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指数函数及其性质教学设计


课题 主讲人

指数函数及其性质 一、知识与技能 1.掌握指数函数的概念、图象和性质. 2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象. 3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质 二、过程与方法 1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法, 如具体到一般 的过程,数形结合的方法等. 2.通过探讨指数函数的底数 a>0,且 a≠1 的理由,明确数学概念的严谨性 和科学性,做一个具备严谨科学态度的人. 三、情感态度与价值观 1.通过实例引入指数函数, 激发学生学习指数函数的兴趣, 体会指数函数是 一类重要的函数模型,并且有广泛的用途,逐步培养学生的应用意识. 2.在教学过程中, 通过现代信息技术的合理应用, 让学生体会到现代信息技 术是认识世界的有效手段. 指数函数的概念、图象和性质。 对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 多媒体课件 教学过程 教学环节 师生互动 设计意图

教学目标

教学重点 教学难点 教具

(一)创设情景 问题 1:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,……一个这样的细胞分 裂 x 次后,得到的细胞分裂 的个数 y 与 x 之间,构成一 个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗? 学生思考, 教师组织学生交流各自的想法, 捕捉 学生交流中与下列结论有关的信息, 并简单板书 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y= 2x 通过问题引 导学生思考 我们本节课 的教学重 点,锻炼学 生的主动思 考能力总结 归纳能力。

问题2: 一种放射性物质不 断衰变为其他物质,每经过 一年剩留的质量约是原来 的 84%. 求出这种物质的剩 留量随时间(单位:年)变化的 函数关系.设最初的质量为 1,时间变量用 x 表示,剩留量 用 y 表示。

学生回答::y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y =0.84x 教师提问:你能发现关系式 y=2x, y=0.84x 有 什么相同的地方吗? 学生讨论,教师引导学生观察,两个函数中,底 数是常数,指数是自变量。 学生回答:这两个函数都是函数 y=ax 的具体形 式. 教师总结:函数 y=ax 是一类重要的函数模型, 并且有广泛的用途, 它可以解决好多生活中的实 际问题, 这就是我们下面所要研究的一类重要函

通过两个生 活中的例子 引导学生发 现规律,并 总结出指数 函数的定 义。教师通 过总结归纳 让学生学习

数模型——指数函数. 教师结合引入,给出指数函数的定义 学生思考,教师适时点拨,给出如下解释:(1) 若 a<0 会有什么问题?

到归纳重点 的重要性。 对于指数函 数的定义的 认识需要深 入,通过问 题启发学生 思考什么样 的函数才是 指数函数, 有助于帮助 学生更好的 理解定义, 对判断指数 函数有很大 的优点。

(二)讲解新课 (一)指数函数的概念 1 一般地,函数 y=ax(a 如 a ? ?2, x ? 则在实数范围内相应的函数值 >0, a≠1) 叫做指数函数, 2 其中 x 是自变量, 函数的定 不存在; 义域是 R. (2)若 a=0会有什么问题? 问题:指数函数定义中,为 什么规定“ a ? 0且a ? 1 ” 如果不这样规定会出现什 么情况? 对于 x ? 0 , a 无意义
x

(3)若 a=1又会怎么样? 1x 无论 x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要. 教师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定 a ? 0且 a ?1

(三)例题讲解 例 1:指出下列函数那些是 指数函数: y=2·3x;y=3x 1;y=x3;y= -3x;y=(-4)x;y=π x; y=4 x ;y=xx; 例 2:若函数 是指 数函数,则 a=
2



学生回答: (1)只有第 6 个是指数函数. (2)a=2 方法引导:指数函数的形式就是 y=a x ,ax 的 系数是 1,其他的位置不能有其他的系数, 但 要 注 意 化 简 以 后 的 形 式 .有 些 函 数 貌 似 指 数函数,实际上却不是,例如 y=a x+k(a>0, 且 a≠1,k∈Z) ;有些函数看起来不像指数 - 函数,实际上却是指数函数,例如 y=a x(a >0, a≠1) 这是因为它的解析式可以等价 且 , -x - - - 化归为 y=a =(a 1) x,其中 a 1>0,且 a 1 ≠ 1.如 y=23x 是 指 数 函数 , 因为 可 以化 简 为 y=8x.要注意幂底数的范围和自变量 x 所在的 部位,即指数函数的自变量在指数位置上. 教师提问:作图的基本方法是什么? 学生回答:列表、描点、连线. 学生动手自行完成

巩固学生对 指数函数定 义的理解, 通过例题检 验学生对定 义的理解情 况。

(二) .指数函数的图像及 性质 在同一平面直角坐标系内 画出指数函数 y?2 与
x

x
y ? 2x

-3

-2

-1

0

0.5

1

2

?1? y ? ? ? 的图象 ?2?
由学生自己画出 y ? 3 与
x

x

y 0 -

?1? y ? ? ? 的函数图象 ?3?

x

锻炼学生的 动手能力, 更让学生直 观地了解指 数函数的图 像。学生观 察四个图像 的特点总结 图像的整体 变化趋势。 x

从画出的图象中,你能发现 函数的图象与底数间有什 么样的规律

从图中我们看出

1 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象有什么关系? 2
通过图象看出

1 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象关于y轴对称, 实质 2
是 y ? 2 上的 点(-x, y )
x

1 与y=( )x上点(-x, y )关于y轴对称. 2
学生自己动手将四个函数的图像都画出来, 观察 特点。 根据实际例子,归纳一般指数函数的图像为
8 6

4

2

-1 0

-5

0
-2 -4

5

10

-6

-8

问题 2:根据函数的图象研 究函数的定义域、值域、特 殊点、单调性、最大(小) 值、奇偶性. 问题 3: 指数函数 y ? a ( a
x

a>1 图 象

0<a<1

学生通过观 察图像总结 性质。

>0 且 a ≠1) ,当底数越大 时, 函数图象间有什么样的关 系.

性 质

(1)定义域为(-∞,+∞) ;值域为(0,+ ∞) (2)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=a0=1 (3)若 x>0, 则 a >1; 若 x<0,则 0<ax< 1 (4)在 R 上是增函 数 (4)在 R 上是减函数
x

(3)若 x>0,则 0<ax<1; 若 x<0,则 ax>1

教师: 我们已经有过求函数定义域的一些实战经 验, 你觉得求函数定义域时哪些方面应该引起你 (四)巩固与练习 的高度注意? 学生交流自己的想法, 教师归纳, 得出如下结论 例 3: 求下列函数的定义域: (1)分式的分母不能为 0; 1 (2)偶次根号的被开方数大于或等于 0; (1)y=8 2 x ?1 ; (3)0 的 0 次幂没有意义.

学生巩固练 习,也是对 本每节课学 习内容的检 验。同时总

结方法是: 在解决比较 两个数的大 例 4: 比较下列各题中两值 小问题时, 的大小比较下列各题中两 一般情况下 个值的大小: 是将其看作 1 解: (1)∵2x-1≠0,∴x≠ ,原函数的 2.5 3 (1)1.7 ,1.7 ; 是一个函数 2 - 0.1 - 0.2 (2)0.8 ,0.8 ; 的两个函数 1 定义域是{x|x∈R,x≠ }; 0.3 3.1 (3)1.7 ,0.9 . 值,利用函 2 数的单调性 1 1 1 (2)∵1-( )x≥0,∴( )x≤1=( ) 比较之.当 2 2 2 两个数不能 1 0 .∵函数 y=( )x 在定义域上单调递减, 直接比较 2 ∴x≥0.∴原函数的定义域是[0,+∞). 时,我们可 教师: 你能发现题中所给的各式有哪些共同点和 以将其与一 不同点吗?这些特点能否给你解答该题有所启 个已知数进 示呢? 行比较大 学生讨论,教师适时点拨,得出如下解析过程 小,从而得 2.5 3 x 解: (1)1.7 ,1.7 可看作函数 y=1.7 的两 出该两数的 个函数值. 大小关系. x 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y=1.7 在 R 上是增函数. 因为 2.5<3,所以 1.72.5<1.73. - - (2)0.8 0.1,0.8 0.2 可看作函数 y=0.8x 的两 个函数值. 由于底数 0.8<1, 所以指数函数 y=0.8x 在 R 上是减函数. - - 因为-0.1>-0.2,所以 0.8 0.1<0.8 0.2. (3)因为 1.70.3、0.93.1 不能看作同一个指 数函数的两个函数值, 所以我们可以首先在这两 个数值中间找一个数值, 将这一个数值与原来两 个数值分别比较大小, 然后确定原来两个数值的 大小关系. 由指数函数的性质知 1.70.3 >1.70=1,0.93.1 < 0.90=1,所以 1.70.3>0.93.1.

1 (2)y= 1 ? ( ) x . 2

教师: 这些注意点在我们所要解决的问题中又 没有出现,是否还有其他新的要求或限制条 件? 学生讨论交流, 并板演解答过程, 教师组织学生 进行评析,规范学生解题

五、巩固练习 课本课后练习 1、2

学生完成后,同桌之间互相交流解答过程

六、课堂小结

1.指数函数的定义以及指数函数的一般表 达式的特征. 2.指数函数简图的作法以及应注意的地方. 3.指数函数的图象和性质.

对本节课的 小结,帮助 学生很好的 总结知识

4.结合函数的图象说出函数的性质, 这是一 种重要的数学研究思想和研究方法——数形结 合思想(方法). 5.a 的取值范围是今后应用指数函数讨论问 题的前提. 七、布置作业 题. 板书设计
指数函数及其性质 一、1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 二、例题评析 三、课堂小结 四、布置作业

点。

课本习题 2.1A 组第 5、6、7、8、10、11


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