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2.2.4面面平行的性质


复习:直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条 直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和 交线平行。

a ??? , a ? ?, ? ?? ?b

?

a b

a // b
?
2、简记:线面平行

注意: 1、定理三个

条件缺一不可。
线线平行。

(1) B1D1 与BD、CD 位置关系? 问题一:分别位于 两个平行平面 (2) B1C与F1E的长度相等不? 的两条共面直 (3) 直线B1E1 与面ABCDEF的关 线平行吗? E1 系? F1 问题二:夹在两个 D1 A1 B1 C1 平行平面之间 的平行线段的 长度相等吗?

F A

E D

问题三:两个平面 平行,其中一 个平面内的直 线必平行于另 一个平面 吗?

问题一:分别位于两个平行平面的两条共面直线平 行吗?

已知: 平面?,?,? ,? // ? , ? ? ? ? a

? ? ? ? b求证:a // b

已知: 平面?,?,? ,? // ? , ? ? ? ? a

? ? ? ? b求证:a // b 证明: ? ? ? ? a
? ?? ? b

{b ? ?
? // ?

a ??

a, b没有公共点 a, b都在平面?内

a // b

二、平面和平面平行的性质定理一 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线平行.

? // ? ? 即: ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? ? ? b?
简记:面面平行 线线平行

例1.求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. ? 已知:平面?//平面 ? ,AB和DC为夹在? 、 D ? A 间且AB//DC。 求证:AB=DC.
证明:

AB // DC ?过AB,CD可作平面 γ

? ? ? ? AD ? ? ? ? ? BC

?

?
B

C

? // ?

BC // AD

AB // CD

ABCD为平行四边形 ?

AB ? CD

问题三:两个平面平行,其中一个平面内的 直线必平行于另一个平面 吗?
a

?

?? / / ? , a ? ? ? a与面? 没有公共点 ? a / /?

证明:

?

三、平面和平面平行的性质定理二 两个平面平行,其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面
a

即:

? / /? ? ? ? a / /? ? ? ??

?

?

简记:面面平行

线面平行

例2:如图,ABCD和ABEF是两个不共面的 正方形,M,N分别是DB、AE上的点 (1)若M,N分别是中点,证明MN//面ADF (2)若BM=EN,证明MN//面ADF
D M A F N E B C

练习: 在正方体ABCD-A′B′C′D′ 中,点M在CD′上, (1)若M为中点,证明BM//面A′DM (2)若M为CD′上的动点,结论又如何.
C′ D′ M D C A

B′ A′
B

证明直线和平面平行的办法: (1)定义法:直线与平面没有公共点 (2)判定定理: / /b, b ? ? , a ? ? ? a / /? a

(3)面面平行的性质: a ? ? , ? / / ? ? a / / ?

1、如果两个平行平面同时和第三个平面 相交,那么它们的交线平行. 2、若两个平面互相平行,则其中一个平面

中的直线必平行于另一个平面;
3、夹在两平行平面间的平行线段相等。

1. 已知: 三个平行平面 , ? , ?与两条直线 m ? l, 分别相并于点A, B, C和点D, E , F . AB DE 求证 : = . BC EF 证明: 过A作直线AH//DF, G ? ? , H ?? .

连结AD,GE,HF(如图). ? α // β // γ ,
? BG / /CH , AG / / DE, GE / / EF AB AG ? ? , AG ? GE , GH ? EF BC GH
AB DE ∴ = . BC EF
G

H

l

m


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