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现代通信原理教程10章部分习题解答


10.1 已知码集合中有 8 个码组为 (000000) 、 (001110) 、 (010101) 、 (011011) 、 (100011) 、 (101101)(110110)(111000) 、 、 ,求该码集合的最小码距。 解 因为该码集合中包含全零码组(000000) ,所以对于线性分组码,最小码距等于 除全零码外的码组的最小重量,即 d min ? 3 。 10.2 上题给出的码集合若用于检错, 能检出几位错码?若用于纠错, 能纠正几位错码? 若同时用于检错与纠错,问纠错、检错的能力如何? 解 只用于检错时,由条件:最小码距 d min ? e ? 1,求出 e ? 2 ,即能检出 2 位错码。 只用于纠错时,由 d min ? 2t ? 1 ,可得 t ? 1 ,既能纠正 1 位错码。 同时用于检错与纠错,且 d min ? 3 时,无法满足下列条件
?d m i n? t ? e ? 1 ? ?e ? t

故该码不能同时用于检错与纠错。 10.4 已知(7,3)码的生成矩阵为
?1001110 ? ?0100111 ? G?? ? ? ? ?0011101 ?

列出所有许用码组,并求监督矩阵。 解 分别将信息段(000)(001)(010)(011)(100)(101)(110)和(111) 、 、 、 、 、 、 代入式 A=mG,得到许用码组如下 0000000 0011101 0100111 0111010 1001110 1010011 1101001 1110100 生成矩阵 G 为典型阵,有
?1110? ? Q ? ?0111 ? ? ?1101 ? ? ?

所以

1

?101? ?111? T P?Q ?? ? ?110? ? ? ?011 ?
监督矩阵

?1011000 ? ?1110100 ? ? H ? ?P ? I r ? ? ? ?1100010 ? ? ? ?0110001 ? 10.5 已知一个(7,4)系统汉明码监督矩阵如下:
?1 1 1 0 1? 0 0 ? H ? ?0 1 1 1 0 1 0 ? ? ?1 1 0 1 0? 0 1 ? ?

试求: (1) 生成矩阵 G;

10 (2) 当输入信息序列 m ? ?1101011010 ? 时,求输出码序列 A=?
(3) 若译码器输入 B ? ?1001001? ,请计算校正子 S ,并指出可能的错误图样。 解 (1)

?101? ?111? T Q?P ?? ? ?110? ? ? ?011 ? ?1 0 0 0 1? 0 1 ?0 1 0 0 1 1 1 ? ? G ? ?I k ?Q ? ? ? ?0 0 1 0 1 1 0 ? ? ? ?0 0 0 1 0 1 1 ?
(2) m1 ? 1101 m2 ? 0110 m3 ? 1010 , ,

?1 0 0 0 1? 0 1 ?0 1 0 0 1 1 1 ? ? ? ? ?1 1 0 1 0 0 1 ? ? A1 ? m1G ? ?1101 ?0 0 1 0 1 1 0 ? ? ? ?0 0 0 1 0 1 1 ?

? A2 ? m2G ? ?0110001
? A3 ? m3G ? ?1 0 1 0 0 1 1
2

(3)

?101? ?111? ? ? ?110? ?? ? S ? BH T ? ?1001001?011? ? ?111? ?100? ? ? ?010? ?001? ? ?
利用关系式 S ? EH T ,求得可能的错误图样 E ? ?0100000 。 ? 10.7 已知 x15 ? 1 ? ?x ? 1? x 4 ? x ? 1 x 4 ? x 3 ? 1 x 4 ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 x 2 ? x ? 1 ,试问由它 共构成多少种码长为 15 的循环码?列出它们的生成多项式。 解 将 x15 ? 1 按因式的次数排列如下: 1次 2次 3次 4次 5次 6次
x ?1

?

??

??

??

?

x2 ? x ?1

?x ? 1??x 2 ? x ? 1?

7次

8次

9次

? ? ? ?x ? 1??x ? x ? 1? 或 ?x ? 1??x ? x ? 1?或 ?x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1? ?x ? x ? 1??x ? x ? 1?或 ?x ? x ? 1??x ? x ? 1?或 ?x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1? ?x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? 1?或 ?x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? 1? 或 ?x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1? ?x ? x ? 1??x ? x ? 1?或 ?x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1?或 ?x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1? ?x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? 1? 或 ?x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1? 或 ?x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1? ?x
4

? x ? 1 或 x 4 ? x3 ? 1 或 x 4 ? x3 ? x 2 ? x ? 1
4 4 3

? ?
4

4

3

2

2

2

4

3

2

4

3

2

2

4

2

4

3

2

4

3

2

4

4

3

4

4

3

2

4

3

4

3

2

4

4

3

4

4

3

2

4

3

4

3

2

3

10 次

11 次

12 次 13 次 14 次

?x ? x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? 1?或 ?x ? x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1?或 ?x ? x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1? ?x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? 1?或 ?x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1?或 ?x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1? ?x ? x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1? ?x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1? ?x ? x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? 1??x ? x ? x ? x ? 1?
2 4 4 3 2 4 4 3 2 2 4 3 4 3 2 2 4 4 3 2 4 4 3 2 2 4 3 4 3 2 4 4 3 4 3 2 4 4 3 4 3 2 2 4 4 3 4 3 2

这些因式都满足生成多项式的 3 个条件, 因此由它们可构成出 30 种码长为 15 的循 环码。(15,14)循环码的生成多项式是 x ? 1 ;(15,13)循环码的生成多项式是 x 2 ? x ? 1 ; (15,12)循环码的生成多项式是 ?x ? 1? x 2 ? x ? 1 ;4 次因式有 x 4 ? x ? 1 或 x 4 ? x 3 ? 1 或

?

?

?

? ?

?

?x

4

? x 3 ? x 2 ? x ? 1 3 个,任选其中一个做生成多项式都可以产生一个(15,11)循环码,

?

依此类推。 10.9 已知(7,4)循环码的生成多项式为 x3 ? x ? 1,输入信息码元为 1001,求编码后的系 统码组。 g ?x ? ? x 3 ? x ? 1 , ?x ? ? x 3 ? 1 。 解 m ② 求 x n ? k m?x ? / g ?x ? 的余式,用长除法: ① 计算 x n ? k m?x ? ? x 3 x 3 ? 1 ? x 6 ? x 3 ;

?

?

x3 ? x x3 ? x ? 1
x6 ? x3 x6 ? x 4 ? x3

(商式)

x4 x4 ? x2 ? x
x2 ? x
(余式)

4

③ 编码后,系统码的码多项式为

T ?x ? ? x n ? k m?x ? ? r ?x ? ? x 6 ? x 3 ? x 2 ? x
对应的系统码组 A ? ?1001110 。 ? 10.10 已知某循环码的生成多项式是 x10 ? x8 ? x5 ? x 4 ? x 2 ? x ? 1 ,编码效率是 1 3 。求 (1) 该码的输入信息分组长度 k 及编码后码组的长度 n ; (2) 信息码 m?x ? ? x 4 ? x ? 1 编为系统码后的码多项式。 解

?n ? k ? 10 ? (1) ? k 1 ? ? n 3 ?
可解得 k ? 5, n ? 15 。 (2) x n ? k m?x ? ? x10 x 4 ? x ? 1 ? x14 ? x11 ? x10

?

?

x n ? k m?x ? x14 ? x11 ? x10 ? g ?x ? x10 ? x 8 ? x 5 ? x 4 ? x 2 ? x ? 1 ? x4 ? x2 ? x ?
因此所求的码多项式为

x8 ? x 7 ? x 6 ? x x10 ? x 8 ? x 5 ? x 4 ? x 2 ? x ? 1

T ?x ? ? x14 ? x11 ? x10 ? x8 ? x 7 ? x 6 ? x
10.11 已知(7,3)循环码的一个码组为(1001011) 。 (1) 试写出所有的码组,并指出最小码距 d min ; (2) 写出生成多项式 g ?x ? ; (3) 写出生成矩阵; (4) 画出构成该(7,3)循环码的编码器。 解 (1) 0000000 1001011 0010111 0101110 1011100 0111001 1110010 1100101

d min ? 4
5

(2) g ?x ? ? x 4 ? x 2 ? x ? 1 (3)
? x 2 g ?x ?? ? x 6 ? x 4 ? x 3 ? x 2 ? ? ? ? ? G ?x ? ? ? xg ?x ? ? ? ? x 5 ? x 3 ? x 2 ? x ? ? g ?x ? ? ? x 4 ? x 2 ? x ? 1 ? ? ? ? ?

(4)

10.19 已知一个(2,1,3)卷积码编码器结构如题 10.19 图所示,试 (1) 写出生成序列 g1 、 g 2 和生成矩阵 G ; (2) 画出状态图和网格图。

解 (1) g1 ? ?101 ? ?5?8 , g 2 ? ?011 ? ?3?8 。 ? ?

O ?10 01 11 ? 10 01 11 ? ? 10 01 11 ? 10 01 11 G? ? 10 01 ? O ? 10 ? ? ?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2) 下图中 a 、 b 、 c 和 d 分别代表状态 00、01、10 和 11,实线表示输入比特为 0 的分支,虚线表示输入比特为 1 的分支。
6

状态图:

网格图:

10.20 某(3,1,3)卷积码的生成多项式为

g1 ?x? ? 1 ? x ? x 2 , g 2 ?x? ? 1 ? x ? x 2 , g3 ?x? ? 1 ? x 2
(1) 画出该码编码器框图; (2) 画出网格图; (3) 当接收序列为 111 001 011 010 110 000 时,试用维特比译码算法求发送序列。 解 (1)

(2)

7

(3) ① 首先考察接收序列前 nN(bit) ,选出幸存路径。 约束长度 N ? 3 , nN ? 9 ,接收序列前 9 位是“111 001 011” 。在该卷积码的网格图 上,分别找出从出发点状态 a 经三级路径到达状态 a 、 b 、 c 及 d 的两条路径,对应序 列,并计算它们和接收序列前 9bit 的码距,将码距小的一条路径保留(若两条路径的码 距相同,则可以任意保留一条) ,作为幸存路径,见下表。图(a)是经过三级路径后幸存 路径网格图。 表 2-14
序号 1 2 3 4 5 6 7 8

维特比算法译码第一步计算结果
路径 对应序列 000 000 000 111 110 111 000 000 111 111 110 000 000 111 110 111 001 001 000 111 001 111 001 110 码距 6 4 5 5 7 1 6 2 幸存否 否 是 是 否 否 是 否 是

aaaa
abca aaab abcb aabc abdc aabd abdd

8

② 继续考察接收序列中后继 n ? 3 位,计算出新增路径段的码组与接收序列中后继 3 位之间的新增码距,总码距(原幸存路径的码距+新增码距) ,选出幸存路径,分别如 图(b)、(c)、(d)和图(e)所示。由图(e)可见,幸存路径 abdcbcb 上的序列“111 001 001 000 110 000”与接收序列码距最小(概率最大) ,故对应发送信息为 110101。

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