当前位置:首页 >> 高中教育 >>

选修2-3复习


选修2—3复习

第一章

计数原理

分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第 一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有 m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不 同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2+…+ mn 种不同的方法。 分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤, 做第一步有m

1种不同的方法,做第二步有m2种不同 的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完 成这件事共有 N= m1× m2 × … × mn 种不同的方法。

两个原理的的区别:辨别运用分类计数原 理还是分步计数原理的关键是“分类”还是 “分步”,也就是说“分类”时,各类办法 中的每一种方法都是独立的,都能直接完成 这件事,而“分步”时,各步中的方法是相 关的,缺一不可,当且仅当做完个步骤时, 才能完成这件事。

A

m n

? n ( n ? 1) ( n ? 2) ? ( n ? m ? 1)

A

m n

n! ? (n ? m)!

? n! An
n

A C ? A
m n

m n m m

n(n ? 1)(n ? 2)(n ? m ? 1) ? m!

C

m n

n! ? m!(n ? m)!

组合数的性质:

C

m n

? Cn

n?m

C

? Cn ? Cn n ?1
m m

m ?1

解答排列组合问题常用技巧
(一)特殊元素的“优先安排法” (二)总体淘汰法(间接法) (三)相邻问题——捆绑法 (四)不相邻问题——插空法 (五)顺序固定问题用“除法” (六)分排问题用“直排法” 直接法、间接法、特殊法〔位置分析法、捆绑法、 插空法〕;分类、分步,符号化、数字化、图形化 的思维方式

两个计数原理的综合应用
如图一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,
要求相邻区域不得使用同一颜色, 现有4种颜色可供选择,

则不同的着色方法共有 ________种。
【思路】按照颜色的种数 或是按照区域具体进行操作, 根据分步乘法和分类加法计 数原理解答.

探究3

如图所示,将一个四棱锥

的每一个顶点染上一种颜色,并使 同一条棱上的两端异色,如果只有 5种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.



方法一

可分为两大步进行,先将四棱锥一

侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染 色数,用分步乘法原理即可得出结论.由题设,四 棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同, 它们共有5×4×3=60种染色方法.

当S、A、B染好时,不妨设其颜色分别为1、
2、3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法; 若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5, 则D可染3或4,有2种染法.可见,当S、A、B 已染好时,C、D还有7种染法,故不同的染

色方法有60×7=420种.
方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色.

第一步,S点染色,有5种方法;
第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法; 第三步,B点染色,与S、A分别在同一条棱上,有3 种方法;

第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑
到D点与 S、A、C相邻,需要针对A与C是 否同色进行分类, 当A与C同色时,D点有 3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与 S、B也不同色,所以C点有2种染色方法,

D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类
加法计数原理得不同的染色方法共有 5×4×3×(1×3+2×2)=420种.

“相邻”用“捆绑”,“不邻”就“插空”
例: 七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,且甲乙 都不与丙相邻,则不同的排法有( )种 (A)960种 (B)840种 (C)720种 (D)600种
2 4 2 A2 ? A4 ? A5 ? 960 解:
2 5 1 另解:A2 ? A5 ? A4 ? 960

混合问题,先“组”后“排”
例1. 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能? 解:由题意知前5次测试恰有4次测到次品,且第5 次测试是次品。故有:C 3C1 A4 ? 576 种可能
4 6 4

分清排列、组合、等分的算法区别
例1: (1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件, 乙二件和丙三件,有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1 人一件1人二件1人三件, 有多少种分法? (3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2 件, 有多少种分法?
解:(1)C ? C ? C ? 12600
1 10 2 9 3 7
1 2 3 3 (2)C10 ? C9 ? C7 ? A3 ? 75600

(3)

C ? (C ? C ? C ) ? 3150 (C C C / A )
6 10 1 3 A3 2 6 2 4 2 2
2 10 2 8 2 6 3 3

二项式定理: n ∈ N
n 0 n n

*

(a + b) = C a + C a b + C a b + ? + C a b + ?+ C b
r n n-r r n n n

1 n

n-1

2 n

n-2

2

注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数 (2) 展开式的项数为 n+1 项; (3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n (4)二项式系数可写成组合数的形式, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n

(5) 展开式中的第 r + 1 项,

即通项

r n-r r Tr+1 =__________; n

Ca b C

(6) 二项式系数为

r ______; n

项的系数为 二项式系数与数字系数的积 在二项式定理中,令a=1,b=x,则有:

(1 + x) = 1 + C x + C x + ? + C x + ?+ C x
n 1 n 2 n 2 r r n

n n n

在上式中,令 x = 1,则有:

2 = C + C + C + ? + C + ?+ C
n 0 n 1 n 2 n r n

n n

二项式系数的性质: (1)对称性。 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等。 (2)增减性与最大值. n 2 当 n 为偶数时,中间的一项 C n 取得最值; 当

n 为奇数时,中间的两项 C
1 n 2 n r n

n ?1 2 n

, Cn
n

n?1 2

相等,且同时取得最大值。 (3)各二项式系数的和

C ? C ? C ?L ? C ?L ? C ? 2
0 n n n

C ? C ? C ?L ? C ? C ? C ?L
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n

公式的逆用
例1、计算:

( x ?1)5 ? 5( x ?1)4 ? 10( x ?1)3 ? 10( x ?1)2 ? 5( x ?1)

( 练1.化简:x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 6( x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 1 ?
4 3 2

.
6

练2、设A ? 3 ? C ? 3 ? C ? 3 ? C ? 3, B ? C ? 3 ?
7 2 7 5 4 7 3 6 7 1 7

C ? 3 ? C ? 3 ? 1, 则A ? B的值为( )
3 7 4 5 7 2

A.128

B.129 C.4

7

D.0

1 2 3 n 练3. Cn ? 2Cn ? 4Cn ? ? ? 2 n?1 Cn 等于 ( ) n 3 n ? 1 D. 3 n n A. 3 B. 3 ? 1 C. ?1

2

2

二项式定理通项公式的应用

(一)求二项式的特定项
? ? 例1、已知 ? 3 x ? 3 ? 的展开式中第6项为常数项 ? ? 3 x? ? (1)求n
(2)求展开式中所有的有理项
n

(1 例2、 ? 2 x) 的展开式中第6项与第7项的系数相 等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的 项。
n

练习:求多项式的特定项
1.求 ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ? ? ?1 ? x?
3 4 5 n? 2

的展开式中

x

2

项的系数.
4

2、求

(1 ? x) (1 ? x) 的展开式中的 x 系数。
6

3

3.在 x ? 3x ? 2 的展开式中x的系数为( ) A.160 B.240 C.360 D.800
2

?

?

5

3 1 5 4、求 ( x ? 3 ? ? 2 ) 展开式中的常数项。 x x
5、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是 __________

第二章

概率

1. 离散型随机变量的概率分布: 一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1,x2,…,xi,…, ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率P(ξ= xi)=pi,则称 此为随机变量的概率分布列; 称此表格:

ξ

p

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

为随机变量ξ的概率分布表,它们都叫做ξ的概率分布. 由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有 下面两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1.

例1:一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同 时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试写 出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3. 当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它 两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故 2 3 有P(ξ=1)= C4 / C5 =3/5; 同理可得P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10. 因此,ξ的分布列如下表所示 ξ p 1 3/5 2 3/10 3 1/10

2.条件概率
对两个事件 A 和 B ,若 P( B) ? 0, 则“在事件B 发生的条件下 A 的条件概率”记作 :P(A | B).

.

P AB) ( P ( A | B )= P B) (
若事件A与B互斥,则P(A|B)=0

3、互斥事件、 (1)什么叫做互斥事件?什么叫做对立事件?
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件;如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生,这样的两个互斥事件 叫对立事件.

(2)若A与A为对立事件,则P(A)与P(A)关 系如何?

P(A)+P(?)=1

(3)两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式 是什么? 一般地,如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么这n个 事件中有一个发生的概率等于每个事件分别发生的概率 的和,即

P(A+B)=P(A)+(B)

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

4、相互独立事件及其同时发生的概率
(1)相互独立事件的定义: 事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的 概率没有影响,这样两个事件叫做相互独立事件。

注: ①区别:互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生; 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率没有影响。

②如果事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B
也是相互独立的.

(2)相互独立事件同时发生的概率公式:
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A?B发生的概 率为:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于 每个事件的概率的积 一般地,如果事件A1,A2……,An相互独立,那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即
… P(A ) P(A1· 2· · n)=P(A1)· A …A P(A2)· · n

(3)如果A,B相互独立,则求P(A+B)的常用 方法有:

P( A ? B) ? P( AgB) ? P( AgB) ? P( AgB)
P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AgB)
.

P( A ? B) ? 1 ? P( AgB)

条件概率
在5道题中有3道理科题和2道文科 题.如果不放回地依次抽取2道题,求: ? (1)第1次抽到理科题的概率; ? (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; ? (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次 抽到理科题的概率.
?

解析: 设第 1 次抽到理科题为事件 A,第 2 次抽到理 科题为事件 B,则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事件 AB. (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为 n(Ω)=A5 =20. 根据分步乘法计数原理,n(A)=A3 ×A4 =12. n?A? 12 3 于是 P(A)= = = . n?Ω? 20 5
1 1 2

(2)因为 n(AB)=A32=6, n?AB? 6 3 所以 P(AB)= = = . n?Ω? 20 10 (3)方法一:由(1)(2)可得,在第 1 次抽到理科题的条件 下,第 2 次抽到理科题的概率 3 P?AB? 10 1 P(B|A)= = = . P?A? 3 2 5

方法二:因为 n(AB)=6,n(A)=12, n?AB? 6 1 所以 P(B|A)= = = . n?A? 12 2

相互独立事件
? 某课程考核分理论与实验两部分进行,每 部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两 部分考核都“合格”,则该课程考核“合 格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概 率分别为0.9、0.8、0.7;在实验考核中合格 的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合 格相互之间没有影响. ? (1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两 人合格的概率; ? (2)求这三人该课程考核都合格的概率.(结果 保留三位小数).

? 解析: 记“甲理论考核合格”为事件A1,记 为A1的对立事件; ? 记“乙理论考核合格”为事件A2,记为A2的对 立事件; ? 记“丙理论考核合格”为事件A3,记为A3的对 立事件; ? 记“甲实验考核合格”为事件B1,“乙实验考 核合格”为事件B2,“丙实验考核合格”为事 件B3. ? (1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C, 记为C的对立事件.

方法一: P(C)=P((A1A2 A3 )∪(A1 A2 A3)∪(A1 A2A3)∪(A1A2A3)) =P(A1A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+P(A1 A2A3)+P(A1A2A3) = 0.9×0.8×0.3 + 0.9×0.2×0.7 + 0.1×0.8×0.7 + 0.9×0.8×0.7=0.902.

方法二: P(C)=1-P( C ) =1-P(( A1 A2 A3 )∪(A1 A2 A3 )∪( A1 A1 A3 )∪( A1 A2 A3)) =1-[P( A1 A2 A3 )+P(A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3 )P( A1 A2 A3] =1-(0.1×0.2×0.3+0.9×0.2×0.3+0.1×0.8×0.3+ 0.1×0.2×0.7) =1-0.098=0.902.
所以,理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902.

? ? ? ? ? ? ?

(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D. P(D)=P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)] =P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3) =P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3) =0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9 =0.254 016≈0.254. 所以这三人该课程考核都合格的概率约为 0.254.

5.几种特殊的分布
(1) 二点分布或 0 —1分布:

如果随机变量X的分布列为: X
其中 p ? q ? 1 或写成: P

1

0

p

q

X
P

1

0

p

1- p

记为: X ~ 0 —1分布 或记为:X ~ 两点分布

(0<p<1)

(2)超几何分布:
在产品质量的不放回抽检中,若 件次品,抽检
N件产品中有 M

n

件时所得次品数X = r .
r M n?r N ?M n N

C C 则 P( X ? r ) ? C 其中r=0, 1, 2, …, m=min(n, M)
此时,我们称:随机变量 X 服从超几何分布.
记为: X~

H (n, M , N )

r n CM CN?rM ? P( X ? r ) ? ? H (m; n, M , N ) r n CN

(3)二项分布 若随机变量X的分布列为

P( X ? k ) ? C p q
k n k

n ?k

? C p (1 ? p)
k n k

n ?k

其中0<p<1, K=0,1,2,…,n. 则称随机变量X的服从参数为n,p二项分布, 记作X~B(n, p)

(4) 正态分布与正态曲线 ①正态曲线
? 1 ?? ,? ( x) ? P( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

, x?R

其中实数 ? 、? (? ? 0) 是参数,分别表示 总体的平均数与标准差.我们称 ?? ,? ( x) 的图像 为正态分布密度曲线,简称为正态曲线.

②正态分布
若X是一个随机变量,对任给区间(a, b],X落在区 间(a, b] 内的概率P(a<X≤b)恰好是正态曲线与直线 x=a,x=b及x轴所围成的平面图形的面积. 一般地,如果对于任何实数a<b,随机变量X满足

P(a ? X ? b) ? ? ?? ,? ( x)dx.
a

b

则称X的分布为正态分布,由参数 ? , ? 唯一确定.正态 分布常记作 N (? , ? 2 ) .如果随机变量X服从正态分布, 2 则记为 X ? N (?, ? ).

标准正态分布:N(0, 1)

③若? ~ N (? , ? ), 则随机变量X在?附近取值
2

的概率很大,在离?很远处取值的概率很小.

P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.
由此可知,正态总体几乎总取值于区间(? -3? ,? +3? ) 之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为 这种情况在一次试验中几乎不可能发生.

在实际应用中,通常认为服从正态分布 N (?, ? ) ( 的随机变量X只取 ? -3? ,? +3? ) 之间的值,并简称之 为 3? 原则.
2

例4.(2000年高考题)某厂生产电子元件,其产 品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续 取出2件,写出其中次品数ξ的概率分布. 解:依题意,随机变量ξ~B(2,5%).所以,
95 ? 95 ? 1 5 P(ζ? 0)? C ? ? ? 0.095 ? ? 0.9025, P(ζ? 1)? C 2 100 100 ? 100 ?
0 2 2

? 5 ? P(ζ? 2)? C ? ? ? 0.0025 ? 100 ?
2 2

2

因此,次品数ξ的概率分布是 ξ P 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025

1 解: ? 的所有取值为:1、2、3、4. C10 10 P(? ? 1) ? 1 ? “? ? 1” 表示只取一次就取到合格品 C13 13 1 1 “? ? 2” 表示第一次取到次品,第二次 P(? ? 2) ?C3C10 ? 5 2 A13 26 取到合格品 “? ? 3” 表示第一、二次都取到次品,第三次 2 1 5 取到合格品 A3 C10 ∴ P(? ? 3) ? ? 143 3 随机变量的分布列为: A13 ? 1 2 3 4 1 5 5 10 返回 P 286 26 143 13

练习1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件 一件地抽取产品,设各个产品被抽到的可能性相同,在下 列三种情况下,分别求出直到取出合格品为止时所需抽取 的次数? 的分布列. 每次取出的产品都不放回此批产品中;

?

例:某学校高三2 500名学生第二次模拟 考试总成绩服从正态分布N(500,502),请您 判断考生成绩X在550~600分的人数.
解析: ∵考生成绩 X~N(500,502), ∴μ=500,σ=50,

1 ∴P(550<X≤600)= [P(500-2×50<X≤500+2×50) 2 1 -P(500-50<X≤500+50)]= (0.954 4-0.682 6) 2 =0.135 9,
∴ 考 生 成 绩 在 550~ 600 分 的 人 数 为 2 500×0.135 9≈340(人).

6、数学期望、方差、标准差
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:
X x1 x2 x3 …… xn

p

p1

p2

p3

……

pn

pi ? 0, i ? 1, 2,L , n, p1 ? p2 ? L ? pn ? 1.
(1) E(X) = x1 p1+ x2p2+…+ xn pn
为X的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称

? 表示. 为期望.或用

它体现了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)D( X ) ? ( x1 ? ?) p1 ? ( x2 ? ?) p2 ? L ? ( xn ? ?) pn
2 2 2

为离散型随机变量X的方差. 或用 V(X) 或 ?

2

表示.

即D( X ) ? ?[ xi ? E ( X )] pi ? E[ X ? E ( X )]
2 i ?1

n

2

或D( X ) ? ? x pi ? ? ? E ( X ) ? E ( X )
i ?1 2 i 2 2 2

n

(3)X的方差的算术平方根,称为X的标准差:

? ? V (X )

(4)几个重要结论:
① E(aξ+b)=aE ξ+b;

D ? a? ? b ? ? a D?
2

②若ξ~B(n,p),则Eξ=np ③若ξ~0- 1,则Eξ=p
④ 若ξ~H( n,M,N),则Eξ=

D? ? np?1 ? p ?

D? ? p(1-p)
M ng . N

nM ( N ? M )( N ? n) D? ? N 2 ( N ? 1)

练习:某地区试行高考考试改革:在高三学年中举 行 5 次统一测试,学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够 学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生 最多也只能参加 5 次测试.假设某学生每次通过测试的概率 1 都是 ,每次测试时间间隔恰当.每次测试通过与否互相独 3 立.

? (1)求该学生考上大学的概率; ? (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束, 记该生参加测试的次数为X,求X的分布列及 X的数学期望.
解析: (1)记“该生考上大学”为事件 A,其对立事件 为A,
? ?? ? 则 P( A )=C5 ?3??3? ? ?? ?
1?1??2?4

?2? +?3?5. ? ? ? ?

? ? ?? ? ? ?? ? 1?1??2?4 ?2?5? 131 ∴P(A)=1-?C5 ?3??3? +?3? ?= . ? ?? ? ? ? ? 243 ?

(2)参加测试次数 X 的可能取值为 2,3,4,5,
?1? 1 ? ?2 P(X=2)=?3? = , ? ? 9

121 4 P(X=3)=C2 ···= , 3 3 3 27
1

1 ?2?2 1 4 ? ? P(X=4)=C3 ··3? ·= , 3 ? ? 3 27 ?
1

1 ?2?3 ?2?4 16 ? ? ? ? P(X=5)=C4 ··3? +?3? = . 3 ? ? ? ? 27 ?
1

? 故X的分布列为

X P

2 1 9

3 4 27

4 4 27

5 16 27

1 4 4 16 38 EX=2× +3× +4× +5× = . 9 27 27 27 9 131 38 答:该生考上大学的概率为 ;所求数学期望是 . 243 9

第三章

统计案例

独立性检验的步骤
1、提出假设 2、2×2列联表 3、计算卡方统计量

? ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
其中n ? a ? b ? c ? d

n ? ad ? bc ?

2

4、查对临界值表(见书P88),作出判断。

? ? 10.828
2

0.1%把握认 为A与B无关
1%把握认 为A与B无关

99.9%把握认 为A与B有关
99%把握认 为A与B有关 90 %把握认为 A与B有关

? ? 6.635
2

10%把握认为 2 ? ? 2.706 A与B无关

没有充分的依据显示A与B有关, 2 ? ? 2.706 但也不能显示A与B无关

相关系数r具有如下的性质: (1) (2) (3)

r ?1
r r
越接近1,x,y的线性相关程度越强;

越接近于0,x,y的线性相关程度越弱.

那么相关系数r与1接近到什么程度才表明利用 线性回归模型比较合理呢?

这需要对相关系数r进行显著性检验.

回归方程的显著性检验
对相关系数进行显著性检验的步骤: (1)提出统计假设 H 0 :变量x,y不具有线性相关关系; (2)如果以95%的把握作出推断,那么可以根据 1-0.95=0.05与n-2在附录2中查出一个r的临界值 r0.05 (其中1-0.95=0.05称为检验水平); (3)计算样本相关系数r; (4)作出统计推断:若 r ? r0.05 ,则否定

H0

,表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系; 若 r ≤ r 0.05 ,则没有理由拒绝原来的假设 H 0

,即就目前的数据而言,没有充分的理由认为y与x之间 有线性相关关系.

回归方程的求法参见P99 例2


相关文章:
数学选修2-3复习(含知识点与习题)
数学选修2-3复习(含知识点与习题)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数学选修2-3复习(含知识点与习题) 选修2-3 复习一、知识梳理 1.分类加法计数原理 原理:...
高中数学选修2-3 复习小结
高中数学选修2-3 复习小结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。人教B版 高中数学选修2-3 复习小结课题: 小结与复习 (一) 教学目的: 1 使学生掌握两个原理以及...
选修2-3复习要点
选修2-3复习要点_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学矩阵相关 选修2-3 第一单元一.分类乘法原理与分类加法原理 二、排列组合 1、排列数、组合数定义 m...
高中数学选修2-3知识点及章节练习
2.706 ,就认为没有充分的证据说明变量 X 和 Y 是有关系. 选修 23 第一章复习题 1.设东、西、南、北四面通往山顶的路各有 2、 33、4 条路,只从...
高中数学选修2-3复习
1.有一项活动需在 3 名老师,8 名男 同学和 5 名女同学中选人参加, ( 1)若只需一人参加,有多少种不 同的选法? (2)若需一名老师,一名学生参加, 有...
数学选修2-3复习
数学选修2-3复习数学选修2-3复习隐藏>> 数学选修 2-3 月考复习 2013/5/31 第一章【知识点】【排列组合】 计数原理 1 分类计数原理:做一件事情,完成它可以...
选修3-2复习
选修3.1.1.1、1.2复习 8页 2下载券选​修​3​-​2​复​习 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档电磁感应 练习题 1. 如图所示,P 为一个闭合...
选修2-3复习 (习题)
选修2-3 复习(习题) 1.某公共汽车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方式( A. 5 10 ) 种 B. 10 种 5 C.50 种 D.10 种) 2.随机...
选修2-3(期末复习)
⑴A,B 必须当选; ⑵A,B 不全当选 ; 1 期末复习(选修 2-3) ⑶至少有两名女生当选; ⑷选取 3 名男生和 2 名女生分别担任班长, 体育委员等 5 中不同...
选修2-3复习题
汝州市实验中学高二下学期选修 2-3 第一、二章复习题 一、选择题 1、某足球比赛的积分规则是:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分。一球队 ...
更多相关标签: