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苏州大学2011届高考数学考前指导卷1


苏州大学 2011 届高考数学考前指导卷(1)
一、填空题: 1.已知 i 是虚数单位,复数 z =
1 + 2i ,则 | z | = 3 ? 4i



2.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线

x2 y 2 ? = 1 的渐近线方程为 8 4



3.某班有学生 52 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知座位号分别为 6,30, 42 的同学都在样本中,那么样本中还有一位同学的座位号应该是 .

4.不等式 ( x ? 2) x ? 1 < 0 成立的充要条件是



5.有 4 名学生 A,B,C,D 平均分乘两辆车,则“A,B 两人恰好在同一辆车” 的概率为_______. 6.如右所示的流程图,则执行后输出的结果为_________. 7.已知等差数列{an}满足:a1 = 2,a2 +a3 = 13,则 a4 +a5 +a6 = ____. 8.函数 y = | log 1 2 x | + | log 1
2 2

x | 的值域为___________.

9.在锐角△ABC 中, tan A = t + 1, tan B = t ? 1,则 t 的取值范围是



10. 如图, 在透明塑料制成的长方体 ABCD ? A1B1C1D1 容器内灌进一些水, 将容器底面一边 BC 固定于地面上, 再将容器倾斜, 随着倾斜度的不同, 有下列三个说法:①水的形状始终呈棱柱形状;②水面形成的四边形 EFGH 的面积不改变;③当 E∈AA1 时,AE + BF 是定值.其中正确说 . (写出所有正确说法的序号) 法是

11.已知 O 为△ABC 的外心,AB = AC = 2,若 uuu r uuu r uuu r AO = x ? AB + y ? AC ( xy ≠ 0) ,且 x + 2y = 1,则△ABC 的面积等于



12.已知圆 C:x2 + y2 = 1,点 P(x0,y0)在直线 x ? y ? 2 = 0 上,O 为坐标原点,若圆 C 上存在点 Q, 使∠OPQ = 30°,则 x0 的取值范围是 .

1

13.已知 a > 0,b > 0,且 h = min{a, 的最大值为 .

b } ,其中 min {a,b}表示数 a,b 中较小的数,则 h a + 4b 2
2

14. 已知函数 f ( x) 与 g ( x) 在 R 上有定义, 且对任意的实数 x, y , 有 f ( x ? y ) = f ( x) g ( y ) ? g ( x) f ( y ) , f (1) = f (2) ≠ 0 ,则 g (1) + g (?1) =________.

二、解答题
15.在△ABC 中,C ? A =
π 1 , sin B = . 2 3

(1)求 sin A 的值; (2)设 AC = 6 ,求△ABC 的面积.

16.如图,在三棱锥 P ? ABC 中,PC⊥平面 ABC,△ABC 为正三角形,D,E,F 分别是 BC,PB, CA 的中点. P (1)证明平面 PBF⊥平面 PAC; (2)判断 AE 是否平行平面 PFD?并说明理由; (3)若 PC = AB = 2,求三棱锥 P ? DEF 的体积.

E A C D B

F

2

17.已知矩形纸片 ABCD 中,AB = 6,AD = 12,将矩形纸片的右下角沿线段 MN 折起,使该角的 顶点 B 落在矩形的边 AD 上,记该点为 E,且折痕 MN 的两端点 M、N 分别位于边 AB、BC 上, 设∠MNB = θ,MN = l,△EMN 的面积为 S. (1)将 l 表示成θ 的函数,并确定θ 的取值范围; C D (2)问当θ为何值时,△EMN 的面积 S 取得最小值?并求出这个最 小值.
N θ

E A B

M

18.已知椭圆 G:

x2 y 2 + = 1 ( a > b > 0) 过点 A(0,5) , a 2 b2 B(?8,?3) C,D 在椭圆 G 上,直线 CD 过坐标原点 O, , 且在线段 AB 的右下侧.求: (1)椭圆 C 的方程; (2)四边形 ABCD 的面积的最大值.

3

19.已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 数列 {an } 的前 n 项和为 Tn,满足 a1 =1, Tn =
2

4 1 ? ( p ? Sn ) 2 ,其中 p 为常数. 3 3

(1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (2)① 问是否存在正整数 n,m,k(n < m < k) ,使得 an,am,ak 成等差数列?若存在, 指出 n,m,k 的关系,若不存在,请说明理由. ② 若对任意的正整数 n,都有 an,2xan+1,2yan+2 成等差数列,求实数 x,y 的值.

?( x 2 ? 2ax)e x , x > 0, ? 20.已知函数 f ( x) = ? 1 当 x = 1 时 y = f(x)取得极值. x ≤0. ? x, ?b (1)求实数 a 的值; (2)若 y = f ( x) ? m 有两个零点,求实数 m 的取值范围; (3)设 g ( x) =
ln x 3 1 + b ,若对于 ? x1∈[0, ],总 ? x2∈ [ , e] ( e =2.71828…),使得 f(x1)≥ f ( ? x) 2 e

g(x2),求实数 b 的取值范围.

4

苏州大学 2011 届高考数学考前指导卷(1)参考答案
1.
5 5 2. y = ±
7.42
12. [0, 2]

2 x 2

3.18
8.[
13.

4 .1 < x < 2
9.( 2 ,+∞)
14.1

5.

1 3

6.64
11. 3

1 ,+∞) 2
1 2

10.①③

15. 1)由 A + B + C = π 及 C ? A = (

π π ,得 2 A = ? B . ……………… 2 分 2 2

∴0 < A<

π
4

.且 cos 2 A = cos(

π ? B ) = sin B . 2

……………… 4 分 ……………… 6 分

1 1 3 ∵ sin B = ,∴ 1 ? 2sin 2 A = .则 sin A = . 3 3 3

(2)由(1)得 cos A =

6 . 3 AC BC AC ? sin A 由正弦定理得 = ,∴ BC = = 3 2 . ……………… 8 分 sin B sin A sin B

∵C =

π π 6 + A ,∴ sin C = sin( + A) = cos A = . 2 2 3

…………… 10 分

因此 S△ABC =

1 1 1 6 AC ? BC ? sin C = AC ? BC ? cos A = × 6 × 3 2 × = 3 2 .…… 14 分 2 2 2 3

16. 1)∵PC⊥平面 ABC,BF ? 平面 ABC,∴PC⊥BF. ( 由条件知 BF⊥AC.PC∩AC = C. ∴BF⊥平面 PAC. ………… 3 分 ∵BF ? 平面 PBF, ∴平面 PBF⊥平面 PAC. ………… 5 分 (2)AE 不平行平面 PFD. …………………… 6 分 反证法:假设 AE∥平面 PFD. ∵AB∥FD,FD ? 平面 PFD, ∴AB∥平面 PFD. ∵AE∩AB = A,∴平面 ABE∥平面 PFD. ………………… 8 分 而∵P∈平面 ABE,P∈平面 PFD,矛盾. 则假设不成立.即 AE 不平行平面 PFD. ………………… 10 分 (3)∵D,E,F 分别是 BC,PB,CA 的中点, ∴VP ? DEF = VB ? DEF .

则 VP ? DEF =
=

1 VP ? BDF 2

……………………… 12 分

1 1 1 1 1 1 3 3 × × S△ABC ×PC = × × × × 4× 2 = . …………… 14 分 2 3 4 2 3 4 4 12
5

17. (1)如图所示,∠AEM = 90°?2θ,则 MB = l?sinθ , AM = l?sinθ sin(90° ? 2θ ) = l?sinθ?cos2θ , 由题意得 l?sinθ + l?sinθ?cos2θ = lsinθ (1 + cos2θ). 3 . ………………………… 4 分 ∴ 2lsinθcos2θ = 6,则 l = sin θ cos 2 θ 3 3 由 BN = ≤12,BM = ≤6 sin θ cos θ cos 2 θ π π π 及 0≤θ≤ ,得 ≤θ≤ . ………………………… 6 分 2 12 4 故 l 表示成θ 的函数为 l = (2)△EMN 的面积 S =
3 π π ( ≤θ ≤ ) . 2 12 4 sin θ cos θ

1 2 l sinθ cosθ = 2

9 1 π π ? ( ≤θ ≤ ) . 3 2 sin θ cos θ 12 4 s2 = 81 1 ? 2 . 4 sin θ cos 6 θ

………………………… 8 分

设 t = cos2θ(

π π 1 2+ 3 ≤θ≤ ) ,则 ≤t≤ . 12 4 2 4

…………………… 10 分

记 f (t ) = t 3 (1 ? t ) = t 3 ? t 4 ,则 f ′(t ) = 3t 2 ? 4t 3 . 令 f ′(t ) = 0 ,得 t = 则 f(t)在[ ∴当 t =
3 , 4

1 3 3 2+ 3 , ]上单调递增,在[ , ]上单调递减, 2 4 4 4

……… 12 分

3 π 27 9 ,即θ = 时,f(t)取得最大值为 ,S = 取最小值 8 3 . …… 14 分 4 6 256 2 f (t )
x2 y 2 + = 1 ( a > b > 0) , a2 b2

18. 1)将点 A(0,5) B(?8,?3)代入椭圆 G 的方程: ( ,

得 b = 5,且

64 9 + =1. a 2 25

…………………… 2 分

x2 y2 + =1 . …………………… 4 分 100 25 (2)连结 OB,则 S 四边形 ABCD = S△OAB + S△AOD + S△BOC 1 1 1 = | xB | × AO + d A × OD + d B × OC . 2 2 2 其中 d A , d B 分别表示点 A,点 B 到直线 CD 的距离. 设 CD: y = kx ,即 ? kx + y = 0 .

∴a = 10,b = 5,椭圆 G 的方程为

x2 y2 + = 1 ,即 100 25 x 2 + 4 y 2 ? 100 = 0 ,得 x 2 + 4k 2 x 2 ? 100 = 0 .

代入椭圆 G 的方程:

6

∴D (

10 1 + 4k
2

,

10k 1 + 4k 2

).

………………… 6 分 ………………… 8 分 (k >
3 ) , 8

OC = OD =

10 1 + k 2 1 + 4k 2
2


8k ? 3 1+ k
2

又 dA =

5 1+ k

, dB =

………………… 10 分

2 2 则 S 四边形 ABCD = 1 × 8 × 5 + 1 × 5 × 10 1 + k + 1 × 8k ? 3 × 10 1 + k 2 2 2 1+ k2 1 + 4k 2 1+ k2 1 + 4k 2

= 20 + 10 ×

16k 2 + 8k + 1 4k 2 + 1

………………… 12 分

16k 2 + 4(k 2 + 1) + 1 = 20 + 10 5 ………………… 16 分 4k 2 + 1 4 1 4 1 19. 1)n = 1 时, T1 = ? ( p ? S1 ) 2 ,即 1 = ? ( p ? 1) 2 .∴p = 0 或 2.……… 2 分 ( 3 3 3 3

≤ 20 + 10 ×

当 p = 0 时, Tn =

4 1 2 4 1 ? Sn .将 n = 2 代入,得 1 + a2 2 = ? (1 + a2 ) 2 . 3 3 3 3

1 ∴a2 = 0 或 ? .与条件 an > 0 矛盾.∴p≠0. 2

…………………………… 3 分

当 p = 2 时, Tn =

4 1 ? (2 ? Sn ) 2 .① 3 3 4 1 1 1 ? (1 ? a2 ) 2 .∴a2 = , a2 = a1 .……………… 4 分 3 3 2 2

将 n = 2 代入,得 1 + a2 2 =

由①,得 Tn +1 =

4 1 ? (2 ? S n +1 ) 2 .② 3 3

1 ② ? ①,得 an +12 = ? [(2 ? Sn +1 ) 2 ? (2 ? Sn ) 2 ] . 3

则 3an +12 = (4 ? Sn +1 ? Sn )( Sn +1 ? Sn ) ,即 3an +12 = (4 ? Sn +1 ? Sn )an +1 .

∵an > 0,∴an+1 > 0.则 3an +1 = 4 ? S n +1 ? Sn .③

…………………… 6 分

则 3an + 2 = 4 ? Sn + 2 ? Sn +1 .④

④ ? ③,得 3an + 2 ? 3an +1 = ? an +1 ? an + 2 .∴ an + 2 =
7

1 an +1 ( n ∈ N? ) . 2

∵ a2 =

1 1 a1 ,∴数列{an}是等比数列.则 an = n ?1 ,符合题意. ………… 8 分 2 2

(2)① 假设存在正整数 n,m,k(n < m < k) ,使得 an,am,ak 成等差数列. 则 …………………… 10 分 2 2 2 当且仅当 k ? n = 0,且 k ? m + 1 = 1 时成立. 即 k = m = n 时取等号.与 n < m < k 矛盾. …………………… 12 分 ∴假设不成立.则不存在正整数 n,m,k(n < m < k) ,使得 an,am,ak 成等差数列. x y ② 若 an,2 an+1,2 an+2 成等差数列, 即 an,an+1?x,an+2?y 成等差数列. …………………… 14 分 由①知,1 ? x = 0,2 ? y = 0,∴x = 1,y = 2. …………………… 16 分
m ?1 n ?1 k ?1

2

=

1

+

1

,即 2k ? m +1 = 2k ? n + 1 .

20. 1)x > 0 时, f ( x) = ( x 2 ? 2ax) e x , f ′( x) = e x ( x 2 + (2 ? 2a) x ? 2a) .……… 2 分 (

由条件知 f ′(1) = 0 ,∴a = (2)x > 0 时, f ( x) = ( x 2 ?
e 则 f (1) = ? . 2

3 . 4

…………………… 4 分

3 1 x) e x ,∴ f ′( x) = e x ( x ? 1)(2 x + 3) . 2 2

…………………… 6 分

e ① 若 b > 0,当 m = 0 或 m = ? 时, y = f ( x) ? m 有两个零点; 2 e ② 若 b < 0,当 m > ? 时, y = f ( x) ? m 有两个零点. …………………… 8 分 2

(3)由题意,即要 f(x) min ≥g(x) min (*) .
3 e x) e x ,由(2)知 f ( x)min = f (1) = ? .………… 10 分 2 2 ln x ln x 当 x > 0 时,? x < 0,∴ g ( x) = + b = b(1 ? ). f (? x) x

当 x > 0 时, f ( x) = ( x 2 ?

ln x ? 1 1 ln x ? 1 .∵x2∈ [ , e] ,∴ ≤0. ………… 12 分 2 e x x2 1 1 ① 若 b > 0,g(x)在 [ , e] 上是减函数,g(x) min = g (e) = b(1 ? ) . e e g ′( x) = b ?

∵ f ( x) min < g ( x) min ,∴(*)不成立.………… 8 分
1 1 ② 若 b < 0,g(x)在 [ , e] 上是增函数,g(x) min = g ( ) = b(1 + e) .………… 14 分 e e e e 要使 f(x) min ≥g(x) min ,只要 ? ≥ b(1 + e) .则 b ≤ ? . ………… 16 分 2(1 + e) 2

8


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