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高考大一轮总复习4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式


必考部分

第四章

三角函数与解三角形

§4.3

两角和与差的正弦、余弦和正切公 式、二倍角公式

考纲展示? 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切 公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联 系.

考点 1

三角函数公式的基本应用

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin αcos β± cos α sin β sin(α± β)=__________________________ ;

cos αcos β±sin α sin β cos(α?β)=__________________________ ;
tan α± tan β tan(α± β) = . 1?tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcos α sin 2α=________________ ;
cos α-sin α = ______________
2 2

cos



2cos2α-1 = ______________ =

1-2sin2α ______________ ;

2tan α tan 2α= . 1-tan2α

1 2 ________.

(1)[教材习题改编]计算:sin 108° cos 42° - cos 72° sin 42° =

?π ? ? 3 π? (2)[教材习题改编]已知 cos α=- ,α∈? ,π?,则 sin?α+ ? 5 3? ?2 ? ? 4-3 3 的值是________ . 10
?π ? 3 4 ? ? 解析:因为 cos α=-5,α∈ 2,π ,所以 sin α=5,所以 ? ? ? π? π π 4 1 ? 3? sin?α+3?=sin αcos3+cos α sin3=5×2+?-5?× ? ? ? ?

3 4-3 3 2 = 10 .

公式使用中的误区:角的范围;公式的结构.

tan α+2 (1) 若 函 数 f(α) = , 则 α 满 足 2tan α≠1 , 且 1-2tan α π kπ+2(k∈Z) α≠__________________.

tan α+2 解析:要使函数 f(α)= 有意义,则 1-2tan α≠0, 1-2tan α π tan α 有意义,所以 2tan α≠1,则 α≠kπ+ (k∈Z). 2

1 (2)化简: sin x- 2 2

? π? sin?x-3? 3 ? ? cos x=______________.

? 1 3 π π π? 解析:2sin x- 2 cos x=cos 3sin x-sin 3cos x=sin?x-3?. ? ?

[典题 1]

(1)[2017· 江西新余三校联考]已知

?π ? cos?3-2x?= ? ?

? 7 π? - ,则 sin?x+ ?的值为( C ) 8 3? ?

1 7 1 7 A. 4 B.8 C.± 4 D.± 8

[解析]

因为

? ?π ?? cos?π- ?3-2x?? ? ? ??

? 2π? 7 =cos?2x+ 3 ?=8, ? ?

所以有 sin 从而求得

2

? π? 1 ? 7? 1 ?x+ ? = ×?1- ?= , 3? 2 ? 8? 16 ?

? π? 1 sin?x+ ?的值为± ,故选 3? 4 ?

C.

? ? 5 3π? π? (2) 已知 cos θ = - , θ ∈ ?π, ? ,则 sin ?θ- ? 的值为 13 2? 6? ? ? 5-12 3 26 ______________ .

[解析]

? 5 3π? 由 cos θ=- ,θ∈?π, ?得 13 2? ?
2

12 sin θ=- 1-cos θ=- , 13 ? π? π π 故 sin?θ- ?= sin θcos -cos θ sin 6? 6 6 ? 12 3 ? 5? 1 =-13× 2 -?-13?×2 ? ? 5-12 3 = 26 .

(3)设

?π ? sin 2α=- sin α, α∈ ? ,π?, 则 ?2 ?

3 tan 2α 的值是________ .

[解析]

∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,

1 ∴cos α=-2. 又
?π ? α∈?2,π?,∴sin α= ? ?

3 2 ,tan α=- 3,

2tan α 2 3 ∴tan 2α= =- = 3. 1-tan2α 1-?- 3?2

[点石成金]

三角函数公式的应用策略

(1)使用两角和与差的三角函数公式, 首先要记住公式的结构 特征. (2)使用公式求值, 应先求出相关角的函数值, 再代入公式求 值.

考点 2 三角函数公式的逆用与 变形应用

公式的常用变形
1?tan αtan β ; (1)tan α± tan β=tan(α± β)(_____________)
2 2 1+cos 2α 1-cos 2α cos α sin α (2)________= ,________= ; 2 2

sin α+cos α 2,1-sin 2α=(___________) sin α-cos α 2, (3)1+sin 2α=(____________)
? π? sin α ± cos α ?. ___________= 2sin?α± 4 ? ?

1 2 ________.

(1)[教材习题改编] 计算: sin 43° cos 13° - sin 13° cos 43° =

1 解析:原式=sin(43° -13° )=sin 30° =2.

3 (2)[教材习题改编]已知 sin θ= ,θ 为第二象限角,则 sin 2θ 5 24 -25 的值为________ .

3 解析:∵sin θ=5,θ 为第二象限角, 4 ∴cos θ=- , 5 3 ? 4? 24 ? ? ∴sin 2θ=2sin θcos θ=2× × - =- . 5 ? 5? 25

辅助角公式.
2 (1)函数 f(x)=sin x+ cos x 的最大值为________ .

解析:sin x+cos x= =
? π? 2sin?x+ ?≤ 4? ?

? 2?sin ?

π π? xcos 4+cos xsin4? ?

2.

(2)一般地,函数 f(α)=asin α+bcos α(a,b 为常数),可以化 为
2 2 ? b? a + b sin( α + φ ) f(α) = __________________ ?其中tan φ= ? 或 a? ?

f(α) =

a? a2+b2cos(α-φ) ? __________________?其中tan φ= ?. b? ?

解析:一般地,函数 f(x)=asin α+bcos α(a,b 为常数)可以 化为 f(α)= a +b
2 2

? b? sin(α+φ)?其中tan φ= ?或 a? ?

f(α)= a2+b2cos(α

? a? -φ)?其中tan φ= ?. b? ?

[典题 2]

(1)[2017· 贵州贵阳监测]已知

?π ? sin?3+α?+ sin ? ?

α

? 4 3 7π? = ,则 sin?α+ ?的值是( D ) 5 6? ?

2 3 A.- 5 4 C.5

2 3 B. 5 4 D.-5

[解析]

?π ? 4 3 ∵sin? +α?+sin α= , 3 5 ? ?

π π 4 3 ∴sin 3 cos α+cos 3sin α+ sin α= 5 , 3 3 4 3 ∴2sin α+ 2 cos α= 5 , 3 1 4 即 sin α+ cos α= . 2 2 5 故
? 7π? sin?α+ ?= sin αcos 6? ?

7π 7π +cos α sin 6 6

? =-? ? ?

? 4 3 1 ? =-5. 2 sin α+ 2cos α ? ?

(2)在△ABC 中, 若 tan Atan B=tan A+tan B+1, 则 cos C 的值为( B ) 2 A.- 2 1 C.2 2 B. 2 1 D.-2

[解析]

由 tan Atan B=tan A+tan B+1,

tan A+tan B 可得 =-1, 1-tan Atan B 即 tan(A+B)=-1, 又 A+B∈(0,π), 3π 所以 A+B= , 4 π 2 则 C= ,cos C= . 4 2

1+cos 20° (3)[2017·陕 西 西 安 模 拟 ] 计 算 : - sin 2sin 20° 3 ? 1 ? ? ?=________. 2 10° · -tan 5° tan 5° ? ?
[解析] 2cos210° 原式= - sin 10° · 4sin 10° cos 10°

cos25° - sin25° sin 5° cos 5° cos 10° sin 20° = - 2sin 10° sin 10° cos 10° -2sin 20° = 2sin 10°

cos 10° -2sin?30° -10° ? = 2sin 10° cos 10° -2sin 30° cos 10° +2cos 30° sin 10° = 2sin 10° 3 = . 2

[点石成金]

三角函数公式活用的技巧

(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同, 创造条件逆 用公式. (2)tan αtan β, tan α+tan β(或 tan α-tan β), tan(α+β)(或 tan(α -β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用. (3)注意切化弦思想的运用.

1.已知 7 A. 9

?π ? 1 sin?6 -α?=3,则 ? ?

? ?π ?? cos?2?3 +α??的值是( ? ? ??

D )

1 B. 3 7 D.-9

1 C.-3

?π ? 1 解析:∵sin?6 -α?=3, ? ? ? ?π ?? ?π ? ∴cos?3-2α?=cos?2?6-α?? ? ? ?? ? ?

=1-2sin

2

?π ? 7 ? -α?= , ?6 ? 9

? ?π ?? ?2π ? ∴cos?2?3+α??=cos? 3 +2α? ? ? ?? ? ? ? ?π ?? =cos?π- ?3-2α?? ? ? ?? ?π ? 7 ? ? =-cos 3-2α =-9. ? ?

?1+sin α+cos 2.化简:

? ?cos α? · ?

α α? -sin ? 2 2?

2+2cos α

(0 < α < π) =

cos α ________.

解析:原式=
? α ?2cos2 +2sin 2 ?

α α?? α α? cos ??cos -sin ? 2 2?? 2 2? 2α 4cos 2

? α? 2α 2α cos ?cos -sin ? 2? 2 2? = ? α? ?cos ? 2? ?

α cos cos α 2 = ? . ? α ?cos ? 2? ? α π 因为 0<α<π,所以 0<2 <2, 所以 cos α >0,所以原式=cos α. 2

考点 3 角的变换

角的变换技巧
β 2α=(α+β)+(α-________) ;

α+β α -β β - α=(α+________)-β;β= ________ ; 2 2
?α ? α-β ? β? - =?α+ ?________? +β?. 2 2? ? ?2 ?

[典题 3]

3 1 已知 α,β 均为锐角,且 sin α=5,tan(α-β)=-3.

(1)求 sin(α-β)的值; (2)求 cos β 的值.

[ 解]

? π? (1)∵α,β∈?0, ?, 2? ?

π π ∴-2<α-β<2. 1 又 tan(α-β)=- <0, 3 π ∴- <α-β <0. 2 10 ∴sin(α-β)=- 10 .

(2)由(1)可得,cos(α-β)=

3 10 . 10

3 ∵α 为锐角,且 sin α= , 5 4 ∴cos α= . 5 ∴cos β=cos [α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+ sin α sin(α-β) 4 3 10 3 ? 10? ? ? =5× 10 +5×?- 10 ? ? ? 9 10 = . 50

[题点发散 1]

在本例条件下,求 sin(α-2β)的值.

10 3 10 解:∵sin(α-β)=- ,cos(α-β)= , 10 10 9 10 13 10 cos β= ,sin β= . 50 50 ∴sin(α-2β)=sin [(α-β)-β] =sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β 24 =-25.

[题点发散 2]

3 3 若本例中“sin α= ”变为“tan α = ”,其 5 5

他条件不变,求 tan(2α-β)的值.

3 1 解:∵tan α=5,tan(α-β)=-3, ∴tan(2α-β)=tan α+?α-β?
? ? ? ? ? ?

3 1 tan α+tan?α-β? 5-3 2 = = 3 1=9. 1-tan αtan?α-β? 1+5×3

[点石成金]

利用角的变换求三角函数值的策略

(1) 当 “已知角 ” 有两个时,一般把 “ 所求角 ”表示为两个 “已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时, 此时应着眼于“所求角”与“已 知角 ” 的和或差的关系,然后应用诱导公式把“ 所求角 ” 变成 “已知角”.

? ?α ? 2 π β? 1 已知 0<β<2<α<π, 且 cos?α-2?=-9, sin?2 -β?=3, 求 cos(α ? ? ? ?

+β)的值.

π 解:∵0<β <2<α<π, π β ∴ <α- <π, 4 2 π α π -4<2-β<2,
? β? ∴sin?α-2?= ? ?

1-cos

2

? β? 4 5 ?α- ? = , 2 9 ? ?

?α ? cos? -β?= ?2 ?

1-sin

2

?α ? ? -β?= ?2 ?

5 , 3

?? ?? α+β β? ?α ∴cos =cos??α- ?-? -β?? 2 2? ?2 ?? ?? ? ? β? ?α ? β? ?α ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? =?- ?× ? 9?

5 4 5 2 7 5 + × = , 3 9 3 27

则由二倍角公式,可得 cos(α+β)=2cos
2 α+β

239 -1=-729. 2

完成真题演练集训

完成课时跟踪检测(二十)

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