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广东省惠州市2013届高三第三次调研考试数学(理)试题 Word版含答案


惠州市2013届高三第三次调研考试

数学试题(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)

1 ? 3i 3 1.复数 i 的共轭复数是(
A. ?3 ? i

) C. 3 ? i ) D. 13 D. 3 ? i

B. ?3 ? i

6 ? ? 2 , 3? q ? ? x , ? ? p?q 2.已知向量 p , ,且 p // q ,则 的值为(
A. 5 3.已知集合 合为( A. D. ) B. B. 13 C. 5

A ? ??1, 1?



B ? ?x ax ?1 ? 0?

,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集

??1?
0 1 ??1,,?

?1?

C.

1 ??1,?

1 2 ( , ) y ? f ( x) 的图象过点 2 2 ,则 log4 f (2) 的值为( 4.已知幂函数



1 A. 4
5.“ m ? n ? 0 ”是“方程 A.充分而不必要条件 必要条件

1 B. - 4
mx 2 ? ny 2 ? 1

C.2 表示焦点在y轴上的椭圆”的( C.充要条件 )

D.-2

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不

6.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所 示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为( ) A.19、13 B.13、19 C.20、18 D.18、20

y 7.已知 x , 满足约束条件
为( )

?x ? y ? 5 ? 0 ? ,则z ? 2 x ? 4 y ?x ? y ? 0 ?y ? 0 ?

的最小值

A. ?14 8.数列{ A.76

B. ?15

C. ?16 ,则数列{

D. ?17 ) D.82

an

} 中,

an ?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1
B.78

an

}前 12 项和等于(

C. 80

二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分) (一)必做题(第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9. 在等比数列 和

?an ? 中,a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 ?an ? 前 n 项

Sn ? 127 ,
则 n 的值为 .

10.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为 ________.

11 . 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

的一个焦点与抛线线

y2 ? 4 1 0 x

的焦点

10 重合,且双曲线的离心率等于 3 ,则该双曲线的方程
为 .

? ? 12.已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题
中正确的有 .

‖ n 则 ‖ ? 则 ① 若m ? ,‖? , m n ;② 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ;

‖ m 则 n 则 ③ 若m ? , ‖ ? , ?‖ ? ;④ 若m ? ? , ? ? , m‖ n .
? 2 1 x ? x ? a ? 2 , ≤1, f ? x? ? ? 2 ?a x ? a ,x ? 1 f ? x? ?0 , ?? ? ? 13.已知函数 .若 在 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 .
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)

OB PA 14. 几何证明选讲选做题) ( 如图, 切 ? O 于点 A , 割线 PBC 经过圆心 O , ? PB ? 1 ,
OA 绕点 O 逆时针旋转 60? 到 OD ,则 PD 的长为
15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知两点 A 、 .

(3 , ) (4 , ) 3 , 6 ,则△ AOB (其中 O 为 B 的极坐标分别为
极点)的面积为 .

?

?

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

0 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ?(其中 x ?R , ? ? ? ? ) ,

?? ? ? y ? f ? 2x ? ? x? 4 ? 的图像关于直线 ? 6 对称. 且函数
(1)求 ? 的值;

f (? ?
(2)若

2? 2 )? 3 4 ,求 sin 2? 的值。

17. (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中考试数学 成绩(满分100分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:

50 60 ? 40 , ? , ?50 , ? ,…,

100 ?90 , ? 后得到如下图的频率分布直方图.
(1)求图中实数 a 的值; (2) 若该校高一年级共有学生 640 人, 试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分 的人数;

(3)若从数学成绩在

50 100 ? 40 , ? 与 ?90 , ? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求

这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。

18. (本小题满分14分)如图,在长方体 点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:

ABCD ? A B1C1D1 中, AD ? AA ? 1 , AB ? 2 , 1 1

D1E ? A1D ; ACD1 的距离;

(2)当 E 点为 AB 的中点时,求点 E 到平面

? D1 ? EC ? D 的大小为 4 ? (3) AE 等于何值时,二面角

1 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ?1)的图象上一点, 19. (本小题满分14分)已知点(1, 3 )是函数
等比数列

{a n }

的前 n 项和为

f ( n) ? c

, 数列

{bn } (bn ? 0)

的首项为 c , 且前 n 项和

Sn

满足:

Sn



Sn?1 = S n + Sn?1 ( n ? 2 ).
{a n }


(1)求数列

{bn }

的通项公式;

1 cn ? bn ? ( )n {c } 3 ,求数列 {cn }的前 n 项和 Rn ; (2)若数列 n 的通项

1 1000 } Tn T ? (3)若数列{ bnbn?1 前 n 项和为 ,问 n 2 0 0 9的最小正整数 n 是多少?

x2 y 2 l:x? M: 2? ?1 a ? 2 F1 , a 2 20. 本小题满分14分) ( 设椭圆 的右焦点为 直线 ???? ???? OF ? 2 F1 A 与 x 轴交于点 A ,若 1 (其中 O 为坐标原点) .

?

?

a2 a2 ? 2

(1)求椭圆 M 的方程;

(2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x ? ?y ? 2? ? 1的任意一条直径( E 、
2 2

F 为直径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.

21. (本小题满分14分)已知函数 (1)若 x ? 2 为 (2)若

f ( x) ? ln ? 2ax ? 1? ?

x3 ? x 2 ? 2ax a ? R ? ?. 3

f ( x ) 的极值点,求实数 a 的值;

? y ? f (x) 在 ?3 , ? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;
3

?1 ? x ? + b 1 f ?1 ? x ? ? a?? 3 x 有实根,求实数 b 的最大值。 2 时,方程 (3)当

惠州市2013届高三第三次调研考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 C 6 A 7 B 8 B

1 ? 3i ? ?1 ? 3i ? i = 3 + i 3 1. 【解析】 i .故选D.
2. 【解析】 选B.

2 ? 6 ? 3x ? 0 ? x ? ?4 ? p ? q ? (2 , 3) ? (?4 , ? (?2 , ? 13 ? 6) 3)

.故

1 3. 【解析】 a ? 0或 或 ? 1 .故选D.
1 2 1 2 1 1 1 ( )? ? ? ( )2 ? ? ? ( , ) f ( x) ? x? ,图象过点 2 2 得 2 2 2 2, 4. 【解析】由设
log 4 f (2) ? log 4 2 2 ?
1

1 4 .故选A.

mx 2 ? ny 2 ? 1 ?
5. 【解析】

x2 y 2 ? ?1 1 1 1 1 m?n?0?0? ? m n m n ,即 p ? q .故选C. ,

6. 【解析】甲中位数为19,甲中位数为13.故选A. 7. 【解析】最优解为 选B. 8. 【解析】 取

(?2.5 , 2.5) ? zmin ? ?15 .故 ?

an ? 2 ? an ? (?1) n (2n ? 1) ? (2n ? 1)



n ? 1, , 及 n ? 2 , , , 5 9 6 10

结果相加可得

S12 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ??? a11 ? a12 ? 78 .故选B.

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题, 每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.

9.7

10.3

x2 ? y2 ? 1 11. 9

12.④

13.

2 ?1, ?

14. 7

15.3

9. 【解析】

Sn ? 127 ?

1 ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 7 1? 2 .答案: 7 .

k k k k 10. 【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 16 , ? 1 ? n ? 49, ? 2 ? n ? 148 , ? 3 .答案:3.
11. 【解析】抛线线

y 2 ? 4 10 x

的焦点

( 10 , ) ? a 2 ? b 2 ? 10 . 0

x2 10 10 ? y2 ? 1 e? ? ? a ? 3 ? b ?1 a 3 .答案: 9 .
n n n 12. 【解析】 m , 均为直线,其中 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故①不正确;
m ? ? ,n⊥α 则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④.

1 12 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 x 2 13. 【解析】 , a ? a 是增函数,所以 a ? 1

?1 ? a ? 2 .答案: 1 ? a ? 2 .
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14.解析】 【 ∵PA切 ? O 于点A, B为PO中点, ∴AB=OB=OA, ∴ ?AOB ? 60 ,∴ ?POD ? 120 ,在△POD中由余弦定
? ?

理,
2 2 2 得: PD ? PO ? DO ? 2 PO ? DO cos ?POD

1 4 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 7 2 = .
解析2:过点D作DE⊥PC垂足为E,∵ ?POD ? 120 ,
?

∴ ?DOB ? 60 ,
?

OE ?
可得

3 1 DE ? 2 ,在 Rt?PED 中, 2,

PD ? PE 2 ? DE 2 ?


25 3 ? ? 7 4 4 .答案: 7 .

? ? 1 (3 , ) (4 , ) S? ABC ? OA? OBsin?AOB ? 3 , 6 ,则 2 15. 【解析】 A 、 B 的极坐标分别为
1 ? ? 3 ? 4 ? sin ? 3 2 6 (其中 O 为极点) .答案3.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (1)解:∵ ∴函数

f ( x) ? sin ? x ? ? ?

,……………………………………2分

f ? x?

的最小正周期为 2? .……………………………………3分

?? ? ? ? ? y ? f ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? 4? 4 ? ? ? ,……………………………………5分 ∵函数
又 y ? sin x 的图像的对称轴为

x ? k? ?

?
2 ( k ?Z ) ,………………………………6分

2x ?


?
4

? ? ? k? ?

?
2,

x?


?
6 代入,得

? ? k? ?

?
12 ( k ?Z ) .

∵ 0 ? ? ? ? ,∴

??

11? 12 .……………………………………7分

f (? ?
(2)解: 分

2? 2 2? 11? ? 2 )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) 3 4 3 12 4 2 ,…9

sin ? ? cos ? ?

1 1 3 ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? 2 4 4 ………12分

17. (本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1, 所以

10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .…………………………1分

解得 a ? 0.03 .………………………………………………………………………2分 ( 2 ) 解 : 根 据 频 率 分 布 直 方 图 , 成 绩 不 低 于 60 分 的 频 率 为

1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .……3分
由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成 绩不低于60分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人.………………………………………5分 (3)解:成绩在 成绩在 分 若从这6名学生中随机抽取2人,则总的取法有 如果两名学生的数学成绩都在

50 ? 40 , ? 分数段内的人数为 40? 0.05 ? 2 人,………………

6分

?90,100? 分数段内的人数为 40? 0.1 ? 4 人,
C62 ? 15

……………………………………7

…………………

9分

50 100 ? 40 , ? 分数段内或都在 ?90 , ? 分数段内,那么这两名学 50 ? 40 , ? 分数段内,另一个成绩

生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在 在

100 ?90 , ? 分 数 段 内 , 那 么 这 两 名 学 生 的 数 学 成 绩 之 差 的 绝 对 值 一 定 大 于
10分
2 2 C2 ? C4 ? 7

10.…………………

则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为 分

……11

所以所求概率为

P?M ? ?

7 15 .……………………………………………………………………

13分 18. (本小题满分14分) (1)证明:如图,连接

D1B ,依题意有:在长方形 A1 ADD1 中, AD ? AA ? 1 , 1

四边形A1 ADD1 ?

A1D ? AD1 ? ? ? A1D ? 平面AD1B ? 又AB ? 平面A1 ADD1 ? AB ? A1D ? ? ? A1D ? D1E ? D1E ? 平面AD1B ? AD ? AB ? A? .……… 4分
AB2 ? BC 2 ? 5 ,

( 2 ) 解 : AC ?

AE ? AB / 2 ? 1 ,

EC ? BE 2 ? BC 2 ? 2 ,
cos ?AEC ? 1? 2 ? 5 2 ?? 2 , 2 ? 1? 2

? sin ?AEC ?

2 2 .

1 2 1 S?AEC ? ?1? 2 ? ? 2 2 2 ,…………… 6分 ∴

1 1 1 2 2 2 2 VD1 ? AEC ? ?1? ? 3 2 6 . AD1 ? AA1 ? DA ? 2 , D1C ? D1C1 ? CC1 ? 5 ,
5? 1 2 ? 3 10 1 3 10 3 S?A1DC ? ? 2 ? 5 ? ? 10 .∴ 5 2 10 2.

? sin ?D1 AC ?

1 3 1 1 ACD1 的距离为 d ,∴ VD1 ? AEC ? VE ? AD1C ? 3 d ? 2 ? 6 ? d ? 3 . 设点 E 到平面 1 ACD1 的距离为 3 . ………………………………………………… 8分 ∴点 E 到平面

DF ?DFD1为二面 (3)解:过 D 作 DF ? EC 交 EC 于 F ,连接 1 .由三垂线定理可知,


D1 ? EC ? D 的平面角.
?DFD1 ?

?
4,



?D1DF ?

?

2 , D1D ? 1 ? DF ? 1 . ……………………… 10分

sin ?DCF ?

DF 1 ? ? ? ? ?DCF ? ?BCF ? DC 2 6 ,∴ 3 .…………………… 12分

tan


?
3

?

BE ? BE ? 3 BC , AE ? AB ? BE ? 2 ? 3 .

? D1 ? EC ? D 的平面角为 4 .…………………………… 14分 故 AE ? 2 ? 3 时,二面角
19. (本小题满分14分)

1 ? f x ??1? ? ? ? ? Q f ?1? ? a ? ?3? 3, 解: (1)

x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c a2 ? ? f ? 2? ? c? ? ? f ?1? ? c? ? ? 9 ? ? ? ? 3 , , a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2? ? c ? ? ? ? ? ? ? 2 27 .

4 2 a2 2 1 a1 ? ? 81 ? ? ? ? c a3 ? 2 3 3 ?an ? 成等比数列, 27 又数列 ,所以 c ? 1 ;

a 1 2?1? q? 2 ? an ? ? ? ? a1 3 ,所以 3?3? 又公比

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*

;……………………2分

Q Sn ? Sn?1 ?


?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1 ;

数列

? S ? 构成一个首相为1公差为1的等差数列,
n

Sn ? 1 ? ? n ?1? ?1 ? n



Sn ? n2

b ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? ? n ?1? ? 2n ?1 b ? c ? 1, 当n ? 2, n ;又其满足 1
2

?bn ? 2n ?1( n ? N * );
n n

……………………………… 5分

?1? ?1? ? cn ? bn ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3? ? 3 ? ,所以 Rn ? c1 ? c2 ? c3 ? L ? cn (2) ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 1) ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
2 3 4 1 2 3 3


n n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Rn ? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? (2n ? 3) ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 ?3? ?3? ?3? ? 3? ?3?
①式减②式得:
n n ?1 ?? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 2 1 ?1? ? ?1? Rn ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 3 ? 3? ? ? 3? ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?



…… 7分

2 1 Rn ? ? 2 ? 3 3
化简:

?1? ? ? ?3?

2

? ? 1 ? n ?1 ? ?1 ? ? ? ? n ?1 n ? ? 3? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? 1 ? ? 2 ? 2(n ? 1) ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 3 3 ?3? ?3? 1? 3 …… 9分

所以所求

Rn ? 1 ?

n ?1 3n

…………………………………………

10分

Tn ?
(3)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ?1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2? 3 5? 2? 5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

…… 12分

1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ;w.w.w.k.s.5. …… 13分



Tn ?

n 1000 1000 1000 ? n? Tn ? 2n ? 1 2009 得 9 ,满足 2009 的最小正整数为112. ………… 14

分 20. (本小题满分14分)

A(
解: (1)由题设知,

a2 a2 ? 2
2

, 0)


F1

?

a2 ? 2 , 0

? ,………………………………1分

? a2 ? a ? 2 ? 2? ? a2 ? 2 ? ???? ???? ? 2 ? OF ? 2 AF1 ? 0 ? a ?2 ? ,…………………………3分 由 1 ,得
2 解得 a ? 6 .

所以椭圆 M 的方程为

M:
2

x2 y2 ? ?1 6 2 .……………………………4分
2

(2)方法1:设圆 N : x ? ?y ? 2? ? 1的圆心为 N , 则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ………………………………………………6分

?

??

?

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP

?

??

? …………………………………………7分

??? 2 ???? 2 ??? 2 ? ? ? NP ? NF ? NP ? 1 .………………………………………………………………8分
从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.……………………………………9分 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设
2 2
2

P ? x0 , 0 ? y

,………………………………………10分

x0 y 2 2 ? 0 ?1 x ? 6 ? 3 y0 .………………………………………………11分 2 所以 6 ,即 0
因为点 N?0,2? ,所以 因为

NP ? x0 ? ? y0 ? 2? ? ?2? y0 ? 1? ? 1 2
2 2 2 2

.…………………12分

y0 ? ?? 2 , 2 ? ? ?

,所以当

y 0 ? ?1

时, NP 取得最大值12.…………………13分

2

所以 PE ? PF 的最大值为11.…………………………………………………………14分 方法2:设点

E(x1 ,1 ) , (x2 ,2 ), P(x0 ,0 ) , y F y y

? x2 ? ? x1 , ? E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ? y2 ? 4 ? y1. ………………………………………6分 因为 ??? ??? ? ? PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 )
所以 …………………………………7分

? ( x1 ? x0 )(?x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0 2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 )

.………………………………………9分

因为点 E 在圆 N 上,所以

x12 ? ( y1 ? 2) 2 ? 1

,即

x12 ? y12 ? 4 y1 ? ?3

.………………10分

2 2 x0 y0 ? ?1 2 x 2 ? 6 ? 3 y0 2 因为点 P 在椭圆 M 上,所以 6 ,即 0 .…………………………11分

??? ??? ? ? 2 2 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1) ? 11 .……………………………………12分 所以 ??? ??? ? ? PE ? PF ? 11 y0 ?[? 2 , 2] y0 ? ?1 min
因为 ,所以当 时,

?

?

.………………………14分

方法3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为

y ? kx ? 2 ,………………………6分



? y ? kx ? 2 ? 2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

x??
,解得

1 k 2 ? 1 .……………………………………………7分
P ? x0 , 0 ? y


因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点
2 2

x0 y 2 2 ? 0 ?1 x ? 6 ? 3 y0 .……………………………………………8分 2 所以 6 ,即 0
??? ? 1 ? ? ? ??? ? ? k 1 k PE ? ? ? x0 , ? 2 ? y0 ? PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? 2 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? k ?1 ?, ? ? 所以
…………………………………9分 所 以
2

PE ? PF ? x0 ?

1 k2 2 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y0 ) 2 ? 1 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 1 1 2 k ?1 k ?1 .
……………………………………10分

因为

y0 ? ?? 2, 2 ? ? ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值11.……………11分

?x ? 0 ? 2 x ? ( y ? 2)2 ? 1 ,解得 y ? 1 或 ②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 ,由 ?
y ? 3.
不妨设,

E ? 0 ,? 3



F ? 0 ,? 1



…………………………………………12分

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点
2 2

P ? x0 , 0 ? y



x0 y 2 2 ? 0 ?1 x ? 6 ? 3 y0 2 所以 6 ,即 0 . ??? ? ??? ? PE ? ? ? x0 , ? y0 ? PF ? ? ? x0 ,? y0 ? 3 1
所以 所以 因为 ,

. .

??? ??? ? ? PE ? PF ? x0 2 ? y0 2 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11

y0 ? ?? 2 , 2 ? ? ?

,所以当

y 0 ? ?1

时, PE ? PF 取得最大值11.……………13分

综上可知, PE ? PF 的最大值为11.…………………………………………14分 21. (本小题满分14分)

x ?2ax2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ?? 2a ? 2 f ?( x) ? ? x ? 2x ? 2a ? ? 2ax ? 1 2ax ?1 解: (1) .……1分
因为 x ? 2 为

f ? x?

的极值点,所以

f ? ? 2? ? 0

.…………………………………2分

2a ? 2a ? 0 即 4a ? 1 ,解得 a ? 0 .


…………………………………………3

? 又当 a ? 0时, f ( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为f ( x) 的极值点成立.
分 (2)因为

……………4

f ? x?

在区间

?3, ?? ? 上为增函数,
2ax ? 1 ?0
在区间

所以 分

f ?? x? ?

x ?2ax2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ?? ? ?

?3, ?? ? 上恒成立.………5

①当 a ? 0时,

? f ?( x) ? x( x ? 2) ? 0在 [3, ??) 上恒成立,所以 f ( x)在[3 , ?) 上为增

函数,故 a ? 0符合题意.…………………………………………6分 ②当 a ? 0 时,由函数

f ? x?

的定义域可知,必须有 2ax ?1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能

a ? 0,
? 所以 2ax ? (1? 4a) x ? (4a ? 2) ? 0对x ?[3, ?) 上恒成立.
2 2

……………………7





g ( x) ? 2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)

,其对称轴为

x ? 1?

1 4a ,

…………8分

因为 a ? 0 所以 因 为

1?

1 ?1 g (3) ? 0 ? 4a ,从而 g ( x) ? 0在[3 , ?) 上恒成立,只要 即可,
g ? 3? ?

?4a2 ? a ? ?

6





1



0

3 ? 13 3 ? 13 ?a? 4 4 .

……………………………………9分

因为 a ? 0 ,所以

0?a?

3 ? 13 4 .

? 3 ? 13 ? ?0 , ? 4 ? a 的取值范围为 ? 综上所述, .


……………………………10

a??
(3)若

(1 ? x)3 b b 1 f (1 ? x) ? + ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? 3 x 可化为, x. 2 时,方程
2 2 3

? ? 0 , ? ? 上有解, 问题转化为 b ? x ln x ? x(1? x) ? x(1? x) ? x ln x ? x ? x 在
2 3 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.

………………………………11

分 以下给出两种求函数 方法1:因为

g ? x?

值域的方法: ,令

g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x2 ?

h( x) ? ln x ? x ? x 2 ( x ? 0) ,

h ?( x) ?
则 分

1 ( 2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? x x ,

………………………………12

时 1) 所以当 0 ? x ? 1 , h ( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , 上为增函数,
时, ( x) ? 0 ,从而 h(x)在(1,??) 上为减函数, h 当 x ?1
分 因此

?

?

………………13

h( x) ? h(1) ? 0 .

而 x ? 0 ,故 b ? x? h(x) ? 0 , 因此当 x?1时, b 取得最大值0. 分 方法2:因为 ………………………………………14

g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x2 ?

,所以

g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x 2 .

设 p( x) ? ln x ?1? 2x ? 3x ,则
2

p?( x) ?

1 6 x2 ? 2 x ?1 ? 2 ? 6x ? ? x x .

0? x?


1? 7 1? 7 p? ? x ? ? 0 p ? x ? (0 , 6 ) 6 时, ,所以 在 上单调递增;

x?


1? 7 1? 7 ? p? ? x ? ? 0 p ? x ? ( 6 , ?) 6 时, ,所以 在 上单调递减;

? 1? 7 ? 2 3 3 ?1? p? p ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 ? 6 ??0 ? p ?1? ? 0 e e e ? 因为 ,故必有 ? ,又 ? e ? ,

因此必存在实数

x0 ?(

1 1? 7 , ) g '( x0 ) ? 0 e2 6 使得 ,

x ? ) 0 ?当0 ?x ?x时,g( x ? ,所以 g ( x)在 ? 0 ,0 ? 上单调递减; 0
当 当

x0 ? x ? 1 g?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在 ? x0 ,1? 上单调递增; 时,
x ? 1时, '( x) ? 0 , g ( x)在?1, ? ? g 所以 ?
上单调递减;

1 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 ? x(ln x ? x ? x 2 ) ? x(ln x ? ) 4 , 又因为

x ? 0时, x ? ln


1 ?0 g ( x) ? 0 g (1) ? 0 . 4 ,则 ,又

因此当 x?1时, b 取得最大值0. …………………………………………14分


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