平面上画出一个边长为a的正方形轮廓，使 电流I0从正方形的相邻顶点A与B流入流出，同时测得另两个顶点C、D间的电势 差为U，若已知以球对称分布的电流在半空间里引起的电场强度大小，（r为到球 心的距离，ρ为导电介质的电阻率），物理学家确定的均匀介质的电阻率是多少

解:
U DC

I? I? ? U r ? lim ? ? ?r ? 2 ?r ? 0 2? r 2? r
I0 ? ? 1 ? ? ? 1? ?? 2? a ? 2 ?

I? Er ? 2? r 2

I0 B A C

U DC

'

I0 ? ? 1 ? ? ?1? ? 2? a ? 2?

D

I0 ? ? 1 ? 则 U?2 1? ?? ? ? 2? a ? 2?

?

2 ? 2 ? aU I0

?

? ?

对称法
对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对 称电路的“折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。

电流叠加法

直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所 有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流 分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布．这就 是电流的可叠加性．对于一些并不具备直观的对称性的电路， 可根据电流的可叠加性，重新设臵电流的分布方式，将原本不 对称问题转化成具有对称性的问题加以解决 。

?

Y-△变换法

利用Y型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论，通 过电阻Y型联接与△型联接方式的互换，达到简化电路成单纯 串联或并联的目的．

1、利用对称性简化电路 例1 如图1，6根阻值为R的电阻丝连成一正四面

D
R R R R R I R B （图1）

体A-B-C-D框架，求RAB=？ 解 设有电流I从A流进B流出. 在电路中D、C两点 具有电阻分布的对称性. 有无电流流过电阻丝DC？为什么？

A
I

C

拆去电阻丝DC后对网络的总电流总 电压有无影响？为什么？

D
R R R R R B I

D、C两点电势相等，DC中无电流通过. 拆去DC 后对网络的总电流总电压无影响（如图2）. 所以

A
I

C
（图2）

RAB

R ? 2

另解 将电阻丝DC用理想导线替换 （或者将D、C两点拉在一起） 对网络的总电流总电压有无影 响？

D
R R R R R I R B （图1）

A
I

C

D
将D、C两点用理想导线连接

R

R R R B I

R

C, D
R R R

（如图3）.或者将两点拉在一起
（如图4），对网络的总电流总电 压亦无影响. 所以

A
I R

C

A
I R

B

（图3）

I （图4）

RAB ?

R 2

例2 有如图1所示的由阻值相同的电阻组成的 网络，求RAB=？ 解 设想有电流I从A流进从B流出. 将网络中某节点拆分后所得两 点的电势若相等，这种拆分对 网络的总电流总电压有无影响？ 在图中那些节点可作、需作、 如何作这种拆分操作？ 将图中的O点拆分为O1、O2两点 (如图2) ，对原电路的总电流总电压 均无影响. 所以

I

A

R

C

R R R

D

R
H

R R O
E
（图1）

R
G

R R
B

R

F

I

I A R R
H
O1

C

R
O2

D

I

A R 2 C,H R 2 D,G
R2 R2 R2 R2

R
E

O

E,F

3R 2 另解 将对称点D和G、C和H、E RAB ?

R
G

R
F

R

R

B

B

和F拉在一起，得到图3的电路，同样 有上述结果.

（图2）

I

（图3）

I

例3 电阻网络如图1所示，各小段电阻丝阻值 均为R, 求RAB=？ 解

R B
（图1）

设想电流I从A流进从B流出.

作由图1—图2—图3的保持总电流、总电压不

A

变的对称变换. 则

5 5 RAB ? {R ?1 ? ( R)?1}?1 ? R. 2 7
另解 作由图1—图2—图4的保持总电流、

R 2

B

（图2）

A
R 2 R 4 R 2 R 2 R 2 R 4 R 2
（图4）

总电压不变的对称变换.

则
R R R ?1 R ?1 ? ? ) ?( ) } 2 2 4 2

R 2

RAB ? 2{( ? 5R . 7

B

B

A

（图3）

R 2 A

对称法
对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对称电路的“折叠”，将电路简化 为基本的串并联电路。

如图所示，12个阻值都是R的电阻，组成一立方体框架，试求AC 间的电阻RAC 、AB间的电阻RAB与AG间的电阻RAG． F E AC间等效电阻: A B

解:

则 RAC

3R ? R 3 ? ? R 3R ? R 4
A

B D F

H C C

G

E
H

G

D

AB间等效电阻: A R? ? H 2 R ? ? ? 2 D R?? R ? ? 2.5 R ? ? ? ? 7 ? ? 则 RAB ? ? R R? 12 A ? 2R ? ? ? 2 ?R? ?? R E 2.5 R ? ? ? ? ? ? H
D

E B

F G C

B
R 2

F G

R

C 续解

AG间等效电阻:

E
A

F

B

H

G C

则 RAG

5 ? R 6
E A
R 3

D

F B
R 6

H

R 3

G

D

C

2、用叠加原理计算无限网络的等效电阻 2-1、何谓叠加原理？ 电路中有多个电源, 则通过电路中任意支路的电流等于各个电动势单独存在时（所 有电阻——包括电源内阻分布均不变）在该支路产生的电路的代数和. 2-2、如何应用叠加原理之逆定理计算无限电阻网络的等效电阻？ 例1 如图1所示的平面无限电阻网络，设每一段电阻丝的电阻均为r. 求RAB=?

解 （a）如图2，设想在A、B加上恒定电 压便有电流I从A流进从B流出. 如图2.
图示的各电流的 大小关系你能做 出哪些判断？

B I A I AB

I

B A

图2

若能得到U AB , 则RAB ?
而U AB

U AB . I ? I AB r , 如何求得I AB ? ?

图1

AB I A I?

B

A I ?? AB

B

I

图3
（b）如图3，设想让电流I从A流进后各向均衡地 1 流向无限远. 此时，有 I ? ? I. AB 4 （c）如图4，设想让电流I从无限远各向均衡地流 1 进从B流出. 此时，有 I ?? ? I. AB 4
观察各图电流的分布, 不难看出：图3+图4=图2 1 所以在图2中， I AB ? I ? ?? ? I ? I AB AB 2 1 U AB ? I AB r ? Ir 2 U 1 RAB ? AB ? r. I 2

图4

B I A I AB

I

图2

B I A I AB

I I A I? AB

B

A I ?? AB

B

I

图2

图3

图4

题后思考 ?在图3、图4中的电源如何连接？ ?在图3、图4中的电源和图2的电源电动势 的大小关系？

B A

C
D
E

?在图5中，RAC=? RAD=? RAE=?

图5

例2 如图1所示的平面无限电阻网络，A、B 间的较粗的电阻丝的阻值为R，其余各段电阻丝

的电阻均为r. 求RAB=?
解 上一题电阻网络（图2）的空间分

R B A

图1

布对称性已被讨厌的“R”破坏了！
咋办呢？ 图2所示的网络可认为是在由图3所示的网络 的A、B两点间并联r所构成. 设图3所示网络的A、B二端点的电阻为R′AB. 则据例1所得结果，有 1 rR? AB r? 2 r ? R? AB 由此解出 所以在图1中
RAB RR? Rr AB ? ? . R ? R? R ? r AB
R? AB ? r.
r

B

A

图2

找出R′AB事情就好办！

题后总结 叠加也需结合 其它手段！

A

B R? AB

图3

2、 电阻三角形和星形网络的等效变换
R1、R2、R5 和 R3、R4、R5
R1
R2

是三角形（Δ）接法；
R1、R3、R5 和 R2、R4、R5
a

R5

R3
R4

b

是星形（Y）接法。

电路分析过程中，有时需要进行两种连接形式的 等效变换。如欲求等效电阻Rab，需要将一组Δ（Y）
形接法变换成Y（Δ）形接法。

?

1
i1

?

?

1i

?

1

?
i12

u31
?
i3

R1 R3 u23
(a)

u12 R2

u31
?

i2

?

i31
i3? ?

R31 R12 R23 u23
(b)
i23

u12
?
i2?

3 ?

? 2

3

?

2

变换前后，两个三端网络对应点之间的电压不 变；流入对应点的电流不变。

(a)

i1 ? i2 ? i3 ? 0 R1i1 ? R2i2 ? u12 R2i2 ? R3i3 ? u23

联立求出各电流

R3 R2 i1 ? u12 ? u31 R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1
R3 R1 i2 ? u23 ? u12 R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1

R2 R1 i3 ? u31 ? u23 R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1

1 1 i1 ? i12 ? i31 ? u12 ? u31 R12 R31 1 1 ? i2 ? i23 ? i12 ? u23 ? u12 R23 R12
?

?

1i

?

1

?
i12

u31
?
i31
i3? ?

1 1 i3 ? i31 ? i23 ? u31 ? u23 R31 R23
?

R31 R12 R23 u23
i23

u12
?
i2?

两组式子的对应系数应相等

3

?

2

整理后得到两种网络的变换公式
R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R1R2 R12 ? ? R1 ? R2 ? R3 R3
R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R2 R3 R23 ? ? R2 ? R3 ? R1 R1
（1）

R1R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R3 R1 R31 ? ? R3 ? R1 ? R2 R2
R12 R31 R1 ? R12 ? R23 ? R31
R23 R12 R2 ? R12 ? R23 ? R31
R31 R23 R3 ? R12 ? R23 ? R31

（2）

Y ↓ Δ Δ ↓ Y

R12 R23

R1 R2 ? R1 ? R2 ? R3 R2 R3 ? R2 ? R3 ? R1

R3 R1 R31 ? R3 ? R1 ? R2 R12 R31 R1 ? R12 ? R23 ? R31
R2 ? R12 R23 R12 ? R23 ? R31

R3 ?

R12

R31 R23 ? R23 ? R31

如果Y形或Δ形网络的三个电阻相等，则

R12 ? R23 ? R31 ? R? ? 3RY 1 RY ? R? 3

【例2-3】 求a、b之间的总电阻Rab。 解 方法一 将①②③点的Y形转换成Δ形，用式（1）计算。 ①③和③②之间两两并联，再与3.4Ω并联，求出总电阻。
①
1?

④

2?

②

①
8.5?

3.4?

②
17? 4?

5?
3?
4?

3?

③

③
b

a

a

b

R1R2 1? 2 R12 ? R1? R2 ? ? 1? 2 ? ? 3.4? R3 5

Rab ? 2.095?

方法二 将①③④点的Δ形变换为Y形。用式（2）计算。
①
1?

④

2?

② ①

5?
3?
4?

1 ? 3

④
5 ? 9

2?

②

③

5 ? 3 ③

4?

a

b

a

b

求出总电阻

Rab ? 2.095?

求图示电路中电压源的输出电流I。

解：
Req

2 ? 1.5 13 ?1? ? ? 2 ? 1.5 7

26 I? ? 14A Req

例3.求等效电阻R。

解：

进行Δ-Y变换需要注意两点：
①画草图帮助确定变换方案；

②标出Δ或Y形网络的对外连接点，避免等
效变换后的连接错误。

?

电流元引起的磁场的毕萨拉定律

F ?k

I 1 ?l ? I 2 ?l r
2

?0 ? 4? ? 10 N/A

?0 k? 4?
?7

2

? 0 I ? l si n ? B? 2 4? r

α

?0 I B? ? 2? r

I

r

P

取元电流 I ? ?l ?

B ? lim ?
n?? i ?1

n

?0 2? a I 4? n
a
2

2? a I n

a
BO I

?0 2? I ? 4? a ?0 I
? 2a

B ? lim ?
n?? i ?1

n

?0 2? a I 4? n ? sin ?
r
2

r

?

?
P

?0 2? aI ? 4? ? 2 2
a ?x
?

a a ?x
3 2 2 x

2

2

?0 IS
2? a ?
2

?

?

如图所示，质量为m、电量为q的正离子，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场 中沿曲线oabcd从静止开始运动．已知电场强度E与y 平行，磁感应强度B垂直于xoy 平面，试求 ⑴离子经过任意点b(x,y)时速度的大小；⑵若a点是曲线上纵坐标最大 的位臵，且曲线在a点的曲率半径是a点纵坐标的两倍，则离子经过a点时的速率是 多大？

解:

⑴∵洛伦兹力不做功，电场力做功与路径无关,则由动能定理： 1 y 2 B qE ? y ? mv E

d ⑵离子的运动是x方向匀速运动与 b 顺时针匀速圆周运动的合成，两 O 运动速率均为 E c v? 又解：qE ? y ? 1 mv 2 B a a 2 在a点时两分速度方向均为+x 2 v E 方向,则 qv B ? qE ? m a

2qyE vb ? m

2

a

x

va ? 2

B

a

E va ? 2 B

2 ya

质量为m、电量为q（q＞０）的小球，在离地面高度为h处从静止开始下落，为使 小球始终不会和地面相碰，可设想在它开始下落时就加上一个足够强的水平匀强 磁场．试求该磁场磁感应强度的最小可取值 B0，并求出当磁场取 B0时小球的运动 轨道．

解:

初速为零的带电小球处在重 力场与磁场的复合场将做轨 v2 道迹为滚轮线的运动!

f B1
v1 f B2

B

mg v1 ? qB

mg
2

若小球滚轮线轨道恰与地面相切，就不会和地面相碰 !

圆运动半径应满足 轨迹方程:

h mv2 ? m ? ? R? ?? g ? 2 qB ? qB ? ? gh h 2g t ? sin ?t ?x ? 2 2 h m 2g ? ? Bmin ? ? ? ? y ? h ? 1 ? cos 2 g ? t ? q h
? 2? ? h ? ?

vx
B

~

若电子沿纵向磁场的运动路径长l，可以调节磁感应强度B， 使所有电子在l 路径上完成整数个圆周运动，即比值为整数， 这样，被横向交变电场偏转发散的电子束经磁场作用，可 会聚到离入射点l 远的同一处，这就是磁聚焦．

leB ?n 2? me v x

阅读:利用磁聚焦测电子的比荷

如图所示，经U＝1000 V电压加速的电子（加速前静止）从电子枪T射出，其初速 度沿直线α方向．若要求电子能击中在φ＝60°方向，与枪口相距d＝5.0 cm 的靶M， 试求以下两种情况下，所需的匀强磁场的磁感应强度的大小．⑴磁场B1垂直于直 线α与靶M所确定的平面；⑵磁场B2平行于枪口T向靶M所引的直线TM ．

解: d

⑴r?

d 2sin 60

?

d 3
T
60

α φ d
?19

M M 6 ? 9.1 ? 10 ? 1.6 ? 10 ? 1000 ?3 B1 ? ? T ? 3.7 ? 10 T de 5.0 ? 10?2 ? 1.6 ? 10?19 2? me d ⑵ ?n α B2 e v cos 60 60 2? me v cos 60 n? 2meU d B2 ? n ? de d e M n? 2 ? 9.1 ? 10?31 ? 1000 -3

me v 1 2 其中 eU ? m v ? e 2 3 eB1
?31

α d

3 ? 2me eU

B2 ?

5 ? 10

?2

1.6 ? 10

?19

T ? 6.7 ? 10 n T

感生电动势和感生电
感生电动势的计算:
(1) 法拉第定律直接计算:

?

? - ΔΦ Δt

B(t) → Φ=Φ(t) → △t内的△Φ → ? ΔΦ Δt 由楞次定律确定 ???的方向. (2) 由感生电场计算: 通常感生电场不易求的, 仅在长直 载流螺线管情形下磁场变化产生的感生电场方便求得.

?

? ? E 2? r ? r > R, ? ? E 2? r ?
r < R,
感

ΔΦ Δt

?

ΔB Δt

? r 2 , E感 ?
?
ΔB Δt 2

r ΔB 2 Δt

感

E感 ?

ΔΦ Δt r ? R R 2 ΔB 2 r Δt

?R ,

方向沿圆周切向. 在半径方向放置的导线上电动势为零 . ? ? 因此，任一小段导线上的感生电动势为 ? i ? E感 ? ?li ? ? 任一导线上，有 ? ? ? E ? ?l

? ? ? ?
i

?
i

感

在半径为a的细长螺线管中，均匀磁场的磁感应强度随时间均匀增大，即 B=B0+bt．一均匀导线弯成等腰梯形闭合回路 ABCDA，上底长为 a，下底长为 2a， 总电阻为 R，放臵如图所示：试求：⑴梯形各边上的感生电动势，及整个回路中 的感生电动势；⑵B、C两点间的电势差．

解: ?
? AD

⑴梯形回路处于感生电场中

? BC

1 2 ? b ? a sin 60 ? 3 ba 2 2 4

AB

? 0 ? CD ? 0

B

O
A B A D C D C

2 ? 3 ba ⑵由全电路欧姆定律: I ? ? ? ? B ?6 ? 4 ? R ?

?? 3? 2 ? ?? ?6? 4 ? ? ba ? ? ??

1 2? ? 2 ? b? a ? ba 2 3 6

由一段含源电路欧姆定律:

U BC ? I ??

? 2R ?

? ? ba

2 3 ? ba 2

由绝缘均匀导线做成的闭合回路如图 所示弯成∞字形，交叉处M点在N点之上，回 路1的半径为r1，回路2的半径为 r2，当磁感应强度按 B=B0t规律穿入回路时，确定 M与N两点间电压；若将回路2向左翻折在回路1上（N点在M点之上），M与N间电 压又是多少？

解:R

设导线的线电阻率为ρ,则两回路电阻 :
1

? 2? r1 ? R2 ? 2? r2 ?

两回路电动势大小 : ?1 ? B0? r12 ? 2 ? B0? r22 等效电路如图 : R1 由一段含源电路欧姆定律:

1

M

N

2

M R2

U MN ? ? 1 ? IR1 2 2 N B0? r1 ? r2 2 ? ?rr ? B0 ? ? ? 2? r1 0? 2 11 r 2 ?? r ? r ? 1 2? ? ? ? 2 ? IR2 U MN 2 2 B ?? r ? r2 R1 r r 0 1 1 2 2 ? B ? r2 ? B0? ? ? 2? r2 0 r2r1? r?? 2 1 ??r2 1 ? r2 ?

?

?

M M

N

?

?

R2

解:

两个同样的金属环半径为R，质量为m ，放在均匀磁场中，磁感应强度为B0，其 方向垂直于环面，如图所示．两环接触点A和C有良好的电接触，角α=π/3．若突 然撤去磁场，求每个环具有的速度．构成环的这段导线的电阻为r，环的电感不计， 在磁场消失时环的移动忽略不计，没有摩擦 ．

磁场消失过程中,两环中产生的感应电流 I1 受磁场安培力冲量,因而获得动量.

B

磁场消失的Δt时间内每环平均电动势 2

由基尔霍夫定律 ?t 3? 3? 2?? 2?? BR ? BR ? ?3? 2 ? ? ?3? 2 ? ? ? ??I r ? ? ? ? 2 ? t 3 ?t 由动量定理: ? F ? F ? ?t ? mv
1 2

B? R ?○ ? ?t B? R2

O1

I 2 O2
BR 2 10? ? 3 3 10?t ? r BR 2 2? ? 3 3 2 ?t ? r

5r r ? I1 ? I2 6 6

I1 ? I2 ?

?

?

?

?
F2

9 3B R B BR2 18 3 ? R? ? mv v ? 10rm 2 10r

2

3

F1

如图所示，半径为R的无限长圆柱形匀强磁场区域的磁感应强度为 B，方向竖直 向上，半径为R的绝缘光滑细环水平放臵，正好套住磁场区．在细环上串有一质 量为m、电量为q的带正电小珠．t＝０时，磁场B＝０；0＜t＜T时，B随时间t均 匀增大；t＝T时，B＝B0；此后保持B0不变．试定量讨论t＞T时小珠的运动状态 及小珠对圆环的径向正压力．（小珠所受重力与圆环支持力平衡） ．

解:

B0 R 有涡旋电场时,场强为 E ? ? B0 T 2 珠子受电场力而加速,由动量定理: B0 R q ? ? T ? mv B0 Rq B0 Rq T 2 磁场稳定时珠子的速度为: v? < 2m m 珠子匀速圆周运动的动力学方程为:
2
2 2 0 2

磁场均匀增大时有涡旋电 场;磁场恒定时电场消失!

F qvB0

2 2 v q B R m ? qB0 R ? q B0 R FN ? ? ? qB0v ? F ? m = ? 2m R ? 2m ? R 4m

如图所示，一椭圆形轨道，其方程为

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1? a > b > 0?

,在中心处有一圆形区域，

圆心在O点，半径为r，r＜b．圆形区域中有一均匀磁场 B1，方向垂直纸面向里， B1以变化率k均匀增大．在圆形区域外另有一匀强磁场B2，方向与B1相同．在初始 时，A点有一带正电q、质量为m的粒子，粒子只能在轨道上运动，把粒子由静止 释放，若要其通过C点时对轨道无作用力(C处曲率半径为b2/a)，求B2的大小． y 粒子过C点的速度决定所受洛伦兹 EC C

解:
U AC

力,当洛伦兹力全部作向心力时,粒 子与轨道无作用! A A、C点间的电势差为

qvcB2 B1
O

B2

涡旋电场力做功使粒子动能增加：
2

3? 2 ? ? k ? ? r ? n ? ? ? n ? 0,1, 2 4? ?

x

? EA

3? 1 ? 2 qk ? ? r ? n ? ? ? mvc 4? 2 C点动力学方程为： 2 ? mvc qB2 vc ? 3 ? 4n? mk? ?c 2 ? br a B ? 2 2 而? c ? a 2 q b

R
“电源”为受有一恒力的导体 棒产生动生电动势 电流达到恒定时 ,棒匀速运动,速度

B

BLv mg ? B ? ?L R

mg

vm ?

mgR
2 2
2 2

B L

mg I? BL
B L a ? g? v mR
2 2

电流达到稳定的

B L mg ? v ? ma R BLx

过程中
q?

R

返回

C “电源”为受有一恒力 的导体棒产生动生电动势 电流恒定时 ,棒匀加速运动,加速度 mg

B

C ? BL?v mg ? B ? L ? ma ?t
mg ? ma a? I? 2 2 BL m?B L C

mg

“电源” 动生电动势减 小 电流为零时达到稳定态
电流减为零的过程中
2 2 ? 2 2 ? BLv B L ?L B L FB ? B ? FB ? R ? v0 ? x? ? R ? mR ? ?

B

R

v0

BLx B 2 L2 B ?v ? v ? L ? mv ? mv 0 ? x R 0 mR

B ? q ? L ? mv0
mv0 q? BL

B 2 L2 ? B 2 L2 ? x ? mv0 R a? v0 ? x? m ? 2 2 ? ? mR ? mR ? B L

“电源” 动生电动势恒 定 电流稳定时

? BqL ? mv ? mv0

B

q ? C ? BLv
m m ? CB L
2 2

C

v v0

v?

v0

CBLmv0 q? 2 2 B LC?m

解:

如图所示，一个磁感应强度为B的均匀磁场，垂直于一轨距为l的导轨平面， 轨道平面与水平面有α的倾角．一根无摩擦的导体棒，质量为m，横跨在两根 金属导轨上．若开关依次接通1、2 、3 ，使阻值为R（其余电阻均不计）、电 容为C或电感为 L的元件与棒构成电路，当从静止放开导体棒后，求棒的稳定 本题三个感应电流电路中 ,“电源”均为受有恒定外力（重力之 运动状态． “下滑”分力）的金属杆在匀强磁场中做切割运动产生动生电动势， 通过开关转换，构成纯电阻电路、纯电容电路及纯电感电路．初始 状态相同的三个电路，在不同的电路条件下，其暂态过程及稳定态 R 迥异。 1 C B S→1 2 3 L 经加速度减小的加速过程，达到稳定态

S→2

BLvm mgR mg sin ? ? B ? ?l vm ? 2 2 sin ? R

B l

?

a? g C ? BL?v 2 2 mg sin ? ? B ? L ? ma m?B L C ?t 续解

稳定态时电流恒定，导体棒做匀加速运动

m sin ?

S→3

读题
BIl

Bl ?I Bl ?s s x L ? Blvi ? ?I ? vi ?t ? 0 L ?t L Bl 0 t ? 0时I ? 0 ? I ? s L 2 2 B l 导体棒的运动方程为 mg sin? ? s ? ma L mgL sin? 取下滑 s0 ? L B2 l 2
加速度为零的平衡位置为坐标原点

I

线圈产生自感电动势

g sin? mg sin?

B

B

g sin? vi

B 2 l 2 ? mgL sin ? B2 l 2 ? ma ? ? F ? ? mg sin ? ? ? x? ? ? x ? 2 2 L ? B l L ?
纯电感电路无稳定状态，导体棒和电流均做周期性变化 T ? 2?
振动方程为

mL B2l 2

? l 2B2 ? Lmg sin ? x? cos ? t ?? ? 2 2 ? Lm ? l B ? ?

如图所示，在与匀强磁场区域Ｂ垂直的水平面上有两根足够长的平行导轨， 在它们上面放着两根平行导体棒，每根长度均为l、质量均为m、电阻均为R， 其余部分电阻不计．导体棒可在导轨上无摩擦地滑动，开始时左棒静止，右棒 获得向右的初速度v0．试求⑴右导体棒运动速度v1随时间t的变化；⑵通过两棒 的电量；⑶两棒间距离增量的上限．

解:
⑴右棒以初速度v0平行导轨运动时产生电动势:E=Blv0,此后左 棒开始加速,右棒则减速，至两棒速度相同即达到稳定态; 对两棒由动量守恒：mv 0 ? mv1 i ? mv 2 i B

l

续解

读题 ⑵通过两棒的电量相同，对任一棒运用动量定理导出式：

v0 Bql ? m 2

mv0 q? 2Bl

⑶设两棒间距离的最大增量为x：

?? B ? lx mv0 q ? It ? ?t ? ? t ? 2R 2R 2Bl

x?

mv0 R B l
2 2

如图所示，在水平地面上有足够长的两条平行金属导轨，导轨 上放着两根可无摩擦地滑行的平行导体棒，每根棒中串接电容为C 的相同固体介质电容器，构成矩形回路．整个回路处在匀强磁场中， 磁场方向与回路平面垂直．已知两棒长均为l，质量均为m，电阻均 为R，其余电阻不计．开始时左棒静止，右棒以初速v0平行导轨运 动，则在运动过程中可给两电容器充电．则两棒的最终速度是否相 同？
B

C

C v0

l

解答

解: C

B

读题

C

?

v2 l

?

v1

⑴右棒以初速度v0平行导轨运动时产生电动势: E=Blv0,此后回路有充电电流，左棒开始加速,至两 棒速度差恒定即达到稳定态;

? 右棒 BlQ ? m ? v0 ? v1 ? ? 对两棒分别由动量定理： ? ? mv2 ? ?左棒 BlQ 2 BlQ B 2 l 2C 得v1 ? v2 ? v0 ? ? v0 2 2 m m?B l C 2 BlQ ? ? 2 Q ? 故达到稳定时，回路中总电动势 ： ? ? B ? v0 ? ?l C m ? ?

一个细的超导圆环质量m、半径r、电感L，放在竖直的圆柱形磁 棒上面，如图所示．圆环与棒有同一对称轴．在圆环周围的圆柱 形磁棒的磁场在以圆环中心为坐标原点的x-0-y坐标中可近似地表 示为 By ? B0 ?1 ? ? y ? 和 Bx ? B0 ? x ，其中B0、α、β为常量．初始时， 圆环中没有电流，当它被放开后开始向下运动且保持它的轴仍为 竖直，试确定圆环的运动并求圆环中的最大电流．
y
0 x

解答

解:

初始时，圆环中没有电流，环中磁通量 :

读题

? y ? B0? r

2

圆环开始向下运动时,

B y 变化,感应电流I的磁通量 ? ? LI 2 环中磁通总量 : ? y ? B0 ? 1 ? ? y ? ? r ? LI

U ? 0 ?? ? 0
则I ?
环受安培力为 :

? B0? r 2
L

即B0 ? 1 ? ? y ? ? r 2 ? LI ? B0? r 2

y
环所在处磁场 y Fm
x

Fm ? Bx I ? 2? r

其中,环面过平衡位置时 :

Fm 2? 2 B02?? r 4 mg ? B0 ? r ? I 0 ? 2? r ? y0 L 环面在平衡位置下y时 : 2 2 4 2 B0 ??? r y ? F ? mg ? Bx I y ? 2? r ? ? L

y mg

续解

∴圆环在y 轴上做简谐运动,周期为:

1 T? B0 r 2
A?
2 0

2mL

??
2 4

y
x

mgL 2B ??? r

圆环中最大电流为:

mg I0 ? 2 B0 ?? r 2

?

自感电动势

?? ?I ?自 ? N ?L ?t ?t

线圈面积

自感系数
电感

单位长度匝数 总匝数 有无铁芯

?

自感线圈中的磁场能

产生自感电动势的过程是电源电流做功将电能转变成磁场 能的过程! I I I 若某?t , I i ? i , 电源移送元电量为 i ?t , 元功为 i ?t ? ?自 , n n n n 电流由0增至I做的总功为:

I I L W ? lim ? i ? ?t ? ? 自 n ? ?t 1 2 n?? i ?1 n Em ? LI 2

振动系统1

竖直面内振动的弹簧振子
kx0
x0

k(x0+x)

mg mg

x

平衡位置 所在位置

在平衡位置时：

mg ? kx0

在距平衡位置x处时：

?F ? mg ? k ? x0 ? x ?

则该振动系统做简谐运动,且周期为

? ?kx

m T ? 2? k

振动系统2

F回 ? mg sin?
sin? ? ?

单摆

当θ角很小时

m T ? 2? k

?
T

?T ? 2?

BO ? BO ? x
则有 F回 ? mg sin? ? mg? BO ? mg ? l x ? mg ? l mg ? ???k x l

l g
B
?

l
x
F回

O

mg

振动系统3

如图所示，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一 端与质量为m的物体a相连，当弹簧处于自然长度时，将a无 初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带 上，弹簧轴线保持水平，设A与传送带间动摩擦因数为μ，试 说明A将做什么运动？ 在平衡位置时： ?mg ? kA
在距平衡位置x处时：

a
v

?F ? k ? A ? x ? ? ? mg

? mg ? mg

a
x

k ? A ? x?

? ?kx
该振动系统做简谐运动,且周期为

a
平 衡 位 置

A

kA

m T ? 2? k

如图所示，密度为ρ的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与水平面的交角为α、 β，液柱总长为l．若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即开始往复振动，求证： 其属简谐运动并求振动周期．毛细管作用及摩擦忽略不计．

取管之底端一截面积为s的液片

该液片在平衡位置时：

x h0

x

F左 ? F右 ? ? gh0 s
若液柱向右侧振动,液片在 平衡位置右侧x时：

0 x ? F ? ? gs ? h0 ? x sin ? ? ? ? gs ? h0 ? x sin ? ?

? ? ? gs ? sin ? ? sin ? ?

? ?k x

l ? ls ? 2? T ? 2? g ? sin ? ? sin ? ? ? gs ? sin ? ? sin ? ?

如图所示，设想在地球表面的 A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放臵一小球， 小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力．试求小 球的最大速度，以及小球从 A到B所需时间．已知地球半径为 R，地球表面的重力 加速度为g，A和B之间的直线距离为L，地球内部质量密度设为均匀，不考虑地球 自转．

r3 M ?m 3 GMm R F ?G ? r 2 3 r R

A

x r F

L

F回

Ｏ
d

B

R GMm x F回 ? r? 3 r R mg GMm 小球过平衡位置时速度最大,为: ? ? ? x ?? ? x R R3 可知小球在隧道中做简谐运动!

R R T ? 2? t ?? g g

v m ? A? L g L g ? R 2 2 R

力心A、B相距l，一质量为m的质点受与距离平方反比的有心斥力作 用而平衡于两点连线上的O点，若将质点稍稍偏离平衡位臵，试确定 其运动情况． x r R A B O 质点在平衡位置O时： FB FA

K k ? 2 2 R r
K

則 R?
K ? x? ? 2 ?1 ? ? R? R ?

K l K? k
FB ?

r?
k

k l K? k

质点在距平衡位置x的某位置时：
?2

FA ?

? R ? x?

2

?r ? x?

2

K k? K K ? x? k ? x? K? K k ? k? k ? F ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 32 ? ? 233 ? 3?x x3 x ? R2 ? ? ? ? ?2 ? ? ? 2? 2 R? r ? r ? R ? Rr Kkrl ??R ? r ?
T ? 2?

?

k ? x? ? 2 ?1 ? ? r? r ?

?2

?

4

? 2

m K? k Kkl
3

?

4

?

?

?l
K? k

?

2

2ml Kk

长度为Ｌ的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另一端搁在劲度系 数为k的弹簧上，如图．试确定铁杆微小振动时周期与质量为m的重 物在杆上的位臵之关系．

L ? ? 对轻杆有 FN ? ? l ? k ? x0 ? x ? ? L l ? ?
对重物有

振动中重物有一对平衡位置位移x时, 重物受力如图:

有 mg ? l ? kx0 ? L

当重物位置在距铰接点l时 ,系统处于 平衡时,若弹簧形变量为x0受力如图:

Ｌ
l
FN
mg

kx0

? F ?mg ? FN

轻杆受力如图:

mg

L ? L ? ? mg ? k ? x0 ? x ? ? l ? l 2? l m L T ? 2? ? ?k 2 ? x L k l

? FN

x
L ? ? k ? x0 ? x ? l ? ?

如图，质量为m的均匀木板对称地放在两个滚柱上，两滚柱轴线间 的距离为l，其中左滚柱和板之间摩擦因数为μ，而在右滚柱上，板 可无摩擦地滑动．用一劲度系数为k的弹簧将板连接在竖直墙壁上， 当板处于平衡位臵时，使不光滑的滚柱快速旋转起来．问摩擦因数μ 为多大，木板相对平衡位臵有了位移后可做简谐运动？振动的圆频 O 率是多少？ ⑴若左轮不光滑且顺时针转动, x0 x F左 kx0 板在平衡位置时有 l f ? x0 l 2 设再向右有一小位移x时 l

l ? x0 ? x mg 2 F ? ? k x ? x ? ? ? mg ? 0 ? ? l
? mg ? ? ? ??k ? ?? x l ? ?

kx0 ? ? ?

mg

此时

??

k ?g ? m l

板在平衡位置时有 l

x0

kx0 ? ? ? 2

? x0 l

mg

f

kx0 l

设再向左有一小位移x时

l ? x0 ? x mg 2 F ? ? k x ? x ? ? ? mg ? 0 ? ? l ? mg ? ?
? ??k ? ?

此时

??

? ? x 若k ? ? mg l ? l k ?g ? mg 若k < ? l m l

x

⑵若左轮不光滑且逆时针转动,

F左

O

由理想单摆周期公式 T ? 2? l ，通常可由三条途径确定T：

★确定等效的重力加速度 g?
⑴确定摆球振动的平衡位置； ⑵确定摆在此位置时摆线上的力FT； ⑶等效的重力加速度 g ? ? FT

g

．

★确定等效悬点及摆长

m

⑴联结两悬点的直线为转轴； ⑵摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点； ⑶取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长 l ?
．

l' ★确定等效的圆频率 ? ? ? ' g ⑴确定摆球振动中的机械能守恒关系 ⑵比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式 ⑶在同一参考圆下提取等效的角速度 ? ?

振动系统4

若单摆在加速度竖直向上的电梯中 做小幅振动，在振动的“平衡位置”

FT

a
mg

由 FT ? mg ? ma ? FT ? m ? g ? a ? 故 g? ? ? g ? a ?
l g?a

则

T ? 2?

FT

若单摆在加速度水平向左的车厢中 做小幅振动，在振动的“平衡位置”

ma
mg

由

FT ? ? mg ? ? ma ? FT ? m g 2 ? a2
2 2
2 2

故 g? ? g ? a

则

T ? 2?

l g 2 ? a2

振动系统5
带正电摆球在水平向右的电场中做 小幅振动
在振动的“平衡位置” FT qE
2 2

FT ?

? mg ?

2

? ? qE ?
2

2

? qE ? ? m g ?? ? m ? ?
2

E mg

? qE ? 故 g? ? g ? ? ? m ? ? 则 T ? 2?

ml
2 2

? mg ? ? ? qE ?

如图所示，摆线长为l的单摆悬于架上，架固定于小车．使小车沿倾 角为的斜面以加速度a（a>gsinφ)做匀加速运动，求此时单摆振动的 周期．

FT mg

ma

φ

如图所示，秋千的一根绳子的固定点A比另一根绳 固定点B高b，秋千两根支架相距为a，两根绳子长度分别是l1和l2， 2 并且 l12 ? l2 ? a 2 ? b2 ．试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期．（人的 大小与上述长度相比可忽略不计） 由几何关系得C到AB的距离

x?

l1l2
2

a ?b

2

A

?
l1

a O
b l2 B

?x
C mg

等效摆长为

l1l2 x l? ? ? cos ? a
秋千周期为

l1l2 ? T ? 2? ag

如图，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为l．m与M、M与 水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释放，系统谐振， 求系统的振动周期T． g 未放凹形滑块的单摆，是以圆频率? ? 谐振,满足 l

设带凹形滑块的异形摆圆频率为

? ? ,有 1 2 mgl ?1 ? cos? ? ? ? M ? m ??? ? A?
2
? m ?? M?m mg ? M ? m? l
?

1 2 mgl ?1 ? cos? ? ? m ?? A? 2

比较两式得 ? ?

则

T ? 2?

? M ? m? l
mg

数学摆是由长度为l的轻杆，一个固定在杆的自由端上的小铅球所 组成．现在，在杆上套一粒同铅球质量相等的珍珠，它可以沿着杆 中点的水平线自由地滑动，如图所示．试求这种摆小振动的周期， 摩擦不计．
摆长为l、振幅为lθ 的理想单摆满足

此题中复摆振动实体机械能守恒，有 2 1 1 ? A? 2 mgl ? 1 ? cos ? ? ? m ? ? A ? ? m ? ? ? 2 2 ? 2? 2 ? 1 ? 5 ? m? ? A? ? ? 2 ? 2 ? 比较两式得

1 2 mgl ? 1 ? cos? ? ? m ? ?0 A? 2

l/2

l

??

4 ?0 5

则

5l T ?? g

简谐振动的运动方程
x ? A cos(?t ? ? ) 运动方程：

速度方程： 加速度方程：

v ? ? A? sin(?t ? ? )
a ? ? A? 2 cos(?t ? ? )

其中： ? ? k/m 简谐振动的能量

1 2 1 2 2 Ek ? mv ? kA sin (?t ? ? ) 2 2 1 2 1 2 E p ? kx ? kA cos 2 (?t ? ? ) 2 2 1 2 E ? Ek ? E p ? kA 2 1 2 E p ? Ek ? kA 4

如图所示，质量为M的小平板固定在劲度系数为k的轻弹簧上，弹簧 的另一端固定在地上，有一质量为m的小球沿入射角θ方向以速度v0 射向小平板，并发生完全弹性碰撞．忽略一切摩擦，求碰撞后小平 板的振动方程． x 振动标准方程： m v x ? Asin t v0 θ O M k k 由图示关系: ?

?

? ?v x ? v0 sin ? ? ? ? ?v y ? v0 cos ? ? V

速度关系如示:

由弹性碰撞能量关系:

v ?y
V θ

v ?x
v?
v

1 1 1 2 2 2 2 ? mv0 ? m v ? ? v ? MV x y 2 2 2
2m cos ? V? v0 M?m

?

?

v0 θ

2m cos ? V? v0 M?m
由振动中能量关系:

1 2 1 ? 2m cos ? ? kA ? M ? v0 ? 2 2 ? M?m ?
2mv0 cos ? A? M?m M k

2

k M

对 x ? A cos ? ? t ? ? 0 ?
2mv0 cos? x? M?m ? k ? M sin ? t ? ? M ? k ? ?

解：第一阶段：自烧断轻线至砝码1脱离弹簧。
mg x0 ? k ?T ? mg ? ma1 ? N ? mg ? 2T ? ma ? 1 ? ? N ? ma1 ? mg ? ma? ? ? N ? k ( x0 ? x?)
4k k a? ? x?, a1 ? x? 3m 3m 4k x? ? A cos( t ? ?) 3m
T
a1 2 mg N ma
1

2T

T a1

a?
1 mg 3

a1 mg mg x x0 -x' l0

N

2mg ? ? 2mg ? ? x t ?0 ? ?(l0 ? x0 ) ? ? ?A ? k ?? k ? ?v? ? 0 ? ?? ? ? ? t ?0

O E

x? ?

2mg 4k cos( t ??) k 3m
? 4k 1 mg cos( t ? ? ) ? ? 1 ? x0 ? 3 m 2 ? k ?? ?v? ? ?2 g 4m sin( 4k t ? ? ) ? 0 ?0 1 ? 3 k 3 m ?

设t＝t1时，砝码1与弹簧分离，则

? ? ? x t ?t1 ? ?v? ? t ?t1

? m ?t1 ? ? 3k ? ? ? v? ? 2 g m ? k ?

第二阶段：自砝码1脱离弹簧至至再次接触弹簧。

?T ? mg ? ma '' ? 4 '' ?2T ? mg ? ?ma ? a? ? ? g 3 ??ma ? mg ? ma? 1 ?

2v? m t2 ? ?3 a? k

3? m t ? t1 ? t2 ? (3 ? ) 3 k

1.4 简谐振动的旋转矢量表示
t

?
M
A M
0

O

?t ? P
x

x

振幅：旋转矢量的模A 圆频率：旋转矢量的角速度? 位相：旋转矢量与Ox轴的夹角 ?t+?

如图所示，平台A的质量为m，由劲度系数为k的轻弹簧 来支持．弹簧上端与A相连，下端与地面相连，物块B的 质量也是m，自由地放在平台中心，现用竖直向下的力 F= 2? 2 ? 4 mg把弹簧压下（仍在弹性限度内），并在系 统静止时撤去外力，求此后A、B的运动情况及两者各自 到达的最大高度．
A、B处于平衡位置时弹簧压缩

2 mg x0 ? k
系统振幅为

y B O k

mg 2 A ? 2? ? 4 k
??
k 2m

A

圆频率为

续解

A、B一起振动的运动方程

查阅

? k ? mg y ? 2? ? 4 cos ? t ?? ? ? ? k 2 m ? ?
2

A、B一起振动至弹簧自然伸长时速度为
v ? ? A sin ? ? ? A ?
2 A2 ? x0

x
2

A
2

k mg ? ? 2mg ? ? ? ? 2? 2 ? 4 ?? ? 2m ? k ? ? k ? ?
m k

??g

x0 O ?0 A

v y ?A

v 2 ? 2 mg A、B在此位置分离，B竖直上抛到达最大高度 hB ? ? 2g 2k

B返回分离位置处历时 t B ? 2

v m ? 2? g k

续解

A、B分离后A谐振！
圆频率为 ? ? ?
振幅由
2

k m

y?
O′

查阅
A

1 ? x0 ? 1 1 2 2 k ? ? ? mv ? m ? A?? ? ? 2 ? 2 ? 2 2
A? ? ? 2 ? 1 mg k

k
x

初相位 ? ? ? ? cos?1

mg / k

? mg / k ?

?2 ?1

? ? cos

?1

1

?2 ?1

A振动的运动方程
2

A继续上升可达最大高度为

? k ? mg 1 ?1 y? ? ? ? 1 cos ? t ? cos ? ? ? 2 k m ? ?1 ? ?
hA ? A? ? x0 ? 2

x0/2 v y O ?? A′

?

? 2 ?1 ?1
k

?

A返回分离位置处历时一周期 t A ? T ? ? 2? m

mg k

续解

由于A、B分离后经相同时间回到分离处， 故对碰而交换速度，再经 t ? 2? m
k

查阅

A、B同速相遇一起向下做参数为A、ω及初 相为 cos ?1 1 的谐振，至向上过初始位置
vy

?2 ?1

?A
v
0
t

?? ? A?

?v

?? A

整个过程中B到达的最高点距释放点
2 ? ? mg ? 2 HB ? 2 ? 2 ? ? 4 ? ? ? ? ? k ? 2 ?

整个过程中A到达的最高点距释放点

mg HA ? k

?

2? ? 4 ? ? ? 1 ? 1
2 2

?

? ? ? ? ?

成因

摩擦阻力 f ? ? ? v 形成波

阻尼因数

??

?
2m
2?

振动能转变为热 及向四周辐射!
阻力系数

阻尼振动周期 T ?

2 ?0 ??2

阻尼振动振幅 Ai ?1 ? Ai e ? T
v

阻尼振动图象

0

t

如图所示 实验装臵可以测定液体的粘滞系数：在弹簧上悬挂一薄板 A，测定它在空气中的周期T0，然后把薄板放在欲测粘滞系数的液体 中，令其振动，测定周期T．已知薄板质量为m,表面积为S，液体的 粘滞阻力 f ? 2S?v，v为运动速度．确定液体的粘滞系数．

?0 T 2 2 ? T ? T 2? 0 2 2 ?? ? T0 ? ?0 ? ? 2 T0 T

而 ??

2 S? 2m ? 2m

?

T 2 ? T02 2? S? 則 ? ? 2 m T0 T

??

2? m T 2 ? T02 STT0

波速

波长

驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反 的两列简谐波叠加的结果

驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反 的两列简谐波叠加的结果

某人造地球卫星发出频率为10 8 Hz的无线电讯号，地面接收站接 收到的讯号频率增大了2400 Hz．已知无线电讯号在真空中的传播 速度为c＝3.0×108 m/s，试估算人造卫星朝地面接收站方向的运 动速度．

设人造卫星朝地面接收站方向运动的速度为u， 此即波源移动速度，由于波源向着观察者运 动，接收到的频率变大，由

可得

c f ? ?f ? f c?u

cf 2400 8 u?c? ? 8 ? 3.0 ? 10 m/s f ? ?f 10 ? 2400

? 7200m/s

一波源振动频率为2040 Hz，以速度vs向墙壁接近，如图，观测者 在A点所得的拍频?? =3 Hz，设声速为340m/s，求波源移动的速度 vs．如波源没有运动，而以一反射面代替墙壁，以速度0.2 m/s向 观察者A接近，所得到的拍频为 ? ? ? =4 Hz，求波源的频率． ⑴A点从声源直接接收到的声波频率

V 经墙反射后的声波频率 f 2 ? f0 V ? vs

V f1 ? f0 V ? vs

A

S

观测者 波源

V V 则 ?? ? f0 ? f0 V ? vs V ? vs

代入题给数据

3?

2 ? 340v s
2 3402 ? v s

? 2040

2 vs ? 6802 vs ? 3402 ? 0,

⑵若反射面移动，则A点从声源直接接收到的声波频率 f1? ? f 反射面接收到的波频率 反射到A接收到的波频率

v s =0.25m/s

V ? v ? f 2?? ? f V

V ? v? V f 2? ? f 2?? ? f V ? v? V ? v?

V ? v? 2 ? 0.2 则?? ? ? f ? f ?4? f ? V ? v? 340 ? 0.2

f ? 3398Hz

t＝0,T

t＝T/4

t＝T/2
t＝3T/4

驻波是 频率相 同、振 幅相同、 振动方 向一致、 传播方 向相反 的两列 简谐波 叠加的 结果

返回

t ＝ 0 t＝ t＝ tt＝ ＝ T 3T/ T/ 4 2 4

一列横波在弦线上传播，到固定端时被反射，反射波在弦线上沿反 方向传播而形成驻波．反射时波长、频率、振幅均不变，但反射波 与入射波使反射点的振动相差半个周期，相当于原波损失半个波再 反射．在图中已画出某时刻入射波B，试用虚线画出反射波C，用实 线画出驻波A．

A B C

将一根长为100多厘米的均匀弦线沿水平的x轴放臵，拉紧并使两端 固定．现对离固定的右端25 cm处（取该处为原点O，如图1所示） 的弦上施加一个沿垂直于弦线方向（即y 轴方向）的扰动，其位移 随时间的变化规律如图2所示．该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立 的脉冲波）．已知该波在弦线中的传播速度为2.5 cm/s，且波在传播 和反射过程中都没有能量损失． ⒈试在图1中准确地画出自O点沿弦线向右传播的波在t＝2.5 s时的 波形． ⒉该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播．反射 点总是固定不动的．这可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠 加，使反射点的位移始终为零．由此观点出发，试在图1中准确地画 出t＝12.5 s时的波形图． 3.在图1中准确地画出t＝10.5 s时的波形图．

图1

图13-12-2

图2

脉冲波形成经 y/cm
0.10

t ? T ? 2.5s

vT ? 6.25 m T ? 2.5s ? ? 25
波到达右端经 t ?

2.5

? 10s

0.05

0
-0.05 -0.10 0.10 0.05
5

18.75 6.25 10 15 20 25

x/cm

再经2.5S,即t=12.5s时 y/cm 再经0.5S,即t=10.5s时

0
-0.05 -0.10
5

6.25 10 15

18.75 20

23.75 25

x/cm

几何光学基础
? 1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直

线传播。 ? 2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍， 仍按原来各自的方向传播。 ? 3、光的反射定律： ①反射光线在入射光线和法线所决定平面内； ②反射光线和入射光线分居法线两侧； ③反射角等于入射角。

? 1.组合平面镜

光的反射

用几何的方法不难证明：这 三个虚像都位于以O为圆心、 OS为半径的圆上。用这个 方法我们可以容易地确定较 复杂的情况中复像的个数和 位置。

两面平面镜AO和BO成 60? 角放置（图1-2-2）， 用上述规律，很容易确 定像的位置

? 4、光的折射定律：

几何光学基础

①折射光线在入射光线和法线所决定平面内； ②折射光线和入射光线分居法线两侧； ③入射角与折射角满足 ④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入 射角大于临界角C时，将发生全面反射现象 （折射率为 的光密介质对折射率为 光疏 介质的临界角 ）

图1-2-5是光导纤维的示意图。 AB为其端面，纤维内芯材料的折 射率 n1=1.3,n2=1.2,试问入射角 在什么范围内才能确保光在光导 纤维内传播？
r表示光第一次折射的折射角，β表示光第二次的 入射角，只要β大于临界角，光在内外两种材料的 界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯 里传播。

? ? sin

?1

? r ? ? ? ? 90o ? 67.4o ? 22.6o 2

n ?1 1.2 n21 ? sin ? sin ? 67.40 n1 1.3
?1 2

sin i / sin r ? 1.3 /1

只要 sin i ? 0.50, i ? 30o

? 平面折射的视深

§1.3 光的折射

在水中深度为d处有一发光点Q，作OQ垂直于水面交于O点，求射出 水面折射线的延长线与OQ交点 Q?的深度 d?与入射角i的关系(水相对
于空气的折射率4/3)。 由折射定律得
令OM=x，则

上式表明，由Q发出的不同光线， 折射后的延长线不再交于同一点， 但对于那些接近法线方向的光线，

光源深度（视深）

光的折射
? 多层介质折射

? 棱镜的折射与色散

入射光线经棱镜折射后改变 了方向，出射光线与入射光 线之间的夹角称为偏向角， 由图1-3-4的几何关系知
?A ? ?

①当 i1, α很小时， δ=（n-1）α
②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时，
1

1
这为棱镜的最小偏向角δ，此式 可用来测棱镜的折射率。

费马原理及其运用 A ? 光程：折射率 n 与路程 S 的乘积 ? 费马原理： 光从某点传播到另一点走光程取极值 的路径 光程取极小值 几何光学三定律 B

光程取恒定值
P

透镜成像
P’

? 费马原理在透镜成像中的运用 透镜成像时，物点到像点的光程取恒定值。 P

P’

平行光入射时： ? 平行光垂直面上各点A、B、 C到达焦点F’的光程相等 A B C P Q R

F’

? A、B、C分别到达P、Q、R的光程也彼此相等

设曲面 S 是有曲线 CC’ 绕 X 轴旋转而成的。曲面两侧的 折射率分别为 n 和 n’，如果所有平行于X 轴的平行光线 经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F，则曲面成为无像差 曲面，已知OF = f，求曲线所满足的方程。 C Y 解： B A 折射定律 曲面法线方程 X O n n’ f F

CC’曲线方程。

用等光程原理求解本题更简单

C’

选取一条入射光线AB 和一条沿 X 轴的入射光线 等光程： A

Y

C

B:(x, y)
X

n ? AB ? n '? BF ? n '? OF
几何关系：

AB ? x

O

f
2

F

BF ?
OF ? f

? f ? x?

2

?y

n n’

C’

CC’曲线方程：n '2 ? n 2 x 2 ? n '2 y 2 ? 2n ' ? n ? n ' ? fx ? 0
椭圆方程

?

?

透镜成像
透镜成像作图
（1）三条特殊光线 ①通过光心的光线方向不变； ②平行主轴的光线，折射后过焦点； ③通过焦点的光线，折射后平行主轴。 （2）一般光线作图：对于任一光线SA， 过光心O 作轴OO?平行于SA， OO? 与焦平面 MM?交于P点，连接AP或AP 的反向延长线即为SA的折射光线 *像与物的概念：发光物体上的每个发光点 可视为一个“物点”即“物”。一个物 点上发出的光束，经一系列光学系统作 用后，若成为会聚光束，则会聚点为物 的实像点；若成为发散光束，则其反向 延长线交点为物的虚像点；若为平行光 束则不成像。

如图1-5-18，MN是凸透镜主光轴，O为光心，F为焦点，图 中所画两条光线为点光源S经凸透镜折射的两条光线。用 作图法确定光源S与像点的位置。

分析: 经凸透镜折射后的两条出射光线它们看上去是由像点发出来的，所以 两条出射光线的反向延长线的交点就是像点S?的所在位置。由于物点发出的 过光心的光线不改变方向，由此可以确定物点S落在SO?直线上，S?与凸透 镜右焦点F的连线交凸透镜于P点，由于物点发出的平行于主光轴的光线经 凸透镜折射后过F焦点，所以过P点作与主光轴MN的平行线与S?O相交处就 是物点S所在位置。如图1-5-19所示。

如图1-5-16。AB为一线状物体，为此物经透镜所成的像。 试用作图法确定此镜的位置和焦距，写出作图步骤。 分析:像 A1B1是倒像，所以透镜 应是凸透镜。物AB和像不平行 ，所以物相对于透镜的主轴是斜 放的，沿物体AB和其像 A1B1所 引出的延长线的交点必在过光心 且垂直于主轴的平面上，这条特 殊光线是解答本题的关键光线。

薄透镜成像公式
1 1 1 ? ? u ? f
式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负” 的法则。若令

x?u? f
则有

x? ? ? ? f
牛顿公式

xx? ? f 2

一个光源以v=0.2m/s的速度沿着焦距f=20cm的凸透镜向光心 运动，当它经过距光心u1=30cm和u1=15cm的两点时，求像所 在的位置及速度。 解法
代入牛顿公式

x1 ? u1 ? f ? 10cm

x2 ? u2 ? f ? ?5cm

xx? ? f 2
? ? ?80cm x2

? ? 40cm x1

x1,x2,x’1,x’2,意义如图1-5-2所示。 设在△t时间内，点光源的位移为△x，像 点的位移为 △x’
f2 f 2 ( x ? ?x) x? ? ?x? ? ? 2 x ? ?x x ? ?x 2
当△t→0时△x→0，略去△x的二阶小量，有

f 2 f 2 ?x f 2 ?x x? ? ?x? ? ? 2 ? x? ? 2 x x x ?x? x? ?x x? ?? ? ? ? ? ?? ?t x ?t x

f 2 ? ?x x? ?x? ? ? ? ?x 2 x x
? ? 0.8m / s ?1

? ? 3.2m / s ?2

组合透镜成像
如果由焦距分别为 f1和f2的A、B两片薄透镜构成一个透镜组（共主轴）将 一个点光源S放在主轴上距透镜u处，在透镜另一侧距透镜v处成一像 S?（图1-5-4）所示。
因为A、B都是薄透镜，所以互相靠拢地放在一起仍可 看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f，则应有

1 1 1 ? ? u ? f

①

S?是S经A、B两个透镜依次成像的结果。如S经A 后成像S1，设 S1位于A右侧距A为处，应有

1 1 1 ? ? u ?1 f1
*“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值， 凹透镜焦距取负值；实像像距取正值，虚像 像距取负值。实物物距取正值，虚物物距取 负值。

②
*实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是 否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入 射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点） 是虚物。

S1位于透镜B右侧 v1处，对B为一虚物， 所以物距为-v1， 再经B成像，所以有
1 1 1 ? ? ??1 ? f 2
③

由②、③可解得
1 1 1 1 ? ? ? u ? f1 f 2
④

比较①、④两式可知组合透镜的焦距
1 1 1 ? ? f f1 f 2

焦距均为f的二凸透镜L1、L2与两个圆形平面反射镜M1、M2放置如图 1-5-22。二透镜共轴，透镜的主轴与二平面镜垂直，并通过二平 面镜的中心，四镜的直径相同，在主轴上有一点光源O。

画出由光源向右的一条光线OA（如图1-5-22所示）在此光学系统中的 光路。

解：光线OA的第一次往返光路如图1-5-23所示。当光线由图中左 方返回经O点后，将继续向右下方进行，作第二次往返。第二 次往返的光路在图中未画出，可按图中光路对称于主轴画出。 以后，光线重复以上两种往返光路。

例:如图1-5-26所示，凸透镜焦距f=15cm，OC=25cm， 以C为圆心、r=5cm为半径的发光圆环与主轴共面。 试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。 解：如图1-5-27所示，以O点为直角 坐标系原点建立坐标系xOy 。 考虑发光圆环上任一点P（x，y），则有
① ( x ? 25)2 ? y2 ? 52 发光点P（x，y）的像为P?（x?，y?

），根据透镜成像公式及放大率关系 可有 1 1 1 ? ? ② x x? f

15 x? 联立②、③式解得 x ? 15 ? x?
将④、⑤式代入①式中并整理得

y ? x? ? y x

③ ④
y? 15 y? x? ? 15

⑤

( x? ? 45)2 y?2 ? ?1 2 2 15 (5 3)

例:有两个焦距分别为f1和f2的凸透镜。如果把这两个透镜做适当 的配置，则可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、倒 立的像，如图1-5-33所示。试求出满足上述要求的配置方案中 各透镜的位置。

u

d

解: 设光线由左向右，先后经过两个凸透镜而成像于题目所要求的位置。 反回去考虑，光线经过第2个透镜后将继续向右传播，所以最后成的像 必为虚像才能满足题设要求。光线系统的配置如图1-5-28所示。

根据图上标明的两透镜位置 和物距、像距，有
1 1 1 ? ? u ? f1
①

因最后像为虚像，则
1 1 1 ? ? d ?? d ? u f2
②
＞

又因物、像大小相等，则

u

ud 由③得 ? ? 2u ? d

? d ? 2 f1 f 2 ? 代入①②并经过化简可得? ? 2 f1 f 2 u ? ? f 2 ? f1 ? ?

?

?

u?d d ??

③ (三角形相似)

因题图中要求 u＞0，故必须 f2 ＞f1

光在球面上的折射
1.近轴光经球面折射的物像公式
2.近轴光经球面折射成像的特点

1.近轴光线经球面折射的物像公式

a.单球面折射公式
(前提条件：近轴光线)

u

r

v

b.符号法则
入 射 光
入 射 光 折 射 光

u 实物 u＞0
折 射 光

折 射 光

u

虚物 u＜0
入 射 光

入 射 光

v 实象v ＞0

v 虚象v ＜0

折 射 光

虚实物判断方法:
以折射面为界,入射光线和折射光线分居两侧；
入射光线一侧为物方，折射光线一侧为像方；

物在物侧为实,物在像侧为虚,
象在像侧为实,像在物侧为虚。

凹面迎着入射光，r ＜0
（曲率中心在物方）
入 射 光

凸面迎着入射光，r ＞0
（曲率中心在像方）
折 射 光

u

折 射 光

入 射 光

v

折射率:

入射光所处媒质为n1
折射光所处媒质为n2

c. 折射本领
第一焦点F1：
主光轴上点光源在此 发出的光束经折射后为

平行光的点

第一焦距（F1至球面顶点P的距离）：

第二焦点F2： 平行于主光轴的光束 位折射后会聚在此的点

第二焦距（F2至球面顶点P的距离）：

u

r

v

球面折射公式：

第一焦距：

第二焦距：

焦度

焦度? 的单位：屈光度（f 以m为单位） 焦度越大，折射本领越强

1 屈光度= 100度

d.像的横向放大率：

u

r

v

v s' n m?? ?? 2 u s n1
多次成像的横向放大率 m=m1m2m3……

m>0，像正立
m<0，像倒立 |m|>1，像放大 |m|<1，像缩小

例题、一玻璃球 (n ＝ 1.5) 半径为 10 厘米 , 点光源 放在球面前 40 厘米处 , 求近轴光线通过玻璃球后 所成的像。

v1＝60厘米

v2＝11．4厘米

（第 21 届预赛）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球 面，球心在顶点 O 下方玻璃中的 C 点，球面的半径 R＝1.50cm，O 到 杯口平面的距离为 8.0cm。在杯脚底中心处 P 点紧贴一 张画片，P 点距 O 点 6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在 杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果 斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的 景物。已知玻璃的折射率 n1＝1.56，酒的折射率 n2＝ 1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。

近轴光经薄透镜成像
1.薄透镜的物像公式
2.近轴光经球面折射成像的特点

a.薄透镜的种类： 凸透镜：中间部分比边缘厚的透镜。

r2
c2
o1

r1
o1
o2

双凸
c1
o 2 c 1

r2
c2

平凸
o1
o2

c1

c2

r2 r1
o1

弯凸
o2

r1 ? ?

凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜。

? r1
c1

r2
o1
o2

双凹
c2

? r1
r2 ? ?
c1

平凹
c2

o1

o2

c1

? r1 ? r2
o1

弯凹
o2

薄透镜：两个侧面的中心靠得很近的透镜。

b.薄透镜的物像公式推导：

n1
P

C2

O1

n2

p1

O2 C1 ? p2

n1
P?

? P 1

t

p1?

p2

n1 n 2 n 2 ? n1 ? ? 光线在透镜的左侧面折射： p1 p? R1 1 n 2 n1 n1 ? n 2 光线在透镜内右侧面入射： ? ? ?p 2 p?2 R2 n n n n n ? n1 n1 ? n 2 两式相加： 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? p1 p? ?p 2 p?2 R1 R2 1

n1
P

C2

O1

n2

p1

O2 C1 ? p2

n1
P?

? P 1

t

p1?

p2

P1?为入射于右侧球面光线的一个虚物点

??p2 ? ?(p? 1 ? t) ? ? p? 1

n1 n2 n 2 n1 n 2 ? n1 n1 ? n 2 ? ? ? ? ? p1 p? ?p 2 p?2 R1 R2 1

n1 n1 n 2 ? n1 n1 ? n 2 ? ? ? ? p1 p? R1 R2 2

薄透镜厚度忽略，物距和 像距由薄透镜中心算起

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? *薄透镜的物像公式： ? ? ? ? ? p p n1 ? R1 R 2 ?

薄透镜在空气中时: n1=1, n2=n

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? p p n1 ? R1 R 2 ?

? 1 ? 1 1 1 *空气中薄透镜的物像公式： ? ? (n ? 1) ? ? ? p p? ? R1 R 2 ?
式中各量的符号规定遵从球面折射的符号法则: 1、物距 p 和像距 p’ 的正负可以用实正虚负来确定。 2、当物体面对凸面时，曲率半径 R 为正；当物体面对 凹面时， 曲率半径 R 为负.
n1
P

C2

O1

n2

p1

O2 C1 ? p2

n1
P?

? P 1

t

p1?

p2

结论：实 在透镜左侧球面折射成像的横向放大率为 物经薄透 n 1 p? y? n1 p? 镜成正立 1 1 1 ?? m1 ? ?? 的虚像或 n2 p y n 2 p1 倒立的实 在透镜右侧球面折射成像的横向放大率为 n 2 p? n 2 p? 像 y? n 2 p?2 m2 ? ?? ?? ? y? n1 ?p 2 n1 ( ?p? n1 p? 1 1) 1

c.薄透镜的横向放大率：

y? p? ?? *薄透镜的横向放大率：m ? m1 ? m 2 ? y p
n1
P

C2

O1

n2

p1

O2 C1 ? p2

n1
P?

? P 1

t

p?

p2

d.薄透镜焦点和焦距
薄透镜的焦点（F, F?）：一束平行于主光轴的平行光，经薄透 镜折射后的会聚点或折射线反向延长线的会聚点称为焦点，焦 点位于光轴上。

F
f

F

f

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? p p n1 ? R1 R 2 ?

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? *薄透镜的焦距： ? ? ? ? ? f f? n1 ? R 1 R 2 ?

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? ? ? 薄透镜在空气中时 n1=1, n2=n ? ? f f? n1 ? R 1 R 2 ?

*空气中薄透镜的焦距： 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ?
（磨镜者公式）

f

f?

? R1

R2 ?

?1 R1 ? 1 R2 ? ? 0 为凸透镜； ?1 R1 ? 1 R2 ? ? 0 为凹透镜。
凸透镜的焦距f 为正，对应实焦点 凹透镜的焦距f 为负，对应虚焦点 结论：焦距的符号也可 以用“实正虚负”来判 别

F
f

f

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? p p n1 ? R1 R 2 ?

1 1 n 2 ? n1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? f f n1 ? R 1 R 2 ?

1 1 1 ? ? p p? f
*薄透镜的物像公式：
(高斯公式）

平行光与光轴有一定的夹角时，成像如何呢？
焦面：过焦点且垂直于光轴的平面。 （傍轴平行光与光轴有一个夹角，则 经透镜会聚于焦面上的一点）

f

例题、 （第 21 届复赛）目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距 离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的 是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根 据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形） ．如果能把一个半导体激光二极 管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义 的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理 可通过如下所述的简化了的情况来说明． 如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它 们的连线的同一方向发出半顶角为 arctan ?1 4? 的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦 距为 f = 1.50h、半径为 r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平 面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全 部会聚于 z 轴（以 S2 为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线） 上距离 S2 为 L = 12.0 h 处的 P 点． （加工时可 对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距． ）h 1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置． 2 ．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出 有关数据．
h S3 S1 S2

?? ?? ??
L P

例题、（第29届复赛）

考查点三、 光在球面上的反射
1.平行光反射聚焦的镜面要求
2.近轴光经球面反射的物像公式 3.近轴光经球面反射成像的特点

4.近轴光经球面镜多次成像

1.平行光反射聚焦的镜面要求
a.光程 L=n d(n 为光所在介质的折射率，d为几何路程) ；
b.费马原理指出，光从一点传播到另一点，其间无论经过 多少次折射和反射，光程为极值。
说明：

一、光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的；
二、通常是指光程L为极小值； 三、若从A到B的许多光路的光程L同为一个极小值，则可认为A到B 的光程为某一定值。

2.近轴光经球面反射的物像公式

（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是

球面的半径。可以证明，球面镜焦距 f 等于球面半径 R 的
一半，即 f = R / 2 ;

证明: f = R / 2
BE BE sin? ? ? AB R

BE BE BE sin 2? ? ? ? BC AC R ? f

由于分析的是近轴光线，所以a很小， 则 sina=a，sin2a=2a 可得： f = R / 2

（2）球面镜成像公式推导：

1 1 1 ? ? u ? f
根据反射定律
? S A C ? ? S ?A C
AS CS ? ? AS CS ?
OS CS ? OS ? CS ?

因为SA为近轴光线 A S ? ? S ?O , A S ? SO 又因为 u ? OS ， v ? OS '
OS CS ? 所以 OS ? CS ?

C S ? OS ? OC ? u ? 2 f
CS ? ? OC ? OS ? ? 2 f ? ?

u u?2f = ? ? 2 f ??

1 1 1 ? ? u ? f

（3）球面镜成像的三条特殊光路：

a
b c

a.平行主轴的入射光线与过焦点的反射光线
b.过焦点的入射光线与平行主轴的反射光线 c.过曲率中心的入射光线及反射光线

3.近轴光经球面反射成像特点
（1）球面镜成像公式中的符号法则：

1 1 1 ? ? u ? f

u 为物距，实物取正，虚物取负；
v 为像距，实像取正，虚像取负；

f 为焦距，凹镜取正，凸镜取负。

（2）像的横向放大率：
像的横向大小放大的

v 倍数m= ? u

（3）像的虚实与倒正： v>0，像为实 m>0，像正立 v<0，像为虚 m<0，像倒立

|m|>1，像放大

|m|<1，像缩小

表Ⅰ 凹镜成像情况 物的 性质 物的位置 ∞ 实 ∞ ～2f 2f 物 2f～f f 像的位置 同侧 f 同侧 f～2f 同侧 2f 同侧 f～2f ∞ 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 像的正倒 倒 倒 倒 倒 像的虚实 实 实 实 实

f～0
虚 物 ∞

异侧 0 ～ ∞
异侧0～f

放大
缩小

正
正

虚
实

表Ⅱ 凸镜成像情况 物的 性质 实物 物的位置 ∞ ∞ ～2f 虚 物 2f f～2f f f～ 0 像的位置 同侧 0～f 同侧 f～2f 同侧 2f 同侧 ∞～2f ∞ 异侧 ∞～0 放大 正 实 像的大小 缩小 缩小 等大 放大 像的正倒 正 倒 倒 倒 像的虚实 虚 虚 虚 虚

例题、如图所示，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重 合放置，两镜顶点O1 、O2 相距2.6R，现于主轴上距 凹镜顶点O1为0.6R处放一点光源S。设点光源的像只 能直接射到凹镜上，问S经凹镜和凸镜各反射一次后 所成的像在何处？

远视眼

设某远视眼的近点到眼睛的距

离为 p近 , 此时近点上的物体才能成
像在视网膜上, 其像距为 p′, 眼睛的 焦距为 f 眼 , 如图 ( b ) 所示, 则 1 1 1 = + p近 f眼 p′ 为了将远视眼的近点矫正到正常 眼的明视距离 p明 = 25cm 上, 借助一透 镜与眼睛构成透镜组合, 设透镜组合的 近点 (a)

p
近

(b)

p′

焦距为 f 合 , 如图 ( c )所示 , 得
1 = f合 1 1 + p明 p′

p
明

p′ (c)

远视眼镜

将上述两

式相减 得
Φ合

1 f合 Φ眼 =

1 1 = p明 f眼 1 p明

1 p近

若以光焦度的形式表示, 得

1 p近
(a) 近点 p
近

设透镜的焦距为 f镜 , 其光焦度为Φ镜= 1/ f镜 , 并忽略透镜与眼睛的距离, 则 1 1 Φ合 Φ眼 = ( Φ镜 + Φ眼 ) Φ眼 = p p近 明 1 1 1 Φ镜 = = f镜 p近 p明 p 明 故 Φ镜 0 。 其中, p近
结果表明, (1) 远视眼镜的焦距和光焦度为

(b)

p′

正值, 应选用凸透镜; (2) 远视眼镜的光焦 度可根据将远视眼的近点矫正到正常眼 的明视距离的原理来配置。 p
明

p′ (c)

例题、求一个近点为125cm的远视眼所戴眼镜的光焦度 (正常眼的明视距离 = 0.25m)
近点 明视距离

O

F‘

s

'

s

[解] : 对所戴凸透镜而言,已知 s ? 0.25m s ' ? 1.25m ?由空气中的透镜成像公式有 : 1 1 1 1 1 ?? ' ? ? ' ? ? ? 3.2 ? ?320(屈光度) f s s 0.25 1.25

放大镜

最简单的放大镜是一个 单独的凸透镜。放大镜的作用 是帮助人们增大被观察物体的

y

α p明

视角。所谓 视角 , 是 物体两端
对人眼光心所张的角度。能够 帮助人们增大被观察物体的视

角的光学仪器的种类很多。如
果不用仪器单凭肉眼直接观察 时,物体的视角为α ,用了仪器 观察到物体的虚像的视角为β , 则仪器的放大率为 M =

y′ y β F p′

L F′ f

p f

? ?

放大率

对于放大镜的情况是:(1)通常习惯将物体置于放大镜的焦平面附近并 略靠放大率一側的位置进行观察;(2) 直接观察的物体和通过放大镜观察 到的放大正立虚像到眼睛的距离, 都以明视距离 s明= 25cm 作为共 同的距离标准, 如图所示。 直接观察时,若视角很小, 则 α≈ y / p明。通过放大镜L观察时, y α p明

在近轴条件下, β ≈ y / p ≈ y′/
p′ ≈ y / f ,因此,放大镜的放大率 为 M = =

y′ y β F p′

L F′ f

? ?
p明 f

y/f = y / p明 =
25

p f

f

式中 f 为放大镜的焦距,单位为 cm 。

科学与安全性

值得指出的是: (1) 放大镜的放大率公式是一个近似式 , 但它具有较大的实际

意义。放大镜的含义除了我们通常熟悉的阅读用放大镜外 , 在许多助
视仪器中的目镜,也是起着放大镜的作用。因此,上述公式也是简单目 镜的放大率公式。将物体置于放大镜的焦平面附近观察作为放大镜的

标准工作状态 , 其好处不但能获得较大的放大率 , 更重要的是由于在
焦平面附近, 物体上各点发出的光通过放大镜折射后成为近似的平行 光, 眼球可在肌肉放松的情况下将这些平行光聚焦在视网膜上得到清 晰的像, 不易引起视觉疲劳, 表明助视仪器使用的科学性和安全性。

(2) 由于球面透镜成像质量受近轴条件的限制, 放大镜的放大率
实际上不能太大。常见的单透镜放大镜的放大率只有几倍。放大率超 过 10 的放大镜需要采用透镜组合系统等方法减小像差 , 才能获得较

好的成像质量和实用效果。

显微镜

显微镜通常可将其简化为两个凸透镜的组合 , 如图所示。 Lo 为短焦距的凸透镜,靠近观察物体, 称为物镜。Le 靠近观察者 眼睛的凸透镜, 称为目镜, 其作用相当于前面讲过的放大镜。
Lo
y
′ Fo
Fo

显微镜的工作状态是:
(1) 被 观察 的 物 体 y 放 在 物 镜
Lo的焦平面附近,物距 s ≈ fo ; (2) y 的倒立实相像 y′ 位于目镜 Le

p′ Δ

Le
Fe y′ fe′ p′ ′
Fe′

fo fo′ p

y′ ′

的焦平面附近,两透镜间的焦点 Fo ′ 与
Fe 之间的距离Δ ≈ p′ - fo′ ;

(3) 目镜处于放大镜的标准工作状态, p’’ 为明视距离 p明 = 25cm。

光学筒长

在上述工作状态的前提下,我们推导显微镜的放大率公式。 Lo
y Fo fo p y ′′ ′ Fo fo′

Le
p′ Δ Fe y′ fe ′ p ′′ fe Fe′

物镜Lo的 放大率 Mo= y′ y

目镜Le的

放大率
p′′ fe p明 fe′

Δ fo′

Me =

根据透镜组合的放大率是各透镜放大率的乘积可得, 显微镜的放大率为 M 显微镜 = M o M e = Δ fo′ p明 fe ′ Δ 25 = fo′ fe′

式中 fo′ 和 fe ′ 分别为物镜和目镜的焦距, Δ 是显微镜的镜筒内两透 镜焦点之间的距离, 称为 显微镜的光学筒长, 单位均为cm 。

放大率

Lo
y Fo fo p y ′′ F′
o

Le
p′ Δ Fe y′

fe

Fe′

fo′

fe ′
p ′′

显微镜的放大率

M 显微镜 = M o M e =

Δ fo′

p明 fe ′

Δ 25 = fo′ fe′

Δ 越大, 或 fo′ 和 fe′ 越小, 则显微镜的放大率越大。 例如： 若 fe′= 2.5cm , fo′= 2.0cm , Δ = 16.0 cm 的显微镜, 其放 大率约为 80 倍。

若 fe′= 2.5cm , fo′ = 0.4cm , Δ = 18.5 cm 的显微镜, 其 放
大率约为 463 倍。

望远镜

常见的两类望远镜: 折射式望远镜 和 反射式望远镜。
fo′

远方物体

图 (a)由两个凸透镜组成 , 物镜 Lo的 焦距较长,目镜 Le的焦距较短 ,物镜 的第二焦点Fo′与目镜的第一焦点Fe 相重合 , 观察到物体的像是倒立的 虚像 , 这种望远镜又称为 普勒 望远镜。 开

Lo y

fe Le

α
Fo fo

α

′ F Fo e y′

β
′ Fe fe′

β

s

( a ) 开普勒折射式望远镜
fo′ Le Fe fo

图 (b)中的物镜 Lo是焦距较长的凸

远方物体

Lo

透镜,目镜 Le是焦距较短的凹透镜, ′ 与目镜的第二 物镜的第二焦点 o ′ Fo 焦点 Fe ′ 相重合 , 观察到物体的像
是正立的虚像 , 这种望远镜又称为 伽利略 望远镜。

y

α
Fo

β

′ F′ Fo e

s

fe

fe ′

β

( b ) 伽利略折射式望远镜

折射式

以开普勒望远镜为例, 导出折射式望远镜的放大率公式。
由于物体 y 距离物镜 Lo
远方物体

很远 , 通过物镜所成的像 y′ 可 认为是在物镜的第二焦平面上 , 是一个缩小的倒立实像。物镜 光心对物体的张角为

Lo y

fo′

fe Le

α
Fo fo

α

′ F Fo e y′

β
′ Fe fe′

β

s

?≈

y s

y′ = fo′

这一张角可近似看成眼睛直接观察物体时的视角。

调节目镜 Le 到物镜的距离 , 使目镜的第一焦点 Fe 与近物镜的第二焦点 Fo′ 重合 , 即物镜所成的像 y′ 落在目镜的第一焦平面上, 这时

y′上各点的光线经目镜折射后都成为 y′ fe′

一组平行光线(图中只画出了对应于箭头顶点的一组平行光线), 在眼球肌肉放松的 情况下，这些平行光线经眼睛聚焦在视网膜上生成一个清晰的像 , 眼睛对 这个像的张角 ? 就是用了望远镜以后对被观测物体的视角 , 其大小为

? ≈

于是 , 望远镜的放大率为

M 望远镜

? = ?

=

fo′ fe′

上式表明 , 望远镜的放大率约等于物镜焦距与目镜焦距之比。

反射式

曲面反射式物镜 平面反射镜

右图是反射式望远镜的几种典型结构形式 , 它们 的物镜都是反射式的凹面镜 , 可以是球面凹镜或抛 物面凹镜。反射式物镜可以免除折射式物镜由于折 射而产生的色差 , 如果是抛物面反射式凹镜还可以 免除球差。来自远方物体的光线经物镜的凹面反射

目镜

(a)
曲面反射式物镜

全反射棱镜

后而发生会聚, 目镜的位置有不同的设计方案 , 其
中图 ( a ) 是利用一个平面反射镜将会聚光束反射 到一側, 然后用目镜进行观察 , 这种结构称为牛顿 反射望远镜。图 ( b )是利用一个全反射棱镜将会聚
目镜

(b)
曲面反射式物镜

光束反射到一側, 然后用目镜进行观察。图 ( c )是
利用一个曲面反射镜将会聚光束沿轴向反射到物镜 中部的一个开孔处, 然后用目镜进行观察。

曲面反射镜 目镜

(c)

反射式望远镜物镜的直径可以做得比较大 , 许多大型的天文望远镜是反射式望远镜 , 直径有的大到 5m 甚至 6m 。目前在太空中运行的哈勃望远镜, 也是反射式望远镜。 日常生活中常见的光学仪器还有很多, 如照相机、电视摄象机、投影仪等等,而且应 用高科技成果, 使这些仪器的功能和自动化程度都越来越高, 在此不一一介绍。

例题、 （第 26 届复赛）内半径为 R 的直立圆柱器皿内盛水银，绕 圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露） ，稳定后的液面为旋转 抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴 z 与圆柱器 皿的轴线重合， 横坐标轴 r 与 z 轴垂直， 则液面的方程为 z ?
?2
2g r2

，

式中 ω 为旋转角速度，g 为重力加速度（当代已使用大面积的此 类旋转水银液面作反射式天文望远镜） 。http://hfwq.cersp.net 观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变， 然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到 的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银 面最低点的距离。

如图所示，两个完全相同的球面薄表壳玻璃合在一起，中空，其中一块涂银成为 Q ?点．调整屏与表 球面反射镜．屏上小孔Q为点光源，它发出的光经反射后成像于 壳间的距离L，当L=20 cm时，像点正好落在屏上．然后在表壳