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1.2.1任意角的三角函数两课时(已修改)


1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
在初中我们是如何定义锐角三角函数的? P c
a

sin ? ?
cos? ?
tan? ?

O

?
b

M

a c b c a b

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1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a

O y

?
b

M

x

70

新课

导入

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 其中 : MP b sin ? ? ? OM ? a
MP ? b OP ? r ? a 2 ? b 2
y

OP

r

OM a cos? ? ? OP r

﹒P?a, b?
?

MP b tan ? ? ? OM a

o


M

x

定义推广: 设角? 是一个任意角, P( x, y) 是终边上的任意一点, 点 P 与原点的距离 r ? x 2 ? y 2 ? 0
y y sin ? ? 那么① 叫做 ? 的正弦,即 r r x x ? cos ? ? ② r 叫做 的余弦,即 r y y ③ x 叫做? 的正切,即 tan? ? ?x ? 0? x 任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关. y x y sin ? ? , cos? ? , tan ? ? ( x ? 0). 2 2 2 2 x x ?y x ?y

例2 已知角 ? 的终边经过点 P0 (?3,?4) ,求角 ? 的正弦、余 弦和正切值 . y 解:由已知可得 OP0 ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5
设角 ? 的终边与单位圆交于 P( x, y ) , M 0 P0 P0 作 x 轴的垂线 MP 分别过点 P 、 、
M0

M 0 P0 ? 4

OM 0 ? 3

OM ? ? x MP ? ? y

M
P?x, y ?

O

x

?OMP ∽ ?OM 0 P0

P0 ?? 3,?4?

M 0 P0 y ? | MP | 4 于是, sin ? ? y ? ? ?? ?? ; 1 OP OP0 5
OM 0 x ? OM 3 cos? ? x ? ? ?? ?? ; 1 OP OP0 5 y sin ? 4 tan? ? ? ? x cos? 3

巩固

提高

练习 已知角

?

的终边过点 P?? 12,5? ,



?

的三个三角函数值.

解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

?? 12 ?

2

? 5 ? 13
2

y 5 于是,sin ? ? ? r 13 y 5 tan? ? ? ? x 12

x 12 cos? ? ? ? r 13

例题
变式1:已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0),求角α

的正弦、余弦、正切值.

诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y

P?
P(a,b)


M

MP sin ? ? OP

?OMP ∽ ?OM ?P?
M ?P? ? OP ? ? OM ? OP ?

?
O

M?

x

OM cos? ? OP

MP tan? ? OM

M ?P? ? OM ?

使OP的长 r = 1,则可以得到用直角坐标系内 点的坐标表示的锐角三角函数:
y P(x,y) O α M x

单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆为单位圆。

正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐 标 或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.

设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交 y 于点P(x,y)则: y 叫α 的正弦

sin α ? y
x叫α的余弦

P( x, y)
O

cos? ? x
x

x

y 叫α的正切 x y tan ? ?

一、任意角的三角函数的定义:
思考:对于一个任意给定的角α ,按照上述定义, 对应的sinα ,cosα ,tanα 的值是否存在?是否 惟一? y

α 的终边 P(x,y)

O

x

探究:

1.三角函数的定义域 三角函数

sin ? cos? tan?

定义域

? ? ? ,k ?Z? ?? ? ? k? ? 2 ? ?

R R

? 的终边

y

说 明

P ( x, y )
?

x
A(1,0)

o (1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点

正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标,
横坐标的比值.

(2) 正弦、余弦总有意义.当

y ? tan ? ? 横坐标等于0, 无意义,此时 ? ? ? k? (k ? z ). x 2

? 的终边在 y 轴上时,点P 的

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,

三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

实例

剖析

5? 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 3 5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作?AOB ?
3

的终边与单位圆的交点坐标为
, ,

1 ? 3 ( , ) 2 2

y
5? 3

5? ? 3 ? 所以 sin 3 2

5? 1 cos ? 3 2

5? tan ? ? 3 3

o



A

x

﹒B

三角函数的符号
三角函数在各象限内的符号:
上正下负横为0

y 1?、正弦函数值 sin ? ? r y

y

第一象限:y ? 0, r ? 0, 故 为正值; r y 第二象限:y ? 0, r ? 0, 故 为正值; r y 第三象限:y ? 0, r ? 0, 故 为负值; r y 第四象限:y ? 0, r ? 0, 故 为负值; r

o

x

三角函数在各象限内的符号:

第一象限:x ? 0, r ? 0, 故 为正值; r x 第二象限:x ? 0, r ? 0, 故 为负值; r x 第三象限:x ? 0, r ? 0, 故 为负值; r x 第四象限:x ? 0, r ? 0, 故 为正值; r

x 2 ?、余弦函数值 cos ? ? r x

左负右正纵为0

y

o

x

三角函数在各象限内的符号:

第一象限:x ? 0, y ? 0, 故 为正值; x y 第二象限:x ? 0, y ? 0, 故 为负值; x y 第三象限:x ? 0, y ? 0, 故 为正值; x y 第四象限:x ? 0, y ? 0, 故 为负值; x

y 3?、正切函数值 tan ? ? y x

交叉正负

y

o

x

2.三角函数值在各象限的符号

(+ ) ( )

(+ ) ( )

( )

-

(+ )

( )

-

(+ )

-

-

( )

-

(+ )

(+ )

( )

-

y ?  sin a ? r

x    cos a ? r

y    tan a ? x

小结:
1、任意角三角函数的定义(两种定义); 2、三角函数的定义域和函数值在各象限的符号

(一全正,二正弦正,三正切正,四余弦正).

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?

1
0

tanα

3 2 3 3

0

1

3 不存在

0 ?1 0 ?1 0 1 0 不存在 0

3? 2

2?

例4 确定下列三角函数值的符号:

解: (1)因为 250 ? 是第三象限角,所以cos 250? ? 0 ;
(2)因为 tan(?672 ?) = tan(48? ? 2 ? 360 ?) ? tan 48?, 而 48?是第一象限角,所以 tan(?672 ?) ? 0 ; ? ? ? ? sin ? ??0 . ? (3)因为 是第四象限角,所以 ? ? 4? 4

? ?? sin? ? ? cos 250 ?(2)tan(?672 ?) (3) ( 1) ? 4?

练习 确定下列三角函数值的符号 4? 17 16 sin( ? ) tan(? ? ) cos ?

?

5

?

3

?

8

如果两个角的终边相同,那么这两个角的

? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan(? ? k ? 2? ) ? tan ?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2?

?或0?到360 ?? 角的三角函数值 .

例5 求下列三角函数值:

9? (1) cos 4

11? ) (2) tan(? 6

9? ? ? 2 cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? 解:(1) 4 4 4 2 11? ? ? ? 3 tan(? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? tan ? (2) 6 6 6 6 3
练习 求下列三角函数值

19? tan ? 3

3

31? tan(? )? 4

1

1.设α 是一个任意角,它的终边与单位 圆交于点P(x,y),角α 的三角函数 是怎样定义的? y sin ? ? y cos ? ? x tan ? ? ( x ? 0)
x

2.三角函数在各象限的函数值符号分别 如何? 一全正,二正弦,三正切,四余弦.

3.公式 sin(? ? 2k? ) ? sin ?, cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan ? ( k ? Z).其数学意义如何?

终边相同的角的同名三角函数值相等. 4.角是一个几何概念,同时角的大小也 具有数量特征.我们从数的观点定义了 三角函数,如果能从图形上找出三角函 数的几何意义,就能实现数与形的完美 统一.

观察图片思考,角?的正弦值、余弦值能 否用线段来表示

知识探究(一):正弦线和余弦线

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 cos ? ? x都是正数,你能分 sin ? ? y, 别用一条线段表示角α 的正弦值和余弦 y 值吗?

| MP |? y ? sin ?

P (x ,y )

| OM |? x ? cos ?

O

M

x

思考2:若角α 为第三象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 sin ? ? y , cos ? ? x 都是负数,此时 角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示? y

? | MP |? y ? sin ?
? | OM |? x ? cos ?

M

O

x

P (x ,y )

思考3:为了简化上述表示,即为了去掉上 述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP 规定一个适当的方向,使它们的取值与点P 的坐标一致? 我们设想:将线段的两个端点规定一个为始 点,另一个为终点,使得线段具有方向性, 带有正负值符号.根据实际需要,应如何规定 线段的正方向和负方向?

规定:线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向,反向时为负方向.

思考4:规定了始点和终点,带有方向的线 段,叫做有向线段.由上分析可知,当角α 为第一、三象限角时,sinα 、cosα 可分 别用有向线段MP、OM表示,即MP=sinα , OM=cosα ,那么当角α 为第二、四象限角 时,你能检验这个表示正确吗?
y
P (x ,y )

y x
M

M

O

O

P (x ,y )

x

思考5:设角α 的终边与单位圆的交点 为P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,称 有向线段MP,OM分别为角α 的正弦线和 余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时, 角α 的正弦线和余弦线的含义如何?
y P M O x P O x y

P

思考6:设α 为锐角,你能根据正弦线和 余弦线说明sinα +cosα >1吗?
y
P

O

M

x

MP+OM>OP=1

知识探究(二):正切线

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 y tan ? ? 是正数,用哪条有向线段表示 x 角α 的正切值最合适?
y P T

y tan ? ? ? AT x

O

M A x

思考2:若角α 为第四象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y

y x

y tan ? ? ? AT x

M O

A x

P
T

思考3:若角α 为第二象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
T
y P A T

y x

y tan ? ? ? AT x

A M O

x

思考4:若角α 为第三象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是正数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y T

y tan ? ? ? AT x

A M O
T

A x

P

思考5:根据上述分析,你能描述正切线 的几何特征吗?
y P O A x T P O A T x y

过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边或其反向延长线相交于点T,则 AT=tanα .

思考6:当角α 的终边在坐标轴上时,角 α 的正切线的含义如何? y
P
P O x

当角α的终边在x轴上时,角α的正切线 是一个点;当角α的终边在y轴上时,角 α的正切线不存在.

?的终边

象限角的三角函数线

?的终边


正 负

r ?1


r ?1




正 负 负

r ?1

r ?1

正 负 负

?的终边

?的终边

小结:

1.三角函数线是三角函数的一种几何表示, 即用有向线段表示三角函数值,是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具. 2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化,余弦线和正切线的始点都是定点, 分别是原点O和点A(1,0).

3.利用三角函数线处理三角不等式问题, 是一种重要的方法和技巧,也是一种数形 结合的数学思想.

三角函数线及其应用

例1:作出下列各角的正弦,余弦,正切线,并求其三角函数值: y

( 1)

?

5? 6

( 2)

7? 6
7? 1 sin( )?? 6 2
cos( 7? 3 )?? 6 2

M
P

o

T x A

5? 1 sin( ? )?? 6 2 5? 3 cos( ? )?? 6 2
5? 3 tan( ? )? 6 3

MP是正弦线 OM是余弦线 AT是正切线

7? 3 tan( )? 6 3

角定象限,象限定符号

例2:比较下列各组数的大小

y
P2 P1
1

? ? (1) sin 和 sin 4 3 4? 5? (2) cos 和 cos 7 7 9? 9? (3) tan 和 tan 8 7
y
P 2 P1

o

M2 M1

图1

x ? M1P1<M2P2 ? ? ? sin ? sin 4 3

y
T2
1

M2 M1 o

x

P1 P2

o

T1
1

A( 1 , 0 ) x

图? 2 cos 4?

? OM1>OM2
5? ? cos 7 7

图3

9? 9? ? tan ? tan 8 7

? AT1<AT2

练习:如何比较下列各组数的大小?

(1) sin1155 ? 和 sin(?1654 ? )

11? 6? (2) sin 和 tan 5 5

y
P2
M2

y
P1 T

P1
1 M1

o

x
P2

o
图2

M1 A(1,0) x

1

图1

? M1P1>M2P2
? sin1155 ? ? sin (-1654 ? )

? M1P1<AT
11? 6? ? sin ? tan 5 5

《名师一号》P11 第1,6题

3 例3 在0~ 2? 内,求使(1)sin a = 2 3 (2) sin a > 成立的α 的取值范围. 2 y
2p

y =

3 2

P2

P P1
O M

x

《名师一号》P12 第5题

例4 求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域.
y P2 P O M x P1

1 x = 2

练习: 在单位圆中画出适合下列条件的角

а终边的范围,并由此写出角а的集合.
3 (1) sin ? ? 2

1 (2) cos ? ? ? 2
《名师一号》P10题型二

例5: 求证:当? 为锐角时,sin? ? ? ? tan? .

《名师一号》P11题型三


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