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圆锥曲线知识点


圆锥曲线常用知识点整理
1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离 的和等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F
2

,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2

的距离的差的绝对值等于

常数 2 a , 且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 |, 定义中的 “绝对值” 与 2 a <|F 1 F 2 |不可忽视。 若 2 a =|F 1 F 2 |, 则轨迹是以 F 1 , F 2 为端点的两条射线, 若 2 a ﹥|F 1 F 2 |, 则轨迹不存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如(1)已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的 是 A . PF B . PF C . PF 1 ? PF 2 ? 10 1 ? PF 2 ? 4 1 ? PF 2 ?6 D. PF1
2

? PF2

2

? 12

(答:C) ; (2)方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线 距为分母” ,其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离 与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如:已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? (答:2)

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____ 4

2.圆锥曲线的标准方程 (标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标 准位置的方程) :

x2 y2 ? a cos ? ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) ? x 2 y ? b sin ? (参数方程, a b y2 x2 2 2 其中 ? 为参数) ,焦点在 y 轴上时 2 ? 2 =1( a ? b ? 0 ) 。方程 Ax ? By ? C 表示椭圆 a b
(1)椭圆:焦点在 x 轴上时 的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。 如(1)已知方程

?

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为____ 3? k 2?k

(答: (?3, ? ) ? (?

1 1 , 2) ) ; 2 2 2 2 (2)若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x ? y 的最小值是___

(答: 5, 2 ) (2) 双曲线: 焦点在 x 轴上:
2 2

x2 y2 y2 x2 y ? ? =1 , 焦点在 轴上: =1 ( a ? 0, b ? 0 ) 。 a2 b2 a2 b2
x2 y2 5 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,则该双曲线的方程 9 4 2

方程 Ax ? By ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 。 如(1)双曲线的离心率等于 _______(答:

x2 ; ? y 2 ? 1) 4 (2)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 2 的双曲线 C 过点

P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______(答: x2 ? y 2 ? 6 ) 2 2 (3)抛物线:开口向右时 y ? 2 px( p ? 0) ,开口向左时 y ? ?2 px( p ? 0) ,开口向 2 2 上时 x ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时 x ? ?2 py( p ? 0) 。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x , y
2
2 2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2

如已知方程

x y ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__(答: m ?1 2 ? m

3 (?? ,?1) ? (1, ) ) 2
(2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位 置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参 数 a , b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题 时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大, c ? a ? b 。
2 2 2 2 2 2
2 2

4.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 (1)椭圆(以 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ; a b ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四
个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;④准线:两条准线 x ? ? ⑤离心率: e ?

a2 ; c

c ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。 a 25 x2 y2 10 如(1)若椭圆 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的

最小值为__(答: 2 2 )

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )为例) :①范围: x ? ? a 或 x ? a, y ? R ; a 2 b2 ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两 个顶点 (? a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称
(2)双曲线(以

a2 为等轴双曲线,其方程可设为 x ? y ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ? ;⑤离心率: c c e ? ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 ,e 越小,开口越小,e 越大,开口越大; a b ⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a
2 2

如(1)双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于______(答: 或

13 2

13 ) ; 3
(2)双曲线 ax ? by ? 1的离心率为 5 ,则 a : b =
2 2

(答:4 或

1 ) ; 4

x2 y2 (3)设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ a b ? ? 的取值范围是________(答: [ , ] ) ; 3 2 p 2 x ? 0, y ? R ; (3) 抛物线 (以 y ? 2 px( p ? 0) 为例) : ①范围: ②焦点: 一个焦点 ( , 0) , 2 其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对称中心, p c 只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ? ;⑤离心率: e ? ,抛物线 ? e ? 1 。 2 a
如设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________(答: (0,
2

1 ; )) 16 a

5、 点 P( x0 , y0 ) 和椭圆
2 2 x0 y0 ? ? 1; a 2 b2

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的关系: (1) 点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? a2 b2

2 2 x0 y0 ? =1; a2 b2 2 x 2 y0 ? ?1 (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 0 a 2 b2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ?

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线 相交不一定有 ? ? 0 , 当直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交且只有一个交点, 故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛物线相交, 但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交 且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 2 2 如(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 _______ (答:(-

15 ,-1)) ; 3

(2) 直线 y―kx―1=0 与椭圆 [1,5)∪(5,+∞) ) ; (3)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点, 则 m 的取值范围是_______ (答: 5 m

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这 1 2

样的直线有_____条(答:3) ; (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线 与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线 与抛物线相离。

特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切 和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线

x2 y2 与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线 2 ? 2 =1 外一 a b 点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线之间且不含
双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线, 共四 条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与 双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与 另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一 点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如 (1) 过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y ? 8x 只有一个公共点, 这样的直线有______ (答: 2) ;
2

( 2 ) 过点 (0,2)与双曲线 ______(答: ? ?

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 9 16

? ? 4 4 5? ? ,? ; ?) 3 ? ? 3 ? ?


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