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江苏省南通市2014届高三第二次调研数学测试


让学习成为一种习惯!

南通市 2014 届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A ? ? x x ≥ 3 ? ? ? x x ? ? 1 ? ,则 ? R A ? .

2. 某学

校有 8 个社团,甲、乙两位同学各自参加其中一个社团,且他俩参加各个社团的可能性相同,则这两位 同学参加同一个社团的概率为 3. 复数 z ? . .
a ?1 i ?2 While i≤6

i (其中 i 为虚数单位)的模为 1? i

4.从编号为 0,1,2,?,79 的 80 件产品中,采用系统抽样的 方法抽取容量是 5 的样本,若编号为 28 的产品在样本中,则 该样本中产品的最大编号为 . .

5. 根据如图所示的伪代码,最后输出的 a 的值为 6. 若 loga 12 ? 1 ,则 a 的取值范围是 a ?1 7. 8. .

a ? a ?i (第 5 题) i ?i ?2 End while Print a

若函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 为奇函数,其图象的一条切线方程为 y ? 3x ? 4 2 ,则 b 的值为 设 l,m 表示直线,m 是平面 ? 内的任意一条直线.则“ l ? m ”是“ l ? ? ”成立的 (在“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选填一个)



条件.

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,设 A 是半圆 O : x2 ? y 2 ? 2 ( x ≥ 0 )上一点,直线 OA 的倾斜角为 45° ,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 H ,过 H 作 OA 的平行线交半圆于点 B ,则直线 AB 的方程是 10.在△ABC 中,D 是 BC 的中点,AD=8,BC=20,则 AB ? AC 的值为
??? ? ????



. . . .

11.设 x,y,z 是实数,9x,12y,15z 成等比数列,且 1 , 1 , 1 成等差数列,则 x ? z 的值是 z y x z x 12.设 π 是函数 f ( x) ? sin ?2 x ? ? ? 的一个零点,则函数 f ( x) 在区间 ? 0 ,2 π ? 内所有极值点之和为 6 13. 若不等式(mx-1)[3m 2-( x + 1)m-1]≥0 对任意 m ? (0 , ? ?) 恒成立,则实数 x 的值为 14.设实数 a,b,c 满足 a2+b2 ≤c≤1,则 a+b+c 的最小值为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演 ....... 算步骤.

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15. (本小题满分 14 分)
??? ? ???? ??? ? ??? ? 在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 9 ,AB ? BC ? ?16 .求:

(1)AB 的值; (2)

sin( A ? B) 的值. sin C

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥DC,AB⊥平面 PAD, PD=AD,AB=2DC,E 是 PB 的中点. 求证: (1)CE∥平面 PAD; (2)平面 PBC⊥平面 PAB. P E A

B

D

C
(第 16 题)

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17. (本小题满分 14 分) 为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒 1 个单位的净化剂,空气中 释放的浓度 y(单位:毫克/立方米)随着时间 x (单位:天)变化的函数关系式近似为
? 16 ? 1 , 0 ≤ x ≤ 4 , ?8 ? x y?? ?5 ? 1 x , 4 ? x ≤ 10. ? 2

若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之 和.由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的作用. (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒 a( 1≤ a ≤ 4 )个单位的药剂,要使接下来的 4 天中 能够持续有效净化,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1.4) .

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设曲线 C1:
x a ? y b ? 1(a ? b ? 0) 所围成的封闭图形的面积为

4 2 ,曲线 C1 上的点到原点 O 的最短距离为 2 2 .以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆记 3

为 C2. (1)求椭圆 C2 的标准方程; (2)设 AB 是过椭圆 C2 中心 O 的任意弦,l 是线段 AB 的垂直平分线.M 是 l 上的点(与 O 不 重合) . ①若 MO=2OA,当点 A 在椭圆 C2 上运动时,求点 M 的轨迹方程; ②若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点,求△AMB 的面积的最小值.

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19.(本小题满分 16 分) 设数列{an}的首项不为零,前 n 项和为 Sn,且对任意的 r,t ? N*,都有 (1)求数列{an}的通项公式(用 a1 表示) ; (2)设 a1=1,b1=3, bn ? Sbn?1 ? n ≥ 2 ,n ? N* ? ,求证:数列 ?log 3 bn ? 为等比数列; (3)在(2)的条件下,求 Tn ? ?
k ?2 n

Sr ? r St t

? ?.
2

bk ?1 . bk ? 1

20.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? e x ? ax ? a(a ? R) ,其图象与 x 轴交于 A( x1 , 0) , B( x2 ,0) 两点,且 x1<x2. (1)求 a 的取值范围; (2)证明: f ?

?

x1 x2 ? 0 ( f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数) ;

?

(3)设点 C 在函数 y ? f ( x) 的图象上,且△ABC 为等腰直角三角形,记 的值.

x2 ? 1 ? t ,求 (a ? 1)(t ? 1) x1 ? 1

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数学Ⅱ(附加题)
21B.选修 4—2:矩阵与变换
? 3? ?1? ?1? 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 1 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,且 M ? ? = ? ? .求矩阵 M. ?1 ? ? ?1? ?1?

21C.选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 1 ? 2 cos ? , 在平面直角坐标系 xOy 中,设动点 P,Q 都在曲线 C: ? (θ 为参数)上,且这两 ? y ? 2sin ?

点对应的参数分别为 θ=α 与 θ=2α(0<α<2π),设 PQ 的中点 M 与定点 A(1,0)间的距离为 d, 求 d 的取值范围.

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应 ....... 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AD ? AA1 ? 1 AB ,点 E 是棱 AB 上一点.且 AE ? ? . 2 EB (1)证明: D1 E ? A1D ; (2) 若二面角 D1—EC—D 的大小为 π , 求 ? 的值. 4 A1 D1 B1 D A B C1

C E
(第 22 题)

23.(本小题满分 10 分) 设数列{an}共有 n( n ≥ 3 , n ? N )项,且 a1 ? an ? 1 ,对每个 i (1≤i≤ n ? 1 ,i ? N),均有
ai ?1 ? 1, 1,2 . ai 2

?

?

(1)当 n ? 3 时,写出满足条件的所有数列{an}(不必写出过程) ; (2)当 n ? 8 时,求满足条件的数列{an}的个数.

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