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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期):H单元 解析几何]


H 单元 目录

解析几何

H 单元 解析几何...................................................................................................................... - 1 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ................................................................................. - 1 H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 ............................................................................. - 1 H3 圆的方程............................................................................................................................. - 2 H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ......................................................................................... - 3 H5 椭圆及其几何性质............................................................................................................. - 5 H6 双曲线及其几何性质......................................................................................................... - 9 H7 抛物线及其几何性质....................................................................................................... - 11 H8 直线与圆锥曲线(AB 课时作业) ................................................................................ - 11 H9 曲线与方程....................................................................................................................... - 16 H10 单元综合......................................................................................................................... - 16 -

H1

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

【 数 学 文 卷 ? 2015 届 辽 宁 省 沈 阳 二 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 1. 直 线

xc o s ? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围是(
A.

) D. [

? ? ? 5? [ , )?( , ] 6 2 2 6

B. [0,

?
6

]?[

5? 5? , ? ) C. [0, ] 6 6

? 5?
6 , 6

]

【知识点】直线的倾斜角与斜率、直线的方程 H1 【答案解析】B 由直线的方程可知其斜率 k=-

cos ? 3 3 ∈[- , ],设直线的倾斜角为 3 3 3

θ ,则 tanθ ∈[-

? 5? 3 3 , ],且θ ∈[0,π ),所以θ ∈[0, ]∪[ ,π ).故选 B 6 6 3 3

【思路点拨】先求出斜率的取值范围,再求出倾斜角的范围。

H2

两直线的位置关系与点到直线的距离

【数学文卷? 2015 届江西省师大附中高三上学期期中考试( 201411 ) 】 5 . “ a ? 3 ” 是 “ 直线 ) ax ? 2 y ? 2a ? 0 和直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 ? 0 平行”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

【知识点】两直线位置关系 充要条件 A2 H2 【答案】 【解析】 A 解析:当 a=3 时两直线方程分别为 3x+2y+6=0,3x+2y+4=0,显然两直线平 行,所以充分性成立,若两直线平行,则 a(a-1)-6=0,解得 a=3 或 a=-2,经检验都满 足平行条件,必要性不满足,所以选 A. 【思路点拨】判断充分条件与必要条件时,应先分清条件与结论,若从条件能推出结论,则 充分性满足,若从结论能推出条件,则必要性满足.

H3

圆的方程

【数学理卷? 2015 届安徽省 “江淮十校” 高三 11 月联考 (201411) WORD 版】 14.已知正方形 ABCD
的边长为 2 , P 是正方形

ABCD 的外接圆上的动点,则 AB ? AP 的最大值为

_______________.

【知识点】向量的数量积,圆的方程 F3 H3 【答案】 【解析】2 ? 2 2 解析: 以正方形 ABCD 的中心为坐标原点, 平行于 AB 为 x 轴,

平行于 CD 为 y 轴建立直角坐标系, 则 A(?1,0) B(1,0) 点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 2 上, 设

P(a, b) 则 ? 2 ? a ? 2 , AB ? (2,0) AP ? (a ?1, b) AB ? AP ? 2a ? 2 ,

? 2 ? a ? 2 ??2 2 ? 2 ? 2a ? 2 ? 2 2 ? 2 即 AB ? AP 的最大值为 2 2 ? 2 .
【 思 路 点 拨 】 以 正 方 形 ABCD 的 中 心 为 坐 标 原 点 建 立 适 当 的 坐 标 系 , 写 出 坐 标

A(?1,0) B(1,0) P(a, b) 以及 AB ? (2,0) AP ? (a ?1, b) 利用数量积求解。

【数学文卷?2015 届江西省师大附中高三上学期期中考试(201411) 】20. (本小题 12 分) 已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求四边形 PAMB 面积的最小值. 【知识点】圆的方程 H3 【答案】 【解析】(1) (x-1) +(y-1) =4. (2) 2 5.解析:(1) 因为 CD 的垂直平分线方程 为 y=x , 联 立 方 程 ?
2 2

?y ? x 解 得 x=1,y=1, 所 以 圆 心 坐 标 为 (1,1) , 圆 的 半 径 为 ?x ? y ? 2 ? 0

r?

?1 ?1? ? ?1 ? 1?
2

2

? 2 ,所以所求圆 M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

1 1 (2)因为四边形 PAMB 的面积 S=S△PAM+S△PBM= |AM|?|PA|+ |BM|?|PB|, 2 2 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以 S=2|PA|,而|PA|= |PM| -|AM| = |PM| -4, 2 即 S=2 |PM| -4.因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线 3x+4y+8=0 |3?1+4?1+8| 上找一点 P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min= =3,所以四边形 PAMB 面积 2 2 3 +4 的最小值为 S=2 |PM|min-4=2 3 -4=2 5. 【思路点拨】求圆的方程关键是确定圆心与半径,可结合圆的性质进行解答,对于求四边形 面积不方便时,可转化为求两个三角形面积,再进行解答.
2 2 2 2 2

H4

直线与圆、圆与圆的位置关系

【数学理卷? 2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试 (201411) 】 22、 (本小题满分 10 分) 如图,点 A 是线段 BC 为直径的圆 O 上一点, AD ? BC 于点 D,过点 B 作圆 O 的切线与 CA 的延长线交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F,延长 AF 与 CB 的延 长线相交于点 P。 (1)求证: BF ? EF (2)求证:PA 是圆 O 的切线。 【知识点】直线与圆.H4 【答案】 【解析】略 解析:证明: (1)∵BC 是圆 O 的直径, BE 是圆 O 的切线,∴EB⊥BC. 又∵AD⊥BC,∴AD∥BE. 可得△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC.∴ ,得 .

∵G 是 AD 的中点,即 DG=AG.∴BF=EF. (2)连接 AO,AB. ∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90°.由(1)得:在 Rt△BAE 中,F 是斜边 BE 的中点, ∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB.又∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.∵BE 是圆 O 的切线, ∴∠EBO=90°,得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°, ∴PA⊥OA,由圆的切线判定定理,得 PA 是圆 O 的切线.

【思路点拨】1)利用平行线截三角形得相似三角形,得△BFC∽△DGC 且△FEC∽△GAC,得到 对应线段成比例,再结合已知条件可得 BF=EF; (2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角,得到∠FAO=∠EBO,结合 BE 是圆的 切线,得到 PA⊥OA,从而得到 PA 是圆 O 的切线.

【数学理卷?2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试(201411) 】16、在平面直角坐标系

xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上,若圆 C 上存在点
M,使 MA ? 2 MO ,则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为 【知识点】直线与圆.H4 【答案】 【解析】? 0,
2

2 ? 12 ? 2 2 2 解析: 解: 设点 M (x, y) , 由 MA=2MO, 知, x ? ? y ? 3? ? 2 x ? y ? ? 5?
2

化简得:x +(y+1) =4, ∴点 M 的轨迹为以(0,-1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D, 又∵点 M 在圆 C 上, ∴圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切,

?1 ? CD ? 3, CD ? a 2 ? ? 2a ? 3? ?1 ? a 2 ? ? 2a ? 3? ? 3 ? 0 ? a ?
2 2

12 5

故答案为: ? 0,

? 12 ? . ? 5? ?

【思路点拨】设 M(x,y) ,由 MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点 M 的轨迹为以(0,-1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D,由 M 在圆 C 上,得到圆 C 与圆 D 相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不 等式,求出不等式的解集,即可得到 a 的范围 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

【数学文卷?2015 届江西省师大附中高三上学期期中考试(201411) 】10. 已知等差数列 ?a n ?

的首项为 a1 ,公差为 d ,其前 n 项和为 Sn ,若直线 y ? 个交点关于直线 x ? y ? d ? 0 对称,则数列 ? A.

1 a1 x ? m 与圆 ?x ? 2?2 ? y 2 ? 1 的两 2
)

?1? ? 的前 10 项和=( ? Sn ?
8 9
D.2

9 10

B.

10 11

C.

【知识点】等差数列 数列求和 直线与圆位置关系 D2 D4 H4 【答案】 【解析】B 解析:因为直线 y ?

1 a1 x ? m 与圆 ?x ? 2?2 ? y 2 ? 1 的两个交点关于直线 2

x ? y ? d ? 0 对称,所以直线 x ? y ? d ? 0 经过圆心,则有 2+0-d=0,d=2,而直线

y?

1 1 a1 x ? m 与直线 x ? y ? d ? 0 垂直,所以 a1 ? 1, a1 ? 2 ,则 2 2

S n ? 2n ?
和为 1 ?

n ? n ? 1? ?1? 1 1 1 1 ? 2 ? n ? n ? 1? , ? ? ? ,所以数列 ? ? 的前 10 项 2 Sn n ? n ? 1? n n ? 1 ? Sn ?
? 1 1 1 10 ? ? 1 ? ? ,所以选 B. 10 11 11 11

1 1 1 ? ? ? 2 2 3

【思路点拨】遇到数列求和问题,一般先确定数列的通项公式,再根据通项公式特征确定求 和思路.

H5

椭圆及其几何性质

【数学理卷?2015 届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考(201411) 】19.(本 题满分 13 分)已知椭圆 C : 椭圆的方程; (2) 已知 l : y ? kx ? 1 , 是否存在 k 使得点 A 关于 l 的对称点 B(不同于点 A ) 在椭圆 C 上? 若存在求出此时直线 l 的方程,若不存在说明理由. 【知识点】待定系数法求椭圆方程;直线与椭圆的位置关系. H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 2 , 且过点 A( , ) .(1)求 2 a b 2 2

x2 ? y2 ? 1; (2)不存在 k 满足条件,理由:见解析. 3 解析: (1)由已知,焦距为 2c= 2 2 ????1 分

2 2 2 又 a ? b ? c ? 2 ????2 分

点 A( , ) 在椭圆 C :

3 1 2 2

9 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,? 2 ? 2 ? 1 ????3 分 2 a b 4a 4b
x2 ? y 2 ? 1 ?????5 分 3

故,所求椭圆的方程为

(2)当 k ? 0 时,直线 l : y ? ?1 ,点 B( , ? ) 不在椭圆上;????7 分 当 k ? 0 时,可设直线 AB : y ? ? ( x ? ) ? 代入

3 2

5 2

1 k

3 2

1 ,即 2 x ? 2ky ? 3 ? k ? 0 ????8 分 2

x2 ? y 2 ? 1 整理得 (4k 2 ? 12) y 2 ? 4k (k ? 3) y ? (k ? 3)2 ? 12 ? 0 3

因为 y1 ? y2 ?

4k 2 (k ? 3) 12(k ? 3) 4k (k ? 3) ,所以 x ? x ? ( k ? 3) ? ( ky ? ky ) ? k ? 3 ? ? 2 1 2 1 2 4k 2 ? 12 4k ? 12 4k 2 ? 12

6(k ? 3) 2k (k ? 3) , ) 在直线 y ? kx ? 1 上??10 分 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12 3 1 2k (k ? 3) 6k (k ? 3) 所以 ? 2 ? 1 ,解得 k ?1 因为此时点 A( , ) 在直线 l 上,??12 分 2 2 2 4k ? 12 4k ? 12 所以对称点 B 与点 A 重合,不合题意所以不存在 k 满足条件.????13 分
若 A, B 关于直线 l 对称,则其中点 ( 【思路点拨】 (1)由已知条件得关于 a、b 的方程组求解; (2)讨论 k ? 0 与 k ? 0 两种情况, 当 k ? 0 时 得 点 B( , ? ) 不 在 椭 圆 上 , 所 以 k ? 0 不 成 立 ; 当 k ? 0 时 , 可 设 直 线

3 5 2 2 x2 1 3 1 AB : y ? ? ( x ? ) ? ,即 2 x ? 2ky ? 3 ? k ? 0 ,代入 ? y 2 ? 1 整理得: 3 k 2 2

(4k 2 ? 12) y 2 ? 4k (k ? 3) y ? (k ? 3)2 ? 12 ? 0 ,由 AB 中点在直线 y ? kx ? 1 上求得 k=1,而这时直
线 y=x-1 过点 A( , ) ,由此得 k=1 也不成立,所以不存在 k 满足条件.

3 1 2 2

【数学文卷?2015 届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试(201411) 】20.(本题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y2 1 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 2 2 a b a b

d?

21 ,O 为坐标原点.(1)求椭圆 C 的方程; 7

(2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的 距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值。 【知识点】椭圆及其几何性质 H5

x2 y2 4 21 ? ? 1 (2) 【答案解析】(1) 4 3 7

: (I)由 e ?

c 1 1 x y 21 得 = 即 a=2c ,∴b= 3 c .由右焦点到直线 ? ? 1 的距离为 d= , a 2 2 a b 7
=



bc ? ab a 2 ? b2

x2 y2 21 ? ?1 ,解得 a=2 , b= 3 .所以椭圆 C 的方程为 4 3 7
2 2

(2)设 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,当直线 AB 的斜率不存在时, x2 ? ? x1 , y1 ? y2 ,? y1 ? y2 ,又

x12 y12 12 2 21 2 21 ? ? 1 ,解得 x1 ? ,即 O 到直线 AB 的距离 d ? ,当直线的斜率 ? 4 3 7 7 7
存在时,直线 AB 的方程为 y=kx+m,与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立消去 y 得 4 3

3x 2 ? 4(k 2 x 2 ? 2km ? m 2 ) ? 12 ? 0 ,
? x1 ? x 2 ? ? 8km 4m 2 ? 12 ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 即

(k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 ? (k 2 ? 1)
7m 2 ? 12(k 2 ? 1) ? O 到直线 AB 的距离
d? m 1? k
2

4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m 2 ? 0 ,整理得 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

?

12 2 21 ? OA ? OB ? OA2 ? OB 2 ? AB2 ? 2OA ? OB 当且仅当 ? 7 7

AB 2 4 21 OA=OB 时取“=”有 d ? AB ? OA ? OB 得 d ? AB ? OA ? OB ? ,? AB ? 2d ? 即 2 7
弦 AB 的长度的最小值是

4 21 7

【思路点拨】(I)利用离心率求得 a 和 c 的关系式,同时利用点到直线的距离求得 a,b 和 c 的关系最后联立才求得 a 和 b,则椭圆的方程可得. (II) 设出 A, B 和直线 AB 的方程与椭圆方程联立消去 y, 利用韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2, 利用 OA⊥OB 推断出 x1x2+y1y2=0, 求得 m 和 k 的关系式,进而利用点到直线的距离求得 O 到直线 AB 的距离为定值,进而利用 基本不等式求得 OA=OB 时 AB 长度最小, 最后根据 d?AB=OA?OB≤

AB 2 求得 AB 的坐标值. 2

2015 届湖南省浏阳一中、 【数学文卷? 攸县一中、 醴陵一中三校高三联考 (201411) 】 20. (本 小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 和 F2 , 且| F1 F2 |=2, 点(1,

3 )在该椭圆上. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 且与直线 l 相切圆的方程. 【知识点】椭圆的概念;直线与椭圆 H5,H8 【答案】 【解析】(1)

12 2 ,求以 F2 为圆心 7

x2 y2 (1)椭圆 C 的方程为 ? ? 1 (2) ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 解析: 4 3
?????. . (4 分)

x2 y2 ? ?1 4 3

(2)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,意.

3 3 ) ,B(-1, ) , ? A F2 B 的面积为 3,不符合题 2 2
????(6 分)

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则
x1 ? x 2 ? ?

8k 2 ? 12 8k 2 12(k 2 ? 1) , ,可得 |AB|= ?????. . (9 分) x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又圆 F2 的半径 r=

2|k | 1? k
2

,∴ ? A F2 B 的面积=

1 12 | k | k 2 ? 1 = 12 2 ,化简得: |AB| r= 2 7 3 ? 4k 2

17 k 4 + k 2 -18=0,得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ?????. . (13 分) 【思路点拨】由题中所给的条件可直接列出椭圆方程,再由直线与椭圆的位置关系可求出 k 与 r 的值,最后列出所求圆的方程即可.

H6

双曲线及其几何性质

【数学理卷?2015 届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试(201411) 】11.若曲线 f(x,y)= 0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y)=0 的“自公切线”.下列方程: ①x -y =1;②y=x -|x|;③y=3sin x+4cos x;④|x|+1= 4-y 对应的曲线中存在“自 公切线”的有 A.①② B.②③ C.①④ ( ) D.③④
2 2 2 2

【知识点】双曲线及其几何性质周期性 B4 H6

1 1 ? ( x ? )2 ? ? ? 2 4 【答案解析】B ①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;②y=x2-|x|= ? , ?( x ? 1 ) 2 ? 1 ? ? 2 4
1 1 1 和 x=- 处的切线都是 y=- ,故②有自公切线.③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ), 2 2 4 3 4 cosφ= ,sinφ= ,此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点 5 5
在 x= 的切线都重合,故此函数有自公切线.④由于|x|+1= 象可得,此曲线没有自公切线.故答案为 B. 【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;②在 x= 是 y=-

4 ? y 2 ,即 x2+2|x|+y2-3=0,结合图

1 1 和 x=- 处的切线都 2 2

1 ,故②有自公切线.③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的 4

最低点的切线都重合,故此函数有自公切线.④结合图象可得,此曲线没有自公切线.

【数学理卷?2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试(201411) 】14、已知 F1 , F2 是双曲 线 C1 : x ?
2

y2 ? 1 与 椭 圆 C2 的 公 共 焦 点 , 点 A 是 C1, C2 在 第 一 象 限 的 公 共 点 , 若 3

F1F2 ? F1 A ,则 C2 的离心率是
【知识点】直线与双曲线.H6 【答案】 【解析】

2 解析:解:由题意知,|F1F2|=|F1A|=4, 3

∵|F1A|-|F2A|=2,∴|F2A|=2,∴|F1A|+|F2A|=6,∵|F1F2|=4, ∴C2 的离心率是

2 4 2 ? .故答案为 . 3 6 3

【思路点拨】利用双曲线的定义,可求出|F2A|=2,|F1F2|=4,进而有|F1A|+|F2A|=6,由此可求

C2 的离心率.

【数学文卷?2015 届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试(201411) 】11.若曲线 f(x,y)= 0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y)=0 的“自公切线”.下列方程: ①x -y =1;②y=x -|x|;③y=3sin x+4cos x;④|x|+1= 4-y 对应的曲线中存在“自 公切线”的有 A.①② B.②③ C.①④ ( ) D.③④
2 2 2 2

【知识点】双曲线及其几何性质周期性 B4 H6

1 1 ? ( x ? )2 ? ? ? 2 4 【答案解析】B ①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;②y=x2-|x|= ? , ?( x ? 1 ) 2 ? 1 ? ? 2 4
1 1 1 和 x=- 处的切线都是 y=- ,故②有自公切线.③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ), 2 2 4 3 4 cosφ= ,sinφ= ,此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点 5 5
在 x= 的切线都重合,故此函数有自公切线.④由于|x|+1= 象可得,此曲线没有自公切线.故答案为 B. 【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;②在 x= 是 y=-

4 ? y 2 ,即 x2+2|x|+y2-3=0,结合图

1 1 和 x=- 处的切线都 2 2

1 ,故②有自公切线.③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的 4

最低点的切线都重合,故此函数有自公切线.④结合图象可得,此曲线没有自公切线.

【数学文卷?2015 届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试(201411) 】10.设 F1,F2 是双曲线 2 2 x y C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两 a b 点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3:4 : 5,则双曲线的离心率为( ) A. 13 B. 15 【知识点】双曲线及其几何性质 H6 【答案解析】 13 C.2 D. 3

由| AB |: | BF2 |: |AF2 |=3:4 : 5 设 AB ? 3, BF2 ? 4, AF2 ? 5

由定义可知 BF 1 ? 4 ? 2a, AF 1 ? 2a ? 4 ? 3 ? 2a ? 1 , AF 2 ? AF 1 ? 2a

【思路点拨】 双曲线定义: 双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于定值

(长轴长) ,

求离心率的值需找关于

的方程

H7

抛物线及其几何性质

【数学文卷?2015 届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试(201411) 】15.抛物线 C 的顶点在 原点,焦点 F 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,过点 P(2,0)且斜率为 1 的直线 l 与抛物 3 6

线 C 交于 A,B 两点,则弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为_______ 【知识点】抛物线及其几何性质 H7 【答案解析】11 设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则∵焦点 F 与双曲线 焦点重合,∴ F(3,0),∴

x2 y2 ? ? 1 的右 3 6

p =3,∴p=6,∴抛物线方程为 y2=12x. 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2) 过点 P(2,0)且斜率为 1 的直线 l 的方程为 y=x-2,代入抛物线方程得 x2-16x+4=0 ∴x1+x2=16,∴弦 AB 的中点到抛物线的准线的距离为

x1 ? x2 ? p =11.故答案为:11. 2

【思路点拨】利用焦点 F 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,求出抛物线方程,过点 P(2, 3 6

0)且斜率为 1 的直线 l 的方程为 y=x-2,代入抛物线方程,利用韦达定理,结合抛物线的定 义,即可得出结论.

H8

直线与圆锥曲线(AB 课时作业)

【数学理卷?2015 届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考(201411) 】19.(本 题满分 13 分)已知椭圆 C : 椭圆的方程; (2) 已知 l : y ? kx ? 1 , 是否存在 k 使得点 A 关于 l 的对称点 B(不同于点 A ) 在椭圆 C 上? 若存在求出此时直线 l 的方程,若不存在说明理由. 【知识点】待定系数法求椭圆方程;直线与椭圆的位置关系. H5 H8

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 2 , 且过点 A( , ) .(1)求 2 a b 2 2

【答案】 【解析】 (1)

x2 ? y2 ? 1; (2)不存在 k 满足条件,理由:见解析. 3 解析: (1)由已知,焦距为 2c= 2 2 ????1 分

2 2 2 又 a ? b ? c ? 2 ????2 分

点 A( , ) 在椭圆 C :

3 1 2 2

9 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,? 2 ? 2 ? 1 ????3 分 2 a b 4a 4b
x2 ? y 2 ? 1 ?????5 分 3

故,所求椭圆的方程为

(2)当 k ? 0 时,直线 l : y ? ?1 ,点 B( , ? ) 不在椭圆上;????7 分 当 k ? 0 时,可设直线 AB : y ? ? ( x ? ) ? 代入

3 2

5 2

1 k

3 2

1 ,即 2 x ? 2ky ? 3 ? k ? 0 ????8 分 2

x2 ? y 2 ? 1 整理得 (4k 2 ? 12) y 2 ? 4k (k ? 3) y ? (k ? 3)2 ? 12 ? 0 3

因为 y1 ? y2 ?

4k 2 (k ? 3) 12(k ? 3) 4k (k ? 3) ,所以 x ? x ? ( k ? 3) ? ( ky ? ky ) ? k ? 3 ? ? 2 1 2 1 2 4k 2 ? 12 4k ? 12 4k 2 ? 12

6(k ? 3) 2k (k ? 3) , ) 在直线 y ? kx ? 1 上??10 分 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12 3 1 2k (k ? 3) 6k (k ? 3) 所以 ? 2 ? 1 ,解得 k ?1 因为此时点 A( , ) 在直线 l 上,??12 分 2 2 2 4k ? 12 4k ? 12 所以对称点 B 与点 A 重合,不合题意所以不存在 k 满足条件.????13 分
若 A, B 关于直线 l 对称,则其中点 ( 【思路点拨】 (1)由已知条件得关于 a、b 的方程组求解; (2)讨论 k ? 0 与 k ? 0 两种情况, 当 k ? 0 时 得 点 B( , ? ) 不 在 椭 圆 上 , 所 以 k ? 0 不 成 立 ; 当 k ? 0 时 , 可 设 直 线

3 5 2 2 x2 1 3 1 AB : y ? ? ( x ? ) ? ,即 2 x ? 2ky ? 3 ? k ? 0 ,代入 ? y 2 ? 1 整理得: 3 k 2 2

(4k 2 ? 12) y 2 ? 4k (k ? 3) y ? (k ? 3)2 ? 12 ? 0 ,由 AB 中点在直线 y ? kx ? 1 上求得 k=1,而这时直
线 y=x-1 过点 A( , ) ,由此得 k=1 也不成立,所以不存在 k 满足条件.

3 1 2 2

【数学理卷? 2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试 (201411) 】 20、 (本小题满分 12 分) 已知定圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,动圆 N 过点 F ( 3,0) 且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨 迹为 E (1)求轨迹 E 的方程; (2)设点 A, B, C 在 E 上运动, A 与 B 关于原点对称,且 AC ? CB ,当 ?ABC 的面积最

小时,求直线 AB 的方程。 【知识点】直线与圆锥曲线.H8 【答案】 【解析】(1) 圆 轨迹 E 为椭圆,且 (2) y=x 或 y=﹣x 解析:解: (Ⅰ)因为点 在

内,所以圆 N 内切于圆 M,因为|NM|+|NF|=4>|FM|,所以点 N 的 ,所以 b=1,所以轨迹 E 的方程为 .?(4 分)

(Ⅱ) (i)当 AB 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) , 此时 |AB|=2.?(5 分)

(ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k,直线 AB 的方程为 y=kx,

联立方程





所以|OA| =

2

.?(7 分)

由|AC|=|CB|知, △ABC 为等腰三角形, O 为 AB 的中点, OC⊥AB, 所以直线 OC 的方程为





解得



=



,?(9 分)

S△ABC=2S△OAC=|OA|?|OC|=



由于 ,?(11 分)

,所以

当且仅当 1+4k =k +4,即 k=±1 时等号成立,此时△ABC 面积的最小值是 , 因为 ,所以△ABC 面积的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 y=x 或 y=﹣x. ,所

2

2

【思路点拨】 (I)因为|NM|+|NF|=4>|FM|,所以点 N 的轨迹 E 为椭圆,且 以 b=1,从而可求求轨迹 E 的方程;

( Ⅱ ) 分 类 讨 论 , 直 线 AB 的 方 程 为 y=kx , 代 入 椭 圆 方 程 , 求 出 |OA| , |OC| , 可 得 S△ABC=2S△OAC=|OA|?|OC|,利用基本不等式求最值,即可求直线 AB 的方程.

【数学理卷?2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试(201411) 】10、抛物线的弦与过弦 的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的 性质,如:若抛物线的弦过焦点,则过弦的断点的来两条切线的交点在其准线上,设抛物线

y 2 ? 2 px( x ? 0) ,弦 AB 过焦点, ?ABQ 且其阿基米德三角形,则 ?ABQ 的面积的最小值
为( ) B. p 2 C. 2 p2 D. 4 p 2

p2 A. 2

【知识点】直线与圆锥曲线.H8 【答案】 【解析】B 解析:由于若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其

准线上,且△PAB 为直角三角型,且角 P 为直角. S ? AB 最小,故选 B.

1 AB 2 PA ? PB ? ,由于 AB 是通径时, 2 4

【思路点拨】由于若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上,且△ PAB 为直角三角型,且角 P 为直角.又面积是直角边积的一半,斜边是两直角边的平方和,故 可求

【数学理卷?2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试(201411) 】2、已知实数1, m,9 成

等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( m
C.



A.

6 3

B.2

6 或2 3

D.

2 或 3 2

【知识点】等比数列;圆锥曲线.D3,H8 【答案】 【解析】C ∴m=±3. 当 m=3 时,圆锥曲线 解析:解:∵1,m,9 构成一个等比数列,

x2 2 6 ? y 2 ? 1是椭圆,它的离心率是 ? m 3 3 x2 ? y 2 ? 1是双曲线,它的离心率是 2. m

当 m=-3 时,圆锥曲线

故答案为:

6 或 2. 3

【思路点拨】由 1,m,9 构成一个等比数列,得到 m=±3.当 m=3 时,圆锥曲线是椭圆;当 m=-3 时,圆锥曲线是双曲线,由此入手能求出离心率. 【典例剖析】主要考查等比数列的性质及圆锥曲线的概念.

2015 届湖南省浏阳一中、 【数学文卷? 攸县一中、 醴陵一中三校高三联考 (201411) 】 20. (本 小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 和 F2 , 且| F1 F2 |=2, 点(1,

3 )在该椭圆上. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 且与直线 l 相切圆的方程. 【知识点】椭圆的概念;直线与椭圆 H5,H8 【答案】 【解析】(1)

12 2 ,求以 F2 为圆心 7

x2 y2 (1)椭圆 C 的方程为 ? ? 1 (2) ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 解析: 4 3
?????. . (4 分)

x2 y2 ? ?1 4 3

(2)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,意.

3 3 ) ,B(-1, ) , ? A F2 B 的面积为 3,不符合题 2 2
????(6 分)

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则
x1 ? x 2 ? ?

8k 2 ? 12 8k 2 12(k 2 ? 1) , ,可得 |AB|= ?????. . (9 分) x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又圆 F2 的半径 r=

2|k | 1? k 2

,∴ ? A F2 B 的面积=

1 12 | k | k 2 ? 1 = 12 2 ,化简得: |AB| r= 2 7 3 ? 4k 2

17 k 4 + k 2 -18=0,得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ?????. . (13 分) 【思路点拨】由题中所给的条件可直接列出椭圆方程,再由直线与椭圆的位置关系可求出 k

与 r 的值,最后列出所求圆的方程即可.

H9

曲线与方程

H10

单元综合


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