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公开课3.3.1


3.3.1 两条直线的交点坐标

张 婷

学习目标
? 1、理解两条直线的交点坐标和二元一次方程组的解 之间的联系,能利用二元一次方程组的解的个数来判 断两条直线的位置关系。 ? 2、通过解二元一次方程组求两直线的交点坐标,体 会数形结合与转化的思想,能将几何问题转化为代数 问题来解决。 ? 3、探究过定点的直线系方程,培养勇于探索,敢于 创新的精神。

复习回顾-----点的坐标与直线方程的关系
名 称 方程 过定点

点斜式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

( x0 , y0 )
(0, b)

斜截式

y ? kx ? b
x y ? ? 1 ( ab ? 0) a b
y ? y1 x ? x1 ? x1 ? x2 ? ? ? ? y2 ? y1 x2 ? x1 ? y1 ? y2 ?

截距式

(a,0) (0, b)

两点式

( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 )

? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ?
一般式

Ax ? By ? C ? 0

已知两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

相交于一点,这一点与这两条直线的方程有 何关系?

两条直线的交点
几何元素及关系 代数表示
坐标 P(x 0 , y0 )

点P
直线 l

l : Ax ? By ? C ? 0
P 的坐标满足方程
Ax0 ? By0 ? C ? 0

点 P 在直线 l 上

直线 l1与 l2的交点是 P
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

P 的坐标是方程组的解 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
l1 : A1x0 ? B1 y0 ? C1 ? 0 l2 : A2 x0 ? B2 y0 ? C2 ? 0

问题1:方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系?
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 直线l1与l2的方程组 ? A x ? B y ? C ? 0 ? 2 2 2

?l1 , l2相交 ? 有唯一解 ? ? ?有无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ? 无解 ?l , l 平行 ? ?1 2

例1:求下列两条直线的交点:

y M 2

l1:3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0. 解:解方程组

-2

0 l1 l2

x

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0


? x ? ?2 ? ?y ? 2

∴l1与l2的交点是M(- 2,2)

例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系,若相交, 则求交点的坐标

?l1 : x ? y ? 0 (1) ? ?l 2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0 ? l1 : 3x ? y ? 4 ? 0 (2) ? ?l2 : 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 ?l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 (3) ? ?l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0

5 5 两直线相交,交点 M ( , ) 3 3

无解,两直线无 公共点,平行

可化为同一个方程,表 示同一条直线,重合

问题2:如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系?

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 ? A2 B2

l1与l2重合 l1与l2平行 l1与l2相交

当?变化时, 方程 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形 ?图形有何特点 ?

上式可化为:
(3 ? 2? ) x ? (4 ? ? ) y ? 2? ? 2 ? 0
y l1 l3 l2

? =-1时,方程为x+3y-4=0

? =0时,方程为3x+4y-2=0 ? =1时,方程为5x+5y=0

0

x

直线过定点(-2,2)

发现:此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束(直线集合)

共点直线系方程
方程

( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0
是过直线

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
的交点的直线系方程。

1、直线与直线的位置关系及其判断方法。
2、解二元一次方程组求两直线的交点坐标, 能将几何问题转化为代数问题来解决。 3、过定点的直线系方程。


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