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2015届高考数学二轮专题检测:5 如何用好基本不等式]


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如何用好基本不等式

1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则 a, ab,v 的大小关系为________. 答案 a<v< ab 解析 设甲、乙两地之间的距离为 s. 2s 2sab 2ab 2ab ∵a<b,∴v= = = < = ab. s s ?a+

b?s a+b 2 ab + a b ab-a2 a2-a2 2ab 又 v-a= -a= > =0,∴v>a. a+b a+b a+b 1 2.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=________. x-2 答案 3 1 1 解析 ∵x>2,∴f(x)=x+ =x-2+ +2 x-2 x-2 1 ≥2 ?x-2?× +2=4, x-2 1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时等号成立,即 a=3,f(x)min=4. x-2 1 1 3.(2014· 南通模拟)设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为________. a b 答案 4 解析 因为 3a· 3b=3,所以 a+b=1. 1 1? 1 1 b a + =2+ + + =(a+b)? ?a b? a b a b ba b a ≥2+2 ·=4,当且仅当 = , ab a b 1 即 a=b= 时等号成立. 2 1 1 - 4.已知 m=a+ (a>2),n=x 2(x≥ ),则 m 与 n 之间的大小关系为________. 2 a-2 答案 m≥n 1 1 解析 m=a+ =(a-2)+ +2≥4(a>2), a-2 a-2 1 1 当且仅当 a=3 时,等号成立.由 x≥ 得 x2≥ , 2 4 1 - ∴n=x 2= 2≤4 即 n∈(0,4],∴m≥n. x 5.已知正数 x,y 满足 x+2 2xy≤λ(x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为________. 答案 2 解析 ∵x>0,y>0,

∴x+2y≥2 2xy(当且仅当 x=2y 时取等号). x+2 2xy 又由 x+2 2xy≤λ(x+y)可得 λ≥ , x+y x+2 2xy x+?x+2y? 而 ≤ =2, x+y x+y ?x+2 2xy? ∴当且仅当 x=2y 时,? ? =2. ? x+y ?max ∴λ 的最小值为 2. m 3 1 6.已知 a>0,b>0,若不等式 - - ≤0 恒成立,则 m 的最大值为________. 3a+b a b 答案 16 m 3 1 3 1 3b 3 a 解析 因为 a>0,b>0,所以由 - - ≤0 恒成立得 m≤( + )(3a+b)=10+ + 恒成 a b a b 3a+b a b 立. 3b 3a 因为 + ≥2 a b

3b 3a · =6, a b

3b 3a 当且仅当 a=b 时等号成立,所以 10+ + ≥16, a b 所以 m≤16,即 m 的最大值为 16. 7.若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 答案 18 解析 ∵x>0,y>0,2x+y+6=xy, ∴2 2 xy+6≤xy,即 xy-2 2 xy-6≥0, 解得 xy≥18. ∴xy 的最小值是 18. 8.已知 a>0,b>0,函数 f(x)=x2+(ab-a-4b)x+ab 是偶函数,则 f(x)的图象与 y 轴交点纵坐 标的最小值为________. 答案 16 解析 根据函数 f(x)是偶函数可得 ab-a-4b=0,函数 f(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 ab. 由 ab-a-4b=0,得 ab=a+4b≥4 ab,解得 ab≥16(当且仅当 a=8,b=2 时等号成立),即 f(x)的图象与 y 轴交点纵坐标的最小值为 16. x 9.若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 1 ? 答案 ? ?5,+∞? x 1 1 1 解析 ∵a≥ 2 = 对任意 x>0 恒成立, 设 u=x+ +3, ∴只需 a≥ 恒成立即可. 1 x u x +3x+1 x+ +3 x ∵x>0,∴u≥5(当且仅当 x=1 时取等号).

1 1 1 由 u≥5 知 0< ≤ ,∴a≥ . u 5 5 2 10.(1)已知 0<x< ,求 y=2x-5x2 的最大值; 5 2 x +7x+10 (2)求函数 y= (x>-1)的最小值. x+1 1 解 (1)y=2x-5x2=x(2-5x)= · 5x· (2-5x). 5 2 ∵0<x< ,∴5x<2,2-5x>0, 5 5x+2-5x 2 ∴5x(2-5x)≤( ) =1, 2 1 1 1 ∴y≤ ,当且仅当 5x=2-5x,即 x= 时,ymax= . 5 5 5 (2)设 x+1=t,则 x=t-1(t>0), ?t-1?2+7?t-1?+10 ∴y= t 4 4 =t+ +5≥2 t·+5=9. t t 4 当且仅当 t= ,即 t=2,且此时 x=1 时,取等号, t ∴ymin=9. 11.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千 1 米, 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1+k2)x2 (k>0)表示的曲线上, 20 其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过 多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 1 解 (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0, 20 由实际意义和题设条件知 x>0,又 k>0, 20k 20 20 故 x= = ≤ =10, 1 2 1+k2 k+ k 当且仅当 k=1 时取等号. 所以炮的最大射程为 10 千米. (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0, 1 使 3.2=ka- (1+k2)a2 成立 20 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根

?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?0<a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. 12.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用 100 万元购得 一块土地,该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有 关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元.已知建筑第 5 层楼房时,每平方 米建筑费用为 800 元. (1)若建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出 y=f(x)的表达式; (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每 平方米多少元? 解 (1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为 720 元, 建筑第 1 层楼房建筑费用为 720×1 000=720 000(元)=72(万元), 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 20×1 000=20 000(元)=2(万元), 建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 x?x-1? y=f(x)=72x+ ×2+100=x2+71x+100, 2 综上可知 y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z). (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为 g(x), f?x?×10 000 10f?x? 10?x2+71x+100? 则 g(x)= = = 1 000x x x 1 000 1 000 =10x+ +710≥2 10x· +710=910. x x 1 000 当且仅当 10x= , x 即 x=10 时等号成立. 综上,可知应把楼层建成 10 层,此时平均综合费用最低,为每平方米 910 元.


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