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【卓越教育】2016高中数学人教A版 必修5 同步练习:综合检测 第一章 解三角形zyjy


少年智则中国智,少年强则中国强。

第一章 解三角形一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的.) 测 1.在△ABC 中,a=80,b=100,A=45° ,则此三角形解的情况是( A.一解 C.一解或两解 [答案] B [解析] ∵bsinA=100× ∴bsinA<

;a<b, ∴此三角形有两解. 2.在△ABC 中,A=45° ,AC=4,AB= 2,那么 cosB=( 3 10 A. 10 C. 5 5 3 10 B.- 10 D.- 5 5 ) 2 =50 2<80, 2 B.两解 D.无解 )

[答案] D [解析] BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA =16+2-8 2cos45° =10,∴BC= 10, AB2+BC2-AC2 5 cosB= =- . 2AB· BC 5 3.在△ABC 中,b= 3,c=3,B=30° ,则 a 的值为( A. 3 C. 3或 2 3 [答案] C sinB 3 [解析] ∵sinC= · c= , b 2 ∴C=60° 或 C=120° , ∴A=30° 或 A=90° , 当 A=30° 时,a=b= 3; 当 A=90° 时,a= b2+c2=2 3.故选 C. C 4.已知关于 x 的方程 x2-xcosA· cosB+2sin2 =0 的两根之和等于两根之积的一半,则△ 2 ABC 一定是( ) B.钝角三角形 D.等边三角形 B.2 3 D.2 )

A.直角三角形 C.等腰三角形

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[答案] C C [解析] 由题意知:cosA· cosB=sin2 , 2 1-cosC 1 1 1 1 ∴cosA· cosB= = - cos[180°-(A+B)]= + cos(A+B), 2 2 2 2 2 1 1 ∴ (cosA· cosB+sinA· sinB)= ,∴cos(A-B)=1, 2 2 ∴A-B=0,∴A=B,∴△ABC 为等腰三角形,故选 C. 5.△ABC 中,已知下列条件:①b=3,c=4,B=30° ;②a=5,b=8,A=30° ;③c=6, b=3 3,B=60° ;④c=9,b=12,C=60° .其中满足上述条件的三角形有两解的是( A.①② C.①②③ [答案] A [解析] ①csinB<b<c,故有两解; ②bsinA<a<b,故有两解; ③b=csinB,有一解; ④c<bsinC,无解. 所以有两解的有①②,故选 A. 6.等腰△ABC 底角 B 的正弦与余弦的和为 A.30° 或 150° C.30° [答案] A [解析] 由题意:sinB+cosB= 6 1 .两边平方得 sin2B= ,设顶角为 A,则 A=180° -2B. 2 2 6 ,则它的顶角是( 2 ) B.①④ D.③④ )

B.15° 或 75° D.15°

1 ∴sinA=sin(180° -2B)=sin2B= , 2 ∴A=30° 或 150° .

7.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC =( ) A. 7 25 7 B.- 25 24 D. 25

7 C .± 25 [答案] A

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b c 4 [解析] 由 = 及 8b=5c,C=2B 得,5sin2B=8sinB,∴cosB= ,∴cosC=cos2B sinB sinC 5 7 =2cos2B-1= . 25 → → → → → 8.△ABC 中,|AB|=5,|AC|=8,AB· AC=20,则|BC|为( A.6 C .8 [答案] B → → [解析] ∵AB· AC=20, 1 → → ∴|AB||AC|cosA=20,∴cosA= , 2 → → → → → 由余弦定理,得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cosA=49, → ∴|BC|=7. 9.已知钝角三角形的三边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A.1<x<5 B. 5<x< 13 C.1<x< 5或 13<x<5 D.1<x< 5 [答案] C
?3<x<5 ? [解析] 当 x 为最大边时? 2 2 2 , ?x >3 +2 ?

)

B.7 D.9

)

∴ 13<x<5;
?1<x<3 ? 当 3 为最大边时? 2 2 2 , ?3 >x +2 ?

∴1<x< 5. ∴x 的取值范围是:1<x< 5或 13<x<5. 10.在△ABC 中,三边长分别为 a-2,a,a+2,最大角的正弦值为 的面积为( 15 A. 4 21 3 C. 4 [答案] B [解析] ∵三边不等,∴最大角大于 60° ,
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3 ,则这个三角形 2

) 15 3 B. 4 35 3 D. 4

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设最大角为 α,故 α 对的边长为 a+2. ∵sinα= 3 ,∴α=120° , 2

由余弦定理,得 (a+2)2=(a-2)2+a2+a(a-2), 即 a2=5a,解得 a=5,∴三边长为 3,5,7, 1 15 3 S△ABC= ×3×5×sin120° = . 2 4 3-1 → → 11.在△ABC 中,B=60° ,C=45° ,BC=8,D 为 BC 上一点,且BD= BC,则 AD 2 的长为( ) B.4( 3+1) D.4(3+ 3)

A.4( 3-1) C.4(3- 3) [答案] C [解析] 由题意知∠BAC=75° ,

BCsin45° 根据正弦定理,得 AB= =8( 3-1), sin75° 3-1 → 3-1 → 因为BD= BC,所以 BD= BC. 2 2 又 BC=8,所以 BD=4( 3-1). 在△ABD 中, AD= AB2+BD2-2AB· BD· cos60° =4(3- 3). 12.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° ,与灯塔 S 相距 20n mile, 随后货轮按北偏西 30° 的方向航行 30min 后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为 ( )

A.20( 2+ 6)n mile/h B.20( 6- 2)n mile/h C.20( 3+ 6)n mile/h
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D.20( 6- 3)n mile/h [答案] B [解析] 由题意可知 ∠SMN=15° +30° =45° ,MS=20,∠MNS=45° +(90° -30° )=105° ,设货轮每小时航行 1 xn mile,则 MN= x, 2 ∴∠MSN=180° -105° -45° =30° , 1 x 2 20 由正弦定理,得 = , sin30° sin105° ∵sin105° =sin(60° +45° ) =sin60° cos45° +cos60° sin45° = ∴x=20( 6- 2),故选 B. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 3 → → 13.在△ABC 中,已知 b=1,sinC= ,bcosC+ccosB=2,则AC· BC=________. 5 [答案] 8 8 或- 5 5 6+ 2 , 4

a2+b2-c2 a2+c2-b2 [解析] 由余弦定理的推论,得 cosC= ,cosB= . 2ab 2ac ∵bcosC+ccosB=2, ∴ a2+b2-c2 a2+c2-b2 + =2, 2a 2a

→ ∴a=2,即|BC|=2. 3 ∵sinC= ,0° <C<180° , 5 4 4 ∴cosC= ,或 cosC=- . 5 5 → 又∵b=1,即|AC|=1, 8 → → 8 → → ∴AC· BC= ,或AC· BC=- . 5 5 1 14.已知△ABC 的周长为 2+1,且 sinA+sinB= 2sinC.若△ABC 的面积为 sinC,则 C 6 =________. [答案] 60° [解析] ∵sinA+sinB= 2sinC. ∴a+b= 2C.
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又∵a+b+c= 2+1,∴c=1,a+b= 2. 1 1 又 S△ABC= absinC= sinC. 2 6 1 ∴ab= , 3 a2+b2-c2 ?a+b?2-2ab-c2 1 ∴cosC= = = , 2ab 2ab 2 ∴C=60° . 1 15.在△ABC 中,若 tanA= ,C=150° ,BC=1,则 AB=________. 3 [答案] 10 2

1 10 BC· sinC 10 [解析] ∵tanA= ,∴sinA= ,由正弦定理,得 AB= = . 3 10 sinA 2 A b+c 16.在△ABC 中,cos2 = ,则△ABC 的形状为________. 2 2c [答案] 直角三角形 A 1+cosA b+c 1 b [解析] ∵cos2 = = = + , 2 2 2c 2 2c b ∴cosA= . c 由余弦定理的推论,得 b2+c2-a2 cosA= , 2bc ∴ b2+c2-a2 b = , 2bc c

∴a2+b2=c2. ∴△ABC 为直角三角形. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(2014· 新课标Ⅱ文,17)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1, BC=3, CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. [解析] (1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC· CDcosC =12-12cosC. ① BD2=AB2+DA2-2AB· DAcosA =5+4cosC. ②
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1 由①,②得 cosC= ,故 C=60° ,BD= 7. 2 (2)四边形 ABCD 的面积 1 1 S= AB· DAsinA+ BC· CDsinC 2 2 1 1 =( ×1×2+ ×3×2)sin60° 2 2 =2 3. 18.(本题满分 12 分)在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a= 2csinA. (1)确定角 C 的大小; 3 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2 [解析] (1)由 3a=2csinA 及正弦定理得, 3sinA=2sinCsinA. ∵sinA≠0,∴sinC= 3 . 2

π ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= . 3 π 3 3 (2)∵C= ,△ABC 面积为 , 3 2 1 π 3 3 ∴ absin = ,即 ab=6.① 2 3 2 ∵c= 7,∴由余弦定理得 π a2+b2-2abcos =7,即 a2+b2-ab=7.② 3 由②变形得(a+b)2=3ab+7.③ 将①代入③得(a+b)2=25,故 a+b=5. 19.(本题满分 12 分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求 在考点周围 1km 内不能收到手机信号.检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约 3km 有一 条北偏东 60° 方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以 12km/h 的速度沿公路行驶,最 长需要多少时间,检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?

[解析] 如图所示, 考点为 A, 检查开始处为 B, 设公路上 C, D 两点到考点的距离为 1km. 在△ABC 中,AB= 3≈1.732,AC=1,∠ABC=30° , 由正弦定理,得 sin∠ACB= ABsin30° 3 = , AC 2
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∴∠ACB=120° (∠ACB=60° 不合题意), ∴∠BAC=30° ,∴BC=AC=1. 在△ACD 中,AC=AD,∠ACD=60° , ∴△ACD 为等边三角形,∴CD=1. ∵ BC ×60=5, 12

∴在 BC 上需要 5min,CD 上需要 5min. ∴最长需要 5min 检查员开始收不到信号,并至少持续 5min 该考点才算合格. 20.(本题满分 12 分)(2014· 辽宁理,17)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 1 → → c,且 a>c,已知BA· BC=2,cosB= ,b=3,求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → [解析] (1)由BA· BC=2 得 c· acosB=2. 1 又 cosB= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理得 a2+c2=b2+2accosB. 1 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×6× =13. 3
? ?ac=6, 解? 2 2 得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. ?a +c =13, ?

因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中, sinB= 1-cos2B= 1 2 2 1-? ?2= . 3 3

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sinC= sinB= × = . b 3 3 9 因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cosC= 1-sin2C= 4 22 7 1-? ?= . 9 9

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= · + · = . 39 3 9 27 21. (本题满分 12 分)如图, 已知半圆 O 的半径为 1, 点 C 在直径 AB 的延长线上, BC=1, 点 P 是半圆 O 上的一个动点,以 PC 为边作正三角形 PCD,且点 D 与圆心分别在 PC 两侧. (1)若∠POB=θ,试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 θ 的函数; (2)求四边形 OPDC 面积的最大值.

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[解析] (1)设∠POB=θ,且 0° ≤θ≤180° .在△OPC 中,OP=1,OC=2,由余弦定理,得 PC2=OP2+OC2-2OP· OC· cosθ=5-4cosθ, 1 3 3 ∴ SOPDC = S △ OPC + S △ PDC = OP· OC· sinθ + PC2 = sinθ + (5 - 4cosθ) = sinθ - 3cosθ + 2 4 4 5 3 , 4 5 即 y=sinθ- 3cosθ+ 3. 4 5 5 3 (2)由(1)得 y=sinθ- 3cosθ+ 3=2sin(θ-60° )+ . 4 4 ∵0° ≤θ≤180° ,-60° ≤θ-60° ≤120° , 5 3 ∴当 sin(θ-60° )=1,即 θ-60° =90° ,也即 θ=150° 时,SOPDC 有最大值,且为 2+ , 4 5 3 故当∠POC=150° 时,四边形 OPDC 的面积最大,最大值为 2+ . 4 22.(本题满分 14 分)如图所示,A、B 两个小岛相距 21n mile,B 岛在 A 岛的正南方,现 在甲船从 A 岛出发,以 9n mile/h 的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以 6n mile/h 的速度离开 B 岛向南偏东 60° 方向行驶,问行驶多少时间后,两船相距最近,并求出两船的最近距离.

[解析] 设行驶 t 小时后, 甲船行驶了 9tn mile 到达 C 处,乙船行驶了 6tn mile 到达 D 处. 7 当 9t<21,即 t< 时,C 在线段 AB 上,此时 BC=21-9t, 3 在△BCD 中,BC=21-9t,BD=6t,∠CBD=180° -60° =120° , 由余弦定理,得 CD2=BC2+BD2-2BC· BD· cos120° 1 =(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)· 6t· (- ) 2 =63t2-252t+441=63(t-2)2+189. ∴当 t=2 时,CD 取得最小值 189=3 21.

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7 7 当 t= 时,C 与 B 重合,此时 CD=6× =14>3 21. 3 3 7 当 t> 时,BC=9t-21,则 CD2=(9t-21)2+(6t)2-2×(9t-21)×6t×cos60° =63t2-252t 3 +441 =63(t-2)2+189>189. 综上可知, t=2 时, CD 取最小值 3 21n mile, 故行驶 2h 后, 甲、 乙两船相距最近为 3 21n mile.

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