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数学-2014届高三数学押题训练


2014 届高三押题训练 一、填空题
1. 在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是 甲 8 91 25 785 6 乙 9 4 5 8 2 6 3 5 7 ▲ .

2 3 4 5 6

2.已知 cos ? ?

3.一个与球心距离为 1 的平面截球所得圆面面积为 ? ,则球的体积为 ▲ . 4.

从{-1,1,2}中随机选取一个数记为 k,从{-2,1,2}中随机选取一个数记为 b,则直线 y=kx+b 不 经 过第三象限的概率为 ▲ .
2 ? ? x ? ax ? 1, x ? 1 5. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则“-2≤a≤0”是“f(x)在 R 上单调递增”的 ▲ ? ?ax ? x ? 1, x ? 1

1 13 ? , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? , 则 ? = 7 14 2



.

条件.(填充分不必要、必要不充分或充要)

?x ? y ? 4 ? 6. 已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? x ,则点 P 到直线 4x+3y+1=0 的距离 ?x ? 1 ? 的最大值是 ▲ .
7.已知 F1 , F2 分别是椭圆 x 2 ? y2 ? 1(0 ? b ? a) 的左、右焦点,若在椭圆的右准线上存在一 a b 点 P ,使得线段 PF1 的垂直平分线过点 F2 ,则离心率 e 的取值范围是 ▲ . 8.若双曲线
2 2

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条 渐近线的距离等于焦距的 ,则 2 4 a b
▲ .

该双曲线的渐近线方程是

9. 如图, 在直角三角形 ABC 中, E 为斜边 AB 的中点, CD⊥AB, AB=1, 则 (CA ? CD)(CA ? CE) 的最大值是 ▲ . 10.10.直线 x+a y+1=0 与直线(a +1)x-by+3=0 互相垂直,a,b∈R,且 ab≠0,则|ab|的最小 值是 ▲ .
2 2

x 2 x3 ? 的零点的个数是 ▲ . 2 3 , 且f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 当 ? 2 ? x ? 0时, f ( x) ? 2 x , 12 . 已 知 f ( x)为偶函数
11.函数 f ? x ? ? 1 ? x ?

f ( x) ? 2 x , 若n ? N * , an ? f (n),则a2008 ?



.

13.设点 (a, b) 在平面区域 D ? {(a, b) | a | ≤1, | b | ≤1} 中按均匀分布出现,则椭圆

1

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率 e < 的概率为 2 a b 2
14.若数列{ an }满足 an?1 ? an 数列”.
2 2





,则称数列{ an }是“等方差 ? d (其中 d 是常数, n ?N﹡) 已知数列{ bn }是公差为 m 的差数列,则 m=0 是“数列{ bn }是等方差数列”的 ▲ 条件.(填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个)

x2 y 2 ? ? 1 上任意一点, 15. 已知 P 是椭圆 EF 是圆 M:x2 ? ( y ? 2)2 ? 1的直径, 则 PE ? PF 16 8
的最大值为 ▲ . 16. 设 f ?x ? 、 g ?x ? 分 别 是 定 义 域 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ??x?g ?x? ? f ?x?g ??x? ? 0 且 f ?? 3? ? 0, g ?x ? ? 0 ,则不等式 f ?x ? 2?g ?2 ? x? ? 0 的解集

是 _____▲_____17. 已知 an ? 2n ? 3n , bn ? an ?1 ? kan ,若 ?bn ? 是等比数列,则 k= 18.已知三次函数 f ( x) ? ▲ . y A B . P ▲

a 3 b 2 a?b?c 的最小值为 x ? x ? cx ? d (a ? b) 在 R 上单调递增,则 3 2 b?a

19.如图:已知 P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点,过 P 分别 作 y 轴与直线 x ? y ? 4 ? 0 的垂线,垂足分别为 A,B, 则 PA ? PB 的最小值为 ▲

0

x

(第 19 题图) 20. 在 ?ABC 中,若 AB ? 2, AC ? BC ? 8 ,则 ?ABC 面积的最大值为 ▲
2 2



二、解答题
(一)三角
21. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (1)求 sin C 的值; (2)求 ?ABC 的面积.

?

4 , cos A ? , b ? 3 . 3 5

2

22. 已 知 在

?ABC 中 , 角

A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c, 向 量

m ? C c o s . ns ? i ( nc B o) s ,B , ? s ni? n 3 s ) iB n m ? ( c oA s , A (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

(二)立几
23. 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?ACB ? 90?, M , N 分别为
B1 N A1 C1

A1B, B1C1 的中点. (1)求证 BC //平面 MNB1.
(2)当 AC ? AA . 1 时,求证:平面 MNB 1 ? 平面 ACB 1

M C

A

B

3

24. 平行四边形 ABCD 中,CD=1,∠BCD=60°,且 BD⊥CD,正方形 ADEF 所在平 面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点。 (1)求证:BD⊥平面 CDE; F E (2)求证:GH∥平面 CDE; (3)求三棱锥 D-CEF 的体积。
H G

D C B

A

(三)应用题
25. 如图,海岸线 MAN , ?A ? 2? , 现用长为 l 的拦网围成 一养殖场,其中 B ? MA, C ? NA . (1)若 BC ? l , 求养殖场面积最大值; (2)若 B 、 C 为定点, BC ? l ,在折线 MBCN 内选点 D , 使 BD ? DC ? l ,求四边形养殖场 DBAC 的最大面积; (3)若(2)中 B、C 可选择,求四边形养殖场 ACDB 面积的最大值.

4

26.某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产品需向税务 部门上交 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的日售价为 x 元(35≤x≤41) , x 根据市场调查,日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例.已知当每件产品的日 售价为 40 元时,日销售量为 10 件. (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商店的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最 大值.

(四)解几
27. 中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的焦距为 2,两准线间的距离为 10. 设 A(5,0), 过 点 A 作直线 l 交椭圆 C 于 P, Q 两点,过点 P 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于另一点 S . (1)求椭圆 C 的方程;
5

(2)求证直线 SQ 过 x 轴上一定点 B; (3)若过点 A 作直线与椭圆 C 只有一个公共点 D, 求过 B, D 两点,且以 AD 为切线的圆的 方程.

28. 已知 A(?2,0), B(2,0), 点C、D 依次满足 AC ? 2, AD ?

1 ( AB ? AC ). 2

(1)求过点 D 的轨迹; (2)过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M 、N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的 距离为

4 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程; 5

(3)经过(2)中椭圆上顶点 B 作直线 m,n,使 m⊥n,直线 m,n 分别交椭圆于 P,Q, 连接 PQ,求证 PQ 经过定点.

(五)函数
29. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) , 满 足 条 件 : 在 x ? (0,1) 时 , f ( x ) ?

f (?1) ? f (1).
(1)求 f ( x ) 在 ??1,1? 上的解析式; (2)求 f ( x ) 在 (0,1) 上的取值范围;
6

2x ,且 4x ? 1

(3)若 x ? (0,1), 解关于 x 的不等式 f ( x) ? ?.

30.已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a ( a ? R). 3 (1) 当 a ? ?3 时,求函数 f ?x ? 的极值; (2)若函数 f ?x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

7

(六)数列
31. 有 n(n ? 3, n ? N ? ) 个首项为 1, 项数为 n 的等差数列, 设其第 m(m ? n, m ? N ? ) 个 等 差 数 列 的 第

k

项 为

差 为 dm , 若 amk (k ? 1 ,…,n 2 , 且 3 公 )

d1 ? 1, d2 ? 3, a1n , a2n , a3n ,…,amn 也成等差数列. (1)求 dm (3 ? m ? n) 关于 m 的表达式;

(2)将数列 ?dm ? 分组如下: (d1 ),(d2 , d3 , d4 ),(d5 , d6 , d7 , d8 , d9 ),…(每组数的个数组 成等差数列) ,设前 m 组中所有数之和为 (Cm )4 (Cm ? 0). 求数列 2

?

Cm

d m 的前 n 项和

?

Sn .
( 3 )设 N 是不超过 20 的正整数,当 n ? N 时,对于( 2 )中的 Sn . 求使得不等式

1 ( S n ? 6) ? d n 成立的所有 N 的值. 50

8

理科附加题
1.右表为实验小学某班(共有 50 人)学生一次测验语文、数学两门学科成绩的分布,成绩 分 1-5 五个档次。 例如表中所示语文成绩为 1 等且数学成绩为 2 等的学生为 3 人。 现任意抽 一个学号(1-50) ,其对应学生的英语成绩为 X 等,数学成绩为 Y 等。设 X、Y 为随机变量。 ⑴求“X>3 且 Y=3”的概率; Y 数学 ⑵求随机变量 X 的概率分布及数学期望; X

173 ⑶若 y 的期望为 ,试确定 a , b 的值. 50

1
2 1 2 1 0

2
3 0 1 m 0

3
1 7 0 6 1

4
3 5 6 0 1

5
1 1 3 n 2

1 2
语 3 文

4 5

2.已知函数 f ( x) ? x ? sin x , 数列{ an }满足: 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ), n ? 1,2,3, . (1)用数学归纳法证明: 0 ? an ? 1 ; (2) 证明: an ?1 ?

1 3 an . 6

9

3.某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为 P 1 ?

2 ,乙的命中率为 P2 ,在射击比武活 3

动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一 发,则称该射击 小组为“先进和谐组” ; (1)若 P2 ?

1 ,求该小组在一次 检测中荣获“先进和谐组”的概率; 2

(2)计划在 2011 年每月进行 1 次检测,设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的 次数为 ? , 如果 E? ? 5 ,求 P2 的取值范围。

4.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ?

(1)当曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 l : y ? ?2 x ? 1 平行时,求 a 的值; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

1? a (a ? 2). x ?1

10

5.. 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为
?

P

1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元.? 表示经销一件该商品的利润. (1) 求事件 A : “购买该商品的 3 位顾客中, 至少有 1 位采用 1 期付款” 的概率 P( A); (2) 求 ? 的分布列及期望 E? .

6.把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示的数 表,其中第 i 行共有 2
i ?1

个正整数,设 aij ? i, j ? N *? 表示位于这

个数表中从上往下数第 i 行,从左往右第 j 个数。 (1)若 aij ? 2010 ,求 i 和 j 的值; (2)记 An ? a11 ? a22 ? a33 ?
3 n

? ann ? n ? N *? ,

求证:当 n ? 4 时, An ? n ? C . 。

11

12


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