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2014-2015学年河南省三门峡市陕州中学高三(下)第一次月考数学试卷(文科)


2014-2015 学年河南省三门峡市陕州中学高三(下)第一次月考 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 P={x|x ﹣x﹣2≤0},Q={x|log2(x﹣1)≤1},则(?RP)∩Q 等于( ) A. [2,3] B. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)

C. (2,3] D. (﹣∞,﹣1]∪(3,+∞) 2.设复数 z1=1﹣i,z2=2+i,其中 i 为虚数单位,则 z1?z2 的虚部为( A. ﹣1 B. 1 C. ﹣i 3.已知 sin( A. )= ,那么 sin2x 的值为( B. ) C. D. ) D. i

4.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an﹣1) ,则 a2=( A. 4 B. 2 C. 1

) D . ﹣2

5.“m>0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)不存在零点”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

6.若双曲线

的离心率为

,则其渐近线的斜率为(



A. ±2

B.

C.

D.

7.已知 log

a>1, ( ) >1,2 = B. c>a>b

b

c

,则(

) C. a>c>b D. c>b>a

A. a>b>c

8.一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何体的

体积为( A.

) B. C. 2 D.

9.如图所示的程序框图中输出的结果为(



A. 2

B. ﹣2

C.

D. ﹣

10.已知函数 f(x)=

若关于 x 的方程 f(x)=kx 有两个不同的实

根,则实数 k 的取值范围是( A. (0, )

) C. ( ,1) D. ( ,1]

B. (0,1)

11.O 是平面上一点,A、B、C 是平面上不共线三点,动点 P 满足: λ∈[﹣1,2],已知 λ=1 时,| A. ﹣2
2

= )

+λ(

+

) ,

|=2,则

?

+

?

的最大值为(

B. 24

C. 48

D. 96

12.抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠ AFB=120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 ( ) A. B. C. 1 D. 的最小值为

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.设五个数值 31,38,34,35,x 的平均数是 34,则这组数据的方差是 .

14.已知实数 x,y 满足

,则 z=4x+y 的最大值为



15.表面积为 6π 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的高与底面半径的比为



16.已知{an}的通项 an=3n﹣11,若 为 .

为数列{an}中的项,则所有 m 的取值集合

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使△ABC 面积最大时 a,b 的值. 18.某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取 20 辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充 电后能行驶的最大里程) , 被调查汽车的续驶里程全部介于 50 公里和 300 公里之间, 将统计 结果分成 5 组:[50,100) ,[100,150) ,[150,200) ,[200,250) ,[250,300) ,绘制成如 图所示的频率分布直方图. (1)求续驶里程在[200,300]的车辆数; (2)若从续驶里程在[200,300]的车辆中随机抽取 2 辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程 在[200,250)的概率. =

19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC⊥BC,E、F 分别在线段 B1C1 和 AC 上,B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4 (1)求证:BC⊥AC1; (2)试探究满足 EF∥平面 A1ABB1 的点 F 的位置,并给出证明.

20.设函数 f(x)=x +ax﹣lnx. (1)若 a=1,试求函数 f(x)的单调区间; (2)令 g(x)= ,若函数 g(x)在区间(0,1]上是减函数,求 a 的取值范围.

2

21.已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,离心率为

,且一个焦点坐标为(

, 0) .

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中点 P 在椭圆 M 上,O 为坐标原点,求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

四、选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B,C 两点,且 ,作直线 AF 与

圆 E 相切于点 F,连结 EF 交 BC 于点 D,已知圆 E 的半径为 2,∠EBC=30° (1)求 AF 的长; (2)求证:AD=3ED.

五、选修 4-4:坐标系与参数方程

2015?河南模拟) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为

(α 为参数) , )

以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin (θ+ =4 . (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 坐标.

六、选修 4-5:不等式选讲 2015?河南模拟)已知函数 f(x)=|2x﹣1|. (1)若对任意 a、b、c∈R(a≠c) ,都有 f(x)≤ (2)解不等式 f(x)≤3x. 恒成立,求 x 的取值范围;

2014-2015 学年河南省三门峡市陕州中学高三(下)第一 次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 P={x|x ﹣x﹣2≤0},Q={x|log2(x﹣1)≤1},则(?RP)∩Q 等于( ) A. [2,3] B. (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) C. (2,3] D. (﹣∞,﹣1]∪(3,+∞) 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:函数的性质及应用;集合. 分析: 由一元二次不等式的解法求出集合 P,由对数函数的性质求出集合 Q,再由补集、 交集的运算分别求出?RP 和 (?RP)∩Q. 2 解答: 解:由 x ﹣x﹣2≤0 得,﹣1≤x≤2,则集合 P={x|﹣1≤x≤2}, 由 log2(x﹣1)≤1= 得 0<x﹣1≤2,解得 1<x≤3,则 Q={x|1<x≤3}

所以?RP={x|x<﹣1 或 x>2}, 且(?RP)∩Q={x|2<x≤3}=(2,3], 故选:C. 点评:本题考查交、并、补集的混合运算,以及对数不等式的解法,属于基础题. 2.设复数 z1=1﹣i,z2=2+i,其中 i 为虚数单位,则 z1?z2 的虚部为( A. ﹣1 B. 1 C. ﹣i 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:∵复数 z1=1﹣i,z2=2+i, z1?z2=(1﹣i) (2+i)=3﹣i. 其虚部为﹣1. 故选:A. 点评:本题考查了复数的运算法则,属于基础题. ) D. i

3.已知 sin( A.

)= ,那么 sin2x 的值为( B.

) C. D.

考点:两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦.

专题:三角函数的求值. 分析:利用诱导公式把要求的式子化为 cos(2x﹣ 解答: 解:∵已知 sin( ﹣2× = , ) ,再利用二倍角公式求得它的值. )=1﹣2 =1

)= ,∴sin2x=cos(2x﹣

故选 B. 点评:本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用,属于中档题. 4.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an﹣1) ,则 a2=( A. 4 B. 2 C. 1 ) D . ﹣2

考点:数列的求和;数列递推式. 专题:计算题. 分析:先根据题设中递推式求得 a1,进而根据 S2=2(a2﹣1)求得答案. 解答: 解:∵S1=2(a1﹣1) , ∴a1=2 ∵a1+a2=2(a2﹣1) , ∴a2=4 故选 A 点评:本题主要考查了数列求和问题.属基础题. 5.“m>0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)不存在零点”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性, 从而得到 答案. 解答: 解:若“m>0”,则函数 f(x)=m+log2x>0, (x≥1) ,故函数 f(x)不存在零点, 是充分条件, 若函数 f(x)=m+log2x(x≥1)不存在零点,则 m>0,是必要条件, 故选:C. 点评:本题考查了充分必要条件,考查了对数函数的性质,是一道基础题.

6.若双曲线

的离心率为

,则其渐近线的斜率为(



A. ±2

B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质.

专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由双曲线 的离心率为 ,可得 ,解得 即可.

解答: 解:∵双曲线

的离心率为

,∴

,解得



∴其渐近线的斜率为 . 故选:B. 点评:本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题.

7.已知 log

a>1, ( ) >1,2 = B. c>a>b

b

c

,则(

) C. a>c>b D. c>b>a

A. a>b>c

考点:不等关系与不等式. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵ ,∴ ;

∵ ∵

,∴b<0; ,∴ .

∴c>a>b. 故选:B. 点评:本题考查了对数函数、指数函数、幂函数的单调性,属于基础题. 8.一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何体的

体积为( A.

) B. C. 2 D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:此几何体是底面积是 S= =1 的三棱锥, 与底面是边长为 2 的正方形的四棱锥 ,即可得出.

构成的组合体,它们的顶点相同,底面共面,高为 解答: 解: 此几何体是底面积是 S=

=1 的三棱锥, 与底面是边长为 2 的正方形的 ,

四棱锥构成的组合体,它们的顶点相同,底面共面,高为 ∴V= = .

点评:本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式,属于基础题. 9.如图所示的程序框图中输出的结果为( )

A. 2

B. ﹣2

C.

D. ﹣

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序,依次写出每次循环得到的 i,a 的值,当 i=2014 时,退出循环,输出 a 的 值为 2. 解答: 解:执行程序,有 i=1,a=2 i=2,a=﹣1 i=3,a= i=4,a=2 i=5,a=﹣1 … a 的取值周期为 3, ∵2013=3×671 ∴i=2013 时,a 的值与 i=3 时一样,即 a= ∴i=2014 时,a=2. 故选:A. 点评:本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查.

10.已知函数 f(x)=

若关于 x 的方程 f(x)=kx 有两个不同的实

根,则实数 k 的取值范围是( A. (0, )

) C. ( ,1) D. ( ,1]

B. (0,1)

考点:根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:首先画出函数图象,利用数形结合和函数的单调性即可得出. 解答: 解:如图所示: ①当 x≥2 时,由函数 f(x)= 单调递减,可得:0<f(x)= ; ②当 0<x<2 时,由函数 f(x)=(x﹣1) 单调递增可得:﹣1<f(x)<1. 由图象可知:由 0<2k<1 可得 0<k< , 故当 0<k< 时,函数 y=kx 与 y=f(x)的图象有且只有两个交点, ∴满足关于 x 的方程 f(x)=kx 有两个不同的实根的实数 k 的取值范围是 (0, ) . 故选:A.
3

点评:本题考查了利用数形结合求方程根的问题; 熟练掌握数形结合的思想方法和函数的单 调性是解题的关键.

11.O 是平面上一点,A、B、C 是平面上不共线三点,动点 P 满足: λ∈[﹣1,2],已知 λ=1 时,| A. ﹣2 |=2,则 ? + ? 的最大值为(

= )

+λ(

+

) ,

B. 24

C. 48

D. 96

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据向量的数量积,以及数量的加减运算,以及二次函数的性质即可求出最大值

解答: 解:由满足: 当 λ=1 时,由| ∴| 又 = + ? ?( + |=2, + ? = + )?( + ?( ﹣ + )
2

= +

+ λ( =

+ ,

) ,得

=λ(

+

) ,

|=2,得

+ )



=﹣λ(

﹣2λ(

+

) ) ,

=λ(2λ﹣1) (
2

=4(2λ ﹣λ)=8(λ﹣ ) ﹣2, ∵λ∈[﹣1,2], ∴当 λ=2 时,有最大值,最大值为 24, 故选:B. 点评:本题考查向量的加减运算,两个向量的数量积,体现了等价转化的数学思想,属于中 档题 12.抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠ AFB=120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 ( ) A. B. C. 1 D. 的最小值为
2

2

考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先画出图象、做出辅助线,设|AF|=a、|BF|=b,由抛物线定义得 2|MN|=a+b,由题意 和余弦定理可得|AB| = (a+b) ﹣ab, 再根据基本不等式, 求得|AB| 的取值范围, 代入 化简即可得到答案. 解答: 解:如右图:过 A、B 分别作准线的垂线 AQ、BP,垂足分别是 Q、P, 设|AF|=a,|BF|=b,连接 AF、BF, 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得, 2 2 2 2 2 |AB| =a +b ﹣2abcos120°=a +b +ab, 2 2 配方得|AB| =(a+b) ﹣ab,
2 2 2

因为 ab≤
2


2

则(a+b) ﹣ab≥(a+b) ﹣

= (a+b) ,即|AB| ≥ (a+b) ,

2

2

2

所以



=3,

则 故选:D.

,即所求的最小值是



点评:本题考查抛物线的定义、 简单几何性质, 基本不等式求最值, 余弦定理的应用等知识, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.设五个数值 31,38,34,35,x 的平均数是 34,则这组数据的方差是 6 . 考点:极差、方差与标准差. 专题:概率与统计. 分析:通过平均数求出 x,然后利用方差公式求解即可. 解答: 解:由 所以方差为: =6. 故答案为:6. 点评:本题考查均值与方差的计算,基本知识的考查. =34,解得 x=32.

14.已知实数 x,y 满足

,则 z=4x+y 的最大值为 8 .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用.

分析:由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数求 得 z=4x+y 的最大值. 解答: 解:由约束条件 作出可行域如图,

由 z=4x+y,得 y=﹣4x+z, 由图可知,当直线 y=﹣4x+z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 最大,等于 4×2+0=8. 故答案为:8. 点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 15.表面积为 6π 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的高与底面半径的比为 2 . 考点:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题:导数的概念及应用;空间位置关系与距离. 分析:设出圆柱的高为 h,底面半径为 r,由表面积公式,求出 r 与 h 的关系,写出圆柱的 体积 V 的解析式,求出 V 取最大时的 h 与 r 的比值. 解答: 解:设该圆柱的高为 h,底面半径为 r, 2 ∴表面积为 2πr +2πrh=6π, 2 即 r +rh=3, ∴h= ;

∴圆柱的体积为 V=πr h=πr ?
2 2 2

=πr(3﹣r )=3πr﹣πr ,

2

3

∴V′=3π﹣3πr , 令 V′=0, 解得 r=1,此时 V 最大; 此时 h= ∴ = =2. 故答案为:2. =2,

点评:本题考查了圆柱体的表面积与体积公式的应用问题, 解题时应利用公式建立函数解析 式,利用导数求函数解析式的最值,是综合题.

16. 已知{an}的通项 an=3n﹣11, 若 或4 .

为数列{an}中的项, 则所有 m 的取值集合为 3

考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据等差数列的通项公式进行计算即可. 解答: 解:∵ = =am+9+ ,an=3n﹣11=3(n﹣4)+1,

∴若

为数列{an}中的项,则

必须是 3 的倍数,

则 am 在±1,±2,±3,±6 中取值, 由于 am﹣1 是 3 的倍数, ∴am=1 或﹣2, 由 am=1 得 m=4,由 am=﹣2,得 m=3, 故 m=3 或 4, 故答案为:3 或 4 点评:本题主要考查数列递推关系的应用, 根据等差数列的通项公式进行化简和运算是解决 本题的关键. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使△ABC 面积最大时 a,b 的值. 考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)已知等式左边利用正弦定理化简,右边利用诱导公式变形,整理后再利用两 角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值,即可确定出 C 的度数; (2)利用余弦定理列出关系式,将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大值, 进而确定出三角形 ABC 面积的最大值,以及此时 a 与 b 的值即可. 解答: 解: (1)∵A+C=π﹣B,即 cos(A+C)=﹣cosB, ∴由正弦定理化简已知等式得: = , =

整理得:2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB,即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C) =sinA,

∵sinA≠0, ∴cosC=﹣ , ∵C 为三角形内角, ∴C= ;

(Ⅱ)∵c=2,cosC=﹣ , ∴由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC,即 4=a +b +ab≥2ab+ab=3ab, ∴ab≤ , (当且仅当 a=b 时成立) , ∵S= absinC= ab≤ , ,此时 a=b= . ,
2 2 2 2 2

∴当 a=b 时,△ABC 面积最大为 则当 a=b=

时,△ABC 的面积最大为

点评:此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握 定理及公式是解本题的关键. 18.某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取 20 辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充 电后能行驶的最大里程) , 被调查汽车的续驶里程全部介于 50 公里和 300 公里之间, 将统计 结果分成 5 组:[50,100) ,[100,150) ,[150,200) ,[200,250) ,[250,300) ,绘制成如 图所示的频率分布直方图. (1)求续驶里程在[200,300]的车辆数; (2)若从续驶里程在[200,300]的车辆中随机抽取 2 辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程 在[200,250)的概率.

考点:频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:算法和程序框图. 分析: (1)利用小矩形的面积为 1 求出 x 的值; (2)据直方图求出续驶里程在[200,300]和续驶里程在[250,300)的车辆数,利用排列组 合和概率公式求出其中恰有一辆车的续驶里程在[200,250)的概率. 解答: 解: (1)有直方图可知 0.002×50+0.005×50+0.008×50+x×50+0.002×50=1 解得 x=0.003, 续驶里程在[200,300]的车辆数为 20×(0.003×50+0.002×50)=5

(2)由题意可知,续驶里程在[200,300]的车辆数为 3, 续驶里程在[250,300)的车辆数为 2, 从 5 辆车中随机抽取 2 辆车,共有 中抽法, 种, .

其中恰有一辆车的续驶里程在[200,250)的抽法有

∴其中恰有一辆车的续驶里程在[200,250)的概率为 P(A)=

点评:本题考查直方图、古典概型概率公式;直方图中频率=纵坐标×组距,属于一道基础 题. 19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AC⊥BC,E、F 分别在线段 B1C1 和 AC 上,B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4 (1)求证:BC⊥AC1; (2)试探究满足 EF∥平面 A1ABB1 的点 F 的位置,并给出证明.

考点:直线与平面平行的性质;直线与平面垂直的性质. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明; (2)证法一:利用线面平行的判定定理即可证明;证法二:利用面面平行的判定定理. 解答: 证明: (1)∵AA1⊥平面 ABC,∴AA1⊥BC, 又∵AC⊥BC,AA1∩AC=A, ∴BC⊥平面 AA1C1C, ∴BC⊥AC1. (2)解法一:当 AF=3FC 时,EF∥平面 AA1B1B. 证明如下:在平 A1B1C1 内过 E 作 EG∥A1C1 交 A1B1 于 G,连接 AG. ∵B1E=3EC1,∴ 又 AF∥A1C1 且 = , ,

∴AF∥EG 且 AF=EG, ∴四边形 AFEG 为平行四边形,∴EF∥GA, 又∵EF?面 AA1B1B,AG?平面 AA1B1B, ∴EF∥平面 AA1B1B.

解法二:当 AF=3FC 时,FE∥平面 A1ABB1. 证明:在平面 ABC 内过 E 作 EG∥BB1 交 BC 于 G,连接 FG. ∵EG∥BB1,EG?A1ABB1,BB1?平面 A1ABB1, ∴EG∥平面 A1ABB1. ∵B1E=3EC1,∴BG=3GC. ∴FG∥AB, 又 AB?平面 A1ABB1,FG?平面 A1ABB1. ∴FG∥平面 A1ABB1. 又 EG∩FG=F, ∴平面 EFG∥平面 A1ABB1. ∴EF∥平面 A1ABB1.

点评:熟练掌握线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理是解题的关键. 20.设函数 f(x)=x +ax﹣lnx. (1)若 a=1,试求函数 f(x)的单调区间; (2)令 g(x)= ,若函数 g(x)在区间(0,1]上是减函数,求 a 的取值范围.
2

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)求出函数 f(x)的导数,利用导数的正负性判断单调性,从而求函数的极值; (2)求出 g(x)的导数,化简构造函数 h(x) ,求出 h(x)的导数,讨论函数 h′(x)正 负性,判断 h(x)的单调性,根据 h(x)的正负性,判断 g(x)的单调性,从而求出参数 a 的取值范围. 2 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=x +x﹣lnx,定义域为(0,+∞) , ∴f′(x)=2x+1﹣ = = ,

∴当 0<x< ,时 f′(x)<0,当 x> 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,

(2)g(x)=

=

,定义域为(0,+∞) ,

g′(x)= 令 h(x)= h (x)=﹣2﹣


, ,则 h′(x)=﹣2x+ ﹣ <0,故 h′(x)在区间(0,1]上单调递减, +2﹣a,

从而对(0,1],h′(x)≥h′(1)=2﹣a ①当 2﹣a≥0,即 a≤2 时,h′(x)≥0,∴y=h(x)在区间(0,1]上单调递增, ∴h(x)≤h(1)=0,即 F′(x)≤0, ∴y=F(x)在区间(0,1]上是减函数,a≤2 满足题意; ②当 2﹣a<0,即 a>2 时,由 h′(1)<0,h′( )=﹣ +a +2>0,0< <1, 且 y=h′(x)在区间(0,1]的图象是一条连续不断的曲线, ∴y=h′(x)在区间(0,1]有唯一零点,设为 x0, ∴h(x)在区间(0,x0)上单调递增,在(x0,1]上单调递减, ﹣a ﹣2a ﹣a ﹣a a ∴h(x0)>h(1)=0,而 h(e )=﹣e +(2﹣a)e +a﹣e +lne <0, 且 y=h(x)在区间(0,1]的图象是一条连续不断的曲线, y=h(x)在区间(0,1)有唯一零点,设为 x′, 即 y=F′(x)在区间(0,1)有唯一零点,设为 x′, 又 F(x)在区间(0,x′)上单调递减,在(x′,1)上单调递增, 矛盾,a>2 不合题意; 综上所得:a 的取值范围为(﹣∞,2]. 点评:本题考查的是利用导数求函数的单调区间, 同时考查了利用导数解决参数问题, 利运 用了二次求导,是一道导数的综合性问题.属于难题.
2

21.已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,离心率为

,且一个焦点坐标为(

, 0) .

(1)求椭圆 M 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中点 P 在椭圆 M 上,O 为坐标原点,求点 O 到直线 l 的距离的最小值. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由题意可设椭圆的标准方程为: ,可得

,解得即可得出.

(2)当直线 l 的向量存在时,设直线 l 的方程为:y=kx+m,与椭圆方程联立化为(1+2k ) 2 2 2 2 x +4kmx+2m ﹣4=0,由△>0,化为 2+4k ﹣m >0,设 A(x1,y1) ,

2

B(x2,y2) ,P(x0,y0) .可得 x0=x1+x2,y0=y1+y2.代入椭圆方程.利用点到直线的距离

公式可得:点 O 到直线 l 的距离 d=

=

即可得出.当直线 l 无斜率时时,由对

称性可知:点 O 到直线 l 的距离为 1.即可得出. 解答: 解: (1)由题意可设椭圆的标准方程为: ,



,解得 a=2,b =2,

2

∴椭圆 M 的方程为



(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为:y=kx+m, 联立
2 2

,化为(1+2k )x +4kmx+2m ﹣4=0,
2 2 2 2

2

2

2

△=16k m ﹣4(1+2k ) (2m ﹣4)>0,化为 2+4k ﹣m >0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) . ∴x0=x1+x2= ,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m= .

∵点 P 在椭圆 M 上,∴





+

=1,化为 2m =1+2k ,满足△>0.

2

2

又点 O 到直线 l 的距离 d=

=

=

=

.当且仅当

k=0 时取等号. 当直线 l 无斜率时时,由对称性可知:点 P 一定在 x 轴上,从而点 P 的坐标为(±2,0) ,直 线 l 的方程为 x=±1, ∴点 O 到直线 l 的距离为 1.∴点 O 到直线 l 的距离的最小值为 .

点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与 系数的关系、向量的平行四边形法则、二次函数的单调性,考查了分类讨论的思想方法,考 查了推理能力与计算能力,属于难题.

四、选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B,C 两点,且 ,作直线 AF 与

圆 E 相切于点 F,连结 EF 交 BC 于点 D,已知圆 E 的半径为 2,∠EBC=30° (1)求 AF 的长; (2)求证:AD=3ED.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:直线与圆. 分析: (1)延长 BE 交圆 E 于点 M,连结 CM,则∠BCM=90°,由已知条件求出 AB, AC,再由切割线定理能求出 AF. (2)过 E 作 EH⊥BC 于 H,得到 EDH∽△ADF,由此入手能够证明 AD=3ED. 解答: (1)解:延长 BE 交圆 E 于点 M,连结 CM,则∠BCM=90°, ∵BM=2BE=4,∠EBC=30°,∴ , 又∵ ,∴ ,∴ , ,即 AF=3

根据切割线定理得 (2)证明:过 E 作 EH⊥BC 于 H, ∵∠EOH=∠ADF,∠EHD=∠AFD, ∴△EDH∽△ADF, ∴ , ,EB=2, ,

又由题意知 CH= ∴EH=1,∴ ∴AD=3ED.

点评:本题考查与圆有关的线段的求法,考查两条线段间数量关系的证明,是中档题,解题 时要注意切割线定理的合理运用. 五、选修 4-4:坐标系与参数方程 2015?河南模拟) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 (α 为参数) , )

以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin (θ+ =4 . (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 坐标.

考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题;坐标系和参数方程. 分析: (1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程,利用直 角坐标和极坐标的互化公式 x=ρcosθ、y=ρsinθ,把极坐标方程化为直角坐标方程. (2)设 P( cosα,sinα) ,则 P 到直线的距离为 d,运用点到直线的距离公式和两角和的 正弦公式以及正弦函数的值域即可得到最小值. 解答: 解: (1)曲线 C1 的参数方程为 则由 sin α+cos α=1 化为
2 2

(α 为参数) ,

+y =1, )=4 ,

2

曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ+ 即有 ρsinθcos (2)设 P( 则 d= 则当 sin( +ρcosθsin =4

,即为直线 x+y﹣8=0;

cosα,sinα) ,则 P 到直线的距离为 d, = )=1,此时 α=2k ,k 为整数, =3 . ,

P 的坐标为( , ) ,距离的最小值为

点评:本题主要考查把参数方程、 极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 点到直线的距离公 式的应用,正弦函数的值域,属中档题.

六、选修 4-5:不等式选讲 2015?河南模拟)已知函数 f(x)=|2x﹣1|. (1)若对任意 a、b、c∈R(a≠c) ,都有 f(x)≤ (2)解不等式 f(x)≤3x. 考点:绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|,可得 ≤ ≥1,再根据 f(x) 恒成立,求 x 的取值范围;

恒成立,可得 f(x)≤1,即|2x﹣1|≤1,由此求得 x 的范围. ,由此求得不等式的解集. ≥ 1,

(2)不等式即|2x﹣1|≤3x,可得

解答: 解: (1)∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+(b﹣c)|=|a﹣c|,故有 再根据 f(x)≤ 得 0≤x≤1. (2)不等式 f(x)≤3x,即|2x﹣1|≤3x,∴ 即不等式的解集为{x|x≥ }. ,求得 x≥ ,

恒成立,可得 f(x)≤1,即|2x﹣1|≤1,∴﹣1≤2x﹣1≤1,求

点评:本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属 于基础题.


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