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10 纵向动稳定性和动操纵性


北航509教研室 2002.6

策划、审定
张曙光

制 作 群
张曙光 谭文倩
姜再明 张田飞 刘 峰

2002.06

内容
引言: 定常线性常微分系统回顾 §10-1 纵向扰动运动方程和特征方程
§10-2 稳定性判别准则 §10-3 实例分析——两种典型模态及其物理景象 §10-4 短周期扰动运动的简化分析 小结

引言: 定常线性常微分系统回顾 ?一元线性自由系统——齐次微分方程
形式
dx dt ? ax ? 0

? 或记为 x ? a x ? 0
即 ? ? ?a

通解取决于 ? ? a ? 0

——特征方程及特征值

通解

x( t ) ? Ce

?t

故 x( t ) ? x(0)e ? t

取决于初值,
C ? x (0 )

无论初值如何,(1) 当 ? ? 0 (2) 当 ? ? 0

x(? ) ? 0 x( t ) ? x(0)

北航 509

x(? ) ? ? (3) 当 ? ? 0 结论:x随时间的变化过程取决于特征根,且x的终值取决于 特征值的符号。

引言:定常线性常微分系统回顾 ?多元线性自由系统——齐次微分方程
(1) 形式
? ? x 1 ? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? ? ? a 1 n x n ? 0 ? ? ? x 2 ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? 0 ? ? ? ?x ? a x ? a x ?? ? a x ? 0 n1 1 n2 2 nn n ? ?n

通解取决于特征行列式
? ? a11
a21 ? a n1 a12 ? ? ? ? a1 n a2 n ? ?0

? ? a22
? an 2

? ? ann

展开后为关于λ的n次实系数代数方程,存在n个根。
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引言:定常线性常微分系统回顾
无重根时的通解形式:
xi (t ) ? C i e
1

?1 t

? Ci e
2

?2t

?? ? Ci e
r 2

?r t

? Ai e
1

n1 t

sin ( ? 1 t ? ? i )
1 s

? Ai e
2

n2 t

sin ( ? 2 t ? ? i ) ? ? ? A i e
s

ns t

sin ( ? s t ? ? i )

其中 ? 1 ? ? r 为r个实根; n 1 ? i? 1 ? n s ? i? s 为s对复根;
A 系数 C ij 、 ik 及 ? ik 与初始条件有关。

r ? 2s ? n

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引言:定常线性常微分系统回顾
(2) 典型模态
典型模态:每个实特征根或每对复特征根代表一种简单运动, 称为典型模态。飞机总运动由各典型模态迭加。 不同类型特征根对应的模态运动:

实型特征根

y ? e

? jt

t
0 0

t
0

t

? j ? 0 单调衰减
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? j ? 0 单调发散

? j ? 0 等值

引言:定常线性常微分系统回顾
复型特征根 n k ? i? k
y ? e
nk t

sin (? k t ? ? )

0

t

0

t

0

t

nk ? 0

阻尼振荡

nk ? 0

发散振荡

nk ? 0

等幅振荡



1. 初始状态非零时, 当且仅当所有 ? j 或 n k ? i? k 具有负实部时,x i ( ? ) ? 0 若某一特征值具有正实部时, x i ( ? ) ? ? 2. 每一模态对各个状态参数 xi 的影响体现在其幅值和相位; 这与特征值对应的特征向量有关。


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引言:定常线性常微分系统回顾 ?模态参数
(1) 半衰期或倍幅时 ( T1 2或 T 2 ) T1 2 : 阻尼振荡振幅包线或单调衰减运动幅度减至初始一半 所需时间。
T2 :

发散振荡振幅包线或单调发散运动幅度增至初始二倍 所需时间。
xi (T1 2 ) xi (0) ?
?j

若? ? ? j 为负实根:

?e

? j T1 2

?1 2
2

j

T1

?j

? ?

ln 2

?j

? ?

0 .6 9 3

?j

总之,实根 ? j 或共轭复根 nk ? i? k对应的半衰时/倍幅时为
T1 / 2或T2 ?
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0.693

?j



0.693 nk

引言:定常线性常微分系统回顾
(2) 周期T或频率N

T:振动一次所需时间
N:单位时间振动次数

T ?
N ?

2?

?k
1 T

反映振荡时阻尼和 频率间关系

(3) 半衰时或倍增时内振荡次数 ( N 1 2或 N 2 )
N1
2

?

T1 T

2

? ?

0 .6 9 3 ? k 2? nk

? ? 0 .1 1

?k
nk

N2 ?

T2 T

? 0.11

?k
nk

N 1/ 2或N 2 ? 0.11

?k
nk

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§10-1 纵向扰动运动方程和特征方程
基准运动为无侧滑、无滚转的定直平飞,并且 ? 0 ? ? P
即 sin( ? 0 ? ? P ) ? 0 cos( ? 0 ? ? P ) ? 1
? 0 ) 纵向扰动运动满足

? 0

根据纵向小扰动方程,握杆时( ? ? z

?
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m

d?V

dt d? ? d? ? V ? mV 0 ( ? ) ? Y ?V ? Y ?? dt dt

? ( Pk y ? Q )?V ? Q ?? ? G??
V V

?

(Y
? ?

?

?? Pky0 )

Iz

d? z dt

? ? ( M zp ? M z )?V ? M z ?? ? M z ?? ? M z z ? z
V V

?

?

?z ?

d? ? dt

?? ? ?? ? ??

§10-1 纵向扰动运动方程和特征方程
引入符号
X
V c

?

Pky ? Q
V

V

Xc
Y

?

m ?V m ?V 1 ? ( qsC x ) qsC ? ? ? ? ? ? m m ?? m m ? Q
?

?

1 ? Pky

?

1 ? ( qsC x )
?
x

?

1 m

P

V ky

?

qs mV
0

( 2 C x ? MC

M x

)

1 s

m s

2

?

?

Y

?
0

1 mV
0

qsC

?
y

1 s

mV

Y

V

?

Y

V

?
0
V

1 mV
V

? ( qsC y )
0

mV
M zc ?
V

?V

?

qs mV
2 0

( 2 C y ? MC

M y

)

1 m

M zp ? M z Iz

?

1 ? qsb A V ? Pky y p ? ( 2 m z ? Mm ? Iz ? V0
M

M z

? 1 qsb A M V )? ? ( ? Pky y p ? mz ) Iz a ?
1 m s

Mz ?

?

Mz Iz

?

?

1 Iz

qsb A m z

1 s

2

§10-1 纵向扰动运动方程和特征方程
引入符号
Mz ?
? ?

Mz Iz

? ?

?
?z

1 Iz

qsb A m z ?

? ?

1 bA I z V0

2

qsm

? ?
z

1 s

Mz

?z

?

Mz Iz

?

1 bA I z V0

2

qsm

?z
z

1 s

§10-1 纵向扰动运动方程和特征方程
方程重新整理得
?x ? ? ?V = ? ?x1
? X c ?V ? ( X c ? g ) ? ? ? g ? ? ? 0
V

?? ?x2

?z
?x3

?? ? ?x4 ?

T

?

T

d ?V dt

?

d? ? dt d? z

? Y ?V ? Y ?? ? ? z ? 0
V

?

? ( M zc ? M z Y )?V ? ( M z ? M z Y ) ?? ? ( M z z ? M z )? z ? 0
V V

? ?

?

? ?

?

?

? ?

dt d??

dt

? ?z ? 0

(? ? ? ? ? ? ? ? )

特征行列式
? ? Xc
?(? ) ?
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V

?( X c ? g )

?

0 ?1
?

g 0
? ?

Y
V

V ? ? V

? ?Y
?

?
? ?

?( M zc ? M z Y ) 0

?( M z ? M z Y ) 0

? ? (Mz ? Mz )
?1

?z

?0

0

?

§10-1 纵向扰动运动方程和特征方程
展开可得特征方程:
?(? ) ? ? ? a1? ? a2? ? a3? ? a4 ? 0
4 3 2

式中:
a1 ? Y
?

? (Xc ? Mz z ? Mz )
V

?

? ?

a2 ? Y ( X c ? g ) ? X c (Y ? M z z ? M z ) ? M z ? M z zY
V V
V

?

?

?

? ?

?

?

?

a3 ? X c (Y M z z ? M z ) ? gY ( M z z ? M z ) ? X c (Y M z z ? M zc )
V V V

?

?

?

?

? ?

?

?

a 4 ? g (Y M z ? Y M z )
V V

?

?

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§10-2 稳定性判别准则

对于四次特征方程,当且仅当下列行列式及其各阶主子式为 正时,飞机存在动稳定性(特征根具有负实部):
a1 a3 0 0 1 a2 a4 0 0 a1 a3 0 0 1 a2 a4 ?0

1) a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ? 0

2) R ? a1a2a3 ? a1 a4 ? a3 ? 0
2 2

Routh-Hurwitz判据 当a4=0,一实根临界; 当R=0,一对复根临界。

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§10-3 实例分析——两种典型模态及其物理景象

?实例

(教材P.182,例题)

某机在H=11000m以M=0.90作定常直线飞行,试分析其纵 向动稳定特性。 已知飞机主要的构造及气动参数:
G , S , bA , I z , V0 , ? , a , C y , ? , C y , C y , C x , C x , C x , m z ,
M M

?

?

?

mz

?z

, mz , mz

? ?

M

分析步骤: (1)由几何重量数据及无量纲导数求取等效气动导数:
Xc , Xc ,Y
V

?

V

,Y

?

, Mz , Mz , Mz

V

?

?z

, M z , M zP

? ?

V

(2)计算特征方程系数 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 (3)可以用Routh-Hurwitz判据判断动稳定性情况
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(4)进一步可以求解特征根,并计算相应特征参数,掌握各 模态情况。

§10-3 实例分析——两种典型模态及其物理景象
典型参数
? 模态1:1,2
? ? 0 . 7315 ? 2 . 8944 i

T1 2 ? 0 . 95 s

T ? 2 . 2 s N 1 2 ? 0 . 44次

——周期短,频率高,阻尼大 (衰减快)的振荡运动 V基本不变:该模态幅值小
? 模态2:3 ,4
? ? 0 . 0066 ? 0 . 0390 i
T ? 161 . 1 s N 1 2 ? 0 . 71次

T1 2 ? 113 . 6 s

——周期长,频率低,衰减慢的振荡运动 (α、ωz基本不变:该模态幅值小)
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§10-3 实例分析——两种典型模态及其物理景象

?两种典型模态及其物理景象

沉浮模态

1、上述两种模态分别称为短周期模态和长周期模态。 2、飞机受扰后,纵向运动参数随时间的变化由两模态的运 动迭加而成,其中转动参数Δα、 Δ ωz 主要呈现短周期模态 特点,而质心运动参数Δ V主要表现出沉浮模态特点。 原因 转动运动取决于: 转动惯性Iz,恢复力矩M ? ? ? 与阻尼 z 小 大
? M z z? z , M z ?
?
? ?



恢复快、阻尼大即衰减快的振荡运动
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§10-3 实例分析——两种典型模态及其物理景象
质心运动取决于: 质量m,恢复力 Y 大
V

?V ,G ??

与阻尼 ( P V

? Q )? V 等
V





恢复慢,衰减慢(甚至发散)的振荡运动
?V ? 0 ?Y ? 0 ?V ? 0 ?Y ? 0 ?V ? 0 ?Y ? 0
Y

a?0 a?0

a?0

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G

§10-3 实例分析——两种典型模态及其物理景象
分析
l对于具有适当纵向静稳定性的飞机,可近似地将飞机纵向运

动分为两阶段: 最初阶段以α、ωz变化为代表的短周期运动, 速度基本不变,随后是V、θ变化为代表的长周期运动,迎角 基本不变。
l短周期模态运动参数变化快,驾驶员来不及反应并干预,所

以需要严格要求;沉浮模态运动参数变化慢,所以放宽要求。
l两模态可以在一定条件下分开处理。

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§10-4 短周期扰动运动的简化分析
?简化
短周期运动主要表现在扰动初始阶段,? V 方程可写为 d? ?
dt
d? z dt

?0

? Y ?? ? ? z ? 0
?
? ?

?

? (M z ? M zY

?

) ? ? ? ( M z z ? M z )? z ? 0

?

? ?

特征行列式为
? ?Y
? ?
? ?

?1
?

?( M z ? M z Y )

? ? ( Mz ? Mz )

?z

? ?

?0

展开的特征方程
? ? (Y ? M z ? M z )? ? ( M z ? M z Y ) ? 0
2

?

?z

? ?

?

?z

?

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§10-4 短周期扰动运动的简化分析
?短周期稳定的充要条件
Y
?

? Mzz ? Mz ? 0
? ? ?

?

? ?

易满足
C y ( x G ? x jd ) ? 0
?

? M z ? M z zY

?0

质心位于握杆机动点 之前飞机的纵向短周 期运动是稳定的 注意:物理成因表明 m ? ? 0 是长短周期分开的必要保证,故 z 短周期稳定一般总能满足。
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§10-4 短周期扰动运动的简化分析
?近似处理的准确性
特征方程可进一步表达为标准形式
? ? 2? ? n ? ? ? n ? 0
2 2

式中 ?n ?
? ?
Y

? Mz ? Y Mz z
?

?

?

?

——无阻尼自然频率
——阻尼比
? n ? 2 . 8320

? Mz z ? Mz
? ?

?

? ?

?Mz ?Y Mz

?z

实例: 近似

? ? 0.2569

? 1,2 ? ? 0 . 7287 ? 2 . 7417 i

准确 ?1,2 ? ?0.7315 ? 2.8944i
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误 差 不 大

§10-4 短周期扰动运动的简化分析
?参数关系
1) m z z , m z
?
?
? ?

在高速时阻尼作用减弱

m z 在高速时一般稳定性加大(焦点后移)

随M增加,速压增加

?

相对于低速飞行,高速飞行时短周期运动周期减小,但衰减 可能慢。 2) 随H增加,外力矩相对于惯性减小,故振荡运动的周期和 衰减都慢。 3) 高空超音速飞行时往往短周期阻尼不足。
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第十章:小结

1、纵向动稳定性和静稳定性的区别与联系
2、飞机扰动运动模态的概念和主要参数 3、纵向两种典型模态及其物理成因、存在条件 4、短周期简化分析的依据及方法

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