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2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考答案


2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷 (考试时间:2015 年 5 月 24 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.设集合 A ? ? ? x ? x? 4 ? ? 0, x? Z ? x?3 ? ,从集合 A 中随机抽取一个元素 x ,记 ? 。 ? x 2 ,则随机 变量 ? 的数学期望 E ? 2.已知 ? f (x) ? x ? g (x) ,其中 g ( x ) 是定义在 R 上,最小正周期为 2 的函数。若 f (x) x a 2 2 f (x) 在区间 4 ? 上的最大值为 1,则 ?2 , 在区间 ?1 0 , 1 2 ? 上的最大值为 y b 2 2 。 3. F 1 、 F 2 为椭圆 C : 得 P F1 ? P F2 ? ? 1(a ? b ? 0 )的左、右焦点,若椭圆 C 上存在一点 P ,使 。 ,则椭圆离心率 e 的取值范围为 ? 2 y ? 3z 2 2 4.已知实数 x , y , z 满足 x 2 5.已知函数 f ( x ) ? x cos ? 2 ? 24 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最小值为 (n ? N * 。 ) ,则数列 ? an ?x 2 ,数列 ? 。 an ? 中, a n ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ? 的前 100 项之和 S 1 0 0 6. 如图, 在四面体 A B C D 中,D A 所成角的余弦值为 6 3 ? DB ? DC ? 2 ,D A ? DB ,D A ? DC , 且 D A 与平面 A B C 。则该四面体外接球半径 R ? 。 z1 ? z2 ? 2 7 .在复平面内,复数 z 1 、 z 2 、 z 3 的对应点分别为 Z 1 、 Z 2 、 Z 3 。若 uuur uuur O Z1 ? O Z 2 ? 0 , , z1 ? z 2 ? z 3 f (x )? e ? 1 ,则 z 3 x 的取值范围是 , x2 。 ( x1 ? x 2 8.已知函数 为 9.已知 为 10.若 s in ? 9 (x ? a e x )恰 有 两 个 极 值 点 x 1 ) ,则 a 的取值范围 。 f (x) ? m ? 2 ? x ? nx x 2 ,若 ? x f ( x ) ?0 x ?? ? f (f ( x )) 0 ? ?? ? ,则 m ? n 的取值范围 。 ? s in 2? 9 ? L ? s in n? 9 ? 1 2 ta n 4? 9 ,则正整数 n 的最小值为 1 。 二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11.求函数 y ? 2x ? 4x ? 8x ? 3 2 的最小值。 12.已知过点 P ( 0 , 1) 斜率为 k 的直线 l 交双曲线 C : x (1)求 k 的取值范围; (2)若 F 2 为双曲线 C 的右焦点,且 A F2 ? B F2 ? 6 2 ? y 2 3 ? 1于A 、 B 两点。 ,求 k 的值。 13.如图,I 、 D 分别为 △ A B C 的内心、旁心,B C 与圆 I 、圆 D 相切,切点分别为 E 、F , G 为 A D 与

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