当前位置:首页 >> 高三数学 >>

指数函数与对数函数图像交点个数问题 (1)


x 探究函数 y ? a 与 y ? log a x 图象的交点个数问题

函数 y ? a x 与 y ? log a x (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数,在同一坐标系中,它们的图象的 交点个数取决于 a 的取值.在此,笔者以函数与方程的思想为指导,运用导数的知识来探究它 们图象的交点个数问题.

探究 由 ?

? y ? ax ? y ? log a x





x ? ?y ? a ? y ? ?a ? x

① (其中x ? 0, y ? 0) ②

(1)当 a ? 1 时 ① + ② , 得 y ? a y ? ax ? x . 令 f ( x) ? a x ? x, x ? 0. 则 f ( y ) ? f ( x) , 即

f (a x ) ? f ( x) .
x x ∵ a ? 1 , ∴ f ( x ) 为 增 函 数 , ∴ a ? x . 两 边 取 自 然 对 数 , 得 ln a ? ln x , 即

x ln a ? ln x ? 0 .
令 g ( x) ? x ln a ? ln x, x ? 0 . 求导,得 g ?( x) ? ln a ? 当 x 变化时, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表 :

1 1 . 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? . x ln a

x
g ?( x )
g ( x)

( 0,

1 ) ln a
— ↘

1 ln a
0 极小值

(

1 , ?? ) ln a
+ ↗

由上表可知,当 x ?

1 1 ? 1 ? ln ? ln a ? . 时, g ( x)极小值 = 1 ? ln ln a ln a

∵ g ( x) 只有一个极值,∴ g ( x)min ? 1 ? ln ? ln a ? . ( ⅰ ) 当 1 ? ln ? ln a ? ? 0 , 即 a ? e e 时 , 方 程 g ( x ) ? 0 无 解 , 此 时 函 数 y ? a x 与
1

y ? loga x 的图象没有交点;
x ( ⅱ ) 当 1 ? ln ? ln a ? ? 0 ,即 a ? e e 时,方程 g ( x ) ? 0 有一 解,此时函数 y ? a 与
1

y ? loga x 的图象有一个交点;
(ⅲ) 当 1 ? ln ? ln a ? ? 0 , 即 1 ? a ? e 时, 由于 g ( x) 在 ? 0, ??? 内连续, 且当 x ? 0 时,
?

1 e

g ( x) ? ?? ;当 x ? ??时, g ( x) ? ?? ,∴ 方程 g ( x ) ? 0 有两解,此时函数 y ? a x 与

y ? loga x 的图象有两个交点.
(2)当 0 ? a ? 1 时 由①、②,消去 y ,得
x

aa

x

?x



由于 a ? 0 ,且 0 ? a ? 1 ,故 0 ?

aa

x

? 1 ,即 0 ? x ? 1 .
x

x 对③式两边取自然对数,得 a ln a ? ln x ,即 a ?

ln x . ln a

两边取自然对数,得 x ln a ? ln 令 h( x) ? ln

ln x . ln a

ln x 1 ? x ln a, x ? ? 0,1? .求导,得 h?( x) ? ? ln a . ln a x ln x 1 1 , x ? (0,1) .则 ? ?( x) ? ln x ? 1. 由 h?( x) ? 0 ,得 x ln x ? .令 ? ( x) ? x ln x ? ln a ln a 1 1 1 由 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? . 当 x ? (0, ) 时, ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ( ,1) 时, ? ?( x) ? 0 . e e e 1 1 1 1 ∴当 x ? 时, ? ( x) min ? ? ( ) ? ? ? . e e e ln a 1 1 1 1 ? 0 ,即 a ? e 时, ? ( x ) ? 0 恒成立.∴ x ln x ? (ⅰ ) 当 ? ? ,∵ 0 ? a ? 1 , e ln a e ln a 1 1 1 0 ? x ? 1 ,∴ ? ln a ?0 ,即 h?( x) ?0 ,当且仅当 a ? e ,且 x ? 时取“=”号. ∴ x ln x e e

h( x) 在 (0,1) 内是减函数. 又∵当 x ? 0? 时, h( x) ? ?? ;当 x ? 1? 时, h( x) ? ?? ,
且 h( x) 在 (0,1) 内连续,∴方程 h( x) ? 0 恰有一解,此时函数 y ? a 与 y ? log a x 的图象有一
x

个交点. (ⅱ) 当 ?

1 1 1 1 ? ? 0 ,即 0 ? a ? e 时,∵ lim ? ( x) ? lim ? ( x) ? ? ? 0 ,且 ? ( x) 在 ? ? x ? 0 x ? 1 e ln a e ln a 1 1 (0,1) 内连续,∴存在 m ? (0, ), n ? ( ,1) ,使得 ? (m) ? ? (n) ? 0 ,∴ h?(m) ? h?(n) ? 0 . e e

当 x 变化时, h?( x), h( x) 的变化情况如下表:

x
h?( x)
h( x )

(0, m)
- ↘

(m, n)
+ ↗

(n,1)
- ↘

由上表可知, h( x) 在 (0, m) 内是减函数,在 (m, n) 内是增函数,在 (n,1) 内是减函数. 下面证明, h(a ) ? 0 , h( ) ? 0 .
1 e

1 e

h(a ) ? ln
F (a) ?

1 e

1 ln a ? a e ln a ln a
1

1 e

? ?1 ? a e ln a
0?a? 1 ee

1

,

0?a?

1 ee

.



? ?1 ? a e ln a

,

.





0?a?

1 ee



,

1 1 1 ?1 1 ?1 1 1 1 ?1 1 1 F ?(a) ? ? a e ln a ? a e ? ? ?a e ( ln a ? 1) ? ?a e ( ln e ? 1) ? 0 . e a e e e

∴ F ( a ) 在 (0,

1 ) 内是增函数, ee

又∵ F ( a ) 在 (0,

1 ] 上连续, ee

∴当 0 ? a ?

1 时, ee

F (a) ? F (

1 1 e ) ? 0 , 即 h ( a )?0. e e

1 1 1 1 1 ? ? ln(? ln a ) ? ln a , 0 ? a ? e . h( ) ? ln e ? ln a e e e ln a e 1 G (a ) ? ? ln(? ln a ) ? ln a , e 1 1 1 1 0 ? a ? e .易证它为减函数, ∴当 0 ? a ? e 时, G (a ) ? G ( e ) ? 0 ,即 h( ) ? 0 . e e e e ln
∵0 ? a ?



1 1 1 e 0 ? a ? ? 1 , 又∵当 x ? 0? 时, h( x) ? ?? ; 当 x ? 1? 时, , ∴ e e e

1 1 1 h( x) ? ?? , 且 h( x) 在 (0,1) 内连续, 结合 h( x) 的单调性, ∴ h( x) 在区间 (0, a e ) , ( a e , ) , e

1 ( ,1) 内各有一个解. ∴此时函数 y ? a x 与 y ? loga x 的图象有三个交点. e
综上所述, 函数 y ? a 与 y ? log a x (a ? 0, 且a ? 1) 图象的交点有如下情 况:
x

当 a ? e 时,没有交点; 当 a ? e e 时,有一个交点; 当 1 ? a ? e e 时,有两个交点;
1

1 e 1

1 ? a ? 1 时,有一个交点; ee 1 当 0 ? a ? e 时,有三个交点. e



相关文章:
指数函数与对数函数图像及交点问题
指数函数与对数函数图像交点问题 - 关于指数函数与对数函数的问题 、指数函数 底数对指数函数的影响: ①在同坐标系内分别作函数的图象,易看出:当 a>l 时...
同底的指数函数与对数函数的交点问题
同底的指数函数与对数函数交点问题_初中教育_教育专区。同底的指数函数与对数...当 0<a<1 时,y=ax 与 y=logax 的图像至少有一个 交点,且这个交点在在...
指数函数与对数函数的交点个数问题
指数函数与对数函数的交点个数问题_数学_自然科学_专业资料。指数函数 y ? a ...指数函数与对数函数的图... 4页 1下载券 指数函数与对数函数图像... 暂...
关于同底指数函数与对数函数的交点问题
关于同底指数函数与对数函数交点问题李海淼 《数理化学习(高中版)》2008 年 ...因此有以下结论: 1 e ①当 a ? e , 方程(*) 无解(见 1 所示); ...
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数对数函数、幂函数的图像与性质 - 指数函数对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 根式的概念 如果 x n ? a ...
同底指数函数与对数函数的交点问题总结
同底指数函数与对数函数交点问题总结 x x 我们熟悉的函数y=a 与 y=loga ...图像只有交点 x x x x (3)1<a<e ,y=a 与 y=x 的图像有两个...
指数函数、对数函数图像交点问题
指数函数对数函数图像交点问题_数学_高中教育_教育专区。指数函数对数函数图像交点问题反函数是函数中一个重要的概念, 它是从研究两个函数关系的角 度产生的,...
关于同底指数函数与对数函数的交点问题
关于同底指数函数与对数函数交点问题_数学_高中...e e , 方程(*) 无解(见 1 所示); 1 ②...由于此数非常小,因此,人们在平时较难观察到这种较...
同底的指数函数与对数函数的交点问题
用于求同底的指数函数与对数函数交点数 ? 同底的指数函数与对数函数交点...0 个 1 个或 2 个.如下图 0<a<1图象有且仅有交点,我稍作说明...
指数函数和对数函数综合题目与答案
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较, 指数函数和对数函数综合 指数函数、幂...x 与 y ? 2 的图象交点个数为___. 三、解答题 1 3 3 -1 2 8...
更多相关标签: