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对数函数(第一课时)


2001年10月23日

学习目标:
1、理解对数函数的概念;
2、掌握对数函数的图象和性质; 3、数形结合意识的继续加强。

重点、难点:
重点是对数函数的图象和性质;
难点是对数函数与指数函数的联系。

一、前提诊测:
1、对数的定义: 一般地,若ab=N(a&g

t;0,a≠1),则数b就叫 做以a为底N的对数,记做logaN=b 2、求函数y=2x+1的反函数。

y ? 2x ? 1

y ?1 x? 2

x ?1 y? 2

3、互为反函数的两个函数的图象有什么 关系? 关于直线y=x对称

二、对数函数的引入:
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个 分裂为4个……1个这样的细胞分裂x次后,得到的 细胞个数设为y,则y与x的函数关系式为: Y=2x 问题2:某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个分 裂为4个……如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约 可以得到1万个,10万个……细胞,那么分裂次数x就 是要得到的细胞个数y的函数。由对数的定义,这个 函数可以写成: X=log y
2

变化过程: Y=2x

X=log2y

Y=log2x

结论:函数y=log2x和指数函数y=2x互为反函数

三、对数函数的定义:
函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数
需注意的几点:
①对数函数y=logax和指数函数y=ax互为反函数

②对数函数的解析式可由指数函数求反函数得到
③对数函数的定义域、值域也就是指数函数的 值域、定义域

想一想:对数函数的定义域和值域分别是什么?
因为指数函数的定义域是R 值域是(0,+∞)
所以对数函数的定义域是(0,+∞) 值域是R

四、对数函数的图象和性质 对数函数y=log2x的图象

y

y ? 2x

y=x
y ? log2 x

x

先画y=2x的图象

对数函数y=log2x的图象

y

y ? 2x

y=x
y ? log2 x

x

四、对数函数的图象和性质

对数函数y=log x的图象
1 x y?( ) 2

y

y=x

x
y=log x
1 x 先画 y ? ( ) 的图象 2

对数函数y=log x的图象
1 x y?( ) 2

y

y=x

x
y=log x

y=logax(a>1)的图象

y=logax(0<a<1)的图象

一般地,对数函数y=logax在a>1及0<a<1这两种情 况下的图象和性质如下表所示: a>1 0<a<1

图 象
当0<x<1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0

当x=1时,y=0
当x>1时,y<0

当x>1时,y>0

性 ⑵值域:R ⑶过特殊点: 过点(1,0),即x=1时y=0 质 ⑷单调性 :在( ⑷单调性:在(0,+∞)上是减函数 0,+∞)上是增函数

⑴定义域: (0,+∞)

五、应用举例: 例1:求下列函数的定义域: ①y=logax2 ②y=loga(4-x) ③y=loga(9-x2) 分析:此题主要利用对数函数y=logax的定义域 为(0,+∞)求解。

解: ①因为x2 >0,即x≠0,
所以函数y=logax2 的定义域是{x│x≠0} ②因为4-x>0,即x<4, 所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x│x<4} ③因为9-x2>0,即-3<x<3, 所以函数y=loga(9-x2)的定义域是{x│-3<x<3}

六、课堂练习: 1、画出函数y=log3x及y=log x的图象,并且 说明这两个函数的相同性质和不同性质。 y=log3x
y?x

y=log x
y?x

y=log3x y=log x

六、课堂练习: 1、画出函数y=log3x及y=log x的图象,并且 说明这两个函数的相同性质和不同性质。

相同性质:都位于y轴右方,都经过点(1,0), 这说明这两个函数的定义域都是(0,+∞), 且x=1时y=0 不同性质:y=log3x的图象是上升的曲线, y=log x的图象是下降的曲线,这说明前者在 (0,+∞)是增函数,后者在(0,+∞)是减 函数。

解: ⑴因为1-x>0,即x<1,
⑵因为x>0且log2 x ≠0

2、求下列函数的定义域: 1 ⑵ y? ⑴ y ? log5 (1 ? x) log x 2 1 ⑶ y ? log7 y ? log x ⑷ 3 1 ? 3x
所以函数 y ? log5 (1 ? x) 的定义域为{x∣x<1}
y? 1 的定义域为{x∣0<x<1,或x>1} log2 x

所以函数

1 1 ⑶因为 1 ? 3x >0,即x< 3 1 1 ? 3x ⑷因为x>0且 log3 x ≥0

所以函数 y ? log7

1 的定义域为{x∣x< 3}

所以函数 y ? log3 x 的定义域为{x∣x≥1}

通过本节课的学习,大家应逐 步掌握对数函数的图象和性质, 并能利用对数函数的性质解决 一些简单问题,如求对数形式 的复合函数的定义域问题。

1预习内容: 预习提纲:①同底数的两个对数如 何比较大小?
②不同底数的两个对数如何比较大小?

2挑战自己:
你能否尽可能完整地总结出指数函数和对数函 数的区别和联系?请试一试。

谢谢大家!


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