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第一册下册第五章1-3节向量;向量的加法与减法;实数与向量的积同步练习


高一数学人教版向量、向量的加法与减法,实数与向量的积同步练习 (答题时间:75 分钟)
一. 选择: 1. 下列说法中错误的是( ) A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长度为 0 C. 零向量与任一向量平行 D. 零向量的方向是任意的 2. 汽车以 100km/h 的速度向东走了 2h,摩托车以 40km/h 的速度向南走了 2h,则下列命 题中正确的是( ) A. 汽车的速度大于摩托车的速度 B. 汽车的位移大于摩托车的位移 C. 汽车走的路程大于摩托车走的路程 D. 以上都不对 3. 下列各等式或不等式中,一定不能成立的个数是( ) ① a ? b ? a?b ? a ? b ③ a ? b ? a?b ? a ? b A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ) ② a ? b ? a?b ? a ? b ④ a ? b ? a?b ? a ? b

4. 若 O 是 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC ? O ,则 O 是 ?ABC 的( A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 5. 下列等式中,正确的个数是( ) ① a?b ? b?a ④ ? (?a) ? a A. 5 6. 若 O 为 A. AO B. 4 C. 3 ② a ?b ? b?a ⑤ a ? (?a) ? O D. 2 ③ O ? a ? ?a

ABCD 的中心, AB ? 4e1 , BC ? 6e2 ,则 3e2 ? 2e1 等于( B. BO C. CO D. DO



7. 已知 e1 、e2 不共线, 实数 x 、 y 满足 (3x ? 4 y)e1 ? (2x ? 3 y)e2 ? 6e1 ? 3e2 , 则x ? y 的值等于( ) A. 3 B. ? 3 C. 0 D. 2

8. 若 a 、 b 是不共线的两个向量,且 AB ? ?1 a ? b , AC ? a ? ?2 b ( ?1 、 ? 2 ? R )则 A、B、C 三点共线的充要条件为( A. ) C.

?1 ? ?2 ? ?1

B.

?1 ? ?2 ? 1

?1?2 ? 1 ? 0

D.

?1?2 ? 1 ? 0

9. D、E、F 分别为 ?ABC 的边上 BC、CA、AB 上的中点,且 BC ? a , CA ? b ,给出 下列命题: ① AD ? ?

1 a ?b 2

② BE ? a ?

1 b 2

③ CF ? ?

1 1 a? b 2 2
) D. 4

④ AD ? BE ? CF ? O

其中正确的个数是( A. 1 B. 2 C. 3

10. 在四边形 ABCD 中, AB ? a ? 2b ,BC ? ?4a ? b ,CD ? ?5a ? 3b ,其中 a 、b 不 共线,则四边形 ABCD 为( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 二. 填空: 1. a ? 8 , b ? 12 ,则 a ? b 的最大值和最小值分别是 2. 若 a ? b ? 0 且 a 与 b 不共线,则 a ? b 与 a ? b 方向的关系为 3. 若 AB ? 3e , CD ? ?5e 且 AD ? BC ,则四边形 ABCD 是 4. a ? ?e1 ? 3e2 , b ? 4e1 ? 2e2 , c ? ?3e1 ? 12e2 ,则 a 写为 ?1 b ? ?2 c 的形式为 D. 菱形

三. 解答题: 1. 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 且 AO ? OC ,DO ? OB , 求证: 四边形 ABCD 是平行四边形。 2. 如图,P、Q 是 ?ABC 的边 BC 上两点且 BP=QC,求证: AB ? AC ? AP ? AQ 。

A

B
3. 若 2( x ?

P

Q

C

1 1 a) ? (b ? c ? 3x) ? b ? 0 其中 a 、 b 、 c 为已知向量,求未知向量 x 3 2

4. 设 OA 、 点 P 在 O、 A、 B 所在的平面内, 且 OP ? (1 ? t )OA ? tOB (t ? R ) , OB 不共线, 求证:A、B、P 三点共线。 5. 试证:三角形两边中点连线平行于第三边,且等于第三边的一半。

【试题答案】
一. 1. A 二. 1. 20、4 2. 互相垂直 3. 等腰梯形 4. ? 2. C 3. A 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. D 10. C

1 7 b? c 18 27

三. 1. 证明:

AB ? AO ? OB , DC ? DO ? OC
∴ AB ? DC

又 ∵ AO ? OC , OB ? DO ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形

∴ AB // DC 且 AB=DC
D O A

C

B

2. 证明:

AB ? AP ? PB ①

AC ? AQ ? QC ②

①+②: AB ? AC ? AP ? PB ? AQ ? QC ? AP ? AQ ? PB ? QC ∵ PB 和 QC 大小相等,方向相反 ∴ PB ? QC ? O

∴ AB ? AC ? AP ? AQ ? O ? AP ? AQ 3. 解:

2 1 1 3 7 2 1 1 a? b? c? x?b ? x? a? b? c ? 0 3 2 2 2 2 3 2 2 4 1 1 a? b? c ∴ x? 21 7 7
原式 ? 2 x ? 4. 证明: ∵ OP ? (1 ? t )OA ? tOB ∴ OP ? OA ? t (OB ? OA) ∴ AP ? ? AB ∴ OP ? OA ? t (OB ? OA) 又 AP ? OP ? OA , AB ? OB ? OA 又直线 AP、PB 有公共点 A

∴ AP // AB

∴ A、B、P 三点共线 5. 证明: 如图,设 M、N 分别是 ?ABC 两边 AB、AC 上的中点

∴ AB ? 2 AM , AC ? 2 AN

∵ BC ? AC ? AB , MN ? AN ? AM

∴ BC ? 2 AN ? 2 AM ? 2( AN ? AM ) ? 2MN ∴ MN ?

1 BC 2

∴ MN // BC 且 MN ?

1 BC 2


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