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高中数学竞赛试卷A及答案


高中数学竞赛试卷 A 及答案 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 150 分。 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1. 记[x]为不大于 x 的最大整数, 设有集合 A ? {x | x 2 ? [x] ? 2} ,B ? {x | | x |? 2} , 则A?B? ( ) A.(-2,2) B.[-2,2] C. { 3 , ? 1} D. {? 3 , 1} ? 111 ? 1 ? ?= ( ) ? ? 2 ? ? A.-1 B. 1 C. 2005 D.2007 3. 四边形的各顶点位于一个边长为 1 的正方形各边上, 若四条边长的平方和为 t, 则 t 的取值区间是 ( ) A.[1,2] B.[2,4] C.[1,3] D.[3,6] 4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为棱 D1 C1 AB 上一点,过点 P 在空间作直线 l,使 l 与平面 ABCD 和平面 ABC1D1 均成 30 ? 角,则这样的直 A1 B1 线条数是 ( ) A. 1 B. 2 C D C. 3 D. 4 P A 5.等腰直角三角形 ? ABC 中,斜边 BC= 4 2 ,一个 B 椭圆以 C 为其焦点,另一个焦点在线段 AB 上,且 椭圆经过 A,B 两点,则该椭圆的标准方程是(焦点在 x 轴上) ( ) 2 2 2 2 y y x x A. B. ? ?1 ? ?1 6?4 2 4 2 6? 4 2 3? 4 2 2.若 f ?x ? ? 2x 5 ? 2x 4 ? 53x 3 ? 57x ? 54 ? ? 2006 ,则 f ? ?1 4 2 6?4 2 3? 4 2 6? 4 2 (注:原卷中答案 A、D 是一样的,这里做了改动) 6.将正方形的每条边 8 等分,再取分点为顶点(不包括正方形的顶点) ,可以得 到不同的三角形个数为 ( ) A.1372 B. 2024 C. 3136 D.4495 C. D. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分,请将正确答案填在横 线上。 ) x2 ? y2 ?1 x2 ? y2 1 7.等差数列 {a n } 的前 m 项和为 90,前 2 m 项和为 360,则前 4m 项和为_____. ?x 3 ? sin x ? 2a ? 0 ? 8 .已知 x , y ?[? , ] , a ? R ,且 ? 3 1 ,则 cos?x ? 2 y ? 的 4 4 4 y ? sin 2 y ? a ? 0 ? 2 ? 值为______ ___. 9.100 只椅子排成一圈,有 n 个人坐在椅子上,使得再有一个人坐入时,总与原 来的 n 个人中的一个坐在相邻的椅子上,则 n 的最小值为__________. 10.在 ? ABC 中,AB= 30 ,AC= 6 ,BC= 15 ,有一个点 D 使得 AD 平分 S m BC 并且 ?ADB 是直角,比值 ?ADB 能写成 的形式,这里 m、n 是互质的正 S ?ABC n 整数,则 m-n=______ __. 11.设 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体,则上底面 ABCD 的内切圆上的 点 P 与过顶点 A,B,C1,D1 的圆上的点 Q 之间的最小距离是___________

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