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广东省韶关市2015届高三模拟底考试数学文试题


韶关市 2015 届高三模拟底考试 数学(文科)试卷
说明: 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.

( x ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ??? ? ( xn ? x ) 2 1. 方差公式: n 个数据 x1 、 x2 、 x3 ??? xn 的方差 s ? 1 n
2

?

?

?

x 是数据 x1 、 x2 、 x3 ??? xn 平均数.
2. 锥体体积:设锥体底面积为 s ,高为 h ,则锥体体积公式为 V ?

?

1 sh . 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的). 1.设集合 U ? {?2, ?1,0,1, 2}, A ? {1, 2}, B ? {?2, ?1, 2} ,则 A A. {0,1, 2} B. {1, 2} C. {2}

(CU B) 等于

D. {1}

2.已知 i 为虚数单位,复数 z ? i (2 ? i) 的模 z = A. 1
3

B.

3
x

C. 5
?1

D.3 D. y ? ln x D.10

3.下列函数中,既是奇函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是 A. y ? x B. y ? e C. y ? x 4.如图右所示,该程序运行后输出的结果为 A.4 B.6 C.8

5.在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图,去掉一 个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 A.5 和 1.6 B.85 和 1.6 C. 85 和 0.4 D. 5 和 0.4 6.在 △ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( A. 4 3 B. 2 3 C. ?
).

D.

? ?

7. 已知向量 a ? ?1, x ? , b ? ?x,3? ,若 a // b ,则 a 等于 A. 1 B. 2 C.4 D.2

?x ? y ? 1 ? 8.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? 10. 下列命题中是假命题 的个数是 ... ① ?? , ? ? R, 使 cos(? ? ? ) ? cos? ? sin ? ; ② ?a ? 0,函数f ( x) ? ln 2 x ? ln x ? a有零点 ③若 a , b 是两个非零向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ”的充要条件;
x ④ 若函数 f ( x ) ? 2 ? 1 ,则 ?x1, x2 ??0,1? 且 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 )

B.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

二.填空题:(本大题共 5 小题.考生作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(11~13 题)
y

11.函数 y ? lg( x ? 2 x ? 3) 的定义域是________.(结果用区间表示)
2

A

12.如图,已知抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 与双曲线

x ? y 2 ? 1的右焦点重合, 3

2

o

F

x

| AF |? 3 , 过抛抛线焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, 则 p ? __________;直线 AB
斜率等于_________.
2

y2=2px B

13. 已知各项不为零的等差数列 {an } 满足 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 , 数列 {bn } 是等比数列, 且 b7 ? a 7 , 则 b5b9 =________.

(二)选做题(14~15 题,考生只能选做其中的一题,两题全答的,只计算前一题的得分) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标中,已知直线 l 方程为 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 ,点 Q 的坐 标为 ( 2,

? ) ,则点 Q 到 l 的距离 d 为____________. 3

15.(几何证明选讲选做题)如图,平行四边形 ABCD 中,AE:EB=1:2,△AEF 的面积为 1cm2, 则平行四边形 ABCD 的面积为__________cm2. 三.解答题(本大题共 6 题,满分 80 解答应写出文字说明.证明过程或演 算步骤). 16.(本小题满分12分) 已知函数 f ?x? ? 3 sin x ? cos x ( x ?R) (1) 求 f ?

? 5? ? ? 的值; ? 6 ? ? ? ?? 上的最大值和最小值及相应的 x 值. , ? 2 2? ?

(2) 求 f ?x ? 在区间 ??

17.(本小题满分12分) 2014 年春节期间,高速公路车辆剧增.高速公路管理测控中心在一特定位置从七座以下小型汽 车中按先后顺序,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 辆进行电子测速调查,将它们的车速 (km/h)分成六段「80,85),[85,90),[90,95),「95,100),[ 100 ,105).[105,110) 后得到如下图的频率分布直图. (1) 测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这 40 辆车车速的平均数; (2) 从车速在[80,90)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆数的概率 参考数据:

82.5 ? 0.01 ? 87.5 ? 0.02 ? 92.5 ? 0.04 ? 97.5 ? 0.06 ? 102.5 ? 0.05 ? 107.5 ? 0.02 ? 19.4

18. (本小题满分14 分)

如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的底面是正方形, AB ? 1 , AA 1 ? 2 ,线段 B 1D 1 上有两个点

E ,F .
(1)证明: AC ? B1D1 ; (2)证明: EF ∥ 平面ABCD ; (3)若 E , F 是线段 B1D1 上的点,且 EF ? 体积.
A1 D1 E F B1 C1

1 ,求三棱锥 A ? BEF 的 2
D C

A

B

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 中心在原点, 离心率 e ? 椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. (1) 求椭圆 C 的方程;

3 , 直线 l :y ? x ? 2 与以原点为圆心, 3

M 是椭圆上异于 A1, A2 的任意一点,设直线 (2) 设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A 1, A 2 ,点

MA1 , MA2 的斜率分别为 kMA1 , kMA2 证明 kMA1 ? kMA2 为定值.

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn , an?1 ? 2Sn ? 1 , n ? N .
*

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ? log3 an?1 ,求数列 {

9 bn } 的前 n 项和 Tn ,并证明: 1 ? Tn ? . 4 an

21. (本小题满分 14 分) 2 已知函数 f ( x) ? b ln x, g ( x) ? ax ? x(a ? R) . (1)若曲线 f ( x ) 与 g ( x) 在公共点 A(1, 0) 处有相同的切线,求实数 a , b 的值; (2)若 b ? 1 ,设函数 u( x) ? g ( x) ? f ( x) ,试讨论函数 u ( x) 的单调性;
b (3)若 a ? 1, b ? 2e ,求方程 f ( x) ? g ( x) ? x 在区间 (1, e ) 内实根的个数(其中 e 为自然对数

的底数).

参考解答和评分标准
一、选择题:ACABB BDBDB 1. 提示:因为 CU B ? {0,1} ,所以 A

(CU B) ? {0,1, 2} ,故选 A
故选 C

2 解答:因为 z=i(2 一 i) ? 1 ? 2i, 所以 z ? 5 ,

3. 提示:A 选项中,函数 y ? x3 是奇函数又在 (0, ??) 单调递增;B 选项中, y ? e x 是非奇非偶 函数,;C 选项中, y ? x ?1 是奇函数,但在 (0, ??) 上是减函数;D 选项中, y ? ln x 是非奇非偶函 数.故选 A. 4 提示:第 1 次循环,S=2,i=5;第 2 次循环,S=4,i=4;第 3 次循环,S=6,i=3,不满足 i≤3,退出 循环,输出的结果为 14,故选 B.

4? 4 ?4 ?6 ?7 1 ? 85, s 2 ? ?1 ?1 ?1 ?1 ? 4 ? ?1.6 ,故选 B. 5 5 BC AC 3 2 AC 6. 提示:由正弦定理得: ? ? ? ? AC ? 2 3 ,选 B ? sin A sin B sin 60 sin 45?
5. 提示 x ? 80 ? 7. 提示:因为 a // b ,所以 x ? 3 ,所以 a ? 1 ? x ? 2
2

2

故选 D

y

x-y=-1

8. 提示:画出约束区域可得: (2 x ? 3 y)max ? 2, ,所以选 B 9. 提示:由判断定理和性质定理可知 D 正确,故选 D 10. 提示:只有第④个是假的,故选 B 二、填空题:
O

2x-y=2

x

x+y=1

(-?,-3) (1,+?) 11. , 12. A(2, 2 2) , 13. 16 ,14.
填空题 提示:

3 ,15. 24 2

11. 提示:由 x ? 2x ? 3 ? 0 ? ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? x ? ?3, 或x ? 1, 即(-?,-3) (1,+?) .
2

12. 提示:由抛物线定义, xA ? 1 ? 3 ,所以 xA ? 2 , y 2 ? 4 ? x ? 8 因为点 A 在 x 轴上方,所以 A(2, 2 2) , K ? ?2 2

y ? ?2 2

13. 提示:因为 {an } 等差数列,所以 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 4a7 ? a7 ? 0 ,所以 a7 ? 4 所以 b5b9 ? b7 2 ? a7 2 ? 16. 14. 提示: 化直角坐标方程,直线 x ? y ? 1 ? 0 ,点 Q(1, 3) ,距离 d ?

2

2

3 2

15.

提 示 : 设 AE ? a , 则 E B ? 2 a , AB ? CD ? 3a ,

S?AEF EF 1 ? ? , S?ADF DF 3

S?ADF ? 3 ,

?AEF

?CDF , S?CDF ? 9S?AEF ? 9

所以,平行四边形 ABCD 的面积为 24

三、解答题 16 解(1)? f ?x? ? 3 sin x ? cos x ? 2 sin? x ?

? ?

??
? 3?

??????? 2 分

? 5? ? ? 5? ? ? ? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? 6 ? ? 6 3? ???????4 分 7? ?? ? ? ? 2 sin ? 2 sin ? ? ? ? ? ?2 sin 6 6? 6 ?
? ?1
(2)? ? ????????????????????? 6 分

?

??

?

2

?x? ? x?

?

?

2 ?

6

3

5? ??????? 7 分 6

??

1 ?? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ???????8 分 2 3? ?

从而当 x ?

?
3

?

?
2

时,即 x ?

?
6



f ?x?max ? 2 ??????? 12 分??????? 10 分
而当 x ?

?
3

??

?
6

时,即 x ? ?

?
2



f ?x ? min ? ?1 ???????12 分
另解:(1) f ( ? ) ? sin ? ? 3 sin ?

5 6

5 6

5 6

?

1 3 ? 3(? ) 2 2

? ?1 ????????????????????? 3分
(2) f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ?

?

?? ??

?
2

?x?

?
2 ?

3

) ???????????????5分

?
6

? x?

?
3

5? ??????? 6分 6

??

1 ?? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ???????8 分 2 3? ?

从而当 x ?

?
3

?

?
2

时,即 x ?

?
6



f ?x?max ? 2 ??????? 12 分??????? 10 分
而当 x ?

?
3

??

?
6

时,即 x ? ?

?
2



f ?x ? min ? ?1 ???????12 分
17 解( : 1) 根据“某段高速公路的车速( km / h )分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公司在采样中, 用到的是系统抽样方法.( 注意每间隔 50 辆就抽取一辆这一条件)…………3 分 平均数的估计值为:

(82.5 ? 0.01 ? 87.5 ? 0.02 ? 92.5 ? 0.04 ? 97.5 ? 0.06 ? 102.5 ? 0.05 ? 107.5 ? 0.02) ? 5
? 19.4 ? 5 ? 97 …………………………6 分
(2)从图中可知,车速在 [80,85) 的车辆数为 m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆),分别记为 B1 , B2 ;车 速在 [85,90) 车辆数为 m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆),分别记为 A1 , A2 , A3 , A4 ,从这 6 辆车中随机抽 取两辆共有 15 种情况:

( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, A4 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ) , ( A2 , A3 ),( A2 , A 4 ) , ( A2 , B1 ),( A2 , B2 ) , ( A3 , A4 ),( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A4 , B1 ) , ( A4 , B2 ) , ( B1, B2 ) .……………………9 分
抽出的 2 辆车中车速在 [85,90) 的车辆数 ( A 1, A 2 ),( A 1, A 3 ), ( A 1 , A4 ), ( A 2, A 3 ),( A 2, A4)

( A3 , A4 ) 共 6 种,………………………………………………………11分
故所求的概率 P( A) ?

6 2 ? .…………………………………12 分 15 5

18 解:证明:(1)在 ABCD ? A1B1C1D1 中,连接 BD ,因为底面 ABCD 是正方形 所以 AC ? BD ????????????????????????1 分 又 DD1 ? 面ABCD, AC ? 面ABCD ? DD1 ? AC ?????????3 分 又 BD

DD1 ? D ,? AC ? 面BDD1B1 ,又 B1D1 ? 面BDD1B1 ,

? AC ? B1D1. …………………………………………………………5 分
(2)法一:在 ABCD ? A1B1C1D1 中, BB1 //DD1 ,所以四边形 BDD1B1 是平行四边形 所以 BD // B1D1 ??????????????????7 分 所以 EF // BD, 又EF ? 面ABCD, BD ? 面ABCD ????????????9 分 所以 EF // 面ABCD ??????????????????10 分

法二:在 ABCD ? A1B1C1D1 中,

面A1B1C1D1//面ABCD,又EF ? 面A1B1C1D1, ? EF // 面ABCD ??????10 分
(3)设 AC 与 BD 交于点 O ,由(1)可知 AO ? 面BDD1B1 ,即 AO ? 面BEF 所以 AO 是三棱锥 A ? BEF 的高,且 AO ?

1 2 ??????????12 分 AC ? 2 2

所以 VA? BEF ?

1 1 2 1 1 2 ? AO ? S?BEF ? ? ? ? ?2 ? . ?????????14 分 3 3 2 2 2 12

19 解:(1) :由题意得 an?1 ? 2Sn ? 1 ,an ? 2Sn?1 ? 1(n ? 2) ??????????1 分

两式相减得 an?1 ? an ? ( 2 Sn ? Sn?1 ) ? 2an ? an?1 ? 3an (n ? 2) ???????2 分 所以当 n ? 2 时, {an } 是以 3 为公比的等比数列.?????????????3 分 因为 a2 ? 2S1 ? 1 ? 2a1 ? 1 ? 3 ,

a2 ?3 a1

所以,

an ?1 ? 3 ,对任意正整数成立 {an } 是首项为1,公比为3的等比数列?5分 an

(2)由(1 得知 an ? 3n?1 , bn ? log3 an?1 ? log3 3n ? n ?????????????6 分
bn n 1 ? n ?1 ? n ? ( ) n ?1 ??????????????????????????7 分 an 3 3

1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? ? 3 ? ( )2 ? 4 ? ( )3 ? 3 3 3

1 ? n ? ( ) n ?1 3



1 1 1 1 1 1 Tn ? 1? ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n ② 3 3 3 3 3 3 2 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ① -②得 Tn ? 1 ? ? ( ) ? ( ) ? ? ( ) ? n ? ( ) ?????????9 分 3 3 3 3 3 3 1 1 ? ( )n 3 ? n ? ( 1 )n ?????????????????????10 分 ? 1 3 1? 3 9 9 3 1 n 所以 Tn ? ? ( ? n)( ) ????????????????????11 分 4 4 2 3 9 3 1 n 9 9 3 1 n 9 因为 ( ? n)( ) ? 0 ,所以 Tn ? ? ( ? n)( ) ? .?????????12 分 4 2 3 4 4 2 3 4

又因为 Tn ?1 ? Tn ? 所以 1 ? Tn ?

n ?1 ? 0 ,所以数列 {Tn } 单调递增,所以 (Tn )min ? T1 ? 1 3n

9 .????????????????????14 分 4

20. (1)解:设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b 2

∵ 离心率 e ?

3 , 3

?a 2 ? 3c 2 , b 2 ? 2c 2 ;…………2 分
∵ 直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切 ∴ b= ∴ c =1
2 2

∴ a =3…………5 分

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ;…………6 分 3 2

(2)证明:由椭圆 C 方程得 A1 (? 3,0) , A2 ( 3,0) , 设 M 点坐标 (x0 , y0 ) ,则 ∴y 0 ?
2

x 02 y 02 ? ? 1 …………8 分 3 2

2 (3 ? x 0 2 ) …………10 分 3

∴K MA1 K MA2 ?

y 02 …………12 分 ? 2 x 0 ? 3 x 0 ? 3 x 0 ?3 y0 y0

2 (3 ? x 0 2 ) 2 ?3 2 ?? x0 ?3 3
∴K MA1 K MA2 是定值为 ? 21.解:(1) f ( x) ?
'

2 .…………14 分 3

b ' , g ( x) ? 2ax ? 1 x
???3 分
2

则?

? g (1) ? f (1) ? 0 ?a ? 1 ?? ' ' ? g (1) ? f (1) ?b ? 1

(2)设 u( x) ? g ( x) ? f ( x) ? ax ? x ? ln x ? x ? 0?

u ' ( x) ? 2ax ? 1 ?

1 2ax 2 ? x ? 1 ? x x

' ①当 a ? 0 时, u ( x) ?

?x ?1 ? 0 ,所以函数 u ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;???4 分 x

2 ②当 a ? 0 时,令 u ' ( x) ? 0 ,即 2ax ? x ? 1 ? 0 ??????(*), ? ? 1 ? 8a

当 ? ? 0 ,即 a ? ? 时, 2ax ? x ? 1 ? 0 ,即 u ' ( x) ? 0 ,所以函数 u ( x) 在 (0, ??) 上单调递
2

1 8

减;??????????????????????????5 分 当 ? ? 0 ,即 a ? ? 时,方程(*)的解为: x1 ?

1 8

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , x2 ? 4a 4a

当?

1 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ? a ? 0 时, x1 ? ? 0, x2 ? ? 0 ,则函数 u ( x) 在 (0, ??) 上单调递 8 4a 4a

减;????????????????????????6 分 当 a ? 0 时 , x1 ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ? 0, x2 ? ? 0 , 则 函 数 u ( x) 在 (0, x2 ) 上 递 减 , 在 4a 4a

( x2 ,?? )上递增;????????????????????????7 分
综上所述,当 a ? 0 时,函数 u ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 当 a ? 0 时,函数 u ( x) 在 (0, x2 ) 上 递减,在 ( x2 , ??) 上递增. ????8 分 (2)另解: u( x) ? g ( x) ? f ( x) ? ax ? x ? ln x ? x ? 0?
2
2 1 2 ax ? ? x 1 u ' ( x)? 2a?x ?1 ? x x

' ① a ? 0 时, x ? (0, ??) 所以, u ( x) ? 0

u ( x) 在 (0, ??) 上单调递减????????????????5分
② a ? 0 时, ? ? 1 ? 8a ? 0

x1 ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ? 0, x2 ? ? 0 ???????????????6分 4a 4a
'

当 x ? (0, x2 ) 时, u ( x) ? 0 , u ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减 当 x ? ( x2 , ??) 时, u ( x) ? 0 , u ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递增
'

综上所述,当 a ? 0 时,函数 u ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 当 a ? 0 时,函数 u ( x) 在 (0, x2 ) 上递减,

在 ( x2 , ??) 上递增. ????8 分 (3)
2 b 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? b ln x ? x x ? (1, e ) ,

?

?

h' ( x) ?

b ? 2 x2 b ' ,令 h ( x) ? 0 ? x ? ? e , x ? 1 时, x ? x ? ex x 2

b ? eb ??????????9 分 2

x
h' ( x)
h( x )
所以, h极大 ? x ? ? h ?

? b? 1, ? ? ? 2? ? ?

b 2
0
极大

? b b? ? ? 2,e ? ? ? ?

?
?

?
?

? b ? b? b ? ln ? 1? ? 0 ???????????11 分 ? 2? ?? 2? ? 2 ? ? ?

又因为 h ?1? ? ?1,

方程在 (1,

b ) 上有一个根 2

h ? eb ? ? ? b ? eb ?? b ? eb ?
设 t ( x) ? e x ? x ( x ? ? 2e, ?? ? , t ' ( x) ? e x ? 1 ? 0 ,所以 t ( x) 在 ? 2e, ?? ? 上单调递增,

? t ( x) ? t (2e) ? 0,? e x ? x ? h ? eb ? ? 0 ,方程在 (

b b , e ) 上有一个根 2

所以方程 f ( x) ? g ( x) ? x 在区间 (1, eb ) 内有两个实根??????????14 分


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