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第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例


2009~2013 年高考真题备选题库 第 4 章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第 3 节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
考点一
的最大值为( A. 2-1 C. 2+1 ) B. 2 D. 2+2

平面向量的数量积

1. (2013 湖南,5 分)已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足

|c-a-b|=1,则|c|

解析:本题主要考查向量的坐标运算、向量模的几何含义与向量模的最值求解,意在考 查考生的转化能力、数形结合思想的运用能力.建立平面直角坐标系,令向量 a,b 的坐标 a =(1,0),b=(0,1),令向量 c=(x,y),则有 ?x-1?2+?y-1?2=1,|c|的最大值为圆(x-1)2+(y -1)2=1 上的动点到原点的距离的最大值,即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径,即 2+1. 答案:C 2. (2013 湖北,5 分)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量 AB 在 CD 方向上的投影为( 3 2 A. 2 3 2 C.- 2 ) 3 15 B. 2 3 15 D.- 2

解析:本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念,意在考查考生对基础知识的掌握情 况.AB =(2,1),CD =(5,5), 向量 AB =(2,1)在 CD =(5,5)上的投影为| AB |cos 〈 AB ,CD 〉 =| AB |

AB · CD AB · CD 15 3 2 = = = ,故选 A. 2 5 2 | AB || CD | | CD |

答案:A 3. (2010 辽宁,5 分)平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA =a, OB =b,则△OAB 的 面积等于( )

A. |a|2|b|2-?a· b?2 B. |a|2|b|2+?a· b?2 1 C. |a|2|b|2-?a· b?2 2 1 D. |a|2|b|2+?a· b?2 2

a· b 解析:因为 cos〈a,b〉= , |a||b| 所以 sin∠AOB=sin〈a,b〉= a· b 2 1-? ?, |a||b|

1 1 则 S△AOB= ×|a|×|b|×sin∠AOB= × |a|2|b|2-?a· b?2. 2 2 答案:C 4. (2010 湖南, 5 分)若非零向量 a, b 满足|a|=|b|, (2a+b)· b=0, 则 a 与 b 的夹角为( A.30° C.120° B.60° D.150° )

1 解析:(2a+b)· b=2a· b+b2=2|a|2cos〈a,b〉+a2=0?cos〈a,b〉=- ,所以夹角为 2 120° . 答案:C 5.(2009· 福建,5 分)设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满 足 a 与 b 不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b· c|的值一定等于( A.以 a,b 为两边的三角形的面积 B.以 b,c 为两边的三角形的面积 C.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 D.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 解析:∵|b· c|=|b|· |c||cosθ|, 如图,∵a⊥c,∴|b· cosθ|就是以 a、b 为邻边的平行四边形的高,而|a|=|c|, )

∴|b· c|=|a|(|b|· |cosθ|), ∴|b· c|表示以 a、b 为邻边的平行四边形的面积. 答案:C 6. (2012 新课标全国,5 分)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b| =________. 解析:依题意,可知|2a-b|2=4|a|2-4a· b+|b|2=4-4|a||b|· cos 45° +|b|2=4-2 2|b|+|b|2 =10,即|b|2-2 2|b|-6=0,∴|b|= 答案:3 2 2 2+ 32 =3 2(负值舍去). 2

7. (2013 新课标全国Ⅰ,5 分)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b, 若 b· c=0,则 t=________. 解析:本题考查平面向量的数量积运算,意在考查考生的运算求解能力.根据数量积 b· c =0,把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中.因为向量 a,b 为单位向量,所以 1 b2=1,又向量 a,b 的夹角为 60° ,所以 a· b= ,由 b· c=0 得 b· [ta+(1-t)b]=0,即 ta· b+(1 2 1 -t)b2=0,所以 t+(1-t)=0,所以 t=2. 2 答案:2 8. (2013 安徽,5 分)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值 为________. 解析:本题主要考查平面向量数量积的运算和夹角等基础知识和基础运算. 对向量的模同时平方可得,|a|2=9|b|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a· b,所以有 4a· b=-4|b|2, |b| 1 即 cos〈a,b〉=- =- . |a| 3 1 答案:- 3 9. (2013 浙江,4 分)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 e1,e2 π |x| 的夹角为 ,则 的最大值等于________. 6 |b| 解析:本题考查向量的概念、运算、函数的最值等知识,考查转化与化归能力、函数与 |x| ?|x|? 方程思想以及灵活利用知识分析问题、 解决问题的能力. 当 x=0 时, =0, 当 x≠0 时, ?|b|? |b|
2

x2 1 1 |x| y 3 = 2 2 = = ≤4,所以 的最大值是 2,当且仅当 =- y?2 |b| x 2 y ?y x +y + 3xy 3?2 1 1+? ?x? + 3x ?x+ 2 ? +4

时取到最大值. 答案:2 10. (2012 江苏,5 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,

AF = 2,则 AE · BF 的值是________. 点 F 在边 CD 上,若 AB ·

解析:以 A 为坐标原点,AB,AD 所在的直线分别为 x,y 轴建立直角坐标系,则 B( 2,

AF = 2? 2x= 2?x=1, 0),E( 2,1),D(0,2),C( 2,2).设 F(x,2)(0≤x≤ 2),由 AB ·

所以 F(1,2), AE · (1- 2,2)= 2. BF =( 2,1)· 答案: 2 11. (2012 湖北,5 分)已知向量 a=(1,0),b=(1,1),则 (1)与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为________; (2)向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为________. 3 10 10 解析:(1)因为 2a+b=(3,1),所以与它同向的单位向量的坐标是( , ); 10 10 (2)b-3a=(-2,1),所以(b-3a)· a=-2,|b-3a|= 5,所以 b-3a 与 a 夹角的余弦为 ?b-3a?· a -2 2 5 = =- 5 |b-3a||a| 5 3 10 10 2 5 答案:(1)( , );(2)- 10 10 5 12. (2011 新课标全国,5 分)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________. 解析:∵a+b 与 ka-b 垂直, ∴(a+b)· (ka-b)=0, 化简得(k-1)(a· b+1)=0,根据 a、b 向量不共线,且均为单位向量得 a· b+1≠0,得 k- 1=0,即 k=1. 答案:1

考点二

平面向量的应用

1.(2011 山东,5 分)设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A1 A3 = 1 1 λ A1 A2 (λ∈R),A1 A4 =μA1A2(μ∈R), 且 + =2, 则称 A3, A4 调和分割 A1, A2· 已知点 C(c,0), λ μ D(d,0)(c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 解析: 根据已知得(c,0)-(0,0)=λ[(1,0)-(0,0)], 即(c,0)=λ(1,0), 从而得 c=λ; (d,0)-(0,0) 1 1 1 1 =μ[(1,0)-(0,0)],即(d,0)=μ(1,0),得 d=μ.根据 + =2,得 + =2.线段 AB 的方程是 y=0, λ μ c d 1 1 1 1 x∈[0,1].若 C 是线段 AB 的中点,则 c= ,代入 + =2 得, =0,此等式不可能成立,故 2 c d d 选项 A 的说法不正确;同理选项 B 的说法也不正确;若 C,D 同时在线段 AB 上,则 1 1 1 1 0<c≤1,0<d≤1,此时 ≥1, ≥1, + ≥2,若等号成立,则只能 c=d=1,根据定义,C, c d c d )

D 是两个不同的点,故矛盾,故选项 C 的说法也不正确;若 C,D 同时在线段 AB 的延长线 1 1 1 1 1 1 1 1 上,若 c>1,d>1,则 + <2,与 + =2 矛盾,若 c<0,d<0,则 + 是负值,与 + =2 矛 c d c d c d c d 1 1 1 1 1 1 盾,若 c>1,d<0,则 <1, <0,此时 + <1,与 + =2 矛盾;故选项 D 的说法是正确的. c d c d c d 答案:D π? 2. (2013 辽宁,12 分)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈? ?0,2?. (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解:本题考查向量与三角函数的综合应用,侧重考查三角函数的性质. (1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得 4sin2x=1. π? 1 又 x∈? ?0,2?,从而 sin x=2, π 所以 x= . 6 (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2x= π 1 3 1 1 2x- ?+ , sin 2x- cos 2x+ =sin? 6? 2 ? 2 2 2

π π π 0, ?时,sin?2x- ?取最大值 1. 当 x= ∈? 6? ? 3 ? 2? 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 3. (2013 江苏,15 分)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. 解:本题考查平面向量的加法、减法、数量积运算,三角函数的基本关系等基础知识, 意在考查学生的运算求解和推理论证能力. (1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b.
? ?cos α+cos β=0, (2)因为 a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以? ?sin α+sin β=1. ?

由此得,cos α=cos (π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π.又 0<α<π,故 α=π-β.代入 sin α+ 1 5π π sin β=1 得,sin α=sin β= ,而 α>β,所以 α= ,β= . 2 6 6 x2 y2 3 4. (2013 天津,13 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 , 过点 F a b 3

4 3 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 (1) 求椭圆的方程; (2) 设 A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两 点.若 AC · DB + AD · CB =8,求 k 的值. 解:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质, 考查运算求解能力, 以及用方程思想解决问题的能力. c 3 (1)设 F(-c,0),由 = ,知,a= 3c.过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c,代入椭圆 a 3 ?-c?2 y2 6b 2 6b 4 3 方程有 2 + 2=1,解得 y=± ,于是 = ,解得 b= 2,又 a2-c2=b2,从而 a a b 3 3 3 x2 y2 = 3,c=1,所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1). y=k?x+1?, ? ? 由方程组?x2 y2 ? ? 3 + 2 =1 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.

3k2-6 6k2 则 x1+x2=- ,x x = . 2+3k2 1 2 2+3k2 因为 A(- 3,0),B( 3,0),所以 AC · ( 3-x2,-y2) DB + AD · CB =(x1+ 3,y1)· + (x2 + 3 , y2)· ( 3 - x1 ,- y1) = 6 - 2x1x2 - 2y1y2 = 6 - 2x1x2 - 2k2(x1 + 1)· (x2 + 1) = 6 - (2 + 2k2+12 2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+ . 2+3k2 2k2+12 由已知得 6+ =8,解得 k=± 2. 2+3k2 5.(2010 江苏,14 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2, -1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB -t OC )· OC =0,求 t 的值. 解:(1)由题设知 AB =(3,5), AC =(-1,1), 则 AB + AC =(2,6), AB - AC =(4,4). 所以| AB + AC |=2 10,| AB - AC |=4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. (2)由题设知 OC =(-2,-1), AB -t OC =(3+2t,5+t).

OC =0, 由( AB -t OC )·

得(3+2t,5+t)· (-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11,所以 t=- . 5


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